江西省吉安市泰和中学2023年高三数学理测试题含解析

江西省吉安市泰和中学2023年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.将函数y=sin（6x+）的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移个单位，得到的函数的一个对称中心（）A． B． C．（） D．（）参考答案：A【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的对称性．【分析】先根据三角函数图象变换规律写出所得函数的解析式，再根据三角函数的性质进行验证：若f（a）=0，则（a，0）为一个对称中心，确定选项．【解答】解：函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍得到图象的解析式为再向右平移个单位得到图象的解析式为=sin2x当x=时，y=sinπ=0，所以是函数y=sin2x的一个对称中心．故选A．【点评】本题考查了三角函数图象变换规律，三角函数图象、性质．是三角函数中的重点知识，在试题中出现的频率相当高．2.(8)设函数.若实数a,b满足,则 (A) (B) (C) (D)参考答案：A3.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体最长的棱的长是（）A.4 B.6 C.4 D.4参考答案：D【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据，求解几何体的棱长即可．【详解】解：作出几何体的直观图如图：观察可知，该几何体的最长的棱长为：BS=CS＝＝4．故选：D．【点睛】本题考查三视图求解几何体的棱长，考查转化思想以及计算能力．

4.在△ABC中，已知(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6：则△ABC是（

）A．锐角三角形

B．钝角三角形

C．直角三角形

D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形参考答案：B略5.函数y=f（x）的图象上每一点的纵坐标伸长为原来的3倍，再将横坐标缩小为原来的，再将图象向右平移个单位，可得y=cosx,则原来的函数为

（

）Ay=cos()

By=cos()Cy=3cos()

Dy=cos()参考答案：A略6.如果是二次函数,且的图象开口向上,顶点坐标为（1,）,那么曲线上任一点的切线的倾斜角的取值范围是

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B由题意可设，即函数切线的斜率为，即，所以，选B.7.在正项等比数列中，，则（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D略8.设集合，，则（A） （B）

（C）

（D）参考答案：A9.到空间不共面的四点距离相等的平面个数为

(

)A．1个；

B．4个；

C．7个；

D．8个参考答案：C10.从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如右图）。由图中数据可知身高在[120，130]内的学生人数（

）

A．20

B．25

C．30

D．35参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知点A（2，－4），B（－6，2），则AB的中点M的坐标为

；参考答案：12.已知点与点在直线的两侧，则下列说法①

；

②时，有最小值，无最大值；③恒成立；④当,,则的取值范围为（-；其中正确的命题是

（填上正确命题的序号）．参考答案：③④

13.已知函数

则的值为

.参考答案：14.已知函数，定义函数则使恒成立的实数的取值范围

.参考答案：略15.满足不等式组的点（x，y）组成的图形的面积为．参考答案：1【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，求出三角形的顶点坐标，代入三角形面积公式得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，2），联立，解得B（2，3），∴|BC|=2，A到BC所在直线的距离为1．∴可行域面积为S=．故答案为：1．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．16.如果直线l：y=kx﹣1（k＞0）与双曲线的一条渐近线平行，那么k=．参考答案：【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程，由两直线平行的条件：斜率相等，即可得到所求k的值．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±x，由直线l：y=kx﹣1（k＞0）与双曲线的一条渐近线平行，可得k=．故答案为：．17.如图，已知图中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF=CF=，AF=2BF．若CE与圆相切，且CE=，则BE=

．参考答案：考点：与圆有关的比例线段．专题：立体几何．分析：由相交弦定理得DF?FC=AF?BF，由此解得AF=2，BF=1，AB=3，由切割线定理得CE2=BE?AE，由此能求出BE的长．解答： 解：∵两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，∴DF?FC=AF?BF，∵DF=CF=，AF=2BF，∴2BF2=2，解得AF=2，BF=1，AB=3，∵CE与圆相切，且CE=，∴CE2=BE?AE，∴（）2=BE（3+BE），解得BE=，或BE=﹣（舍）．故答案为：．点评：本题考查与圆有关的线段长的求法，是中档题，解题时要注意相交弦定理和切割线定理的合理运用．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，四棱柱的底面是菱形，，底面，，.（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）若，求二面角的余弦值.参考答案：（Ⅰ）证明：∵平面，平面，∴.∵是菱形，∴.∵，∴平面.∵平面，∴平面平面.（Ⅱ）∵平面，，以为原点，，，方向为轴正方向建立如图所示空间直角坐标系.∵，，，∴，，.则，，，，∴，.设平面的法向量为，∵，，∴.令，得.同理可求得平面的法向量为.∴.19.（本小题满分10分）学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球；乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖.（每次游戏结束后将球放回原箱）（1）求在1次游戏中，

①摸出3个白球的概率；②获奖的概率；（2）求在两次游戏中获奖次数的分布列及数学期望.参考答案：解：（I）（i）设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件（i=0,1,2,3）

则

………………2分（ii）设“在1次游戏中获奖”为事件B，则,

………………3分又，

且互斥，所以

………………5分20.函数，且方程f'（x）﹣9x=0的两个根分别为1，4．（1）当a=3且曲线y=f（x）过原点时，求f（x）的解析式；（2）若f（x）在R上单调，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】先对函数f（x）进行求导，然后代入f′（x）﹣9x=0中，再由方程有两根1、4可得两等式；（1）将a的值代入即可求出b，c的值，再由f（0）=0可求d的值，进而确定函数解析式；（2）函数f（x）是单调函数，且可判断是单调增函数，再由导函数大于等于0在R上恒成立可解．【解答】解：f′（x）=ax2+2bx+c

…因为f′（x）﹣9x=0的两个根分别为1，4，所以

（*）

（或：即）…（1）当a=3时，由（*）式得，解得：b=﹣3，c=12（或：）又因为曲线y=f（x）过原点，所以d=0故f（x）=x3﹣3x2+12．…（2）由于a＞0，所以“f（x）在R上单调”等价于“f'（x）=ax2+2bx+c≥0在R上恒成立”．只需△=（2b）2﹣4ac≤0…由（*）得代入整理得，a2﹣10a+9≤0，…解得1≤a≤9．…21.设函数．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若a∈[﹣e，0]，证明：函数f（x）只有一个零点．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出f（x）的导数，通过讨论a的范围得到函数的单调性；（2）通过讨论a的范围结合函数的单调性求出函数的零点个数，从而证出结论．【解答】解：（1）函数f（x）定义域为R，f′（x）=xex+ax=x（ex+a），①若a≥0时，当x＜0时，f′（x）＜0；当x＞0时，f′（x）＞0，所以函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）单调递增．②若a＜0，令f′（x）=0得x=0或x=ln（﹣a），（i）当a=﹣1时，f′（x）=x（ex﹣1），所以函数f（x）在R上单调递增；（ii）当﹣1＜a＜0时，ln（﹣a）＜0，当x＜ln（﹣a）或x＞0时，f′（x）＞0，当ln（﹣a）＜x＜0时，f′（x）＜0，所以函数f（x）在（﹣∞，ln（﹣a）），（0，+∞）上单调递增，在（ln（﹣a），0）单调递减；（iii）当a＜﹣1时，ln（﹣a）＞0，当x＞ln（﹣a）或x＜0时，f′（x）＞，当0＜x＜ln（﹣a）时，f′（x）＜0，所以函数f（x）在（﹣∞，0），（ln（﹣a），+∞）上单调递增，在（0，ln（﹣a））单调递减；（2）证明：当a=0时，函数f（x）=（x﹣1）ex只有一个零点x=1；当﹣1≤a＜0时，由（1）得函数f（x）在（0，+∞）单调递增，且f（0）=﹣1，f（2）=e2+2a≥ex﹣2＞0，而x＜0时，f（x）＜0，所以函数f（x）只有一个零点．

当﹣e≤a＜﹣1时，由（1）得函数f（x）在（0，ln（﹣a））单调递减，在（ln（﹣a），+∞）上单调递增，且f（ln（﹣a））＜f（0）=﹣1＜0，f（2）=e2+2a≥ex﹣2e＞0，而x