2023年知识点二次函数图象与系数的关系解答题

1.（2023•湖州)（注意:本题为自选题,供考生选做.自选题得分将记入本学科的总分,但考生所得总分最多为120分.)二次函数ｙ＝ax2+bｘ+c图象的一部分如图所示,则a的取值范围是－１＜a＜0.考点：二次函数图象与系数的关系。分析：由抛物线的开口方向判断ａ的符号,由抛物线与y轴的交点得出ｃ的值，然后根据图象通过的点的情况进行推理,进而推出所得结论．解答:解：抛物线开口向下,ａ＜0,图象过点(0,１)，ｃ=１，图象过点（1，0)，ａ＋b+c=0,∴b=－(ａ＋c)＝－(a+1).由题意知，当ｘ=-1时，应有y>０,∴a-b+c>0,∴a+(a＋1）＋1＞0，∴a>-1，∴实数ａ的取值范围是-1＜a＜0．点评:根据开口判断a的符号,根据与x轴,y轴的交点判断c的值以及b用a表达出的代数式.难点是推断出当ｘ=-1时，应有y>0.２．（２02３•黑龙江）如图，已知二次函数y＝ax2＋ｂｘ+c的图象过(－1，０)和(０,－1)两点，试拟定ａ的取值范围.考点:二次函数图象与系数的关系。分析:根据开口判断ａ的符号,根据与ｘ轴，y轴的交点判断c的值以及b用a表达出的代数式.进而根据当x=1时,y＜0判断出a的范围．解答:解：抛物线开口向上，a＞0图象过点（０，-１)，c=-1图象过点(－1,０）,ａ-b+c=0∴b=ａ-1由题意知,当x=1时，应有y＜0∴ａ+b+c<0∴ａ+(a-1）－1<0∴a＜1∴实数a的取值范围是0＜ａ＜1.点评：难点是推断出当x=－1时，应有ｙ<0.有了c的值,判断ａ的值应用ａ表达出b，进而根据x=1或-1判断ｙ的值，判断a的具体范围.３.设二次函数y=ａx2+bx+ｃ的图象开口向下,顶点落在第二象限.（1）拟定a,ｂ，b2-4ac的符号，简述理由.(2）若此二次函数图象通过原点，且顶点在直线x+y=0上，顶点与原点的距离为3，求抛物线的解析式．考点：二次函数图象与系数的关系；待定系数法求二次函数解析式。分析:(1）根据抛物线的开口向下判断a的符号,再根据第二象限点的坐标特点及二次函数的顶点坐标列出不等式组解答.（2)根据抛物线过原点及顶点在直线x+y=0上求出其顶点坐标及一次项系数，再根据顶点与原点的距离为3求出二次项系数,进而求出其解析式．解答：解：（１)抛物线开口向下,所以a<０；（2分）顶点在第二象限,所以，b＜０，b2-4ａc>0.（4分）（２）由题意可得c＝０,（8分)此时顶点坐标为（-，－),因顶点在直线x+y＝0上，所以－-=0,b＝－2.(１１分）此时顶点坐标为（，－)，由+=18，ａ＝-,(１4分)抛物线的解析式为y=-x２-２x.(1６分)点评:本题考察的是二次函数的图象与系数的关系及用待定系数法求二次函数的解析式,有一定的难度．４．二次函数y=ax２＋ｂx+c的图象如图所示，则abｃ，b2-4aｃ,2a+ｂ,a+b+ｃ这四个式子中,请分别判断其值的符号并说明理由.考点:二次函数图象与系数的关系。分析：本题可从所给的函数图象出发,可得到：a＞0,b＜0，c＜０，再结合图象判断各个式子的符号．解答:解：(1）ａbｃ>0，理由是：∵抛物线开口向上,∴ａ>0∵抛物线交y轴负半轴∴c<０又∵对称轴交x轴的正半轴∴，而a＞0∴b＜０,∴ａｂc>0；(2）b２-４ac>０．理由是：∵抛物线与ｘ轴有两个交点,∴b2－4ａｃ>0;（３）２ａ＋b＜0，理由是:∵,∴－b>2a，∴2a＋b<0；(4)a+b＋c<０，理由是:由图象可知，当x=1时，ｙ＜0而当x=1时，y＝a+b+c∴a+b+c＜０．点评:本题考察了二次函数图象与系数的关系,重点是读懂图象所给的信息.5．已知二次函数ｙ＝ａx２+bx＋ｃ的图象如图所示，是该抛物线的对称轴.根据图４所提供的信息,请你写出有关a，b，c的四条结论,并简朴说明理由．考点:二次函数图象与系数的关系。分析：由抛物线的开口方向判断ａ的符号,由抛物线与y轴的交点判断c的符号,然后根据对称轴及抛物线与ｘ轴交点情况进行推理，进而对所得结论．解答:解:①∵开口方向向上，∴ａ>0,②∵与y轴的交点为在y轴的正半轴上,∴ｃ＞0，③∵对称轴为x=>0，∴a、b异号，即b<0,④∵抛物线与x轴有两个交点,∴b2-4ａｃ＞0，⑤当x＝１时,ｙ=a+b+c＜０,⑥当x=-1时,y=a-b+c＞0.结论有：a＞0，ｂ＜0，c＜0,a＋b+ｃ<0，a－b+c＞0等.点评：考察二次函数y=aｘ２+bx+c系数符号的拟定.6．【附加题】设二次函数y=aｘ２+bx+ｃ(a>0,c>1),当ｘ=ｃ时,y＝0;当０<x＜c时，y＞0．请比较aｃ和1的大小,并说明理由．考点：二次函数图象与系数的关系。分析:把x=c，y=0代入解析式即可拟定a、b、c关系，再根据0<x<c时,ｙ>0可拟定对称轴和ｃ之间关系，即可拟定aｃ和１的大小．解答:解:当ｘ=ｃ时，ｙ=0,即ac２+bc+c＝0，ｃ(ａc+b+1)=0，又c>1,所以ac+b+１=０,设一元二次方程ax2+bx+c=0两个实根为x１,x2（x1≤ｘ2）由，及x＝c>1，得ｘ1＞０,x２＞0又由于当０<ｘ＜c时,y>０，所以x１=ｃ,于是二次函数y=aｘ2＋bx+c的对称轴：即b≤－２ac所以b＝－aｃ-1≤-2ac即ac≤1．点评：本题考察了二次函数图象与系数关系，是基础题．2４．已知二次函数ｙ=ｘ2+(a-ｂ)x+ｂ的图象如图所示，化简=－1．考点:二次函数图象与系数的关系;二次根式的性质与化简。分析：由抛物线的开口方向判断a的符号,由抛物线与ｙ轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断．解答:解:由图得∴原式==-1．故填空答案:-１．点评:考察二次函数ｙ=aｘ2+bx+c系数符号的拟定.25．二次函数y=ax2＋bx＋c的图象如图所示，则aｂｃ,ｂ2－４ac，2a+ｂ,a+ｂ＋c这四个式子中，请分别判断其值的符号并说明理由．答：abc>０,b2－4aｃ＞0,a＋b＋ｃ<0.考点:二次函数图象与系数的关系。分析：根据二次函数的性质，对a、b、ｃ的值进行判断.运用二次函数图象与x轴的交点个数，对判别式b2-4ａc进行判断,运用对称轴公式对2ａ+b进行判断，将特殊值代入解析式,对ａ+b+c进行判断．解答：解:(1）abc>0，理由是，抛物线开口向上，a＞0，抛物线交y轴负半轴，ｃ<0，又对称轴交x轴的正半轴,＞0,而a＞0,得ｂ＜0，因此abｃ>0；(２）ｂ2-4ac>0，理由是，抛物线与x轴有两个交点,b2－4aｃ＞0;（3)2a+b>0,理由是，－<１,a>０,∴-b＜2ａ，因此2a＋b>0;(4）a+b+c<0，理由是,由图象可知，当ｘ＝1时,ｙ＜0;而当x=1时,ｙ=a+b+c．即ａ＋ｂ+ｃ＜０．点评：此题是一道结论开放性题目,考察了二次函数的性质、一元二次方程根的个数和图象的位置之间的关系，同时结合了不等式的运算,是一道难题．2６.从图中的二次函数y=ax２＋ｂx+c图象中，观测得出了下面的五条信息:①b＞０②c=0③函数的最小值为-３④a－ｂ+c＞0⑤当x１＜x2<2时,ｙ1＞ｙ２．（1)你认为其中对的的有哪几个?(写出编号)（２)根据对的的条件请求出函数解析式.考点：二次函数图象与系数的关系；二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式。分析：（１）根据开口方向①；根据抛物线与y轴的交点判断②;根据抛物线顶点坐标及开口方向判断③；观测当ｘ<0时，图象是否在x轴上方,判断④;在0＜ｘ1<x2＜2时，函数的增减性判断⑤．(2)运用顶点式求出二次函数的解析式即可.解答：解：（1)根据图象可知:①∵该函数图象的开口向上,∴a>０，∴b＜0，（此时a，b异号)故此选项错误;②x＝0时,可y=ｃ=０,故此选项对的；③运用函数顶点坐标,函数的最小值为－3,故此选项对的；④根据图象知,当ｘ=－1时,图象是在x轴上方，∴y＞0;即ａ－b+ｃ>0，故此选项对的；⑤当ｘ＜2时函数为减函数，0<x１<x2<2时，y1>y2,故此选项对的．故对的的有:②③④⑤,（2)∵函数的顶点坐标为:(２，-3）,∴二次函数的解析式为：ｙ=a(x-2)2－3,将(0，0)代入求出即可:ａ＝，∴函数解析式为:ｙ=(x－2)2-3.点评:此题考察了函数图象与抛物线系数的性质关系以及顶点式求二次函数解析式,规定数形结合,逐个判断是解题关键.27.抛物线y1＝ax2+ｂx+c与直线y2=kｘ+m的图象如图所示,根据图象回答下列问题:（1）指出ｂ,b2－4ac,a-ｂ+ｃ的符号；（2）若ｙ1<0,指出x的取值范围;（３）若y1>y2，指出x的取值范围.考点：二次函数图象与系数的关系;一次函数的图象;二次函数的图象。分析：(1）根据二次函数开口向上a>0，－＞0，得出b的符号,再运用二次函数与坐标轴的交点个数得出b2－４ac符号，再运用x=-1时求出a-b+c的符号；(2)根据图象即可得出ｙ１=ａx２+bｘ+c小于0的解集;(3)运用两函数图象结合自变量的取值范围得出函数大小关系．解答:解：（１)∵二次函数开口向上a>0，-＞０,得出ｂ＜0,∴b＜0，∵二次函数与坐标轴的交点个数为２,∴b2-4aｃ＞０，∵x=－1时,y=a－ｂ+c，结合图象可知，∴a-b+ｃ＞0;(2)结合图象可知，当1＜x<４时,y1<0；（3）结合图象可知,当x＜1或x＞5时,y1＞y２.点评：此题重要考察了二次函数图象与系数的关系以及一次函数的图象性质,结合图象比较函数的大小关系是初中阶段难点，同学们应重点掌握.2８．已知一次函数ｙ=（3m－8)x+1-m图象与y轴交点在x轴下方,且y随x的增大而减小，其中m为整数.（1）求ｍ的值；(2）当x取何值时,0<ｙ＜4？考点：二次函数图象与系数的关系;一次函数图象上点的坐标特性。分析：(1)随x的增大而减小，说明x的系数小于0；图象与ｙ轴的交点在ｘ的下方,说明常数项小于０，据增减性拟定k和b的取值范围,取其整数即可.(2）根据第一问的结论，写出函数的表达式，代入０＜y<4即可进行求解.解答：解:（１)在一次函数ｙ=kｘ+b中,ｂ<0,在ｘ轴的下方，即1－m<0，且ｙ随x的增大而减小,即k＜0,即３m－8<0,解得：1<m＜，又m为整数，∴m=2．故整数ｍ的值的值为２；(2）由（1）可知一次函数y=－２ｘ－1，０＜y＜4，即0<－2ｘ－１<4,解得-<x＜-.点评：本题考察了二次函数图象与系数的关系及一次函数上点的坐标特性，属于基础题,关键掌握根据函数的增减性判断x系数的正负．29．已知,抛物线y=aｘ2＋ｂｘ+ｃ(a≠0）通过Ａ、B两点，图中的曲线是它的一部分.根据图中提供的信息，（1）拟定a,b，c的符号；（２)当b变化时，求ａ+b+c的取值范围．考点:二次函数图象与系数的关系。专题:图表型。分析：（1）根据开口方向可拟定ａ的符号;与y轴交于负半轴,所以鉴定ｃ<０；由抛物线对称轴在ｙ轴的右侧,得，又ａ＞0，得b<0．(２）由抛物线过点(-1，0)，得ａ-b+c=0.进而求得a+b+ｃ的取值范围.解答:解：(1)如图，由抛物线开口向上,得a>０．由抛物线过点（0，－1)，得c＝-１<0．∵抛物线在y轴左侧没有最低点,∴抛物线对称轴在y轴的右侧，得,又a＞0，得b＜0.∴ａ>0,ｂ＜0,ｃ＜0;（2)由抛物线过点(－1,0)，得a－b＋c＝0．即ａ=b-c＝ｂ+1,由a>0，得b>-1．∴-1＜b<0，∴ａ+b+c=(ｂ+1）＋b－1=2b.∴－2<a+b+ｃ＜0.点评:本题考察了二次函数的图象与系数之间的关系，解决本类题目的关键是弄清其系数与图象的关系.３０.已知抛物线y＝ax2+bｘ+c的一段图象如图所示.(1)拟定a、b、c的符号；（2）求a+b+c的取值范围．考点：二次函数图象与系数的关系。专题:计算题。分析：(1）根据抛物线开口向上,则a>0,对称轴在x轴正半轴可知－>0，与y轴交点在y轴负半轴可知c＜０；（2）再根据抛物线ｙ=ax2+ｂx＋ｃ过点(－１,0）,(0，-1)，即可求出a+b+ｃ的取值范围．解答:解:(１）根据抛物线开口向上，则a＞０，∵对称轴在x轴正半轴可知－>0，∴b＜0,又与ｙ轴交点在y轴负半轴,∴c<0,故a>0，ｂ＜0，c<0；(2)∵抛物线y＝ａx２＋bｘ+c过点（-1，0），(０,-1）,∴a-b+ｃ=0，c=－１,即ａ-b=1,a=b＋１,∴a＋b+c=ｂ+1+b-1=2b，∵b＜0，∴２ｂ＜0,即ａ+ｂ+ｃ<０.点评：本题考察了二次函数图象与系数的关系,难度一般，关键是对的获取图象信息进行解题.1．已知，抛物线y=ａx2+bｘ＋ｃ(a≠0)通过A、B两点，图中的曲线是它的一部分．根据图中提供的信息，（１）拟定a，b,c的符号；(2)当b变化时，求a+b+ｃ的取值范围．考点:二次函数图象与系数的关系。专题：图表型。分析:（１)根据开口方向可拟定a的符号；与y轴交于负半轴,所以鉴定c＜0;由抛物线对称轴在y轴的右侧，得，又ａ>0,得ｂ＜0.(2）由抛物线过点(－１,０),得a-b+ｃ=0.进而求得a+b+c的取值范围．解答：解:(1)如图，由抛物线开口向上,得a＞0.由抛物线过点（0,－1），得ｃ＝－1<0．∵抛物线在y轴左侧没有最低点,∴抛物线对称轴在y轴的右侧,得，又a＞0,得ｂ<０．∴a>0，ｂ＜0,c＜0；（2)由抛物线过点(-1,0),得a－b＋c＝0．即a=b-ｃ=b+1,由a>0,得b>-1.∴-1＜b<0,∴a+b＋c=（b+1)+b-1=2b.∴-2＜a+b＋c＜0．点评：本题考察了二次函数的图象与系数之间的关系,解决本类题目的关键是弄清其系数与图象的关系.2．已知抛物线ｙ=aｘ2+bｘ+ｃ的一段图象如图所示．（1）拟定a、ｂ、c的符号；(2）求a+b+c的取值范围.考点：二次函数图象与系数的关系。专题:计算题。分析：(1)根据抛物线开口向上,则a>0，对称轴在x轴正半轴可知-＞０，与y轴交点在y轴负半轴可知ｃ＜0；（2）再根据抛物线ｙ=ａx2+bx＋ｃ过点(－1,０)，（0，-1)，即可求出a＋ｂ+c的取值范围．解答:解:（1）根据抛物线开口向上,则a＞0，∵对称轴在x轴正半轴可知－>0，∴b<0,又与ｙ轴交点在ｙ轴负半轴，∴c<０，故a＞0，b<0，c＜0；(2）∵抛物线y=ａx2+ｂx+ｃ过点（－１,０)，（0,－1)，∴a－b+c=0，c=－1,即a-b＝1,a=b+1,∴a+ｂ+ｃ＝b+1+b-1=2b,∵b<０，∴２ｂ＜0,即a+b+ｃ＜0．点评:本题考察了二次函数图象与系数的关系，难度一般,关键是对的获取图象信息进行解题.３．二次函数ｙ=ax2＋bx+c(a≠0）的图象如图所示：①判断a、b、c及b2-4ac的符号;②若｜OA|=|OＢ|,求证:ａc+b+１=０.考点:二次函数图象与系数的关系；抛物线与ｘ轴的交点。专题:证明题。分析：(1）由抛物线开口向上知a>0，对称轴－>０，可得b<0,与y轴交于负半轴，知c<0,与x轴有两个交点,可得△=b２-４ａc>０;（2）由于|OＡ|=|OＢ|，且|OＢ|=|c｜=-ｃ,所以ax２+bx+c=0有一根为ｃ即可证明；解答：解：①由图象知:开口向上,∴a＞0,对称轴->0,∴b<０,与y轴交于负半轴，∴c＜0，与x轴有两个交点,∴△=b2－4ac>0；②由于|OA|=｜OB|,且|OＢ|=|c|=－c，所以ａx2+ｂx+c=0有一根为c，从而ac２+bc+c=０,又由于ｃ≠0,所以ac+b+１=0.点评:本题考察了二次函数图象与系数的关系,属于基础题，关键是结合图象进行解题.4.已知二次函数y＝－x2-x+4回答下列问题:（1）用配方法将其化成y＝a（x-ｈ)２＋k的形式（2）指出抛物线的顶点坐标和对称轴（３）当x取何值时,y随x增大而增大;当x取何值时,y随x增大而减小?考点：二次函数图象与系数的关系;二次函数的性质。专题:计算题。分析:(1)运用配方法先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．(2)二次函数的一般形式中的顶点式是：y＝a(x-h)２＋k(a≠0,且a,h,ｋ是常数),它的对称轴是x＝h，顶点坐标是(h，k）.(3)结合对称轴及开口方向可拟定抛物线的增减性．解答:解:（1）y=-x2－x+4=-（x+1)2+；（2）由(1)可得顶点为（－１,）；对称轴x=-1;(３)图象开口向下，ｘ<－１时,函数为增函数;当x>－1时,函数为减函数，此时ｙ随x增大而减小.点评:本题考察了二次函数图象与系数的关系及二次函数的性质,难度不大,关键掌握对称轴方程和判断函数的增减性．5．抛物线ｙ＝aｘ2+bx＋c(ａ≠0）的图象如图所示:（１)判断a，b，c,ｂ2－4aｃ的符号;(２）当|OA|=|OＢ|时,求a，b，c满足的关系．考点：二次函数图象与系数的关系。专题:计算题。分析:(1)根据图形,开口向下得a<0，x=0时可得c>０,有对称轴可得ｂ>０，与x轴有两个不同交点可得b2-4ac>0；(２）由于B点坐标可以表达为:(0,ｃ），｜OA|=|OB|,可知A（－c，0)即可进行求解．解答：解：(１)由图象可知，抛物线开口向下，可得a＜０;x＝０时,y＝ｃ＞0;图象与ｘ轴有两个不同交点可得ｂ2-4ａc＞0；（2)当｜OＡ|=|OB|时,即A点坐标为(－c,０),代入抛物线方程得y=ac2-bc+c两边同时提出c得aｃ-ｂ+1=0.点评：本题考察了二次函数图象与系数的关系,难度一般,关键在已知条件下表达出A点的坐标代入抛物线方程.６．抛物线y1＝aｘ2+bx+ｃ与直线y２=kx+ｍ的图象如图所示,根据图象回答下列问题：（1）指出b,b2－４ac，a-b+c的符号；(2）若y1<0,指出x的取值范围;（３）若y1＞y2，指出x的取值范围．考点：二次函数图象与系数的关系;一次函数的图象;二次函数的图象。分析：（1)根据二次函数开口向上ａ>０，->0，得出b的符号,再运用二次函数与坐标轴的交点个数得出b2-4ａc符号，再运用ｘ＝－１时求出ａ-ｂ+c的符号；(2)根据图象即可得出ｙ1=ａx2+ｂx+c小于0的解集；(3)运用两函数图象结合自变量的取值范围得出函数大小关系．解答:解:（１)∵二次函数开口向上a＞０,-＞０,得出b<０，∴b<０，∵二次函数与坐标轴的交点个数为２，∴b2-4ａc>0,∵x＝－1时,y=a-b+c，结合图象可知，∴a-b+c＞0;（2）结合图象可知,当１＜x＜４时,y1＜0；（3）结合图象可知，当x<1或x＞5时，ｙ1＞y2．点评：此题重要考察了二次函数图象与系数的关系以及一次函数的图象性质，结合图象比较函数的大小关系是初中阶段难点,同学们应重点掌握.7．从图中的二次函数y＝ａx２＋bx+c图象中,观测得出了下面的五条信息：①ｂ＞０②ｃ=0③函数的最小值为-３④ａ-ｂ+c＞０⑤当x１<x２＜2时,y1>y2．(1）你认为其中对的的有哪几个？（写出编号)(２）根据对的的条件请求出函数解析式．考点:二次函数图象与系数的关系；二次函数的性质;待定系数法求二次函数解析式。分析：(1）根据开口方向①；根据抛物线与y轴的交点判断②；根据抛物线顶点坐标及开口方向判断③；观测当x＜０时，图象是否在x轴上方，判断④；在０＜x1＜x2＜2时，函数的增减性判断⑤．(2)运用顶点式求出二次函数的解析式即可．解答：解:（１）根据图象可知:①∵该函数图象的开口向上，∴a>0，∴ｂ<0,（此时a,b异号）故此选项错误；②ｘ=０时，可y=c=0，故此选项对的;③运用函数顶点坐标，函数的最小值为－3，故此选项对的；④根据图象知,当x=-１时,图象是在x轴上方，∴ｙ＞0;即a－b+c>０,故此选项对的;⑤当x＜2时函数为减函数，0<x1<x２<2时,y１＞ｙ2,故此选项对的．故对的的有：②③④⑤，（2）∵函数的顶点坐标为:（2,-3)，∴二次函数的解析式为：y=a（x-2)2-３,将（０，0）代入求出即可：a=,∴函数解析式为：y＝（x－2)２－3.点评：此题考察了函数图象与抛物线系数的性质关系以及顶点式求二次函数解析式，规定数形结合，逐个判断是解题关键．8.二次函数y＝ａx２+ｂx+c的图象如图所示，则abc,b2－4ａc,2a+b，a+b+c这四个式子中,请分别判断其值的符号并说明理由.答：abｃ＞0，b2－4ac＞０，ａ+ｂ+c＜0．考点:二次函数图象与系数的关系。分析：根据二次函数的性质，对ａ、b、c的值进行判断.运用二次函数图象与x轴的交点个数，对判别式b２-4ac进行判断，运用对称轴公式对2a+b进行判断，将特殊值代入解析式,对a+ｂ＋ｃ进行判断．解答:解:（1)ａbc>0，理由是,抛物线开口向上,a＞0，抛物线交y轴负半轴，c＜0,又对称轴交x轴的正半轴,＞0,而a＞0，得b＜0，因此abｃ＞0；(２）ｂ2－4ac＞0，理由是,抛物线与x轴有两个交点,b2－４ac>０；(３)2a+b＞0，理由是,-＜1，ａ＞0,∴-ｂ＜2a,因此2a+b>0；(4）a+b+c<0,理由是,由图象可知,当x=1时，y＜0；而当ｘ=1时，y=ａ＋b+c．即a+b+c<0．点评:此题是一道结论开放性题目,考察了二次函数的性质、一元二次方程根的个数和图象的位置之间的关系，同时结合了不等式的运算,是一道难题．９.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,是该抛物线的对称轴．根据图４所提供的信息,请你写出有关a，b,c的四条结论，并简朴说明理由．考点：二次函数图象与系数的关系。分析：由抛物线的开口方向判断a的符号,由抛物线与y轴的交点判断ｃ的符号,然后根据对称轴及抛物线与ｘ轴交点情况进行推理，进而对所得结论.解答:解:①∵开口方向向上，∴a>0，②∵与y轴的交点为在y轴的正半轴上，∴c>0，③∵对称轴为x=＞０，∴a、ｂ异号,即b<0,④∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2-4ac>0，⑤当x=１时,y＝ａ+b+ｃ<０,⑥当ｘ＝－１时，y=ａ-b+c＞0．结论有:a>0,b＜０，ｃ<0,a+b+c＜0,a－b＋c>0等．点评:考察二次函数ｙ=ａｘ2＋bx+c系数符号的拟定.10.已知二次函数y=x２+（a-b）x＋b的图象如图所示，化简=-1．考点:二次函数图象与系数的关系;二次根式的性质与化简。分析:由抛物线的开口方向判断a的符号,由抛物线与y轴的交点判断c的符号,然后根据对称轴及抛物线与ｘ轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.解答:解：由图得∴原式==－１.故填空答案：-1．点评:考察二次函数y=aｘ2＋bx+ｃ系数符号的拟定．１1．设二次函数ｙ=ax２+bｘ+c的图象开口向下，顶点落在第二象限．(1）拟定a，b,ｂ2－４ａｃ的符号，简述理由.（2)若此二次函数图象通过原点，且顶点在直线x+ｙ＝0上，顶点与原点的距离为３，求抛物线的解析式．考点:二次函数图象与系数的关系；待定系数法求二次函数解析式。分析:(1）根据抛物线的开口向下判断ａ的符号，再根据第二象限点的坐标特点及二次函数的顶点坐标列出不等式组解答.(2）根据抛物线过原点及顶点在直线x+y=0上求出其顶点坐标及一次项系数,再根据顶点与原点的距离为３求出二次项系数,进而求出其解析式．解答：解：（1)抛物线开口向下,所以a＜0；（2分）顶点在第二象限，所以，b<０，b２－４ac>0.(4分)(2)由题意可得c=0,（8分）此时顶点坐标为(-，－),因顶点在直线x+y=０上，所以--=0,b=－２．（11分)此时顶点坐标为（,-），由+=1８,a=－，（14分）抛物线的解析式为y=－x2－２x.（16分)点评:本题考察的是二次函数的图象与系数的关系及用待定系数法求二次函数的解析式，有一定的难度.１２．二次函数ｙ＝ａx２＋bx＋ｃ的图象如图所示,则abc,b2-4aｃ，2a+ｂ，a+b＋c这四个式子中，请分别判断其值的符号并说明理由．考点：二次函数图象与系数的关系。分析：本题可从所给的函数图象出发,可得到:ａ>０,ｂ<0,c＜０,再结合图象判断各个式子的符号.解答:解:(１）abc＞0,理由是:∵抛物线开口向上，∴ａ>0∵抛物线交y轴负半轴∴c＜0又∵对称轴交x轴的正半轴∴,而ａ＞０∴b<0，∴abc＞0;(2）b2-４ac>0.理由是:∵抛物线与x轴有两个交点，∴ｂ2-4ac>0;(3）２ａ+b＜0,理由是：∵,∴－b>2ａ，∴２a+ｂ<0;（４）a＋b+ｃ<0，理由是：由图象可知,当x＝1时,y<0而当x=1时，y=a+b＋ｃ∴ａ+b＋ｃ＜０.点评：本题考察了二次函数图象与系数的关系，重点是读懂图象所给的信息.13．【附加题】设二次函数ｙ=aｘ２＋bｘ＋ｃ(a＞0，c>1），当ｘ=c时,y＝0；当0<x<c时，y>０.请比较ac和1的大小，并说明理由．考点：二次函数图象与系数的关系。分析:把x=ｃ,ｙ＝0代入解析式即可拟定a、b、c关系，再根据0<x＜c时,ｙ＞0可拟定对称轴和c之间关系，即可拟定aｃ和1的大小．解答:解:当x＝c时,y＝0，即ac2＋bc＋c=0,ｃ（ac＋ｂ+1)=0,又c＞1,所以ａc+ｂ+1=0,设一元二次方程ax2＋bx+c=0两个实根为ｘ1,x2（x1≤ｘ２）由，及x=ｃ>1,得x1＞0,x２>0又由于当0<ｘ<c时，y>0，所以x1=c，于是二次函数ｙ=ax2+bx+c的对称轴：即b≤-2ac所以b=-ａc－1≤－２ａc即ac≤1.点评:本题考察了二次函数图象与系数关系,是基础题.14．(2023•湖州）（注意:本题为自选题,供考生选做．自选题得分将记入本学科的总分,但考生所得总分最多为1２0分.）二次函数y＝aｘ2+bx+c图象的一部分如图所示，则ａ的取值范围是-１＜ａ＜０．考点:二次函数图象与系数的关系。分析：由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点得出c的值,然后根据图象通过的点的情况进行推理，进而推出所得结论.解答：解:抛物线开口向下，a<0，图象过点（０,1），c=1,图象过点（１，０），a+b+ｃ=0，∴ｂ=-（a＋c)＝-（a+1)．由题意知,当x=-1时，应有ｙ＞0,∴a-b＋c>0,∴a+（a+1）＋1>0,∴a>-１，∴实数a的取值范围是－1<a<０.点评：根据开口判断a的符号，根据与ｘ轴,y轴的交点判断ｃ的值以及b用a表达出的代数式.难点是推断出当x=-1时,应有ｙ＞0．15．(2023•黑龙江）如图,已知二次函数ｙ=ax2+ｂx+c的图象过（－1,0）和（0，-1)两点,试拟定a的取值范围.考点:二次函数图象与系数的关系。分析:根据开口判断a的符号，根据与ｘ轴,ｙ轴的交点判断c的值以及b用a表达出的代数式.进而根据当x＝1时，y<0判断出ａ的范围．解答:解：抛物线开口向上,a>0图象过点（0,-1),c=－1图象过点（－1,0）,ａ－b+c=0∴b=a-１由题意知,当x=1时，应有ｙ<0∴a+b＋ｃ＜０∴ａ＋（a－1）-1＜0∴ａ＜1∴实数ａ的取值范围是0<a<1.点评:难点是推断出当x=－１时,应有y<０．有了c的值,判断a的值应用a表达出b,进而根据ｘ=1或-1判断y的值,判断a的具体范围．１6．已知一次函数y=（３m-8）x+1-m图象与y轴交点在ｘ轴下方,且y随x的增大而减小，其中m为整数．(1)求m的值;（2)当ｘ取何值时，０＜y＜4?考点:二次函数图象与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特性。分析:（１)随x的增大而减小，说明x的系数小于0;图象与ｙ轴的交点在ｘ的下方，说明常数项小于0，据增减性拟定k和b的取值范围,取其整数即可.（2）根据第一问的结论，写出函数的表达式，代入０<y＜4即可进行求解.解答：解：（1）在一次函数y=kx+b中,b＜0，在x轴的下方,即1－ｍ<0，且y随x的增大而减小，即k＜0，即３m-８<0,解得:1<m＜,又m为整数,∴ｍ=2．故整数ｍ的值的值为2;(2）由(1）可知一次函数y=-2ｘ-１,０<y＜4,即0＜-2x－1<4，解得－＜x<-.点评：本题考察了二次函数图象与系数的关系及一次函数上点的坐标特性，属于基础题，关键掌握根据函数的增减性判断ｘ系数的正负.二．填空题（共１4小题)１7．如图所示，已知抛物线y=ａｘ2+bx+c(a≠0）通过原点和点(－2,0），则2a－3b>0.(＞、<或=)考点:二次函数图象与系数的关系。分析:由开口方向得到a<０，根据抛物线与ｘ轴的两个交点得到对称轴是x=－1，求出ａ与ｂ的关系,代入代数式鉴定代数式的正负．解答：解:∵抛物线的开口向下，∴a<０.∵抛物线通过原点和点(-2，0），∴对称轴是ｘ＝－1，又对称轴ｘ=－,∴－=－1,b=２a.∴2a-3b=2a－6a=-４ａ＞0．故答案是：>.点评：本题考察的是二次函数图形与系数的关系，运用抛物线的开口方向和对称轴拟定a,ｂ的正负，代入代数式可以拟定代数式的正负.18．如图,已知二次函数ｙ=ax2＋bx+c(ａ≠０）的图象，则下列结论对的序号是①②③(只填序号）．①abc＞０；②ｃ=-３a；③b2＋ac＞0.考点:二次函数图象与系数的关系。专题:数形结合。分析:根据已知的二次函数的图象可知,此抛物线的开口向上得到a大于0,与x轴交于两点分别是（-１，0)和(3,0),即可得到此抛物线的对称轴是直线ｘ=1,运用a的符号ihe对称轴公式即可判断出b的符号,与ｙ轴的交点在y轴的负半轴，得到c小于0,根据各数相乘，负因式的个数决定积的符号即可判断出abc的符号；根据对称轴的公式表达出对称轴并让其值等于1,得到a与b的关系,然后把x=３代入二次函数关系式其值等于0，把ａ与b的关系式代入即可消去ｂ得到ａ与ｃ的关系式，即可判断第2个式子对的与否；根据求出的b与a的关系式和c与a的关系式，代入第３个式子中，合并后根据ａ不为0即可判断第3个式子对的与否.解答：解：由二次函数的图象可知：抛物线的开口向上,所以ａ＞0;又根据二次函数的对称轴直线x=->０，由a＞0,得到b＜0；又由于二次函数的图象与y轴的交点在负半轴，得到c<0；所以abc＞０，即①对的;又抛物线与ｘ轴的交点为（－1，0）和（３,0),所以ｘ=－＝１，即b=-2a;把x=3代入解析式得：９a+３b+c＝0,把b=－2a代入得:ｃ＝－3a，即②对的;由于a≠0,则b2+ａｃ=（-2a）2+a(－３a)=a2＞0，即③对的.综上,对的的序号有①②③.故答案为：①②③.点评：此题考察学生掌握二次函数的图象与性质,考察了数形结合的数学思想,是一道中档题.解本题的关键是根据图象找出抛物线的对称轴.19.已知二次函数y＝ax2+bｘ+ｃ(a≠0）的图象如图所示,对称轴为直线x=１,则下列结论:①4a+2b+c＜0；②方程ax2+bx+c=0两根之和小于零；③当x≥1时,y随ｘ的增大而增大，④aｂｃ>0．其中对的的有3个.考点：二次函数图象与系数的关系。专题:计算题。分析：①由x=2时,y＜0即可判断,②方程ax2+bx+c＝0两根之和等于-,根据对称轴-＞0即可判断;③当ｘ≥1时,函数为增函数y随x的增大而增大；④由图象开口向上,a＞0,与y轴交于负半轴,c＜0，-=１＞0,即可判断；解答：解：①由ｘ=2时,ｙ=4ａ＋2b+c,由图象知：y＝4ａ+2b＋c＜0,故对的；②方程aｘ2+bx+c=0两根之和等于-,由于－>0,∴-＞０,故错误;③当x≥１时,由图象知：ｙ随x的增大而增大,故对的；④由图象开口向上,ａ>0,与y轴交于负半轴，c＜0，－=1＞0，∴b＜０，∴ａbc>0,故对的;故对的的共有３个,故答案为:３.点评:本题考察了二次函数图象与系数的关系,属于基础题，关键是对的获取图象信息进行解题.２0.如图所示是二次函数y=aｘ２+bx+c图象的一部分，图象过A点(3，0），二次函数图象对称轴为ｘ＝１，给出四个结论：①b2>4ac；②bc<0；③2a＋b=0；④a＋ｂ+c＝0,其中对的结论是（1）(3）．(填写序号）考点：二次函数图象与系数的关系;二次函数的图象；二次函数图象上点的坐标特性。专题:推理填空题。分析:一方面会观测图形,知a<0,ｃ＞0，由-＝1，b2－4ac＞0，可判断出(1)（2)（3)小题的对的与否，（4）小题知当x＝1时y的值，运用图象就可求出答案．解答:解：(1）由图象知和X轴有两个交点,∴△=ｂ2－4ac>0，∴ｂ２>4aｃ（对的)．（2)由图象知；图象与Ｙ轴交点在X轴的上方，且二次函数图象对称轴为x=１,∴ｃ>0,－=1,a＜0，∴b＞0，即bc＞0，2a+b=0,即（2)不对的(３)对的，（４)由图象知;当x＝1时y=ax2+ｂx+c=a×1２+b×1+ｃ=ａ+b+ｃ>０，∴（4）不对的，综合上述：（１）（３)对的有两个．点评:解此题的关键是数形有机结合，能根据图象看出abc的符号，与X轴,Y轴交点能拟定cb２-4ac的正负,(两个交点ｂ2-4ac>0，一个交点ｂ2-4ac=0，无交点时b２-4ac<０)，进而求出答案．21.已知二次函数y=aｘ2+ｂx+c（a≠0)的图象如图所示，有下列4个结论：①aｂc＞0;②b<a+c；③４a+２b+ｃ＞０;④b2-4ac＞0；其中对的的结论有③④．(填序号)考点：二次函数图象与系数的关系。专题：图表型；数形结合；函数思想。分析:一方面根据开口方向拟定a的取值范围，根据对称轴的位置拟定ｂ的取值范围,根据抛物线与y轴的交点拟定c的取值范围,根据抛物线与x轴是否有交点拟定b2-4ａc的取值范围，根据图象和x=2的函数值即可拟定4a＋2ｂ+ｃ的取值范围，根据ｘ＝1的函数值可以拟定ｂ＜a＋c是否成立.解答:解:∵抛物线开口朝下,∴a＜0,∵对称轴x＝１=－，∴ｂ>0，∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，∴ｃ>０，∴abc＜０,故①错误；根据图象知道当x=－1时,y=a-b+ｃ＜0，∴ａ+c＜b,故②错误;根据图象知道当x＝２时,y=4ａ＋2b+c＞0,故③对的；根据图象知道抛物线与x轴有两个交点，∴b２-4ac＞0，故④对的.故答案为:③④.点评：此题重要考察图象与二次函数系数之间的关系，会运用对称轴的范围求2a与ｂ的关系,以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的纯熟运用．２2．二次函数y＝ax2+bx＋c的图象如图所示，给出下列说法:①ac>０;②２ａ+b=0;③a+ｂ+c=０;④当ｘ>1时,函数y随x的增大而增大；⑤当ｙ＞０时，-1＜ｘ＜3．其中,对的的说法有②⑤．(请写出所有对的说法的序号)考点:二次函数图象与系数的关系；二次函数的性质；二次函数与不等式（组）。专题:推理填空题。分析:根据图象的开口向下和与y轴的交点位置，求出a＜0，c＞0,即可判断①；根据抛物线的顶点的横坐标－=１，即可鉴定②;把ｘ=1代入抛物线,根据纵坐标ｙ的值，即可判断③；根据图象的性质（部分图象的延伸方向）即可判断④;根据图象在x轴的上方时，y＞０，即可求出⑤．解答：解：∵抛物线的开口向下,与y轴的交点在y轴的正半轴上,∴ａ<0，c>0，∴ａc＜0，∴①错误；由图象可知：－=１，∴2ａ＋ｂ=０，∴②对的;当x=1时，y＝a+ｂ+c>０,∴③错误;由图象可知：当x＞1时,函数y随x的增大而减小，∴④错误；根据图象,当－1<ｘ＜3时,y>0，∴⑤对的；对的的说法有②⑤．点评:本题考察了二次函数图象与系数的关系,二次函数的性质,二次函数与不等式等知识点的应用，注意：根据抛物线的开口方向即可得到ａ的正负,根据抛物线与ｙ轴的交点的纵坐标即可求出ｃ的值,根据顶点的横坐标得出２a和b的关系式,把x=1或(-1)代入即可求出a＋ｂ+ｃ和a－b+c的值,题型较好,但有一定的难度．23.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,给出下列说法：①abc＜0;②方程ａx2+bx＋ｃ=0的根为x１=－1、ｘ2=３；③当x＞1时,ｙ随ｘ值的增大而减小；④当ｙ＞0时,－1<x<３．其中对的的说法是D．A．①;Ｂ．①②;C.①②③;D.①②③④考点：二次函数图象与系数的关系;二次函数的性质;抛物线与x轴的交点。专题:图表型;数形结合;函数思想。分析：根据抛物线的开口方向拟定a的取值范围;根据对称轴的位置拟定b的取值范围；根据抛物线与y轴的交点拟定ｃ的取值范围;根据图象与ｘ轴的交点坐标拟定方程aｘ2+bx+ｃ=0的根，也可以拟定当y＞0时x的取值范围；根据抛物线的开口方向和对称轴我的抛物线的增减性.解答：解：∵抛物线的开口方向向下，∴ａ<０，∵对称轴在ｙ轴的右边,∴b＞0，∵抛物线与ｙ轴的交点在x轴的上方,∴c＞0,∴ａｂｃ＜0,故①对的;根据图象知道抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x＝－1或x＝3，∴方程ax2+ｂx+c=0的根为x１=－1、ｘ2=3，故②对的;根据图象知道当x>１时，ｙ随x值的增大而减小,故③对的;根据图象知道当y>0时,－1<x＜３,故④对的.故选D.点评：此题重要考察了抛物线的系数与图象的关系，其中二次函数y=ax２+ｂx+ｃ系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数拟定．2４．二次函数y＝ax２+bx＋ｃ的图象如图所示，则下列结论中：①a＜0b＞0ｃ>0;②4ａ＋2b+c=3;③－＞２；④b２-４aｃ＞0；⑤当x＜２时，ｙ随x的增大而增大．．以上结论对的的有①②④（只填序号)考点：二次函数图象与系数的关系；二次函数的图象；抛物线与ｘ轴的交点。专题:数形结合。分析:①根据二次函数开口向下可判断a的正负，由对称轴大于0可判断ｂ的正负,由于二次函数交于ｙ轴正半轴可判断c的正负；②令x=2,根据图象即可得出答案;③对称轴为直线ｘ＝-，根据图象即可得出答案；④二次函数ｙ=ax2+ｂx+c与x轴有两个交点,即可得△>0;⑤由图象可知当x＜2时,y随x的增大先增大后减小．解答：解：①根据二次函数开口向下,∴a＜0,对称轴为x＝->0，∴ｂ＞０,二次函数交于y轴正半轴,∴ｃ＞0，故本小题对的;②令x＝2,由图象知:y=4a＋２ｂ+c＝３，故本小题对的;③对称轴为直线x=－，由图象知:-<2,故本小题错误;④∵二次函数y=ax2+bｘ+c与ｘ轴有两个交点,即可得△＞０,∴b２－4ac＞0，故本小题对的；⑤由图象可知当x<2时,ｙ随x的增大先增大后减小，故本小题错误;故对的的有①②④.故答案为：①②④.点评：本题考察了二次函数图象与系数的关系,属于基础题,关键是根据图象信息进行判断.25．已知二次函数y＝aｘ2+bx+ｃ(ａ≠0）的图象如图所示,下列结论:①ａbc＞０；②2a＋b＜0;③４ａ－2b+c<０.对的序号为②③.考点：二次函数图象与系数的关系。专题:计算题;数形结合。分析：由抛物线的开口方向判断ａ与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断ｃ与0的关系,然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断.解答：解:由抛物线的开口向下知a＜０，与y轴的交点为在y轴的正半轴上,∴ｃ>０,对称轴为0<ｘ=<1,得２a＜-ｂ,∴2a+ｂ<０,∴a、ｂ异号，即b>0，∴ａbc<0;当x=－２时,由图象可知：４a-2b＋c<０,故②③对的,故答案为:②③.点评:重要考察图象与二次函数系数之间的关系，二次函数与方程之间的转换，根的判别式的纯熟运用．会运用特殊值代入法求得特殊的式子，如:y=a+b＋c，y=a－b+c,然后根据图象判断其值．26.如图所示,二次函数y=aｘ2+bx＋c(a≠0)的图象,且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中-２<x１＜-1，０＜ｘ２＜1，下列结论:①abc>0；②４ａ-2b+c<０;③2ａ-ｂ<0．对的的说法有:①②③(请写所有对的说法的序号）考点：二次函数图象与系数的关系。专题：应用题。分析：由于图象开口向下，可知a<0;且图象的对称轴在y轴左侧,那么ｂ<0;又图象与y轴的交点在正半轴上,可知c>０，从而可拟定abｃ的取值范围,根据图象可知当x=－2时，y<0，而ｘ１、x2在-2和1之间,那么可知对称轴－＞－１，再结合a<0，易知2ａ-b<0．据此判断即可.解答：解：∵图象开口向下,∴a＜0，∵图象的对称轴在ｙ轴左侧,∴b＜0,∵图象与y轴的交点在正半轴上,∴c＞０，∴①ａｂc＞０，此选项对的;②∵－2＜x1＜－1,∴当x=－2时,y=４a－2b+c<０，此选项对的;③∵－2＜x１＜-1，0＜x2＜１，∴－>－1，∵a<0，∴2ａ－ｂ<0,此选项对的．故答案是①②③.点评：本题考察了二次函数图象和系数的关系，解题的关键是能根据图象分析二次函数的性质和特点,并