材料力学答案30581

.第二章轴向拉压应力与材料的力学性能2-1试绘图示各杆的轴力图。题2-1图解：各杆的轴力图如图2-1所示。图2-12-2试绘图示各杆的轴力图，并指出轴力的最大值。图a与b所示散布载荷均沿杆轴平均散布，集度为q。题2-2图(a)解：由图2-2a(1)可知，FN(x)2qaqx轴力图如图2-2a(2)所示，精品.FN,max2qa图2-2a(b)解：由图2-2b(2)可知，FRqaFN(x1)FRqaFN(x2)FRq(x2a)2qaqx2轴力图如图2-2b(2)所示，FN,maxqa图2-2b2-3图示轴向受拉等截面杆，横截面面积A=500mm2，载荷F=50kN。试求图示斜截面m-m上的正应力与切应力，以及杆内的最大正应力与最大切应力。题2-3图解：该拉杆横截面上的正应力为F50103N1.00108Pa100MPaσ500－62A10m精品.斜截面m-m的方位角α50，故有σσcos2α100MPacos2(50)41.3MPaστsin2α50MPasin(100)49.2MPaα2杆内的最大正应力与最大切应力分别为σσ100MPamaxτσ50MPamax22-5某材料的应力-应变曲线如下列图，图中还同时画出了低应变区的详图。试确定材料的弹性模量E、比率极限p、折服极限s、强度极限b与伸长率，并判断该材料属于何种种类〔塑性或脆性材料〕。题2-5解：由题图能够近似确定所求各量。Eσ220106Pa220109Pa220GPaε0.001σp220MPa,σs240MPaσ440MPa,δ29.7%b该材料属于塑性材料。2-7一圆截面杆，材料的应力-应变曲线如题2-6图所示。假定杆径d=10mm，杆长l=200mm，杆端承受轴向拉力F=20kN作用，试计算拉力作用时与卸去后杆的轴向变形。精品.题2-6图解：σF420103N2.55108Pa255MPaAπ0.0102m2查上述σε曲线，知此时的轴向应变为ε0.00390.39%轴向变形为llε(0.200m)0.00397.8104m0.78mm拉力卸去后，有ε0.00364，ε0.00026ep故残留轴向变形为llεp(0.200m)0000265.2105m0.052mm.2-9图示含圆孔板件，承受轴向载荷F作用。载荷F=32kN，板宽b=100mm，板厚15mm，孔径d=20mm。试求板件横截面上的最大拉应力〔考虑应力集中〕。题2-9图解：根据d/b0.020m/(0.100m)0.2查应力集中因数曲线,得K2.42根据σF，Kσmaxd)δσ(bn得精品.σKσKF2.4232103N2＝6.45107Pa64.5MPamaxnbdδ－0.015m()(0.1000.020)2-10图示板件，承受轴向载荷F作用。载荷F=36kN，板宽b1=90mm，b2=60mm，板厚=10mm，孔径d=10mm，圆角半径R=12mm。试求板件横截面上的最大拉应力〔考虑应力集中〕。题2-10图解：1.在圆孔处根据0.010m0.1111b10.090m查圆孔应力集中因数曲线，得K12.6故有σmaxK1σn1K1F2.636103N1.17108Pa117MPa(b1－d)δ(0.090－0.010)0.010m22．在圆角处根据Db10.090m1.5db20.060mRR0.012m0.2db20.060m查圆角应力集中因数曲线，得K21.74故有σKσK2F1.7436103N1.04108Pa104MPa2max2n2b2δ0.0600.010m结论σ117MPa〔在圆孔边缘处〕max精品.2-14图示桁架，承受铅垂载荷F作用。设各杆的横截面面积均为A，许用应力均为[]，试确定载荷F的许用值[F]。题2-14图解：先后以节点C与B为研究对象，求得各杆的轴力分别为FN12FFN2FN3F根据强度条件，要求2F[]A由此得[F][]A22-15图示桁架，承受载荷F作用，杆的许用应力为[]。假定在节点B和C的位置保持不变的条件下，试确定使构造重量最轻的值〔即确定节点A的最正确地点〕。题2-15图解：1.求各杆轴力设杆AB和BC的轴力分别为FN1和FN2，由节点B的平衡条件求得精品.FFN1，FN2Fctanα2.求重量最轻的值由强度条件得AF，AFctanα1[σ]sin2[σ]构造的总体积为VAl1Al2FlFlctanαFl(2ctanα)12[σ]sinαcosα[σ][σ]sin2α由dV0dα得3cos2α10由此得使构造体积最小或重量最轻的α值为αopt54442-16图示桁架，承受载荷F作用，杆的许用应力为[]。假定节点A和C间的指定距离为l，为使构造重量最轻，试确定的最正确值。题2-16图解：1.求各杆轴力由于构造及受载左右对称，故有FN1FN2

F2sinθ2.求的最正确值由强度条件可得FA1A22[σ]sinθ构造总体积为FlFlV2A1l1[σ]sin2θ[σ]sinθ2cosθ由精品.dV0dθ得cos2θ0由此得的最正确值为θopt452-17图示杆件，承受轴向载荷F作用。许用应力[]＝120MPa，许用切应力[]＝90MPa，许用挤压应力[bs]＝240MPa，试从强度方面考虑，成立杆径d、墩头直径D及其高度h间的合理比值。题2-17图解：根据杆件拉伸、挤压与剪切强度，得载荷F的许用值分别为[F]tπd2[](a)4[F]bπ(D2d2)[bs](b)4[F]sπdh[](c)理想的情况下，[F]t[F]b[F]s在上述条件下，由式〔a〕与〔c〕以及式〔a〕与〔b〕，分别得h[]d4[]D1[[]d]bs于是得D:h:d1[]:[]:1[]bs4[]由此得D:h:d1.225:0.333:1精品.2-18图示摇臂，承受载荷F与F作用。载荷F1=50kN，F，许用切应122=35.4kN力[]=100MPa，许用挤压应力[bs]=240MPa。试确定轴销B的直径d。题2-18图解：1.求轴销处的支反力由平衡方程Fx0与Fy0，分别得FBxF1F2cos4525kNFByF2sin4525kN由此得轴销处的总支反力为FB252252kN354kN.2.确定轴销的直径由轴销的剪切强度条件〔这里是双面剪〕Fs2FB[τ]τπd2A得2FB235.4103m0.015md]6[10010τ由轴销的挤压强度条件FbFB[σbs]σbsdd得FB35.4103m001475m0.010240106δ[σbs]结论：取轴销直径d0.015m15mm。2-19图示木榫接头，承受轴向载荷F=50kN作用，试求接头的剪切与挤压应力。精品.题2-19图解：剪应力与挤压应力分别为50103N5MPa(0.100m)(0.100m)bs50103N12.5MPa(0.040m)(0.100m)2-20图示铆接接头，铆钉与板件的材料相同，许用应力[]=160MPa，许用切应力[]=120MPa，许用挤压应力[bs]=340MPa，载荷F=230kN。试校核接头的强度。题2-20图解：最大拉应力为230103N153.3MPamax(0.1700.020)(0.010)(m2)最大挤压与剪切应力那么分别为bs230103N230MPa5(0.020m)(0.010m)4230103N146.4MPa52π(0.020m)2-21图示两根矩形截面木杆，用两块钢板连结在一同，承受轴向载荷F=45kN作用。木杆的截面宽度b=250mm，沿木纹方向的许用拉应力[]=6MPa，许用挤压应力[bs]=10MPa，许用切应力[]=1MPa。试确定钢板的尺寸与l以及木杆的高度h。精品.题2-21图解：由拉伸强度条件σF[σ]b(h2δ)得h2δF45103m0.030m〔a〕b[σ]0.2506106由挤压强度条件σF[σ]bs2bδbs得F45103δ2b[σ]20.25010106m0.009m9mm〔b〕bs由剪切强度条件F[τ]2bl得F45103l2b[]20.2501106m0.090m90mm取δ0.009m代入式〔a〕，得h(0.03020.009)m0.048m48mm结论：取δ9mm，l90mm，h48mm。2-22图示接头，承受轴向载荷F作用。铆钉直径d=20mm，许用应力[]=160MPa，许用切应力[]=120MPa，许用挤压应力[bs]=340MPa。板件与铆钉的材料相同。试计算接头的许用载荷。精品.题2-22图解：1.考虑板件的拉伸强度由图2-22所示之轴力图可知，FN1F，FN23F/4σFN1F[σ]1A1(bd)δF(bd)δ[σ](0.200-0.020)0.015160106N4.32105N432kNσFN23F[σ]2A24(b2d)δF4(b2d)δ[σ]4(0.2000.040)0.015160106N5.12105N512kN33图2-222.考虑铆钉的剪切强度FsF8Fs4F[]τ8πd2τAF2πd2[τ]2π0.0202120106N3.02105N302kN3．考虑铆钉的挤压强度精品.FbF4FbF[bs]bs4ddF4d[σ]40.0150.020340106N4.08105N408kNbs结论：比较以上四个F值，得[F]302kN2-23图a所示钢带AB，用三个直径与材料均相同的铆钉与接头相连结，钢带承受轴向载荷F作用。载荷F=6kN，带宽b=40mm，带厚=2mm，铆钉直径d=8mm，孔的边距a=20mm，钢带材料的许用切应力[]=100MPa，许用挤压应力[bs]=300MPa，许用拉应力[]=160MPa。试校核钢带的强度。题2-23图解：1．钢带受力剖析剖析说明，当各铆钉的材料与直径均相同，且外力作用线在铆钉群剪切面上的投影，通过该面的形心时，往常即认为各铆钉剪切面的剪力相同。铆钉孔所受挤压力b等于铆钉剪切面上的剪力，因此，各铆钉孔边所受的挤压力Fb相同，F钢带的受力如图b所示，挤压力那么为FbF6103N2.0103N33孔外表的最大挤压应力为Fb2.0103N1.258[bs]bs10Pa125MPad(0.002m)(0.008m)在挤压力作用下，钢带左段虚线所示纵截面受剪〔图b〕，切应力为Fb2.0103N2.5107Pa25MPa[]2a2(0.002m)(0.020m)钢带的轴力图如图c所示。由图b与c能够看出，截面1-1削弱最严重，而截面2-2的轴力最大，因此，应付此二截面进行拉伸强度校核。截面1-1与2-2的正应力分别为FN12F2(6103N)13(b2d)3(0.040m283.3MPaA10.008m)(0.002m)精品.2FN2F6103N93.8MPaA2(bd)(0.040m0.008m)(0.002m)第三章轴向拉压变形3-2一外径D=60mm、内径d=20mm的空心圆截面杆，杆长l=400mm，两头承受轴向拉力F=200kN作用。假定弹性模量E=80GPa，泊松比=0.30。试计算该杆外径的改变量D及体积改变量V。解：1.计算D由于εF，εDFEAEAD故有DFD4FD40.302001030.060mεDED2d29.22EAπ()8010〕π(00600.0201.79105m0.0179mm2.计算V变形后该杆的体积为精品.π)2(2](1)(1)2(12)VlA(ll)[(DεDdεd)AlVε4εεε精品.故有VVV(ε2)Fl(12)2001030.400m3(120.3)80109E4.00107m3400mm33-4图示螺栓，拧紧时产生l=0.10mm的轴向变形。：d1=8.0mm，d2=6.8mm，d3=7.0mm；l1=6.0mm，l2=29mm，l3=8mm；E=210GPa，[]=500MPa。试求预紧力F，并校核螺栓的强度。题3-4解：1.求预紧力F各段轴力数值上均等于F，因此，lF(l1l2l3)4F(l1l2l3)A2A3d22d32EA1πEd12由此得FπElπ2101090.10103N1865104N1865kNl2l30.0060.0290.008l14(d12d22d32)4(0.00820.006820.0072)2.校核螺栓的强度σF4F418.65103N5.148514MPaAdπ0.00682m210Pamax2minπ2此值虽然超过[σ]，但超过的百分数仅为2.6％，在5％以内，故仍切合强度要求。3-5图示桁架，在节点A处承受载荷F作用。从试验中测得杆1与杆2的纵向正应变分别为ε1=4.0×10-4与ε2=2.0×10-4。杆1与杆2的横截面面积A1=A2=200mm2，弹性模量E1=E2=200GPa。试确定载荷F及其方位角之值。精品.题3-5图解：1.求各杆轴力FN1EεA2001094.0104200106N1.6104N16kN111FN2EεA2001092.0104200106N8103N8kN2222.确定F及θ之值由节点A的平衡方程Fx0和Fy0得FN2sin30FsinθFN1sin300FN1cos30FN2cos30Fcosθ0化简后，成为FN1FN22Fsinθ及3(FN1FN2)2Fcosθ联立求解方程(a)与(b)，得FN1FN2(168)1030.1925tanθFN2)3(168)1033(FN1由此得

(a)(b)θ10.8910.9FN1FN2(168)103N2.12104N21.2kNF2sin10.892sinθ3-6图示变宽度平板，承受轴向载荷F作用。板的厚度为，长度为l，左、右端的宽度分别为b1与b2，弹性模量为E。试计算板的轴向变形。精品.题3-6图解：关于常轴力变截面的拉压平板，其轴向变形的一般公式为llFdxlFdx(a)0EA(x)0Eb(x)由图可知，假定自左向右取坐标x，那么该截面的宽度为b(x)b1b2b1xl代入式(a)，于是得lFl1dxFlb2E0b2b1lnEδ(bb)bδb1lx2113-7图示杆件，长为l，横截面面积为A，材料密度为，弹性模量为E，试求自重下杆端截面B的位移。题3-7图解：自截面B向上取坐标y，y处的轴力为FNgAy该处微段d的轴向变形为ydygAydygydyEAE于是得截面B的位移为glgl2)Cyydy(E02E3-8图示为打入土中的混凝土地桩，顶端承受载荷F，并由作用于地桩的摩擦力所支精品.持。设沿地桩单位长度的摩擦力为精品.f，且f=ky2，式中，k为常数。地桩的横截面面积为A，弹性模量为E，埋入土中的长度为l。试求地桩的缩短量。题3-8图解：1.轴力剖析摩擦力的协力为Fyfdyl2dykl3kyl03根据地桩的轴向平衡，kl3F3由此得k3F〔a〕l3截面y处的轴力为FNfdyky2dyky3yy003地桩缩短量计算截面y处微段dy的缩短量为dδFNdyEA积分得lFNdykl3kl4δEAydy12EA03EA0将式(a)代入上式，于是得Flδ4EA3-9图示刚性横梁AB，由钢丝绳并经无摩擦滑轮所支持。设钢丝绳的轴向刚度〔即精品.产生单位轴向变形所需之力〕为精品.k，试求当载荷F作用时端点B的铅垂位移。题3-9图解：载荷F作用后，刚性梁AB倾斜如图(见图3-9)。设钢丝绳中的轴力为FN，其总伸长为l。图3-9以刚性梁为研究对象，由平衡方程MA0得FNaFN(ab)F(2ab)由此得FNF由图3-9能够看出，(2ab)ly1y2a(ab)(2ab)可见，yl(b)根据k的定义，有FNklky于是得FNFykk3-10图示各桁架，各杆各截面的拉压刚度均为EA，试计算节点A的水平与铅垂位移。精品.题3-10图a〕解：利用截面法，求得各杆的轴力分别为FN1FN2F〔拉力〕FN42F〔压力〕FN30于是得各杆的变形分别为l1l2Fl(伸长)EA2F2l＝2Fl伸长l4EA( )EAl30如图3－10(1)所示，根据变形l1与l4确定节点B的新地点B’,然后，过该点作长为l+l2的垂线，并过其下端点作水平直线，与过A点的铅垂线相交于A’,此即构造变形后节点A的新地点。于是能够看出，节点A的水平与铅垂位移分别为Ax0Ayl12l4l2Fl22FlFl212FlEAEAEAEA精品.图3-10b〕解：显然，杆1与杆2的轴力分别为FN1F〔拉力〕FN20于是由图3－10(2)能够看出，节点A的水平与铅垂位移分别为FlAxl1EAFlAyl1EA3-11图示桁架ABC，在节点B承受集中载荷F作用。杆1与杆2的弹性模量均为E，横截面面积分别为A1=320mm2与A2=2580mm2。试问在节点B和C的地点保持不变的条件下，为使节点B的铅垂位移最小，应取何值〔即确定节点A的最正确地点〕。题3-11图解：1.求各杆轴力由图3-11a得FFN1，FN2Fctanθ图3-112.求变形和位移由图3-11b得精品.lFN1l12Fl2，l＝FN2l2Fl2ctanθ1EA1sin2θ2EA2EA1EA2及l1l2Fl2(2ctan2θBysintansin2sin)θEAθA1θθ23.求θ的最正确值由dBy/dθ0，得2(2cos2sincossin2)2θθθθ2ctanθcscθ0Asin22θsin2θA12由此得2A1cos3θA2(13cos2θ)0将A1与A2的数据代入并化简，得cos3θ12.09375cos2θ4.031250解此三次方程，舍去增根，得cosθ0.564967由此得θ的最正确值为θ55.6opt3-12图示桁架，承受载荷F作用。设各杆的长度为l，横截面面积均为A，材料的应力应变关系为n=B，其中n与B为由试验测定的常数。试求节点C的铅垂位移。题3-12图解：两杆的轴力均为FN

F2cos轴向变形那么均为精品.nnllllFB2AcosB于是得节点C的铅垂位移为lFnlCy2nAnBcosn1cos3-13图示构造，梁BD为刚体，杆1、杆2与杆3的横截面面积与材料均相同。在梁的中点C承受集中载荷F作用。载荷F=20kN，各杆的横截面面积均为A=100mm2，弹性模量E=200GPa，梁长l=1000mm。试计算该点的水平与铅垂位移。题3-13图解：1.求各杆轴力由Fx0，得FN20由Fy0，得FN1FN3F10kN22．求各杆变形l20l1FN1l101031.000m5.010-4m0.50mml3EA2001091001063．求中点C的位移由图3-13易知，精品.图3-13xl10.50mm( )，yl10.50mm( )3-14图a所示桁架，承受载荷F作用。设各杆各截面的拉压刚度均为EA，试求节点B与C间的相对位移B/C。题3-14图解：1.内力与变形剖析利用截面法，求得各杆的轴力分别为FN1FN2FN3FN4F〔拉力〕2FN5F〔压力〕于是得各杆得变形分别为精品.l1l2l3l4Fl(伸长)2EAlF2l2Fl(缩短)5EAEA位移剖析如图b所示，过d与g分别作杆2与杆3的平行线，并分别与节点C的铅垂线相交于e与h，然后，在de与gh延伸线取线段l3与l2，并在其端点m与n分别作垂线，得交点C’，即为节点C的新地点。能够看出，l52l322Fl2Fl22FlB/C2CiiC'22EA2EAEA23-15如下列图桁架，设各杆各截面的拉压刚度均为EA，试用能量法求载荷作用点沿载荷作用方向的位移。题3-15图(a)解：各杆编号示如图3-15a，各杆轴力依次为FN12F，F2F，F1F2N22N32该桁架的应变能为Vε3FN2ili1(1F22l21F2l)F2l(221)i12EA2EA2242EA4图3-15精品.依据能量守恒定律，FVε2最后得2(221)Fl2Fl(221)( )F2EA44EA(b)解：各杆编号示如图b列表计算如下：iFNiliFN2ili1FlF2l20l03FlF2l4FlF2l52F2l22F2l(322)F2l于是，Vε5FN2ili(322)F2li12EA2EA依据能量守恒定律，FVε2可得(322)Fl()EA3-16图示桁架，承受载荷F作用。设各杆各截面的拉压刚度均为EA，试用能量法求节点B与C间的相对位移B/C。题3-16图解：依据题意，列表计算如下：精品.iFNiliFN2ili12F/2lF2l/222F/2lF2l/232F/2lF2l/242F/2lF2l/25F2l2F2l(22)F2l由表中结果可得5FN2ili(22)F2lVε12EA2EAi依据WV得B/C(22)Fl()EA3-17图示变宽度平板，承受轴向载荷F作用。板的厚度为，长度为l，左、右端的宽度分别为b1与b2，弹性模量为E，试用能量法计算板的轴向变形。题3-17图解：关于变截面拉压板件，应变能的表达式为VlFN2dxlFN2(a)dx02EA(x)02Eb(x)由图可知，假定自左向右取坐标x，那么该截面的宽度为b(x)bb2b1x1l将上式代入式〔a〕,并考虑到FNF,于是得Vεl1F2dxF2lb202Eb2b1lnδb1x2Eδ(bb)bl211设板的轴向变形为l，那么根据能量守恒定律可知，精品.Fl2或

VεFlF2llnb222Eδ(b2b1)b1由此得lFlb2Eδ(b2b1)lnb13-19图示各杆，承受集中载荷F或均布载荷q作用。各杆各截面的的拉压刚度均为EA，试求支反力与最大轴力。题3-19图(a)解：杆的受力如图3-19a(1)所示，平衡方程为Fx0,FFFAxFBx0一个平衡方程，两个未知支反力，故为一度静不定。图3-19aAC，CD与DB段的轴力分别为FN1FAx,FN2FAxF,FN3FAx2F由于杆的总长不变，故补充方程为FAxaFAxFaFAx2FalEA0EAEA得FAxF0精品.由此得FAxFFBx2FFAxF杆的轴力图如3-19a(2)所示，最大轴力为FN,maxF(b)解：杆的受力如图3-19b(1)所示，平衡方程为Fx0,qaFAxFBx0一个平衡方程，两个未知支反力，故为一度静不定。图3-19bAC与CB段的轴力分别为FN1FAx,FN2FAxqx由于杆的总长不变，故补充方程为FAxa1lEAEA得

a0FAxqxdx012FAxaqa2EA20由此得FAxqa4FBxqaFAx3qa4杆的轴力图如3-19b(2)所示，最大轴力为FNmax3qa43-20图示构造，杆1与杆2的横截面面积相同，弹性模量均为E，梁BC为刚体，载荷F=20kN，许用拉应力[t]=160MPa,许用压应力[c]=110MPa，试确定各杆的横截面面积。精品.题3-20图解：容易看出，在载荷F作用下，杆2伸长，杆1缩短，且轴向变形相同，故FN2为拉力，FN1为压力，且大小相同，即FN2FN1以刚性梁BC为研究对象，铰支点为矩心，由平衡方程M0,FN2aFN1aF2a0由上述二方程，解得FN2FN1F根据强度条件，A1FN120103N1.818104m2[c]110106PaA2FN220103N1.25104m2[t]160106Pa取A1A2182mm23-21图示桁架，承受铅垂载荷F作用。设各杆各截面的拉压刚度相同，试求各杆轴力。精品.题3-21图(a)解：此为一度静不定桁架。设FN,AB以压为正，其余各段轴力以拉力为正。先取杆AB为研究对象，由Fy0，得FN,BCFN,ABF(a)后取节点A为研究对象，由Fx0和Fy0依次获得FN,ADFN,AG(b)及2FN,ADcos45FN,AB(c)在节点A处有变形协调关系〔节点A铅垂向下〕lBClABlAD2lAD(d)cos45物理关系为lBCFN,BCl，lABFN,ABl，lADFN,AD2llAG(e)EAEAEA将式(e)代入式(d)，化简后得FN,BCFN,AB2FN,AD(d)联解方程(a)，(c)和(d)，得FN,BC2F〔拉〕，F22F〔压〕，FFN,AG21F〔拉〕2N,AB2N,AD2(b)解：此为一度静不定问题。考虑小轮A的平衡，由Fy0，得FN1sin45F0由此得精品.FN12F在F作用下，小轮A沿刚性墙面向下有一微小位移，在小变形条件下，l20，故有FN20FN1的水平分量由刚性墙面提供的拘束反力来平衡。3-22图示桁架，杆1、杆2与杆3分别用铸铁、铜和钢制成，许用应力分别为[1]=40MPa，[2]=60MPa，[3]=120MPa，弹性模量分别为E1=160GPa，E2=100GPa，E3=200GPa。假定载荷F=160kN，A1=A2=2A3，试确定各杆的横截面面积。题3-22图解：此为一度静不定构造。节点C处的受力图和变形图分别示如图3-22a和b。图3-22由图a可得平衡方程Fx0，FN13FN2(a)2Fy0，1FN2FN3F(b)2由图b得变形协调方程为l1ctan30l2l3(c)sin30根据胡克定律，有l1FN1l1FN1l1，l2FN2l2FN2l1，l3FN3l3FN3l1(d)E1A12E1A3E2A23E2AE3A33E3A33精品.将式(d)代入式(c)，化简后得补充方程为15FN132FN28FN3(c')联解方程(a)，(b)和(c’)，并代入数据，得FN122.6kN(压)，FN226.1kN〔拉〕，FN3146.9kN〔拉〕根据强度要求，计算各杆横截面面积如下：AFN122.6103m25.65104m2565mm21[σ1]40106AFN226.1103m24.35104m2435mm22[σ]601062AFN3146.9103m21.224103m21224mm23[σ]1201063根据题意要求，最后取A1A22A32450mm23-23图a所示支架，由刚体ABC并经由铰链A、杆1与杆2固定在墙上，刚体在C点处承受铅垂载荷F作用。杆1与杆2的长度、横截面面积与弹性模量均相同，分别为l=100mm，A=100mm2，E=200GPa。设由千分表测得C点的铅垂位移ymm，试确定载荷F与各杆轴力。题3-23图解：1.求解静不定在载荷F作用下，刚体ABC将绕节点A沿顺时针方向作微小转动，刚体的位移、杆件的变形与受力如图b所示。显然，本问题拥有一度静不定。由平衡方程MA0，得FN2FN1F0(a)2精品.由变形图中能够看出，变形协调条件为l12l2(b)根据胡克定律，l1FN1l,l2FN2l(c)EAEA将上述关系式代入式〔b〕，得补充方程为FN12FN2联立求解平衡方程〔a〕与上述补充方程，得FN14F,FN22F(d)552.由位移y确定载荷F与各杆轴力变形后，C点位移至C’(CC’AC)〔图b〕，且直线AC与AB拥有相同的角位移，因此，C点的总位移为ACl12l1CC'AB又由于2y由此得l1y将式〔c〕与〔d〕的第一式代入上式，于是得5EAy96235(20010Pa)(10010m)(0.07510m)1.875104NF4l4(100103m)并进而得FN11.5104N,FN27.5103N3-24图示钢杆，横截面面积A=2500mm2，弹性模量E=210GPa，轴向载荷F=200kN。试在以下两种情况下确定杆端的支反力。空隙=0.6mm；空隙=0.3mm。题3-24图解：当杆右端不存在拘束时，在载荷F作用下，杆右端截面的轴向位移为精品.Fa(200103N)(1.5m)0.57mmF(210109Pa)(2500106m2)EA当空隙=0.6mm时，由于F，仅在杆C端存在支反力，其值那么为FCxF200kN当空隙=0.3mm时，由于F，杆两头将存在支反力，杆的受力如图3-24所示。图3-24杆的平衡方程为FFBxFCx0补充方程为FaFBx2aEAEA由此得FEAFBx2a2200103N(0.0003m)(210109Pa)(2500106m2)22(1.5m)47.5kN而C端的支反力那么为FCxFFBx200kN47.5kN152.5kN3-25图示两头固定的等截面杆AB，杆长为l。在非平均加热的条件下，距A端x处的温度增量为TTBx2/l2，式中的TB为杆件B端的温度增量。材料的弹性模量与线膨胀系数分别为E与l。试求杆件横截面上的应力。精品.题3-25图精品.解：1.求温度增高惹起的杆件伸长此为一度静不定问题。假定将B端拘束排除去，那么在x处的杆微段dx就会因温升而有一个微伸长d(l)αTdxαTx2lBdxtll2全杆伸长为lαTx2αTlltlBdxlB0l232．求拘束反力设固定端的拘束反力为F，杆件因F作用而惹起的缩短量为lFFNlFlEAEA由变形协调条件lFlt可得EAαTBlEAαlTBFll333．求杆件横截面上的应力FNFEαTBσlAA33-26图示桁架，杆BC的实际长度比设计尺寸稍短，误差为。如使杆端B与节点G强制地连结在一同，试计算各杆的轴力。设各杆各截面的拉压刚度均为EA。题3-26图解：此为一度静不定问题。自左向右、自上向下将各杆编号1~5。由强制装配容易判断，杆1~3受拉，杆4和5受压。装配后节点G和C的受力图分别示如图3-26a和b。精品.图3-26根据平衡条件，由图a可得FN1FN2FN3(a)由图b可得FN4FN5，FN32FN4cos303FN4(b)变形协调关系为(参看原题图)l1l4l3(c)cos60cos30依据胡克定律，有liFNili(i1~5)(d)EA将式(d)代入式(c)，得补充方程2FN1l2FN43lFN3l(e)EA3EAEA联立求解补充方程(e)、平衡方程(a)与(b)，最后得FN3(923)EA,FN4(332)EA23l23l即FN,BCFN,GDFN,GE(923)EA〔拉〕23lFN,CD(332)EAFN,CE23l〔压〕3-27图a所示钢螺栓，其外套一长度为l的套管。螺栓与套管的横截面面积分别为Ab与At，弹性模量分别为Eb与Et，螺栓的螺距为p。现将螺母旋紧1/5圈，试求螺栓与套管所受之力。螺帽与螺母的变形忽略不计。精品.题3-27图解：首先设想套管未套上，而将螺母由距螺帽l处旋转1/5圈，即旋进=p/5的距离。然后，再将套管套上。由于螺帽与螺母间的距离小于套管的长度，故套合后的螺栓将受拉，而套管那么受压。设螺栓所受拉力为FNb，伸长为lb，套管所受压力为FNt，缩短为lt，那么由图b与c可知，平衡方程为FNbFNt0(a)而变形协调方程那么为lblt利用胡克定律，得补充方程为FNblFNtlAbEb(b)AtEt最后，联立求解平衡方程〔a〕与补充方程〔b〕，得螺栓与套管所受之力即预紧力为FN0FNbAbEbFNtl1k式中，kAbEbAtEt3-28图示组合杆，由直径为30mm的钢杆套以外径为50mm、内径为30mm的铜管组成，二者由两个直径为10mm的铆钉连结在一同。铆接后，温度升高40℃，试计算铆钉剪切面上的切应力。钢与铜的弹性模量分别为Es=200GPa与Ec=100GPa，线膨胀系数分别为ls=12.5×10-6℃-1与lc=16×10-6℃-1。题3-28图精品.解：设温度升高T时钢杆和铜管自由伸长量分别为δδTs和Tc，由于二者被铆钉连在一同，变形要一致，即变形协调条件为δTslsδTclc或写成llδδscTcTs这里，伸长量ls和缩短量lc均设为正当。引入物理关系，得FNslFNcl(αα)lTEsAsEcAclcls将静力平衡条件FNsFNcF代入上式，得FEsAsEcAcααTEsAsEcAc注意到每个铆钉有两个剪切面，故其切应力为FSFEsAsEcAc(αlcαls)TτA2A2A(EsAsEcAc)由此得2001090.0302100109(0.05020.0302)(1612.5)10640N20.0102[2001090.0302100109(0.05020.0302)]m25.93107Pa59.3MPa3-29图示构造，杆1与杆2各截面的拉压刚度均为EA，梁BD为刚体，试在以下两种情况下，画变形图，成立补充方程。(1)假定杆2的实际尺寸比设计尺寸稍短，误差为；(2)假定杆1的温度升高T，材料的热膨胀系数为l。题3-29图精品.(1)解：如图3-29(1)a所示，当杆2未与刚性杆BD连结时，下端点位于D，即DD。当杆2与刚性杆BD连结后，下端点铅垂位移至D，同时，杆1的下端点那么铅垂位移至C。过C作直线C’e垂直于杆1的轴线，显然Cel1，即代表杆1的弹性变形，同时，DDl2，即代表杆2的弹性变形。与上述变形相应，杆1受压，杆2受拉，刚性杆BD的受力如图3-29(1)b所示。图3-29(1)能够看出，DD2CC即变形协调条件为l222l1而补充方程那么为F2l4F1l0EAEA或F24F1EA0l(2)解：如图3-29(2)a所示，当杆1未与刚性杆BD连结时，由于其温度升高，下端点位于C，即CC

l2lT。当杆1与刚性杆BD连结后，下端点C铅垂位移至C，而杆2的下端点D那么铅垂位移至D。过C作直线C’e垂直于直线CC，显然，eCl1即代表杆1的弹性变形，同时，DDl2，代表杆2的弹性变形。与上述变形相应，杆1受压，杆2受拉，刚性杆BD的受力如图3-29(2)b所示。精品.图3-29(2)能够看出，DD2CC故变形协调条件为l222l2lTl1而补充方程那么为F2lF12l22l2lTEAEA或F24F14EAlT03-30图示桁架，三杆的横截面面积、弹性模量与许用应力均相同，并分别为A，E与[]，试确定该桁架的许用载荷[F]。为了提高许用载荷之值，现将杆3的设计长度l变为l。试问当为何值时许用载荷最大，其值[F]max为何。题3-30图解:此为一度静不定问题。节点C处的受力及变形示如图3-30a和b。精品.图3-30由图a得平衡方程为FN1FN2，2FN1cos30FN3F(a)由图b得变形协调条件为l1l3cos30依据胡克定律,有liFNili(i1,2,3)EA将式(c)代入式(b)，化简后得补充方程为FN34FN13将方程(b’)与方程(a)联解，得FN1FN23F，FN34FFN1334343σFN34F[σ]maxA(433)A由此得F(433)[]A,[F](433)[]A44为了提高[F]值，可将杆3做长，由图b得变形协调条件为l3l1cos30式中，l3与l1均为受载后的伸长，依题意，有了后，应使三根杆同时抵达[σ]l4[σ]lE3E由此得(41)[σ]l[σ]l3E3E此时，各杆的强度均充散发挥出来，故有[F]max2([]Acos30)[]A(13)[]A

(b)(c)(b’)[σ]，即精品.第四章扭转4-5一受扭薄壁圆管，外径D=42mm，内径d=40mm，扭力偶矩M=500N?m，切变模量G=75GPa。试计算圆管横截面与纵截面上的扭转切应力，并计算管外表纵线的倾斜角。解：该薄壁圆管的平均半径和壁厚依次为R1(Dd)20.5mm，Dd1mm022222于是，该圆管横