第三概率分布与抽样分布演示文稿

第三概率分布与抽样分布演示文稿第一页，共四十四页。（优选）第三概率分布与抽样分布第二页，共四十四页。

条件概率：A、B为两个随机事件，P（A￤B）称为事件B发生的前提下事件A发生的条件概率。P（A￤B）=，P（B）＞0。由于增加了新的条件（附加信息），一般说来，P（A￤B）≠P（A）。第三页，共四十四页。乘法公式：

将条件概率公式变形可得：P（AB）=P（B）P（A￤B）将上式中A、B的位置对调，可得：P（AB）=P（A）P（B￤A）以上两式统称概率乘法公式。第四页，共四十四页。全概率公式与逆概率公式：

1、完备事件组若事件A1、A2、…An互不相容（互斥），且其中之一必然发生，则事件A1、A2、…An组成完备事件组。即

A1∪A2∪…∪An=Ω，AiAj=Φ（i≠j）

2、全概率公式若事件A1、A2、…An为完备事件组，则对任一事件B，有第五页，共四十四页。一、概率与概率分布（二）概率分布概率与随机变量密不可分。

随机变量：离散型、连续型。

概率分布：随机变量取一切可能值的概率的规律称为概率分布，即P（x=everyprobnumber）=?

概率分布可以用表、图形或公式等多种方式来表示。第六页，共四十四页。二项分布：

只有两种可能结果的试验称为贝努利试验。n次独立重复的贝努利试验称为n重贝努利试验。在n重贝努利试验中，结果A（成功）出现m次的概率分布为：

其中：第七页，共四十四页。几何分布：在可列重贝努利试验中，结果A（成功）在第m次首次出现的概率分布为：二项分布、几何分布都是贝努利试验导出的分布。第八页，共四十四页。超几何分布：二项分布与几何分布都是在n重或可列重相互独立的贝努利试验中形成的。那么，如果这种试验不是相互独立的呢？比如：

假定有一批500个产品，而其中有5个次品。假定该产品的质量检查采取随机抽取20个产品进行检查。如果抽到的20个产品中含有2个或更多不合格产品，则整个500个产品将会被退回。这时，人们想知道该批产品被退回的概率是多少。该概率满足超几何分布(hypergeometricdistribution)。第九页，共四十四页。这样的抽样一般采取“不放回抽样”，也就是说，每次抽取之后并不放回。在这种情况下，每次抽取之后，总体之中的合格和不合格品的比例都会发生变化，和以前不一样了，因此，每次试验不再是独立的贝努利试验，在n次试验中，结果A（成功）出现m次的概率分布也就不再服从二项分布，而是服从超几何分布：其中N为产品总数，n为试验次数也即抽取出的产品数；K为产品中结果A的总数也即产品中的总次品数。第十页，共四十四页。一、概率与概率分布（三）概率密度函数与累积概率分布函数

连续型随机变量不好讲概率分布，所以讲累积概率分布，P(x<everyprobnumber)=?

而其累积概率分布也是无穷的，所以用函数来刻画，引入了概率密度函数(probabilitydensityfunction，pdf)和累积概率分布函数(cumulativedistributionfunction，cdf)。若X为连续型随机变量，且存在一个非负函数f(x)，使得对任意区间（a，b），有

P｛X∈(a，b)｝=P｛a＜X＜b｝=

则称f(x)为连续型随机变量X的概率密度函数。第十一页，共四十四页。在平面直角坐标系中画出f(x)的图形，则对于任何实数x1<x2，P(x1<Xx2)是该曲线下从x1到x2的面积。f(x)xab概率是曲线下的面积第十二页，共四十四页。从概率的角度重新看这几个指标：第十三页，共四十四页。离散型随机变量与连续型随机变量概率分布的对应关系：第十四页，共四十四页。二、正态分布

正态分布是最常见、最重要的概率分布。如果一随机现象受多种偶然因素影响，且各因素之间势均力敌，则这个现象服从正态分布。

正态分布的概率密度函数为：第十五页，共四十四页。第十六页，共四十四页。第十七页，共四十四页。中心极限定理(CentralLimitTheorem)：设从均值为μ、方差为σ2（有限）的任意一个总体中抽取大小为n的样本，当n充分大时，样本均值的分布总是近似服从N（μ，）的正态分布。即：关于n的大小：总体偏离正态越远，则要求n就越大。实际中，要求n≥30。第十八页，共四十四页。中心极限定理(CentralLimitTheorem)：第十九页，共四十四页。中心极限定理(CentralLimitTheorem)：第二十页，共四十四页。第二十一页，共四十四页。第二十二页，共四十四页。对于样本比例（成数）来说，中心极限定理也同样成立：设从成数为P0的总体中抽取大小为n的样本，当n充分大时，样本成数总是近似服从的正态分布。即：第二十三页，共四十四页。第二十四页，共四十四页。

比如，假设随机变量X～N（μ，σ2），其中σ2已知，μ未知，需要我们通过抽样来估计。现抽取n个样本观察值x1、x2、…、xn，那么，由于是从正态分布中抽样，所以即使n不满足>=30的条件，样本均值也近似服从正态分布，即：第二十五页，共四十四页。

同理，对于两个相互独立的正态总体N（μ1，σ12）、N（μ2，σ22），假设我们从这两个总体中分别抽取一个n1、n2个观察值组成的样本，那么，这两个样本均值的差也服从正态分布，即：思考：如果这两个总体不是正态总体而n1、n2足够大，样本均值差的分布形态还是这样的吗？第二十六页，共四十四页。标准正态分布N(0，1)：标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以化为标准正态分布，即～N（0，1）。所以，说一个随机变量服从正态分布，与说它服从标准正态分布没什么太大差别，因为它可以转化为标准正态分布。第二十七页，共四十四页。数据的标准得分：我年收入60万，多吗？两个水平类似的班级（一班和二班）上同一门课，但是由于两个任课老师的评分标准不同，使得两个班成绩的均值和标准差都不一样(数据：grade.txt)。一班的平均分和标准差分别为78.53和9.43，二班的均值和标准差分别为70.19和7.00。那么，一班得90分的张颖是不是比二班得82分的刘疏成绩更好呢？怎么比较才更合理呢？第二十八页，共四十四页。数据的标准化：虽然均值和标准差不同的数据不好直接比较，但是可以把它们进行标准化，再比较标准化后的数据。数据标准化的方法主要有两种；数据标准化后得到的值称为标准得分（standardscore、z-score）：第二十九页，共四十四页。

可以看出，原始数据在各自的均值附近，离散程度也不一样。但它们的标准得分则在0周围，且离散程度也差不多。数据经过标准化后，均变换成均值为0、方差为1的样本。标准化后的数据没有量纲；不同样本观测值的比较只有相对意义，没有绝对意义。10097N=????????1101009080706050402110097N=??????????3210-1-2-3-421

第三十页，共四十四页。三、分布若X1、X2、…Xn相互独立，且均服从标准正态分布N（0，1）。则随机变量Y=X12+X22+…+Xn2的概率分布为自由度为n的分布，简记为Y～（n）。第三十一页，共四十四页。

自由度：变量的自由程度。对于样本方差S2，则：第三十二页，共四十四页。

比如，有些产品出厂时不仅需要标注其性能参数均值，而且要标明均值的方差（标准差）。为了估计某产品能耗的方差，我们随机抽取了10件，测得其能耗为（千瓦时/小时）：12.5，12.12，12.01，12.28，12.09，12.03，12.01，12.11，12.06，12.14。

那么，当其能耗x服从正态分布时：第三十三页，共四十四页。思考：

在上一张片子中，下面的统计量是严格服从卡方分布还是近似服从卡方分布？为什么？第三十四页，共四十四页。

再比如，为研究家庭食品支出与收入的关系，随机抽取了10户家庭作为样本，得到如下数据：那么，当食品支出y服从正态分布时：第三十五页，共四十四页。

下表是工商07级1班、2班某门课的考试成绩。思考：服从卡方分布吗？如果服从，其自由度是多少？如果不服从，那在什么情况或什么条件下服从？第三十六页，共四十四页。第三十七页，共四十四页。四、t分布若随机变量X～Z（0，1），Y～（n），且X、Y相互独立，则随机变量Z=服从自由度为n的t分布，简记为Z～t（n）。第三十八页，共四十四页。t分布概率密度曲线图如下：特点：1、t分布为对称分布；2、n充分大时，t分布近似Z（0，1）。第三十九页，共四十四页。考察统计量其中，分子，分母中。因此，T～t（n-1）。第四十页，共四十四页。五、F分布若随机变量X～（n1），Y～（n2），且X、Y相互独立，则随机变量Z=服从自由度为（n1，n2）的F分布，简记为Z～F（n1，n2）。F分布的概率密度曲线如下：第四十一页，共四十四页。

比如，下表是工商07级1班、2班某门课的考试成绩。假设两个班的学生成绩相互独立且都服从正态分布，那么，要分析两个班学习成绩的分化程度，我们可以考察下面的统计量：第四十二页，共四十四页。

比如，下表是工商07级1班、2班某门课的考试成绩