（精品讲义）2-2椭圆word版含答案2

34/3535/35/eq\a\vs4\al(椭圆)2．2．1椭圆及其标准方程预习课本P38～42，思考并完成以下问题1．平面内满足什么条件的点的轨迹为椭圆？椭圆的焦点、焦距分别是什么？2．椭圆的标准方程是什么？1．椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．[点睛]定义中的条件2a>|F1F2|>0不能少，这是根据三角形中的两边之和大于第三边得出来的．否则：①当2a＝|F1F2|时，其轨迹为线段F1F2；②当2a<|F1F2|时，其轨迹不存在．2．椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)焦点坐标(－c,0)，(c,0)(0，－c)，(0，c)a，b，c的关系c2＝a2－b21．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到两定点距离之和等于定长的点的轨迹为椭圆()(2)已知椭圆的焦点是F1，F2，P是椭圆上的一动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，则动点Q的轨迹为圆()(3)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)表示的曲线是椭圆()答案：(1)×(2)√(3)×2．若椭圆eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,m)＝1的一个焦点坐标为(1,0)，则实数m的值为()A．1 B．2C．4 D．6答案：C3．椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,169)＝1的焦点坐标是________．答案：(0，±12)求椭圆的标准方程[典例]求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)．[解](1)因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)．将点(5,0)代入上式解得a＝5，又c＝4，所以b2＝a2－c2＝25－16＝9．故所求椭圆的标准方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1．(2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)．因为椭圆经过点(0,2)和(1,0)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,a2)＋\f(0,b2)＝1，,\f(0,a2)＋\f(1,b2)＝1))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,b2＝1.))故所求椭圆的标准方程为eq\f(y2,4)＋x2＝1．确定椭圆的方程包括“定位”和“定量”两个方面(1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；(2)“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解．[活学活用]求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)经过两点(2，－eq\r(2))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(\r(14),2)))；(2)过点(eq\r(3)，－eq\r(5))，且与椭圆eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1有相同的焦点．解：法一：(分类讨论法)若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)．由已知条件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,a2)＋\f(2,b2)＝1，,\f(1,a2)＋\f(14,4b2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝8，,b2＝4.))所以所求椭圆的标准方程为eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1．若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)．由已知条件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,b2)＋\f(2,a2)＝1，,\f(1,b2)＋\f(14,4a2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b2＝8，,a2＝4.))则a2<b2，与题设中a>b>0矛盾，舍去．综上，所求椭圆的标准方程为eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1．法二：(待定系数法)设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．将两点(2，－eq\r(2))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(\r(14),2)))代入，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4A＋2B＝1，,A＋\f(14,4)B＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A＝\f(1,8)，,B＝\f(1,4)，))所以所求椭圆的标准方程为eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1．(2)因为所求椭圆与椭圆eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16．设它的标准方程为eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)．因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16．①又点(eq\r(3)，－eq\r(5))在椭圆上，所以eq\f(?－\r(5)?2,a2)＋eq\f(?\r(3)?2,b2)＝1，即eq\f(5,a2)＋eq\f(3,b2)＝1．②由①②得b2＝4，a2＝20，所以所求椭圆的标准方程为eq\f(y2,20)＋eq\f(x2,4)＝1．椭圆的定义及其应用[典例]如图所示，已知椭圆的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，若点P在第二象限，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积．[解]由已知得a＝2，b＝eq\r(3)，所以c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(4－3)＝1，|F1F2|＝2c＝2．在△PF1F2中，由余弦定理，得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1|·|F1F2|·cos120°，即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|．①由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝4，即|PF2|＝4－|PF1|．②将②代入①解得|PF1|＝eq\f(6,5)．所以S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1|·|F1F2|·sin120°＝eq\f(1,2)×eq\f(6,5)×2×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),5)，即△PF1F2的面积是eq\f(3\r(3),5)．(1)椭圆定义的应用中，要实现两个焦点半径之间的相互转化，将两个焦半径之和看作个整体．(2)涉及焦点三角形面积时，可把|PF1|，|PF2|看作一个整体，运用|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而无需单独求解．[活学活用]设F1，F2是椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1的两个焦点，P是椭圆上一点，且|PF1|－|PF2|＝2．则△PF1F2是()A．钝角三角形 B．直角三角形C．锐角三角形 D．等腰直角三角形解析：选B由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝8．又|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝5，|PF2|＝3，又|F1F2|＝2c＝4，故△PF1F2为直角三角形．与椭圆有关的轨迹问题[典例](1)已知P是椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,8)＝1上一动点，O为坐标原点，则线段OP中点Q的轨迹方程为________．(2)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．求C的方程．[解析](1)设P(xP，yP)，Q(x，y)，由中点坐标公式得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(xP,2)，,y＝\f(yP,2)，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xP＝2x，,yP＝2y，))又点P在椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,8)＝1上，所以eq\f(?2x?2,4)＋eq\f(?2y?2,8)＝1，即x2＋eq\f(y2,2)＝1．答案：x2＋eq\f(y2,2)＝1(2)解：由已知得圆M的圆心为M(－1,0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1,0)，半径r2＝3．设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R．动圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4．由椭圆定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为eq\r(3)的椭圆(左顶点除外)，其方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1(x≠－2)．解决与椭圆有关的轨迹问题的两种方法(1)定义法：用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义．若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可．(2)相关点法：有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法．[活学活用]求过点P(3,0)且与圆x2＋6x＋y2－91＝0相内切的动圆圆心的轨迹方程．解：圆方程配方整理得(x＋3)2＋y2＝102，圆心为C1(－3，0)，半径为R＝10．设所求动圆圆心为C(x，y)，半径为r，依题意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|PC|＝r，,|CC1|＝R－r，))消去r得R－|PC|＝|CC1|?|PC|＋|CC1|＝R，即|PC|＋|CC1|＝10．又P(3,0)，C1(－3,0)，且|PC1|＝6<10．可见C点是以P，C1为两焦点的椭圆，且c＝3,2a＝10，所以a＝5，从而b＝4，故所求的动圆圆心的轨迹方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1．层级一学业水平达标1．设P是椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于()A．4 B．5C．8 D．10解析：选D根据椭圆的定义知，|PF1|＋|PF2|＝2a＝2×5＝10，故选D．2．已知△ABC的顶点B，C在椭圆eq\f(x2,3)＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是()A．2eq\r(3)B．6C．4eq\r(3) D．12解析：选C由于△ABC的周长与焦点有关，设另一焦点为F，利用椭圆的定义，|BA|＋|BF|＝2eq\r(3)，|CA|＋|CF|＝2eq\r(3)，便可求得△ABC的周长为4eq\r(3)．3．命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和|PA|＋|PB|＝2a(a>0，常数)；命题乙：P点轨迹是椭圆．则命题甲是命题乙的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分且必要条件 D．既不充分又不必要条件解析：选B利用椭圆定义．若P点轨迹是椭圆，则|PA|＋|PB|＝2a(a>0，常数)，∴甲是乙的必要条件．反过来，若|PA|＋|PB|＝2a(a>0，常数)是不能推出P点轨迹是椭圆的．这是因为：仅当2a>|AB|时，P点轨迹才是椭圆；而当2a＝|AB|时，P点轨迹是线段AB；当2a<|AB|时，P点无轨迹，∴甲不是乙的充分条件．综上，甲是乙的必要不充分条件．4．在直角坐标系xOy中，“a>b”是“方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1表示椭圆”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分条件又不必要条件解析：选A若a>b，则a2≠b2，方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1表示椭圆，是充分条件，若方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1表示椭圆，得不到a>b，不是必要条件．5．已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|＝2eq\r(3)，若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|，则椭圆C的标准方程为()A．eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,9)＝1B．eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,9)＝1或eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,12)＝1C．eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,12)＝1D．eq\f(x2,48)＋eq\f(y2,45)＝1或eq\f(x2,45)＋eq\f(y2,48)＝1解析：选B由已知2c＝|F1F2|＝2eq\r(3)，∴c＝eq\r(3)．∵2a＝|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4eq\r(3)，∴a＝2eq\r(3)．∴b2＝a2－c2＝9．故椭圆C的标准方程是eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,9)＝1或eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,12)＝1．6．椭圆eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,4)＝1的焦距是2，则m的值是________．解析：当椭圆的焦点在x轴上时，a2＝m，b2＝4，c2＝m－4，又2c＝2，∴c＝1．∴m－4＝1，m＝5．当椭圆的焦点在y轴上时，a2＝4，b2＝m，∴c2＝4－m＝1，∴m＝3．答案：3或57．已知椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点，则椭圆C的标准方程为________________．解析：法一：依题意，可设椭圆C的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，且可知左焦点为F′(－2,0)．从而有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c＝2，,2a＝|AF|＋|AF′|＝3＋5＝8，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c＝2，,a＝4.))又a2＝b2＋c2，所以b2＝12，故椭圆C的标准方程为eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1．法二：依题意，可设椭圆C的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,a2)＋\f(9,b2)＝1，,a2－b2＝4，))解得b2＝12或b2＝－3(舍去)，从而a2＝16．所以椭圆C的标准方程为eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1．答案：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝18．椭圆的两焦点为F1(－4,0)，F2(4,0)，点P在椭圆上，若△PF1F2的面积最大为12，则椭圆方程为__________．解析：如图，当P在y轴上时△PF1F2的面积最大，∴eq\f(1,2)×8b＝12，∴b＝3．又∵c＝4，∴a2＝b2＋c2＝25．∴椭圆的标准方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1．答案：eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝19．设F1，F2分别是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点．设椭圆C上一点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，\f(\r(3),2)))到两焦点F1，F2的距离和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标．解：由点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，\f(\r(3),2)))在椭圆上，得eq\f(?\r(3)?2,a2)＋eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2,b2)＝1，又2a＝4，所以椭圆C的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，焦点坐标分别为(－1,0)，(1,0)．10．已知椭圆C与椭圆x2＋37y2＝37的焦点F1，F2相同，且椭圆C过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5\r(7),2)，－6))．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若P∈C，且∠F1PF2＝eq\f(π,3)，求△F1PF2的面积．解：(1)因为椭圆eq\f(x2,37)＋y2＝1的焦点坐标为(－6,0)，(6,0)．所以设椭圆C的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,a2－36)＝1(a2>36)．将点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5\r(7),2)，－6))的坐标代入整理得4a4－463a2＋6300＝0，解得a2＝100或a2＝eq\f(63,4)(舍去)，所以椭圆C的标准方程为eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,64)＝1．(2)因为P为椭圆C上任一点，所以|PF1|＋|PF2|＝2a＝20．由(1)知c＝6，在△PF1F2中，|F1F2|＝2c＝12，所以由余弦定理得：|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|coseq\f(π,3)，即122＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|．因为|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·eq\a\vs4\al(|PF2|，)所以122＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1|·|PF2|．所以122＝202－3|PF1||PF2|．所以|PF1|·|PF2|＝eq\f(202－122,3)＝eq\f(32×8,3)＝eq\f(256,3)．S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|sineq\f(π,3)＝eq\f(1,2)×eq\f(256,3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(64\r(3),3)．所以△F1PF2的面积为eq\f(64\r(3),3)．层级二应试能力达标1．下列说法中正确的是()A．已知F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆B．已知F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆C．平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)两点的距离之和等于点M(5,3)到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆D．平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆解析：选CA中，|F1F2|＝8，则平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段，所以A错误；B中，到F1，F2两点的距离之和等于6，小于|F1F2|，这样的轨迹不存在，所以B错误；C中，点M(5,3)到F1，F2两点的距离之和为eq\r(?5＋4?2＋32)＋eq\r(?5－4?2＋32)＝4eq\r(10)>|F1F2|＝8，则其轨迹是椭圆，所以C正确；D中，轨迹应是线段F1F2的垂直平分线，所以D错误．故选C．2．椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1的焦点为F1，F2，P为椭圆上的一点，已知·＝0，则△F1PF2的面积为()A．9 B．12C．10 D．8解析：选A∵·＝0，∴PF1⊥PF2．∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2且|PF1|＋|PF2|＝2a．又a＝5，b＝3，∴c＝4，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|PF1|2＋|PF2|2＝64，①,|PF1|＋|PF2|＝10.②))②2－①，得2|PF1|·|PF2|＝36，∴|PF1|·|PF2|＝18，∴△F1PF2的面积为S＝eq\f(1,2)·|PF1|·|PF2|＝9．3．若α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，方程x2sinα＋y2cosα＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2))) B．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4))) D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))解析：选A易知sinα≠0，cosα≠0，方程x2sinα＋y2cosα＝1可化为eq\f(x2,\f(1,sinα))＋eq\f(y2,\f(1,cosα))＝1．因为椭圆的焦点在y轴上，所以eq\f(1,cosα)>eq\f(1,sinα)>0，即sinα>cosα>0．又α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以eq\f(π,4)<α<eq\f(π,2)．4．已知P为椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为()A．5 B．7C．13 D．15解析：选B由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心：且|PF1|＋|PF2|＝10，从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7．5．若椭圆2kx2＋ky2＝1的一个焦点为(0，－4)，则k的值为________．解析：易知k≠0，方程2kx2＋ky2＝1变形为eq\f(y2,\f(1,k))＋eq\f(x2,\f(1,2k))＝1，所以eq\f(1,k)－eq\f(1,2k)＝16，解得k＝eq\f(1,32)．答案：eq\f(1,32)6．已知椭圆C：eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1，点M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝________．解析：取MN的中点G，G在椭圆C上，因为点M关于C的焦点F1，F2的对称点分别为A，B，故有|GF1|＝eq\f(1,2)|AN|，|GF2|＝eq\f(1,2)|BN|，所以|AN|＋|BN|＝2(|GF1|＋|GF2|)＝4a＝12．答案：127．已知点P在椭圆上，且P到椭圆的两个焦点的距离分别为5,3．过P且与椭圆的长轴垂直的直线恰好经过椭圆的一个焦点，求椭圆的标准方程．解：法一：设所求的椭圆方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)或eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)，由已知条件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＝5＋3，,?2c?2＝52－32，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,c＝2，))所以b2＝a2－c2＝12．于是所求椭圆的标准方程为eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1或eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,12)＝1．法二：设所求的椭圆方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)或eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)，两个焦点分别为F1，F2．由题意知2a＝|PF1|＋|PF2|＝3＋5＝8，所以a＝4．在方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1中，令x＝±c，得|y|＝eq\f(b2,a)；在方程eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1中，令y＝±c，得|x|＝eq\f(b2,a)．依题意有eq\f(b2,a)＝3，得b2＝12．于是所求椭圆的标准方程为eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1或eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,12)＝1．8．如图在圆C：(x＋1)2＋y2＝25内有一点A(1,0)．Q为圆C上一点，AQ的垂直平分线与C，Q的连线交于点M，求点M的轨迹方程．解：如图，连接MA．由题意知点M在线段CQ上，从而有|CQ|＝|MQ|＋|MC|．又点M在AQ的垂直平分线上，则|MA|＝|MQ|，故|MA|＋|MC|＝|CQ|＝5．又A(1,0)，C(－1,0)，故点M的轨迹是以(1,0)，(－1,0)为焦点的椭圆，且2a＝5，故a＝eq\f(5,2)，c＝1，b2＝a2－c2＝eq\f(25,4)－1＝eq\f(21,4)．故点M的轨迹方程为eq\f(x2,\f(25,4))＋eq\f(y2,\f(21,4))＝1．2．2．2椭圆的简单几何性质第一课时椭圆的简单几何性质预习课本P43～47，思考并完成以下问题1．椭圆有哪些几何性质？什么叫做椭圆的中心、顶点、长轴与短轴？2．什么是椭圆的离心率？随着离心率的变化椭圆的形状有何变化？椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)范围－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤a顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)轴长长轴长＝2a，短轴长＝2b焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c对称性对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0)离心率e＝eq\f(c,a)(0<e<1)1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的长轴长等于a()(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c()(3)椭圆的离心率e越小，椭圆越圆()答案：(1)×(2)√(3)√2．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是()A．5,3，eq\f(4,5) B．10,6，eq\f(4,5)C．5,3，eq\f(3,5) D．10,6，eq\f(3,5)答案：B3．若椭圆eq\f(x2,a2)＋y2＝1的焦点在x轴上，长轴长是短轴长的两倍，则椭圆的离心率为()A．eq\f(\r(3),2) B．eq\f(1,2)C．eq\f(\r(2),2) D．eq\f(\r(5),2)答案：A4．若焦点在y轴上的椭圆eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,2)＝1的离心率为eq\f(1,2)，则m的值为________．答案：eq\f(3,2)由标准方程研究几何性质[典例]求椭圆4x2＋9y2＝36的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率．[解]椭圆方程变形为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1，∴a＝3，b＝2，∴c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(9－4)＝eq\r(5)．∴椭圆的长轴长和焦距分别为2a＝6,2c＝2eq\r(5)，焦点坐标为F1(－eq\r(5)，0)，F2(eq\r(5)，0)，顶点坐标为A1(－3,0)，A2(3,0)，B1(0，－2)，B2(0,2)，离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),3)．求椭圆的性质时，应把椭圆化为标准方程，注意分清楚焦点的位置，这样便于直观地写出a，b的数值，进而求出c，求出椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标等几何性质．[活学活用]已知椭圆C1：eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,64)＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上．(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；(2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质．解：(1)由椭圆C1：eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,64)＝1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标(6,0)，(－6,0)，离心率e＝eq\f(3,5)；(2)椭圆C2：eq\f(y2,100)＋eq\f(x2,64)＝1，性质：①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；②对称性：关于x轴、y轴、原点对称；③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)；④焦点：(0,6)，(0，－6)；⑤离心率：e＝eq\f(3,5)．利用几何性质求标准方程[典例]求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)长轴长是10，离心率是eq\f(4,5)；(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6．[解](1)设椭圆的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)或eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)．由已知得2a＝10，a＝5．又∵e＝eq\f(c,a)＝eq\f(4,5)，∴c＝4．∴b2＝a2－c2＝25－16＝9．∴椭圆方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1或eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1．(2)依题意可设椭圆方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)．如图所示，△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，则c＝b＝3，a2＝b2＋c2＝18，故所求椭圆的方程为eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,9)＝1．(1)利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法．(2)根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，即先明确焦点的位置或分类讨论．一般步骤是：①求出a2，b2的值；②确定焦点所在的坐标轴；③写出标准方程．[活学活用]求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)长轴长是短轴长的5倍，且过点A(5,0)．(2)离心率e＝eq\f(3,5)，焦距为12．解：(1)若椭圆焦点在x轴上，设其标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＝5×2b，,\f(25,a2)＋\f(0,b2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝5，,b＝1.))故所求椭圆的标准方程为eq\f(x2,25)＋y2＝1；若焦点在y轴上，设其标准方程为eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)，由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＝5×2b，,\f(0,a2)＋\f(25,b2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝25，,b＝5.))故所求椭圆的标准方程为eq\f(y2,625)＋eq\f(x2,25)＝1．综上所述，所求椭圆的标准方程为eq\f(x2,25)＋y2＝1或eq\f(y2,625)＋eq\f(x2,25)＝1．(2)由e＝eq\f(c,a)＝eq\f(3,5)，2c＝12，得a＝10，c＝6，则b2＝a2－c2＝64．当焦点在x轴上时，所求椭圆的标准方程为eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,64)＝1；当焦点在y轴上时，所求椭圆的标准方程为eq\f(y2,100)＋eq\f(x2,64)＝1．综上所述，所求椭圆的标准方程为eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,64)＝1或eq\f(y2,100)＋eq\f(x2,64)＝1．求椭圆的离心率[典例]设椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为()A．eq\f(\r(3),6) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(\r(3),3)[解析]法一：由题意可设|PF2|＝m，结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝eq\r(3)m，故离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(|F1F2|,|PF1|＋|PF2|)＝eq\f(\r(3)m,2m＋m)＝eq\f(\r(3),3)．法二：由PF2⊥F1F2可知P点的横坐标为c，将x＝c代入椭圆方程可解得y＝±eq\f(b2,a)，所以|PF2|＝eq\f(b2,a)．又由∠PF1F2＝30°可得|F1F2|＝eq\r(3)|PF2|，故2c＝eq\r(3)·eq\f(b2,a)，变形可得eq\r(3)(a2－c2)＝2ac，等式两边同除以a2，得eq\r(3)(1－e2)＝2e，解得e＝eq\f(\r(3),3)或e＝－eq\r(3)(舍去)．[答案]D[一题多变]1．[变条件]若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°”改为“∠PF2F1＝75°，∠PF1F2＝45°”，求C的离心率．解：在△PF1F2中，∵∠PF1F2＝45°，∠PF2F1＝75°，∴∠F1PF2＝60°，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，|F1F2|＝2c，椭圆的长轴长为2a，则在△PF1F2中，有eq\f(m,sin75°)＝eq\f(n,sin45°)＝eq\f(2c,sin60°)，∴eq\f(m＋n,sin75°＋sin45°)＝eq\f(2c,sin60°)，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(sin60°,sin75°＋sin45°)＝eq\f(\r(6)－\r(2),2)．2．[变条件，变设问]若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°”改为“C上存在点P，使∠F1PF2为钝角”，求C的离心率的取值范围．解：由题意，知c>b，∴c2>b2．又b2＝a2－c2，∴c2>a2－c2，即2c2>a2．∴e2＝eq\f(c2,a2)>eq\f(1,2)，∴e>eq\f(\r(2),2)．故C的离心率的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))．求椭圆离心率及范围的两种方法(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝eq\f(c,a)求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝eq\f(c,a)求解．(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围．层级一学业水平达标1．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为()A．(±13,0) B．(0，±10)C．(0，±13) D．(0，±eq\r(69))解析：选D由题意知椭圆焦点在y轴上，且a＝13，b＝10，则c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(69)，故焦点坐标为(0，±eq\r(69))．2．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为()A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(3),2)C．eq\f(\r(3),4) D．eq\f(\r(6),4)

解析：选A依题意，△BF1F2是正三角形，∵在Rt△OBF2中，|OF2|＝c，|BF2|＝a，∠OF2B＝60°，∴cos60°＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，即椭圆的离心率e＝eq\f(1,2)，故选A．3．已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1与椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1有相同的长轴，椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的短轴长与椭圆eq\f(y2,21)＋eq\f(x2,9)＝1的短轴长相等，则()A．a2＝25，b2＝16B．a2＝9，b2＝25C．a2＝25，b2＝9或a2＝9，b2＝25D．a2＝25，b2＝9解析：选D因为椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1的长轴长为10，焦点在x轴上，椭圆eq\f(y2,21)＋eq\f(x2,9)＝1的短轴长为6，所以a2＝25，b2＝9．4．已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P．若＝2，则椭圆的离心率是()A．eq\f(\r(3),2) B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,2)解析：选D∵＝2，∴||＝2||．又∵PO∥BF，∴eq\f(|PA|,|AB|)＝eq\f(|AO|,|AF|)＝eq\f(2,3)，即eq\f(a,a＋c)＝eq\f(2,3)，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)．5．椭圆mx2＋ny2＋mn＝0(m<n<0)的焦点坐标是()A．(0，±eq\r(m－n)) B．(±eq\r(m－n)，0)C．(0，±eq\r(n－m)) D．(±eq\r(n－m)，0)解析：选C化为标准方程是eq\f(x2,－n)＋eq\f(y2,－m)＝1，∵m<n<0，∴0<－n<－m．∴焦点在y轴上，且c＝eq\r(－m－?－n?)＝eq\r(n－m)．6．椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,m)＝1的离心率为eq\f(1,2)，则m＝________．解析：当焦点在x轴上时，eq\f(\r(4－m),2)＝eq\f(1,2)?m＝3；当焦点在y轴上时，eq\f(\r(m－4),\r(m))＝eq\f(1,2)?m＝eq\f(16,3)．综上，m＝3或m＝eq\f(16,3)．答案：3或eq\f(16,3)7．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为eq\f(\r(5),5)，且过P(－5,4)，则椭圆的方程为________________．解析：∵e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),5)，∴eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2－b2,a2)＝eq\f(1,5)，∴5a2－5b2＝a2即4a2＝5b2．设椭圆的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(5y2,4a2)＝1(a>0)，∵椭圆过点P(－5,4)，∴eq\f(25,a2)＋eq\f(5×16,4a2)＝1．解得a2＝45．∴椭圆方程为eq\f(x2,45)＋eq\f(y2,36)＝1．答案：eq\f(x2,45)＋eq\f(y2,36)＝18．设F1，F2分别为椭圆eq\f(x2,3)＋y2＝1的左，右焦点，点A，B在椭圆上，若＝5，则点A的坐标是________．解析：设A(m，n)．由＝5，得Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m＋6\r(2),5)，\f(n,5)))．又A，B均在椭圆上，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(m2,3)＋n2＝1，,\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m＋6\r(2),5)))2,3)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,5)))2＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝0，,n＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝0，,n＝－1，))所以点A的坐标为(0,1)或(0，－1)．答案：(0,1)或(0，－1)9．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为eq\f(\r(2),2)，过点F1的直线l交椭圆C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，求椭圆C的标准方程．解：设椭圆C的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)．由e＝eq\f(\r(2),2)知eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，故eq\f(c2,a2)＝eq\f(1,2)，从而eq\f(a2－b2,a2)＝eq\f(1,2)，eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,2)．由△ABF2的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，得a＝4，∴b2＝8．故椭圆C的标准方程为eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,8)＝1．10．椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右顶点是A(a,0)，其上存在一点P，使∠APO＝90°，求椭圆离心率的取值范围．解：设P(x，y)，由∠APO＝90°知，点P在以OA为直径的圆上，圆的方程是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,2)))2＋y2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2．∴y2＝ax－x2．①又P点在椭圆上，故eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1．②把①代入②化简，得(a2－b2)x2－a3x＋a2b2＝0，即(x－a)[(a2－b2)x－ab2]＝0，∵x≠a，x≠0，∴x＝eq\f(ab2,a2－b2)，又0<x<a，∴0<eq\f(ab2,a2－b2)<a，即2b2<a2．由b2＝a2－c2，得a2<2c2，∴e>eq\f(\r(2),2)．又∵0<e<1，∴eq\f(\r(2),2)<e<1．层级二应试能力达标1．椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1与eq\f(x2,9－k)＋eq\f(y2,25－k)＝1(0<k<9)的关系为()A．有相等的长轴长、短轴长 B．有相等的焦距C．有相同的焦点 D．有相同的顶点解析：选Bceq\o\al(2,1)＝25－9＝16，ceq\o\al(2,2)＝(25－k)－(9－k)＝25－9＝16，所以两椭圆有相等的焦距．故选B．2．过椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为()A．8,6 B．4,3C．2，eq\r(3) D．4,2eq\r(3)解析：选B过椭圆焦点的最长弦为长轴，其长度为2a＝4；最短弦为垂直于长轴的弦，因为c＝1，将x＝1代入eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，得eq\f(12,4)＋eq\f(y2,3)＝1，解得y2＝eq\f(9,4)，即y＝±eq\f(3,2)，所以最短弦的长为2×eq\f(3,2)＝3．故选B．3．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为()A．eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,4)＝1 B．x2＋eq\f(y2,6)＝1C．eq\f(x2,6)＋y2＝1 D．eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,5)＝1解析：选B椭圆9x2＋4y2＝36可化为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝1，可知焦点在y轴上，焦点坐标为(0，±eq\r(5))，故可设所求椭圆方程为eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)，则c＝eq\r(5)．又2b＝2，即b＝1，所以a2＝b2＋c2＝6，则所求椭圆的标准方程为x2＋eq\f(y2,6)＝1．4．(全国丙卷)已知O为坐标原点，F是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为()A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3) D．eq\f(3,4)解析：选A如图所示，由题意得A(－a,0)，B(a,0)，F(－c,0)．设E(0，m)，由PF∥OE，得eq\f(|MF|,|OE|)＝eq\f(|AF|,|AO|)，则|MF|＝eq\f(m?a－c?,a)．①又由OE∥MF，得eq\f(\f(1,2)|OE|,|MF|)＝eq\f(|BO|,|BF|)，则|MF|＝eq\f(m?a＋c?,2a)．②由①②得a－c＝eq\f(1,2)(a＋c)，即a＝3c，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,3)．故选A．5．已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，A，B分别为椭圆的左顶点和上顶点，F为右焦点，且AB⊥BF，则椭圆的离心率为________．解析：在Rt△ABF中，|AB|＝eq\r(a2＋b2)，|BF|＝a，|AF|＝a＋c，由|AB|2＋|BF|2＝|AF|2，得a2＋b2＋a2＝(a＋c)2．将b2＝a2－c2代入，得a2－ac－c2＝0，即e2＋e－1＝0，解得e＝eq\f(－1±\r(5),2)．因为e>0，所以e＝eq\f(\r(5)－1,2)．答案：eq\f(\r(5)－1,2)6．已知椭圆的长轴长为20，短轴长为16，则椭圆上的点到椭圆中心的距离的取值范围是________．解析：由题意，知a＝10，b＝8，不妨设椭圆方程为eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,64)＝1，其上的点M(x0，y0)，则|x0|≤a＝10，|y0|≤b＝8，点M到椭圆中心的距离d＝eq\r(x\o\al(2,0)＋y\o\al(2,0))．因为eq\f(x\o\al(2,0),100)＋eq\f(y\o\al(2,0),64)＝1，所以yeq\o\al(2,0)＝64eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x\o\al(2,0),100)))＝64－eq\f(16,25)xeq\o\al(2,0)，则d＝eq\r(x\o\al(2,0)＋64－\f(16,25)x\o\al(2,0))＝eq\r(\f(9,25)x\o\al(2,0)＋64)，因为0≤xeq\o\al(2,0)≤100，所以64≤eq\f(9,25)xeq\o\al(2,0)＋64≤100，即8≤d≤10．答案：[8,10]7．已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝eq\f(\r(3),2)，求实数m的值及椭圆的长轴长和短轴长，并写出焦点坐标和顶点坐标．解：椭圆方程可化为eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,\f(m,m＋3))＝1，由m－eq\f(m,m＋3)＝eq\f(m?m＋2?,m＋3)>0，可知m>eq\f(m,m＋3)，所以a2＝m，b2＝eq\f(m,m＋3)，c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(\f(m?m＋2?,m＋3))，由e＝eq\f(\r(3),2)，得eq\r(\f(m＋2,m＋3))＝eq\f(\r(3),2)，解得m＝1．于是椭圆的标准方程为x2＋eq\f(y2,\f(1,4))＝1，则a＝1，b＝eq\f(1,2)，c＝eq\f(\r(3),2)．所以椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，0))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，0))；四个顶点坐标分别为(－1,0)，(1,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))．8．设F1，F2分别是椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|F1B|．(1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；(2)若cos∠AF2B＝eq\f(3,5)，求椭圆E的离心率．解：(1)由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，得|AF1|＝3，|F1B|＝1．因为△ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a＝16，|AF1|＋|AF2|＝2a＝8．故|AF2|＝8－3＝5．(2)设|F1B|＝k，则k>0且|AF1|＝3k，|AB|＝4k．由椭圆定义可得，|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k．在△ABF2中，由余弦定理可得，|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2|·cos∠AF2B，即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－eq\f(6,5)(2a－3k)·(2a－k)．化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k>0，故a＝3k．于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k．因此|BF2|2＝|F2A|2＋|AB|2，可得F1A⊥F2A，故△AF1F2为等腰直角三角形．从而c＝eq\f(\r(2),2)a，所以椭圆E的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)．第二课时直线与椭圆的位置关系预习课本P47～48，思考并完成以下问题1．点与椭圆的位置关系有哪几种？如何判断？2．直线与椭圆有哪几种位置关系？如何确定？3．直线被椭圆截得的弦长公式是什么？1．点与椭圆的位置关系点P(x0，y0)与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置关系：点P在椭圆上?eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)＝1；点P在椭圆内部?eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)<1；点P在椭圆外部?eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)>1．2．直线与椭圆的位置关系直线y＝kx＋m与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置关系，判断方法：联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))消y得一元二次方程．当Δ>0时，方程有两解，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，方程有一解，直线与椭圆相切；当Δ<0时，方程无解，直线与椭圆相离．3．直线与椭圆相交的弦长公式(1)定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦．(2)求弦长的方法①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求．②根与系数的关系法：如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则弦长公式为：|AB|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(?x1＋x2?2－4x1x2)＝eq\r(1＋\f(1,k2))·eq\r(?y1＋y2?2－4y1y2)．1．已知点(2,3)在椭圆eq\f(x2,m2)＋eq\f(y2,n2)＝1上，则下列说法正确的是()A．点(－2,3)在椭圆外 B．点(3,2)在椭圆上C．点(－2，－3)在椭圆内 D．点(2，－3)在椭圆上答案：D2．直线y＝x＋1被椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1所截得的弦的中点坐标是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(5,3))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(7,3)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，\f(1,3))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13,2)，\f(17,2)))答案：C3．设F1，F2分别是椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为________．答案：4直线与椭圆的位置关系[典例]对不同的实数值m，讨论直线y＝x＋m与椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1的位置关系．[解]由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋m，,\f(x2,4)＋y2＝1，))消去y，得eq\f(x2,4)＋(x＋m)2＝1，整理得5x2＋8mx＋4m2－4＝0．Δ＝(8m)2－4×5(4m2－4)＝16(5－m2)．当－eq\r(5)<m<eq\r(5)时，Δ>0，直线与椭圆相交；当m＝－eq\r(5)或m＝eq\r(5)时，Δ＝0，直线与椭圆相切；当m<－eq\r(5)或m>eq\r(5)时，Δ<0，直线与椭圆相离．判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则Δ>0?直线与椭圆相交；Δ＝0?直线与椭圆相切；Δ<0?直线与椭圆相离．[活学活用]若直线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,m)＝1总有公共点，求m的取值范围．解：∵直线y＝kx＋1过定点A(0,1)．由题意知，点A在椭圆eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,m)＝1内或椭圆上，∴eq\f(02,5)＋eq\f(12,m)≤1，∴m≥1．又椭圆焦点在x轴上∴m<5，故m的取值范围为[1,5)．弦长及中点弦问题[典例]已知点P(4,2)是直线l被椭圆eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,9)＝1所截得的线段的中点．(1)求直线l的方程．(2)求直线l被椭圆截得的弦长．[解](1)[法一根与系数关系法]由题意可设直线l的方程为y－2＝k(x－4)，而椭圆的方程可以化为x2＋4y2－36＝0．将直线方程代入椭圆方程有(4k2＋1)x2－8k(4k－2)x＋4(4k－2)2－36＝0．所以x1＋x2＝eq\f(8k?4k－2?,4k2＋1)＝8，解得k＝－eq\f(1,2)．所以直线l的方程为y－2＝－eq\f(1,2)(x－4)，即x＋2y－8＝0．[法二点差法]设直线l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\o\al(2,1)＋4y\o\al(2,1)－36＝0，,x\o\al(2,2)＋4y\o\al(2,2)－36＝0.))两式相减，有(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)·(y1－y2)＝0．又x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，所以eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(1,2)，即k＝－eq\f(1,2)．所以直线l的方程为x＋2y－8＝0．(2)由题意可知直线l的方程为x＋2y－8＝0，联立椭圆方程得x2－8x＋14＝0．法一：解方程得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝4＋\r(2)，,y1＝2－\f(\r(2),2)，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝4－\r(2)，,y2＝2＋\f(\r(2),2)，))所以直线l被椭圆截得的弦长为＝eq\r(10)．法二：因为x1＋x2＝8，x1x2＝14．所以直线l被椭圆截得的弦长为eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2)eq\r(82－4×14)＝eq\r(10)．解决椭圆中点弦问题的两种方法(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；(2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段AB的中点，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),a2)＋\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，①,\f(x\o\al(2,2),a2)＋\f(y\o\al(2,2),b2)＝1，②))由①－②，得eq\f(1,a2)(xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2))＋eq\f(1,b2)(yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2))＝0，变形得eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(b2,a2)·eq\f(x1＋x2,y1＋y2)＝－eq\f(b2,a2)·eq\f(x0,y0)，即kAB＝－eq\f(b2x0,a2y0)．[活学活用](全国卷Ⅱ)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(2),2)，点(2，eq\r(2))在C上．(1)求C的方程；(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．解：(1)由题意有eq\f(\r(a2－b2),a)＝eq\f(\r(2),2)，eq\f(4,a2)＋eq\f(2,b2)＝1，解得a2＝8，b2＝4．所以C的方程为eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1．(2)证明：法一：设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．将y＝kx＋b代入eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1，得(2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0．故xM＝eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(－2kb,2k2＋1)，yM＝k·xM＋b＝eq\f(b,2k2＋1)．于是直线OM的斜率kOM＝eq\f(yM,xM)＝－eq\f(1,2k)，即kOM·k＝－eq\f(1,2)．所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),8)＋\f(y\o\al(2,1),4)＝1，①,\f(x\o\al(2,2),8)＋\f(y\o\al(2,2),4)＝1，②))①－②得eq\f(?x1＋x2??x1－x2?,8)＋eq\f(?y1＋y2??y1－y2?,4)＝0，∴kAB＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(4?x1＋x2?,8?y1＋y2?)＝－eq\f(1,2)·eq\f(xM,yM)．又kOM＝eq\f(yM,xM)，∴kAB·kOM＝－eq\f(1,2)．所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．与椭圆有关的综合问题[典例]已知椭圆eq\f(x2,a2)＋y2＝1(a>1)，过直线l：x＝2上一点P作椭圆的切线，切点为A，当P点在x轴上时，切线PA的斜率为±eq\f(\r(2),2).(1)求椭圆的方程；(2)设O为坐标原点，求△POA面积的最小值．[解](1)当P点在x轴上时，P(2,0)，直线PA的方程为y＝±eq\f(\r(2),2)(x－2)，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝±\f(\r(2),2)?x－2?，,\f(x2,a2)＋y2＝1))?eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a2)＋\f(1,2)))x2－2x＋1＝0，则Δ＝4－4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a2)＋\f(1,2)))＝0?a2＝2，所以椭圆方程为eq\f(x2,2)＋y2＝1.(2)设切线方程为y＝kx＋m，P(2，y0)，A(x1，y1)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,x2＋2y2－2＝0))?(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0?Δ＝16k2m2－4×(1＋2k2)(2m2－2)＝0?m2＝2k2＋1，且x1＝eq\f(－2km,1＋2k2)，y1＝eq\f(m,1＋2k2)，y0＝2k＋m，则|PO|＝eq\r(y\o\al(2,0)＋4)，直线PO的方程为y＝eq\f(y0,2)x，则点A到直线PO的距离d＝eq\f(|y0x1－2y1|,\r(y\o\al(2,0)＋4))，则S△POA＝eq\f(1,2)|PO|·d＝eq\f(1,2)|y0x1－2y1|＝eq\f(1,2)(2k＋m)·eq\f(－2km,1＋2k2)－eq\f(2m,1＋2k2)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1＋2k2＋km,1＋2k2)·m))＝|k＋m|＝|k＋eq\r(1＋2k2)|，∴(S±k)2＝1＋2k2?k2±2Sk－S2＋1＝0，Δ＝8S2－4≥0?S≥eq\f(\r(2),2)，当且仅当k＝±eq\f(\r(2),2)时等号成立．∴△POA面积的最小值为eq\f(\r(2),2).解决与椭圆有关的最值问题的三种方法(1)定义法：利用定义转化为几何问题处理．(2)数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特征，进而求解．(3)函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题来处理，注意椭圆的范围．[活学活用]设椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B．已知|AB|＝eq\f(\r(3),2)|F1F2|．(1)求椭圆的离心率．(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率．解：(1)设椭圆的右焦点F2的坐标为(c,0)．由|AB|＝eq\f(\r(3),2)|F1F2|，可得a2＋b2＝3c2，又b2＝a2－c2，则eq\f(c2,a2)＝eq\f(1,2)．所以椭圆的离心率e＝eq\f(\r(2),2)．(2)由(1)知a2＝2c2，b2＝c2．故椭圆方程为eq\f(x2,2c2)＋eq\f(y2,c2)＝1．设P(x0，y0)．由F1(－c,0)，B(0，c)，有＝(x0＋c，y0)，＝(c，c)．由已知，有·＝0，即(x0＋c)c＋y0c＝0．又c≠0，故有x0＋y0＋c＝0．①又因为点P在椭圆上，故eq\f(x\o\al(2,0),2c2)＋eq\f(y\o\al(2,0),c2)＝1．②由①和②可得3xeq\o\al(2,0)＋4cx0＝0．而点P不是椭圆的顶点，故x0＝－eq\f(4c,3)，代入①得y0＝eq\f(c,3)，即点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4c,3)，\f(c,3)))．设圆的圆心为T(x1，y1)，则x1＝eq\f(－\f(4,3)c＋0,2)＝－eq\f(2,3)c，y1＝eq\f(\f(c,3)＋c,2)＝eq\f(2,3)c，进而圆的半径r＝eq\r(?x1－0?2＋?y1－c?2)＝eq\f(\r(5),3)c，设直线l的斜率为k，依题意，直线l的方程为y＝kx．由l与圆相切，可得eq\f(|kx1－y1|,\r(k2＋1))＝r，即eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2c,3)))－\f(2c,3))),\r(k2＋1))＝eq\f(\r(5),3)c，整理得k2－8k＋1＝0，解得k＝4±eq\r(15)．所以直线l的斜率为4＋eq\r(15)或4－eq\r(15)．层级一学业水平达标1．直线y＝kx－k＋1与椭圆eq\f(x2,