2022八年级寒假预习讲义 北师大版

2022八年级寒假预习精编讲义

第1讲等腰三角形.............................................................................2

考点1：等腰三角形的性质...................................................................4

考点2：等腰三角形的判定...................................................................6

考点3：等腰三角形的判定与性质.............................................................8

考点4：等边三角形的性质..................................................................11

考点5：等边三角形的判定与性质............................................................13

考点6：含30度角的直角三角形.............................................................15

第2讲直角三角形............................................................................23

考点1：直角三角形全等的判定..............................................................26

考点2：直角三角形的性质..................................................................28

考点3：命题与定理........................................................................31

考点4：命题与定理........................................................................33

第3讲垂直平分线和角平分线..................................................................42

考点1：角平分线的性质....................................................................45

考点2：线段垂直平分线的性质..............................................................49

第4讲不等式的定义不等式的基本性质.........................................................63

考点1：不等式的定义......................................................................64

考点2：不等式的性质......................................................................67

第5讲不等式的解集.........................................................................74

考点1：不等式的解集......................................................................74

考点2：在数轴上表示不等式的解集..........................................................76

第6讲一元一次不等式........................................................................81

考点1：一元一次不等式的定义..............................................................83

考点2：解一元一次不等式..................................................................84

考点3：一元一次不等式的整数解............................................................86

考点4：由实际问题抽象出一元一次不等式...................................................87

考点5：一元一次不等式的应用..............................................................89

第7讲一元一次不等式组.......................................................................95

考点1：一元一次不等式组的定义...........................................................96

考点2：解一元一次不等式组................................................................97

考点3：一元一次不等式组的整数解.........................................................98

考点4：由实际问题抽象出一元一次不等式组................................................100

考点5：一元一次不等式组的应用..........................................................102

第1讲等腰三角形

【知识点拨】

考点1:等腰三角形的定义

1.等腰三角形

有两条边相等的三角形,叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做，另--边叫做,两腰所

夹的角叫做顶角,底边与腰的夹角叫做

如图所示，在AABC中，AB=AC,AABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边，NA是顶角，NB、

NC是底角.

2.等腰三角形的作法

已知线段a,b（如图）.用作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a.

b

作法：1.作线段BC=a；

2.分别以B,C为圆心，以b为半径画弧，两弧相交于点A;

3.连接AB,AC.AABC为所求作的等腰三角形

3.等腰三角形的对称性

(1)等腰三角形是________________图形；

(2)ZB=ZC；

(3)BD=CD,AD为底边上的

(4)/ADB=NADC=90°,AD为底边上的高线.

结论：等腰三角形是是它的对称轴.

4.等边三角形

叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的，有三条对称

轴，每个角的就是它的对称轴.

知识要点

(1)等腰三角形的底角只能为,不能为，但顶角可.NA=180。-2

(2)等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的,等腰三角形不一定是一三角

形.

考点2:等腰三角形的性质

1.等腰三角形的性质

性质1：等腰三角形的两个底角,简称“在同一个三角形中，

推论：等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于°.

性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线.简称“_______________________S

2.等腰三角形中重要线段的性质

等腰三角形的两底角的相等.

知识要点

这条性质，还可以推广到一下结论：

(1)等腰三角形底边上的高上任一点到相等。

(2)等腰三角形两底边上的到两腰的距离相等.

(3)等腰三角形两的交点到两腰的距离相等，到底边两端上的距离相等.

(4)等腰三角形顶点到两腰上的的距离相等.

考点3：等腰三角形的判定定理

1.等腰三角形的判定定理

如果一个三角形有两个角____________」那么这个三角形是_________三角形.可以简单的说成：在一个三

角形中，___________________

知识要点

(1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆.判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理

是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系.

(2)不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形.

2.等边三角形的判定定理

三个角相等的三角形是____________三角形.

有一个角是___________二的三角形是等边三角形.

3.含有30°角的直角三角形

定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于________二，那么它所对的

考点4：反证法

在证明时，先假设命题的结论不成立，然后从这个假设出发，经过逐步推导论证，最后推出与学过的概念、

基本事实，以证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明命题

的方法叫做反证法.

知识要点

反证法也称归谬法，是一种间接证明的方法，一般适用于直接证明有困难的命题.一般证明步骤如下：

(1)假定命题的结论不成立；

(2)从这个假设和其他已知条件出发，经过推理论证，得出与学过的概念、基本事实，以证明的定理、

性质或题设条件相矛盾的结果：

(3)由矛盾的结果，判定假设不成立，从而说明命题的结论是正确的.

【考点精讲】

考点1：等腰三角形的性质

【例1】(2021秋•永吉县期末)等腰三角形两边的长分别为3cm和5cm,则这个三角形的周长是()

A.11cmB.13cmC.11。加或13。阳D.不确定

【解答】解：①3c〃?是腰长时，三角形的三边分别为3。〃7、3cm、5cm,

能组成三角形，周长=3+3+5=11cm,

②3cv«是底边长时，三角形的三边分别为3CTH、5cm、5cm,

能组成三角形,周长=3+5+5=13cm,

综上所述，这个等腰三角形的周长是11。加或13cm.

故选：C.

【例2】（2021秋•顺城区期末）己知等腰三角形的周长为，一边长为4cw,则它的腰长为（）

A.4cmB.6.5cmC.6.5cvn或9CT„D.4cvn或6.5CVW

【解答】解：①若4的是腰长,则底边长为：20-4-4=12（"

•.14+4<12,不能组成三角形，舍去；

②若4cvn是底边长，则腰长为：I’24=6.5（c/n）.

则腰长为6.5cm.

故选：B.

【变式训练1】（2021秋•利通区期末）等腰A4BC,AB=AC,4）平分N8/C交BC于。，如果8c=6,

则8。=.

【变式训练2】（2021秋•绿园区期末）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图

所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒04,08组成，两根棒在。点相

连并可绕。转动，C点固定，OC=CD=DE,点、D、E可在槽中滑动.若NBDE=75。,则NC0E的度数

是—.

图①图②

【变式训练3】（2021秋•利通区期末）如图，在A48c中，AB=AC,。是三角形内一点，连接Z。，BD,

CD,NBDC=90°,NDBC=45°.

（1）求证：ABAD=ACAD；

（2）求NZD?的度数.

【变式训练4】（2021秋•惠州期中）已知等腰三角形AJ8C周长为25.腰是底的2倍，求AJ8C三边的长.

考点2：等腰三角形的判定

【例1】（2021•呼和浩特一模）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点.已知X、8是两格点,

若C也是图中的格点，则使得A/1BC是以为一腰的等腰三角形时，点C的个数是（）

A.8B.6C.4D.7

【解答】解：如图，以48为等腰A/I8C其中的一条腰时，符合条件的C点有4个.

【例2】（2021•浙江自主招生）在平面直角坐标系xQy内，已知点尸（-2,2）,。是y轴上一点，则使AOPQ

为等腰三角形的点0的个数为（）

A.3B.4C.5D.6

【解答】解：如图示，点。共有4个点.

故选：B.

【变式训练1】（2019秋•江夏区期末）如图，4=36。，NDBC=36°,NC=72。，请写出图中有哪些等

腰三角形？.

【变式训练2】（2021秋7栗阳市期中）如图1,在RtAABC中，ZBAC=90°,4D1BC于点D,BG平分

ZABC,交于点E,交/C于点G

（1）求证：AE=AG；

（2）如图2,过点、E作EF//BC,交/C于点/，若NC=30。，求证：AG=GF=FC.

【变式训练3】（2018秋•双台子区期末）如图，在A4BC中，NBAC=90°,4D1BC于点、D,BE交AD

于点尸，交ZC于点E,若BE平分ZABC,试判断A4E尸的形状，并说明理由.

考点3：等腰三角形的判定与性质

【例1】（2021秋•中山区期末）如图，在A48c中，NACB=90°,以8c为边画等腰AfiCP,使点尸在A4BC

的边上，则符合条件的点尸有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

【解答】解：如图，以点C为圆心，8C长为半径作弧，交AB,/C分别为月，以点2为圆心，BC长

为半径作弧，交于A，作BC的垂直平分线交N8于

故选：C.

【例2】（2021秋•东西湖区期末）如图，在RtAABC中，乙8=90。，以A48C的一边为边画等腰三角形,

使得它的第三个顶点在A48C的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（）

A.4B.5C.6D.7

【解答】解：如图，可以画出7个等腰三角形：

B；C

图6

故选：D.

【变式训练1】（2021秋•双阳区期末）如图，已知A48C的角平分线CQ交于。，DEI/BC交AC于E,

若。E=4,AC=1,则Z£=.

【变式训练2】（2021秋•淅川县期末）如图，48c的平分线即与A48C中N4C5的相邻外角4CG的

平分线CE相交于点尸，过尸作。尸//8C,交AB于D,交ZC于E,若BD=9cm,DE=4cm,求CE的

长为cm■

A

【变式训练3】(2021秋•淅川县期末)如图，点。是A48C边ZC上的一个动点，过。点作MN//8c.设

MN交NACB的平分线于点E,交NACB的外角ZACD的平分线于点F.

(1)求证：OE=OF；

(2)若CE=16,CF=\2,求OC的长.

【变式训练4】(2021秋•盐池县期末)已知I：如图，AC=AB,NACD=N4BD,求证：CD=BD.

【变式训练5】(2021春•海珠区校级期中)如图，在四边形/8CZ)中，AD//BC,AE平分NDAB,BE平

分ZCBA.

(1)AE工BE；

(2)若4E=4,BE=6,求:四边形力8C。的面积.

AD

考点4：等边三角形的性质

【例1】（2021秋•九龙县期末）如图所示，A48C是等边三角形，AQ=PQ,PRLAB于R点,PS，4c

于S点，PR=PS,则四个结论：①点尸在乙4的平分线上；@AS=AR；③QPUAR；®\BRP=\QSP,

正确的结论是（）

A.①②③④B.只有①②C.只有②③D.只有①③

【解答】解：•.・A48C是等边三角形，PRLAB,PSLAC,且尸R=PS,P在N/的平分线上，①正

确；

由①可知，PB=PC,N8=NC,PS=PR,\BPR5\CPS,AS=AR,②正确：

•••AQ=PQ,ZPQC=2NPAC=60°=ZBAC,；.PQI/AR,③正确；

由③得，APQC是等边三角形，.•.△PQSMAPCS,又由②可知，®\BRP^\QSP,④也正确

•.・①②③④都正确，

故选：A.

【例2】（2021春•舒兰市期末）如图，A48C和AZJCE都是边长为4的等边三角形，点5,C,E在同一

条直线上，连接8。，则8。长（）

AD

A.3B.2y/3C.36D.4^

【解答】解：•.•A/18C和ACCE都是边长为4的等边三角形，

CB=CD,

NBDC=4DBC=30°,

XvZCZ）£,=60°,

NBDE=90°,

在RtABDE中，DE=4,BE=8,

BD=y）BE2-DE2=782-42=473,

故选：D.

【变式训练1】（2021秋•亭湖区期中）若Na是等边三角形的一个内角，则/a=—.

【变式训练2】（2021秋•浦北县期中）在A48C中，AB=AC=1,NC=60。，则8c的长为.

【变式训练3】（2021秋•天津期中）在AZ8C中，已知N/=28=60。，且A/18C的周长为24c勿，则48的

长为cm.

【变式训练4】（2019秋•江城区期末）如图所示，在等边三角形/8C中，AB=2,尸是ZB边上的任意一

点（点尸可以与点Z重合，不点5重合），过点尸作PE18C,垂足为E,过点E作EFL/C,垂足为尸，

过点尸作尸01/8,垂足为0,设8?=x,AQ=y.

（1）请将y用含x的式子表示出来；

（2）当8P的长等于多少时，点尸与点。重合？

QpB

【变式训练5】（2018秋•太康县期末）如图，等边A4BC中，。是ZC的中点，E是8C延长线上的一点,

且CE=CD,DFYBE,垂足是尸，求证：BF=EF.

考点5：等边三角形的判定与性质

【例1】（2019秋•崇川区校级期中）A4BC中，AB=BC=6,ZB=60°,则AC等于（）

A.4B.6C.8D.10

【解答】解：•在A48c中，AB=BC=6,ZB=60°,

48c是等边三角形，

AC=6.

故选：B.

【例2】（2018秋•惠山区期中）如图，以。为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA/交于点/,再以/为

圆心，4。长为半径画弧，两弧交于点3,画射线贝i」cosN4O8=（）

CGD百

B.

223

【解答】解：根据题意得：OA=OB=AB,

△048是等边三角形，

.•.408=60°,

二.cosZ.AOB-cos60°=—.

2

故选：B.

【变式训练1】（2019秋•锡山区期中）如图，两块完全一样的含30。角的直角三角板，将它们重叠在一起

并绕其较长直角边的中点"转动，使上面一块三角板的斜边刚好过下面一块三角板的直角顶点C.已知

AC=4,则这两块直角三角板顶点4、H之间的距离等于—.

【变式训练2】（2019•南开区三模）如图，在A48c中，AB=AC,D,E是AABC内两点,4D平分NB4C,

NEBC=NE=60°,若BE=9cm,DE=3cm,则8C=cm.

【变式训练3】（2021秋•南开区校级月考）如图所示，A4BC是等边三角形，4。是高，并且Z8恰好是DE

的垂直平分线，求证：A/1OE是等边三角形.

【变式训练4】（2018秋•邵阳县期末）如图，在等边A/18C中，N/8C与乙4c8的平分线相交于点。，且

OD//AB,OEHAC

（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由;

（2）若BC=10,求AODE的周长.

BDE

考点6：含30度角的直角三角形

【例1】(2021秋•连山区期末)如图，在ZU8C中，NACB=90。，CD上于点D,4=60。，40=2,

则8。=()

【解答】解：・・・//。8=90。，CD1AB,

:"BCD+/ACD=90°,ZA+AACD=90°,

々BCD=乙4=60°,

ZACD=ZB=30°,

・••AD=2,

:.AC=2AD=4,

AB=2AC=S,

BD=AB-AD=S-2=6.

故选：C.

【例2】(2021秋•肇州县期末)如图，在A43C中，41cH=90。，Z5=15°,QE垂直平分48,交BC于

点、E,AE=6cm,则4c=()

【解答】解：•••£）£垂直平分N8,

EB=EA,

NE4B=NB=T5。,

NAEC=30°,

AC=g/E=3（cw）,

故选：D.

【变式训练1】（2021秋•海淀区期末）如图，在&48c中，乙18c=90。，4cB=60。，BD1AC,垂足

为。.若45=6,则8。的长为.

【变式训练2】（2021秋•齐河县期末）如图，在。8c中，ZACB=90°,NB=30。，CE垂直于48于点E,

。是N8的中点.

（1）求证：AE=ED；

（2）若/C=2,求DE的长.

【课后巩固】

一.选择题

1.（2021秋•中山区期末）如图，在A48c中，ZACB=90°,以8c为边画等腰MCP,使点P在A48C的

边上，则符合条件的点尸有（）

A

A.2个B.3个C.4个D.5个

2.（2021秋•齐河县期末）如图，在等腰A48C中，48c=118。，”的垂直平分线DE交月8于点。，交

/C于点E,8c的垂直平分线尸。交BC于点P,交NC于点。，连接BE,BQ,则//%=（）

3.（2021秋•河南期末）如图，AB=AC,CD=CE.过点。的直线FG与。E平行，若乙4=38。，则N1为

（）

4.（2021秋•船营区期末）平面直角坐标系中，已知4（1,1）,8（2,0）.若在x轴上取点C,使AJ8C为等腰

三角形，则满足条件的点C的个数是（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

5.（2021秋•沙河口区期末）如图，在RtAABC中，NACB=90°,/C工8c.点尸是直角边所在直线上一

点，若AHB为等腰三角形，则符合条件的点尸的个数最多为（）

A.3个B.6个C.7个D.8个

6.（2021秋•喀什地区期末）下列说法错误的是（）

A.等腰三角形的两个底角相等

B.等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合

C.三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点距离相等

D.等腰三角形顶角的外角是其底角的2倍

7.（2021秋•河北区期末）如图，在A48C中，N8/C和N/8C的平分线ZE,8尸相交于点O,AE交BC

于E,BF交AC于F,过点。作OOJ.8C于。，下列三个结论：®ZAOB=＜）0°+-ZC；②当NC=60。时,

2

AF+BE=AB-.③若AB+BC+CA=2b,则%叱=湖.其中正确的是()

A.①②B.②③C.①②③D.①③

8.(2021秋•福清市期末)在等腰A/48c中，85=3C,点/(0,m),5(n,12-2n),C(2m-l,0),0<m<n<6,

O为坐标原点，若05平分N/OC,则加+〃的值（）

A.5B.7C.5或7D.4或5

二.填空题

9.（2021秋•东城区期末）如图，在A48c中，。是8c上一点，AC=AD=DB,N8/C=105。，则N8=

10.（2021秋•番禺区期末）如图，在AJ8c中，N8=30。，8c的垂直平分线交N8于点E,垂足为点

若ED=5,则EC的长为.

11.（2021秋•涪城区校级期末）如图，在A/18C中，NB=NC,D,E分别是线段8C、/C上的一点,

且=用等式表示N1和N2之间的数量关系是.

12.（2021秋•沙河口区期末）如图，A48c中，AABC=45°,高/。和8E相交于点〃，ACAD=30°,若

AC=4,则点，到BC的距离是.

13.（2021秋•长春期末）如图，在&48C中，AB=AC.是8c边上的中线，点E在边48上，且

BD=BE.若N8NC=100。，则乙4OE的大小为度.

BDC

14.（2021秋•长春期末）如图，4。是等腰三角形/8C的顶角平分线，且/。=3,8c=8,则的长为

15.（2021春•成都期末）如图，在A48c中，AB=AC,。为线段BC上一动点（不与点8、C重合），连

接力。，作/0/£=/加。，且力。=/£\连接CE.

(1)如图1,当CE//”时，若NBAD=35。，则ZDEC度;

（2）如图2,设2民4。=＜/（90。＜夕＜180。），在点。运动过程中，当。E_L8C时，ZDEC=.（用含a

的式子表示）

16.（2013秋•泉港区期末）如图，在&48c中，ADLBC,AB=AC,8c=10,则

17.（2021秋•西峰区期末）如图，/£）是等边A48c的中线，AE=AD,求NEDC的度数.

18.（2021秋•抚顺县期末）中，AB=AC,NB=30。，点P在8c边上运动（尸不与8、C重合）,

连接4P，作N/P0=N5,PQ交4B于点Q.

（1）如图1,当PQ//C4时，判断A4P8的形状并说明理由；

（2）在点尸的运动过程中，A4尸。的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出N8QP的度数；若不

可以，请说明理由.

图1备用图

19.（2021秋•淅川县期末）如图，点。是A48C边ZC上的一个动点，过。点作WN//8c.设MN交乙ACB

的平分线于点E,交4cB的外角N/C。的平分线于点E.

(1)求证：OE=OF；

(2)若CE=16,CF=\2,求OC的长.

20.(2021秋•齐河县期末)如图，在AJ8C中，乙4c8=90。，N8=30。，CE垂直于Z8于点E,D是4B

的中点.

(1)求证：AE=ED；

(2)若/C=2,求DE的长.

21.(2021秋•青田县期末)如图，在RtAABC中，ZACB=90°,ZA=30°,BC=1.将三角板中30。角的

顶点。放在48边上移动，使这个30。角的两边分别与A4BC的边ZC,BC相交于点E,F,且使OE始

终与垂直.

(1)求证：ABDF是等边三角形;

(2)若移动点D使EF///B时,求4。的长.

22.（2021秋•五常市期末）如图，点。、E在2MBe的边BC上，AD=AE,BD=CE.

（1）求证：AB=AC;

（2）若N8/C=108。，NDAE=36。，直接写出图中除ZU8C与A/JDE外所有的等腰三角形.

23.（2021秋•吉林期末）已知：如图，在A48C中，AB=AD=DC,ZBAD=30°;试求N8和NC的度数.

24.（2021秋•原州区期末）如图，AABC是等边三角形,8。是中线，延长8c到点E,使CE=CD.则。8

和DE是否相等？为什么？

D

25.(2021秋•呼和浩特期末)如图，点O是等边A48c内一点，。是A48c外的一点，ZAOB110°,

NBOC=a,\BOC=AADC,ZOCD=60°,连接OD.

(1)求证：△08是等边三角形；

(2)当a=150。时，试判断的形状，并说明理由；

(3)探究：当a为多少度时，&40。是等腰三角形.

26.(2021秋•洛川县期末)如图，点Q,E在A48C的边8C上，AB=AC,AD=AE.

(1)求证：BD=CE；

⑵若4D=BD=DE,求N8/C的度数.

第2讲直角三角形

【知识点拨】

考点1:勾股定理

直角三角形等于.如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长

为c,那么/+〃=。2.

知识要点

（1）勾股定理揭示了一个直角三角形

（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目中的已知线段的长可以建立方程求解，这

样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.

（3）理解勾股定理的一些变式：a2=c2-b2,b2=c2-a2,c2=（a+b^-2ab.

（4）勾股数：满足不定方程x2+j/=z2的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，

以X、八z为三边长的三角形一定是直角三角形.

熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：

13、4、5；5、12、13；8、15、17；7、24、25；9、40、41...

②如果。、b、c是勾股数，当f为正整数时，以血、bt、。为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.

③〃2一1,2〃，n2+l是自然数）是直角三角形的三条边长；

④2/+2〃,2〃+1,2〃2+2〃+1（"是自然数）是直角三角形的三条边长；

⑤/\m2+〃2,2（加〉〃，加、〃是自然数）是直角三角形的三条边长.

考点2：勾股定理的证明

方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.

图⑴中$正力麽⑻0=（。+”='+4义18,所以

方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.

图⑵中网力侬⑦=/=（5一a）2+4x：aS'所以

方法三：如图(3)所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.

=.+块。+夕'=2X%,所以/+/2.

梆彦ASGjy222s,-j

考点3：勾股定理的逆定理

如果三角形的三条边长a,b,C,满足。2+/=。2,那么这个三角形是直角三角形.

知识要点

(1)勾股定理的逆定理的作用是_____________________________________

(2)勾股定理的逆定理是把是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.

考点4：如何判定一个三角形是否是直角三角形

(1)首先确定______________________

(2)验证与/+/是否具有关系若c?=/+从，则AABC是/C=90°的直角三

角形；若。2#/+从，则4ABC___________直角三角形.

知识要点

当/+/j2<c2时，此三角形为____________三角形；当/+/>02时，此三角形为__________三角形，

其中c为三角形的

考点2：互逆命题与互逆定理

如果两个命题的___________正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫,则另一个

叫做它的______________

如果一个定理的逆命题经过证明是那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理,其中一

个定理称为另一个定理的

知识要点

原命题正确，逆命题未必正确：原命题不正确，其逆命题也不一定错误：正确的命题我们称为真命题，错

误的命题我们称它为假命题.一个定理是真命题，每一个定理不一定有逆定理，如果这个定理存在着逆定理,

则一定是真命题.

考点6：直角三角形全等的判定（HL）

在两个直角三角形中，有和一条对应相等的两个直角三角形全等（可以简

称“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.

知识要点

（1）“HL”从顺序上讲是“对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状

和大小就确定了.

（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：.证明两个直角三角形全等，

首先考虑用定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.

（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在

两个三角形前加上“Rt”.

【考试精讲】

考点1：直角三角形全等的判定

[例1]（2021秋•延边州期末）如图，用纸板挡住部分直角三角形后，能画出与此直角三角形全等的三角

形，其全等的依据是（）

A.ASAB.AASC.SASD.HL

【解答】解：由图可得，三角形已知一个锐角和一个直角，以及两角的夹边，

所以根据4”证明三角形全等，

故选：A.

【例2】（2021秋•安徽月考）下列说法不正确的是（）

A.三边分别相等的两个三角形全等

B.有两边及一角对应相等的两个三角形全等

C.有两角及一边对应相等的两个三角形全等

D.斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等

【解答】解：A、三边分别相等的两个三角形全等，说法正确，不符合题意:

B、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，原命题说法错误，符合题意；

C、有两角及一边对应相等的两个三角形全等，说法正确，不符合题意；

。、斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，说法正确，不符合题意；

故选：B.

【变式训练1】（2021秋•临沐县期中）如图，RtAABC和RtAEDF中，ABHDF,在不添加任何辅助线的

情况下，请你添加一个条件，使RtAABC和RtAEDF全等.

【变式训练2】（2021•北京一模）如图，正方形网格中，点/,B,C,。均在格点上，则NJCD+N8OC=

【变式训练3】（2021春•思明区校级期末）已知：ABA.BC,AD1DC,N1=N2,问：A/IBCMA/OC吗？

说明理由.

【变式训练4】（2018秋•宜都市期末）已知：如图1,在RtAABC和放△4秋。中,AB=A'B',AC=A'C,

ZC=ZC'=90°

BB'

C

（图1）（图2）

求证：RtAABC和Rf△A'B'C全等.

（1）请你用“如果…，那么…”的形式叙述上述命题:

（2）如图2,将&48c和49C拼在一起（即：点力与点夕重合，点8与点H重合），BC和9U相交于

点。，请用此图证明上述命题.

考点2：直角三角形的性质

【例1】（2021秋•定西期末）如图，在A48C中，ZACB=90°,过点。作CQ///8交N/8C的平分线于点

【解答】解：•••8。平分43C,

ZABD=ZDBC=20°，

ZABC=40°,

•/ZACB=90°，

・•・ZA=90°-NABC=90°-40°=50°

-CD//AB,

..ZCQ=NZ=50。，

故选：D.

【例2】（2021秋•涿州市期中）下列说法中错误的是（）

A.在A48c中,若乙4:NB:NC=2:2:4,则A48C为直角三角形

B.在A48C中，若NA=NB-NC,则A48c为直角三角形

C.在2MBe中，^ZA=-ZB=-ZC,则8c为直角三角形

23

D.在A48c中，NA=NB=2NC,则A48C为直角三角形

【解答】解：/、在A4BC中，因为4:N8:NC=2:2:4,所以NC=90。，NA=NB=45°,A48C为直

角三角形，本选项不符合题意.

B、在A48c中，因为N4=N8-NC,所以N8=90。，A48c为直角三角形，本选项不符合题意.

C、在A48c中，因为N4='N8=』NC,所以NC=90。，NB=6。°,ZA=30°,A48c为直角三角形，

23

本选项不符合题意.

D、在A4BC中，因为乙4=N8=2/C,所以44=/5=72。，ZC=36°.A4BC不是直角三角形，本选项

符合题意，

故选：D.

【变式训练1】（2021秋•滨城区期中）在A48C中，有下列条件：

①N4+N8=NC；®ZA:ZB:ZC=\:2:3；③N4=2N8=3NC；®ZA=ZB=-ZC.其中能确定

2

是直角三角形的条件有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式训练2】（2021春•济阳区期末）如图，A48c中，ZB=70°,NC=90。，在射线84上找一点。，

使\ACD为等腰三角形，则ZADC的度数为.

【变式训练3】（2021秋•玉田县期末）如图，在RtAABC中，ZC=90°,AD平分NCAB交BC于点D,

BELAD于熬E.若NDBE=28°,贝ljNC4B=.

E

D

【变式训练4】（2021秋•南昌期末）已知I：如图A48C中，NB=50。，ZC=90°,在射线比1上找一点。,

使为等腰三角形，则NBC。的度数为

【变式训练5】(2021春•米东区期末)如图1,NBAC=ZACD=90°,NABC=NADC,CE_L4),且8E

平分ZABC.

(1)求证：NACE=NABC；

(2)求证：NECD+NEBC=NBEC；

(3)求证：NCEF=NCFE.

【变式训练6】（2021秋•南岸区期末）如图，在RtAABC中，^ACB=90°,乙4=36。，A48c的外角NC5。

的平分线BE交AC的延长线于点E.

（1）求NC8E的度数；

（2）点尸是延长线上一点，过点尸作乙4尸。=27。，交43的延长线于点。.求证：BE/IDF.

【变式训练7】（2021春•莲湖区期末）如图，在RtAABC中，ZACB=90°,。是45上一点，且NZCO=N8,

求证：CDLAB.

【变式训练8】（2021春•石阡县期末）如图，在A48C中，CE,8k是两条高，若乙4=70。，NBCE=30。,

求NEBF与ZFBC的度数.

考点3：命题与定理

[例1]（2021秋•门头沟区期末）下列命题的逆命题是假命题的是（）

A.直角三角形两锐角互余

B.全等三角形对应角相等

C.两直线平行，同位角相等

D.角平分线上的点到角两边的距离相等

【解答】解：/、逆命题为：两锐角互余的三角形是直角三角形，是真命题，不符合题意；

8、逆命题为：对应角相等的三角形是全等三角形，是假命题，符合题意；

C、逆命题为：同位角相等，两直线平行，是真命题，不符合题意；

。、逆命题为：到角的两边距离相等的点在角的平分线上，是真命题，不符合题意，

故选：B.

【例2】（2021秋•建平县期末）下列命题中，是真命题的是（）

A.算术平方根等于自身的数只有1

B.gx|-l|xl是最简二次根式

C.只有一个角等于60。的三角形是等边三角形

D.三角形内角和等于180度

【解答】解：/、算术平方根是自身的数有。和1,故说法错误，是假命题，不符合题意；

B、是最简二次根式说法错误，是假命题，不符合题意；

2

C、只有一个角是60。的三