2022本科【常微分方程】网络课形考任务1-6试题及答案

国家开放大学电大本科《常微分方程》网络课形考任务1-6试题及答案

100%通过

考试说明：2020年秋期电大把该网络课纳入到“国开平台”进行考核，该课程共有6个形考任务，针对该门课程，本

人汇总了该科所有的题，形成一个完整的标准题库，并且以后会不断更新，对考生的复习、作业和考试起着非常重要

的作用，会给您节省大量的时间。做考题时，利用本文档中的查找工具，把考题中的关键字输到查找工具的查找内容

框内，就可迅速查找到该题答案。本文库还有其他网核及教学考一体化答案，敬请查看。

课程总成绩=形成性考核X50%+终结性考试X50%

形考任务1

题目1

本课程的教学内容共有五章，其中第三章的名称是().

选择一项：

A.一阶线性微分方程组

B.定性和稳定性理论简介

C.初等积分法

D.基本定理

题目2

本课程安排了6次形成性考核任务，第2次形成性考核作业的名称是().

选择一项：

A.第一章至第四章的单项选择题

B.第二章基本定理的形成性考核书面作业

C.初等积分法中的方程可积类型的判断

D.第一章初等积分法的形成性考核书面作业

题目3

网络课程主页的左侧第3个栏目名称是：().

选择一项：

A.课程公告

B.自主学习

C.课程信息

D.系统学习

题目4

网络课程的''系统学习”栏目中第一章初等积分法的第4个知识点的名称是().

选择一项：

A.一阶隐式微分方程

B.分离变量法

C.全微分方程与积分因子

D.常数变易法

题目5

网络课程的“视频课堂”栏目中老师讲课的电视课共有()讲.

选择一项：

A.18

B.20

C.19

D.17

题目6

网络课程主页的左侧“考试复习”版块中第二个栏目名称是：().

选择一项：

A.考核说明

B.复习指导

C.模拟测试

D.各章练习汇总

题目7

请您按照课程的学习目标、学习要求和学习方法设计自己的学习计划，并在下列文本框中提交，字数要求在100-1000

字.

答：常微分方程是研究自然现象，物理工程和工程技术的强有力工具，熟练掌握常微分方程的一些基木解法是学

习常微分方程的主要任务，凡包含自变量，未知函数和未知函数的导数的方程叫做微分方程。满足微分方程的函数叫

做微分方程的解，含有独立的任意常数的解称为微分方程的通解。确定通解中任意常数后所得的解称为该方程的特解。

一阶微分方程的初等解法中把微分方程的求解问题化为J’积分问题，这类初等解法是，与我们生活中的实际问题

密切相关的值得我们好好探讨。

在高阶微分方程中我们学习的线性微分方程，作为研究线性微分方程的基础，它在物理力学和工程技术，自然科

学中时存在广泛运用的，对于一般的线性微分方程，我们又学习了常系数线性微分变量的方程，其中涉及到复值与复

值函数问题，相对来说是比较复杂难憧的。

至于后而的非线性微分方程，其中包含的稳定性，定性基本理论和分支，混沌问题及哈密顿方程，非线性方程绝

大部分的不可解不可积现象导致了我们只能通过从方程的结构来判断其解的性态问题，在这一章节中，出现的许多概

念和方法是我们从未涉及的，章节与章节中环环相扣，步步深入，由简单到复杂，其难易程度可见一斑。

由此，常微分方程整体就是由求通解引出以后的知识点，以求解为基础不断拓展，我们所要学习的就是基础题解

技巧，培养自己机制与灵活性，多反面思考问题的能力，敏锐的判断力也是不可缺少的。

形考任务2

初等积分法中的方程可积类型的判断（1）

题目1

X-=y-X3

dr

答：（一阶线性非齐次微分）方程.题目2

答：（可降阶的高阶）方程

题目3

y=冷"+2（》）’

答：（克莱洛）方程

题目4

f+2个+xy，=Q

答：（伯努利）方程

题目5

力+1

dxx

答：（一阶线性非齐次微分）方程题目6

顼+（矿）：=。

答：（恰当导数）方程

题目7

dj_xi,

dx1-FX2

答：（变量可分离）方程

题目8

.T'（x」ny^）-1

答：（一阶隐式微分）方程

题目9

e'dx-H(xe-十=0

答：（全微分）方程

题目10

(x+2y)dx-炒=0答：(齐次微分)方程形考任务3

常微分方程学习活动3

第一章初等积分法的综合练习

本课程形成性考核综合练习共3次，内容主要分别是第一章初等积分法的综合练习、第二章基本定理的综合练习、

第三章和第四章的综合练习，目的是通过综合性练习作业，同学们可以检验自己的学习成果，找出掌握的薄弱知识点，

重点复习，争取尽快掌握.

要求：首先请同学们下载作业附件文档并进行填写，文档填写完成后请在本次作业页面中点击“去完成”按钮进入相

应网页界而完成任务，然后请将所做完的作业文档以附件的形式上传到课程上，随后老师会在课程中进行评分。

一、填空题

1.微分方程叫〃+一。/)3—、”=0是二阶微分方程.

XQ

2.初值问题，的解所满足的积分方程是y=f{s,y)ds.yM=y0

3微分方程Vinvdx+(x-Inv)dv=0是一一阶线性非齐次微分方程.僦方程可积类型而言)

4.微分方程+2v)dv=0是全微分方程.(就方程可积类型而言)

5.微分方程均〃+0/)2+3/=0是恰当倒数方程.(就方程可积类型而言)

6.微分方程=)=x2siny的所有常数解是丫=人叮,*=0,±1,±2,•••・

7.微分方程合打受的常数解是_歹=±1.

8.微分方程//丁二旌'的通解为孑=。'(工+。)-

9.微分方程y=J尸的通解是y-Cx+-C\

22

10.一阶微分方程的一个特解的图像是：维空间上的一条曲线.

二、计算题

1.指出下列方程的阶数，是否是线性方程：

(1)--A/

dx

答：一阶，非线性

C、也一2业+生=0

⑵dx4dr3dx2

答：四阶，线性

(3)x+xx+x=t答：三阶，非线性

2.用分离变量法求解下列方程：

(1)/=

(2)tanAdx-cotxdy=0

(3)(乂2+声2炒=0

b(1)=-1

2.⑴解通积分为e>=e'+C

(2)解当Itanycotx。On寸，分离变量，两端取积分得

fA=fAL+ink|JtanyJcotx

即ln(siny)=一ln(cosx)+In|c|

通积分为sinycosx=C.

7T

另外，y=k7rfX=k7T+一是常数解，4=0,±1,±2,・・・.

注：在方程求解时，求出显式通解或隐式通解(通积分)即可，常数解可以不求。

(3)解当x正0，孑。0时，方程可变为三了&二匕顼0

xy

11X

通积分为ln|x|一±=—±+ln|v|+C或--Ce|

x*y

上式代入初值条件x=l,y=—1.

22

得C二一萨.于是初值问题解为-=•

3.解下列齐次线性微分方程

(1)(y—2xy)dx4-xdy=0

x

(2)xy-y=xtan—

(1)解显然X二。是方程的解.

当有0时，原方程可化为孚=一A2令令以”,则原方程可化为

drxx

2

du2—dw—u+u

u+x-=—u+2iz,即一=----------------

dxdrx

易于看出，U=0u-1是上面方程的解，从而y=Xy=。是原方程的解.

当〃一/时，分离变量得，乎二虫.两端积分得Ini—|=ln|Gd(CA0)

-“〃X|M-1|

将〃换成三，便得到原方程的解Cy=x(x-y)i(^0).

X

故原方程的通解为Cy=x(x-y)(C为任意常数)及*=0.

(2)解显然，=。是方程的解.

当「。时，原方程可化为R.y.令w=2,则原方程可化为

dxxxx

duin,dutanu

M+x—=tsn"+",叩一=-----.

dxdxx

易于看出，u=0是上式的解，从而y=0是原方程的解.

当u”0时，分离变量得，J=一.两端积分得ln|sinw|=ln|qA(CAO).将〃换成便得到原方程的解sinA=Cx(CrO).故原

方程的通解为sinA=

XXX

4.解下列一阶线性微分方程：

(1)xy—2y=2x4

(2)/ytanx-secx

(1)解先解齐次方程x，=2y.其通解为y=Cx2.

dx

用常数变易法，令非齐次方程通解为y=C(x)，

代入原方程，化简后可得C(x)=2x.•

积分得到C(x)=x2+C.

代回后即得原方程通解为j;=Cx2+x4.

(2)解先解齐次方程-=-ytanx.其通解为y=Ccosx.

dx

用常数变易法，令非齐次方程通解为v=C&)cosx.

代入原方程，化筒后可得C(x)=—

cosX

积分得到C(x)=tanx+C.

代回后即得原方程通解为y=sinx+Ccosx.

5.解下列伯努利方程

(1)=0

(2)—+y=/(cosx-sinx)dx

(1)解显然y=0是方程解.当y?时，两端同除得

1dy2x

+x=0.

令Z=，，代入有一玉+2定+x=0,它的解为Z=—L+Ce3'2/3dx2

110

于是原方程的解为一=一一+Ge',及V=0.

V2,夕

(2)解显然y=。是方程解.当了曾时，两端同除得

1dp1.

-^-—H-----(cosx-sinX)=0.

ydxy

令z=—,彳弋入有—z+(cosx-sinx)=0

ydx

它的解为z=Ce'—sinxt

于是原方程的解-=Cex-sinx及y=0.

6.解下列全微分方程：

(1)dx-(2y+xev)dy=0

(2)(7-ysin2x)dx-jcos2xdy=0

(1)解因为华=-e"=半，所以这方程是全微分方程，"物力及N(x疗)在整个xQy平面都连续可微,

dyox

不妨选取Xo=(),%=()•故方程的通积分为

£evdx-£2j；dy=C,

即xQ、y=c.

(2)解因为一二2ysin2x=一,所以这方程是全微分方程,M(x,力及N(x,力在整个xQy平面都连

dydx

续可微，不妨选取X。=0,为=。.故方程的通积分为

£(i+/)dx-£A=c,

即2x-y2cos2x=C.

7.求下列方程的积分因子和积分:

(1)(x2+y+x)dx—xydy-0

(2)(x4+y)dx—xydy=Q

dMdN

(1)解因为矿一二一,与y无关，故原方程存在只含x的积分因子.

Nx

\~dx

由公式(1.58)得积分因子〃(x)二e"HP/y(x)=x,

于是方程(疽+/+x)dx-xydy=0为全微分方程,取=0,%=0.于是方程的通积分为£4-4公=0.即

3x4+4^+6"=C.

dMdN

(2)解因为=与*无关，故原方程存在只含x的积分因子.解方程

Nx

dv1

由公式(L58)得积分因子"(X)=e即z/(x)=—,

，X

1V3

于是方程一(x4+/)dr-'dj；=0为全微分方程.取x0=l,为=0.于是通积分为

/X

[―(x4+/)dx-£y3dy=G■即/=4x4In|x|+Cr4.

8.求解下列一阶隐式微分方程

(1)y\2y-y)-/sirfx

(2)/—1)

(1)解将方程改写为-y2+2yy=^(l-cos2x)

即y2-2yyy=/cos2x或3'-y)?=/cos2x

解V=V土*cosx得通积分为：InCy=x±sinx,

乂，=。是常数解.

(2)解y=。显然是方程的解,当y-0时，方程可变为

(£)2_2(£)=e"-l,令%%

yyy

则上面的式子可变为

if—2u=e—1,解出〃得，u一1±.即一=1±V?7.

对上式两端积分得到方程的通解为gy=x±14e+C

9.求解下列方程

⑴何”_yy=(/y+i

(2)A-(y)2+i=o

(1)解令y"=2贝代入原式得即'-p)2=p,2+1.

解出p得2-xp仕力口”+\

这是克莱洛方程，通解为p=xd±JI+C；.即=xC1±〈1+C：.

2____

解之得6七如亨+C2X+G(G,G,C3为任意常数)•

(2)解化简得0y)'+l=O,即y/=~x+C)求积分得一一(一X+C］)24•

222

或J+(x——G)2=G.

三、证明题

1.设函数p(x),/(X)在［0,+00)上连续，且limp(x)=。〉0,\f(xj<h(%力为常数).求证：方程

x〉*oc»1

y+PMy=/1回的一切解在［0,+00)上有界.

2.设/(X)在［0,+8)上连续,Klim/(x)=0,求证:方程

*AKO

孚+v=/(x)

OX

的一切解y&A均有limy(x)=0.

X->+cC

1.证明设jcy(x)是方程任一解，且满足*(版)二坊，则

P(s)dsp(s)dsfP(J)dt

yG?=y.e+e扁扁ds

由于lim,⑨=DO。所以对任意E>0,存在七〉如使得*》叫时有

X3C

0—£<p(x)<a+£

令。］=a~£.

Iv(x)|<|%|+9(1—/2(F)

/b

5+—

乂在［苍，为］上*(x)有界设为球现取M=3X例,促)

则y(x)<M,xe［xo-?+oo)

2.证明设y=v(x)是方程任一解，满足贝Xo)=Vo,该解的表达式为

F"(s)e(Fds

"=当+1J工。

取极限

limy(x)=lim*

x->4C0X->-KCCTx0X->4<30

右益字涉<

二0+«

@oc

-.........=0,若］f(s)e"F)ds=oo

四、应用题

1.按牛顿冷却定律：物体在空气中冷却的速度与物体温度和空气温度之差成正比，已知空气温度为30%,而物体

在15分钟内由100°c冷却到70V,求物体冷却到40°c所需的时间.

2.重为100kg的物体，在与水平而成30。的斜而上由静止状态下滑，如果不计磨擦，试

求：

(1)物体运动的微分方程；

(2)求5s后物体下滑的距离，以及此时的速度和加速度.

亨一一30)

7(0)=100

其中《为常数.

解得r(/)=30+eA

设物体冷却到40笆所需时间为4,于是由T(15)=70得

30+73-英=70

30+70e*=40

2.解取初始下滑点为原点，Ox轴正向垂宜向下，设t时刻速度为v=v(Z),距离为x=x。)，由题意满

足初值问题

*映3。。

lv(0)=0

解得

再由、(。)=崂。解得=于是得到5秒后，x«62.5mv«25m/s,形考任务4

常微分方程学习活动4

第二章基本定理的综合练习”=—<<5m/s'.

at

本课程形成性考核综合练习共3次，内容主要

分别是第一章初等积分法的综合练习、第二章基本定理的综合练习、第三章和第四章的综合练习，目的是通过综合性

练习作业，同学们可以检验自己的学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握.

要求：首先请同学们下载作业附件文档并进行填写，文档填写完成后请在本次作业页而中点击“去完成”按钮进入相

应网页界而完成任务，然后请将所做完的作业文档以附件的形式上传到课程上，随后老师会在课程中进行评分。

一、填空题

1.方程也=ysin(x2+/)的任一非零解不能与x轴相交.

dr

2•李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的充分条件•

3.方程_/力=e'的任一解的存在区间必是(°°,+°°).

4.一阶显式方程解的最大存在区间一定是开区间•

5.方程位=/+2满足解的存在唯一性定理条件的区域是XOY平面•

dx_

6.方程半=sinx-cosv满足解的存在唯一性定理条件的区域是一XOY平而.

dr

7,方程会=x2+siny满足解的存在唯一性定理条件的区域是XOY平而.

8.方程覃=JJ+1满足解的存在唯一性定理条件的区域是-一。=/应力e/?2y>0),(或不含x轴的上半平而).

9.方程史=一咋电满足解的存在惟一性定理条件的区域是全平而.

dr/+V+V

10.一个不可延展解的存在在区间一定定区间.

二、计算题

1.判断下列方程在怎样的区域上保证初值解存在且惟一？

(1)y=/+y(2)y=x+siny

1.解(D因为/(乂,*)=工2+丁及疗)=2"在整个X0*平面上连续，且满足存在唯一性定理条件，所以

在整个、0*平面上，初值解存在且唯一.

(2)因为v)=x+siny及/«x,v)=cosw在整个xo*平而上连续，且满足存在唯一，性定理条件，所以在整个'o*

平面上，初值解存在且唯一.

2.讨论方程在怎样的区域中满足定理2.2的条件.并求通过(0,0)的一切解.

dr2

2.解因为方程=-在整个X。*平面上连续，f；(xsy)=-Ttx轴外，在整个xo*平而上有界，所

22/

3

以除x轴外在整个XO*平面上都满足定理2.1的条件,而后分离变量并积分可求出方程的通解为y=±(x-c)a,x>c,

其中c>0.另外容易验证y=0是方程的特解.因此通过(0,0)的解有无穷多个，分别是：

10,x<c0,x<c

3;V=<3-

G—M»Yx-c)-，x>c

3.判断下列方程是否有奇解？如果有奇解，求出奇解.

⑴一=-Jy~x(2)一=-x±J^+2y

dxdx

3.解(1)因为/(工疗)=五；在半平而y>x上.连续，f；(x9y)=/一一当*=工时无界，所以如果存在

2Jy-x

奇解只能是*=X，但*=X不是方程的解，故方程无奇解.，_工21y2

(2)因为3*)=7土Jx2+2y在'V--的区域上连续，y;x时)=±—当v一一时无界，所

2Jd+2y2

以如果方程有奇解，则奇解只能是~=--.显然y=-T方程的解，是否为奇解还需要进•步讨论.为此先求

出方程的通解y=±cx+由此可见对于x轴上点(0,0),存在通过该点的两个解：y=-—及y=0.故

22

y=-三是奇解.

三、证明题

1.试证明：对于任意的X。及满足条件Ovyvl的允，方程一的解y=y⑨在Goo,+oo)上存在.dx1+x+y

2.

榨粽W撕翱备

(-00,+00)上有定义.

3.设0(x)在区间(-oo?+oo)上连续.试证明方程

史=(p(x)sin*

dx

的所有解的存在区间必为(-00,+00)•

4.在方程亲=/。)伊。)中,已知/*(*),伊’(工)在(-8,+3)上连续，旦0(±1)=0.求证：对任意X。和R|vl,

满足初值条件)="的解V(X)的存在区间必为(-00,+8)•

5.假设方程孚切在全平面上满足解的存在惟一性定理条件，且M(x),歹2(对是定义在区间，上的两个解.求

证：若M(Xo)〈光(工0),XOGZ,则在区间，上必有力(x)(北(x)成立.

6.设*(x)是方程

d2y打

的非零解，其中p(x),q(x)在(YO,+OO)上连续.求证：当龄0)=0时，必有竺

dr

K=xo

7.设/(*)在(Y0,+00)上连续可微，求证：对任意的工0丘(一0,+00),bo|vl,方程

满足初值条件=%的解必在《。,+8)上存在•

8.证明：一阶微分方程

_siny

dx+1

的任一解的存在区间必是g+Q。).

1.证明首先丫=1和了=。是方程在(-00,+0。)的解.易知方程的右端函数满足解的延展定理以及存在唯一性

定理的条件.现在考虑过初值(Xo,%)(OV%Vl)的解，根据唯一性，该解不能穿过宜线y=l和y=。.因此只有可能

向左右两侧延展，从而该初值解应在《0,+0>)上存在.

2.证明不妨设|f(x,y)\<M.V(x?力*.过点(书为)分别作直线

4：V=Vo+"(x_Xo)和l2：V=Vo_M(x_Xo)•

设过点(如Vo)的初值解为y=y⑴.因为|y(xo)|<M,故在天)的某一右邻域内，积分曲线y=v(x)位于4之

下，%之上

卜证曲线y="小5>心不能与直线《相交.若不然，也>x()使得y(x>)=yjM(x,-xo),II.

y/OMAx"/仇丽》但由拉格郎日中值定理，3y恤凶),使得“(§”贝再)二傀)成.矛而一工0

盾.此矛盾证明曲线y=不能与直线4相交.同理可证，"'ix>xo时，它也不能与匕相交.故当、>不)时解曲线

y=以〉)位于直线“，£之间・

同理可证，当x<xo时，解曲线y=y"也位于立线4,£之间.由延展定理，y=y/的存在区间为

(—00,00)o

3.证明由已知条件，该方程在整个斗y平而上满足解的存在唯一及解的延展定理条件.

显然*=±1是方程的两个常数解.

任取初值(私处)，其中工00(-00,+00),|'|<1.记过该点的解为了=丫依),由上面分析可知，一方而y=可

以向平而无穷远处无限延展；另一方而又上方不能穿过*=1,下方不能穿过y=-l,否则与惟一性矛盾.故该解的存在区

间必为(-00,4-00).

4.证明由已知条件可知，该方程在整个洌；平而上满足解的存在惟一及延展定理条件，又存在常数解y-ATT,A:

=0,±1,±2,•••.

对平而内任一点(xo,/•若为=上勿，则过该点的解是y=k7r,显然是在(-oo,+oo)上有定义.

若为。厩，则e｛krc.(k+记过该点的解为y=为那么一方而解y=、(x)可以向平而的无穷远无限延

展；另一方而在条形区域｛(X,A)|-OO<X<+OO,心火<?<々+1)冗｝内以>)不能上、下穿过解'=(4+1)”和y=&,否则与解

的惟一性矛盾.因此解的存在区间必为(-00,+00).

5.证明仅证x>xo方向，(反之亦然).

假设存在x>xo,使得(山(对二光(同不可能出现，否则与解惟一矛盾).

令y(x)=%(x)~y2(x),那么

y(xQ)=y,(xQ)-y,(xQ)<0,y(x)=y)(x)-y2(x)>G

由连续函数介值定理，存在X*G(Xo?X),使得

XX*)=A(X*)-A2(X*)=O

即功0*)=*2(疽)

这与解惟一矛盾

6.证明由已知条件知方程存在零解.该方程满足解的存在惟一性定理条件.

设贝X)是方程的•个非零解，假如它满足

y(xo)=。'孚=0,

由于零解也满足上述条件，以及方程有零解存在，那么由解的惟一性有*(x)三0,这与贝x)是非零解矛盾.

7.证明该方程在全平面上满足解的存在惟•性定理及解的延展定理.

Xy=±l是该方程的两个常数解.

现取xoe(-Ao,+oo),记过点(x(),*o)的解为V(x)•一方面该解可向平面的无穷远无限延展，另一方面又

不能上下穿越y=±1,否则将破坏解的惟一性.因此，该解只能在区域G=｛(x,y)||M<l,XE(q,+8)｝内沿*轴两侧无限延

展，显然其定义区间必是《。,+。。)・

8.证明方程在全平而上满足解的存在唯一性定理的条件，乂丫=幻「/=0,±1,±2,・・・，是方程的常数解.

对平而上任取的C\）,Vo）

若％477则对应的是常数解y=477其存在区间显然是（fO,+O0）

若为G{kjr.（k+1）7r）则过该点的解可以向平面无穷远无限延展，但是上下又不能穿越y=k7r^\\y=（上+

I）〃，于是

解的存在区间必是（一00,4-00）•四、应用题

1.求一曲线，具有如下性质：曲线上任一点的切线，在X,*轴上的截距之和为1.

2.求一曲线，此曲线的任一切线在两个坐标轴间的线段长等于常数。•

1.解首先，由解析几何知识可知，满足a%=7的直线

3=1

ah

都是所求曲线.

设3y）为所求曲线上的点，0,"为其切线上的点，则过（x,y）的切线方程为Y-y=y\X-X）.

显然有a=x-~,h=y%八此处a与b分别为切线在公轴与如轴上的截距.故y

X—

y

解出y,得到克莱洛方程

通解为

y-Cx+-y=Cx+-

0】1ci为所求曲线方程.

X一夕=。乃=5

1X?1

2.解设（x,y）为所求曲线上的点,（X,Y）为其切线上的点，则过（x,y）的切线方程为

Y-y=y\X-x）.

显然有，=x-力=/灯|此处a与b分别为切线在Ox轴与Oy轴上的截距.故y

(i\

l+FCy-9')2¥2,

Iy)

(Y,

即x--Cy-x/X-af.解出y得y-xy1'±---

Iy)〃+尹

故曲线的方程为

ac

y=ex土--

JI+决

_a

x=•

（1+c乎

222

消去c即的曲线方程为形考任务5

题目1

方程过点（0,0）的积分曲线（）.

选择一项：

A.有无穷多条

B.有惟

C.不存在

D.只有二条

题目2

也Jo,当y=。

天针女》I力〃K/当｝，°*3平面上任一点的解都（、

方程在）.

选择一项：

A.与x轴相交

B.是惟一的

C.与x轴相切

D.不是惟一的

题目3

di—COST

方程&”的所有常数解是（

）.

选择一项：

D.y=二L二二.

题目4

袅相

方程S满足解的存在唯一性定理条件的区域是（）.

选择一项：

A.y>0的上半平面

B.全平面

C.除去x轴的全平面

D.y<0的下半平面

题目5

生二小一尸

方程'•过点(0,0)的解为J=/x,此解的存在区间是().

选择一项：

C，-建“

题目6

A=A(x)Y+F&x任R.YeRnf

若A(x),F(x)乂0在(-8,+8)上连续，那么线性非齐次方程组出一,,的任一非零

解()•

选择一项：

A.不可以与x轴相交

B.构成一个n维线性空间

C.构成一个n+1维线性空间

D.可以与x轴相交

题目7

d,

F(xtY)

n维方程组由的任一解的图像是n+1维空间中的().

选择一项：

A.n条曲线

B.一条曲线

C.n个曲面

D.一个曲而

题目8

方程《-'=0的任一非零解在平面上()零点.

选择一项：

A.只有一个

B.只有两个

C.无

D.有无穷多个

题目9

三阶线性齐次微分方程的所有解构成一个（）线性空间.

选择一项：

A.3维

B.2维

C.4维

D.1维

题目10

用待定系数法求方程】’十】=2血》的非齐次特解时，应设为（）.

选择一项：

CVj=x（-4sinx-3cosxy

形考任务6

常微分方程学习活动6

第三章一阶线性方程组、第四章n阶线性方程的综合练习

本课程形成性考核综合练习共3次，内容主要分别是第一章初等积分法的综合练习、第二章基本定理的综合练习、

第三章和第四章的综合练习，目的是通过综合性练习作业，同学们可以检验自己的学习成果，找出掌握的薄弱知识点，

重点复习，争取尽快掌握.

要求：首先请同学们下载作业附件文档并进行填写，文档填写完成后请在本次作业页面中点击“去完成”按钮进入相

应网页界而完成任务，然后请将所做完的作业文档以附件的形式上传到课程上，随后老师会在课程中进行评分。

一、填空题

1.若.4（0在G8,+8）上连续，那么线性齐次方程组一在川的任一非零解在〃的空间不能

dx

与x轴相交.

dy

2.方程组-~=尸血Wxe#.KW的任何一个解的图象是〃+I维空间中的一条积分曲线.

dx

3.向量函数组R（x）,儿⑴，…，H（x）线性相关的必要条件是它们的朗斯期行列式（（x）=0.

4.线性齐次微分方程组半=的一个基本解组的个数不能多于〃+1个.

dx

5.若函数组例（x）,代3）在区间JM）上线性相关，则它们的朗斯基行列式在区间QM）上恒等于零.

6.函数组，的朗斯基行列式分是lfx）=

V,式OSXCOSX-sinx

V=Vi

7.二阶方程/+9'+子*=。的等价方程组是，

71=F]*

8.若y和夕=仞2（工）是二阶线性齐次方程的基本解组，则它们没有共同零点.

9.二阶线性齐次微分方程的两个解y=34）,y=3（幻成为其基本解组的充要条件是一线性无关（或：它们的

朗斯基行列式不等于零)

10.〃阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为N个.

11.在方程y"+P&ZK'=0中，p3,g(x)在(-°°,+°°)上连续，则它的任一非零解在刀切平面上可以

与x轴横截相交.

12.二阶线性方程/+2/+y=0的基本解组是e-\xe-x.

13.线性方程--\-y=0的基本解组是_cosx,sinx.

14.方程/+个'+疽v=o的所有解构成一个2维线性空间•

15.〃阶线性齐次微分方程的所有解构成一个_n_维线性空间.

二、计算题

1.将下列方程式化为一阶方程组

(1)x+f(x)x4-g(x)=0

⑵y+a)(x)y~a2(x)y~a3(x)y

dy

d

x

—

g-y

解)s

Jd

y⑵解

—

ddx

r=-g(x)

dy?

押一松力H-\/m

2.求解下列方程组:

dxdr

〜=5y+4x矿S*

d

⑴出<

dy<---/3x+ay

j=4y+5xdt

(1)解方程组的系数阵为4二特征方程为:

5-4；_广妇)以一9)=0,

det(A-人E)

4

其特征根为4=1,人=9.

当"时，口=啪，其中，满足

y［邪册。

1

则有ci+b0.取a=l,6=-l,则得一特解

4-1

同理，当%=9时,

所以方程组的解为*一1

W)"d

(2)解方程组的系数阵为A

ex—p

特征方程为：det(A-2E)=A且A*_a)2+/?2=o

特征根为A=a±/3i.~p

当4=a+/3iR-t,其中a人满足

3［：］n

—ClJ+/>

故有=°即b=

QI.

-C-A7'—八

取a=1,b二if于是方程组对应于

Icos(3t+isin

/c,

I-sin(3t+

故特征根人三，子/V，所对应的实解为

cosptsin(3t

二以

位

—凹si"J*cos

所以方程组的解为

COSpt-sm/3t

sin仞cos仞

3.求解下列方程组:

x=2x-y+zy

x=x+yy

⑴=3y-2x(2)=x^2y-zz=

x-y+2z

1

(1)解方程组的系数阵为

-2

1-人1

特征方程为：det(A-2E)==22-42+5=0

-23-A

特征根为九=2+z；冬=2—Z

X(-1-z1'a

当4=2+1时，e2+其中a,力满足(=o,

w-11-zb

即(」_g=O

1+(1_泌=0

第一个方程x(l—/)有一2a+(l+i)b=0

令。=1,则h-1+i

于是由=e(cosA+zsinZ)

costsinZ

解得通解

y(0cos/-sin/cos，t+sint

2-11

(2)解系数阵为4=12-1

-12

2-Z-1

特征方程为:det(A-2E)=1：2-A-1=(Z-l)(A-2)(/-3)=0.

-12-Z

特征根为\=1人=2,/?3=3.

x(t)0

通解解为y(00

z(。

4.求解下列方程组:

d

r

l=3x+y

dx=y+

/

d

y⑵

d2e'y=

/

4.解方程组的系数阵为