高考数学函数题

1.(2010全国卷I理)函数/(x)的定义域为R,若/(x+1)与/(x—l)都是奇函数，则()

A./(x)是偶函数B./(x)是奇函数

C./(x)=/(x+2)D./(x+3)是奇函数

答案D

解析•••/(x+1)与/(x-l)都是奇函数，

/(T+l)=-/(X+l),/(-X-l)=-/(X-l),

・•・函数/(x)关于点(1,0),及点(一1,0)对称，函数/(X)是周期T=2[l-(-1)]=4的周

期函数..•./(一8-1+4)=-/。-1+4),/(—x+3)=-/(x+3),即/(x+3)是奇函

数。故选D

2.(2010浙江理)对于正实数a,记为满足下述条件的函数/(x)构成的集合：

VX],X2€R且无2>玉，有一白(》2—须)</(X2)-/(X,)<a(x2-X.).下列结论中正确的

是()

A.若f(x)GMa\，g(X)eMa2,则f(X>g(X)€Mai.a2

B.若/(x)cMai，g(x)wMa2,且g(x)N。，贝U里€加优

g(x)而

C.若/(x)e"ai，g(x)e"a2，则/(x)+g(x)eM“"a2

D.若g(X)GMa2，且/>。2，则fQ)-g(%)G"仙2

答案C

解析对于一。(乙一X|)</(x,)-/(X1)<一玉)，即有一a</(声)~/(')<a,

X2-Xj

令,(々)-/(斗)=k,有一a<A<a,不妨设g(x)eMa2,即有

x2-x,

-a1<kf<ax,-a2<a2,因此有一%-a2<kf+幻<%+a2，因此有

/(x)+g(x)eMa\+a2*

3.(2010浙江文)若函数/(x)=x2+@(aeR),则下列结论正确的是()

X

A.V。£K,/(x)在(0,+8)上是增函数

B.V。£/?,/(元)在(0,+8)上是减函数

C3aeR,/(x)是偶函数

D3aeR,/(x)是奇函数

答案C

【命题意图】此题主要考查了全称量词与存在量词的概念和基础知识，通过对量词的考查

结合函数的性质进行了交汇设问.

解析对于a=0时有是一个偶函数

XI-X

4.(2010山东卷理)函数)，=-一三•的图像大致为().

答案A

解析函数有意义，需使其定义域为{xlxkO},排除C,D,又因为

ex+e~xe2x+12

y=.==1+,所以当x>0时函数为减函数，故选A.

ex—ee"—1e'—I

【命题立意】：本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难

点在于给出的函数比较复杂，需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质.

[log,(l-x),x<0

5.(2009山东卷理)定义在R上的函数f(x)满足f(x)=42,

则f(2009)的值为()

A.-lB.0C.lD.2

答案C

解析由已知得/(-I)=log?2=1J(0)=0,/(1)=/(O)一/(—1)=一1,

/(2)=/(1)-/(0)=-1,/(3)=/(2)-/(1)=-1-(-1)=0,

/(4)=/(3)-/(2)=0-(-1)=1,/(5)=/(4)-/(3)=1,/(6)=/(5)-/(4)=0,

所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.，所以f(2009)=f(5)=1,故选C.

【命题立意】：本题考查归纳推理以及函数的周期性和对数的运算.

6.(2009山东卷文)函数y=的图像大致为().

答案A.

解析函数有意义，需使e、—e-'wO,其定义域为{xlxwO},排除C,D,又因为

xx2x

e+e-e+1?

y=-——-=——=1+——，所以当x>0时函数为减函数，故选A.

e-ee"-1e"—1

【命题立意】:本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点

在于给出的函数比较复杂，需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质.

flog,(4-x),x<0

7.(2009山东卷文)定义在R上的函数f(x)满足f(x)=<2,

(f(x-l)-f(x-2),x>0

则f(3)的值为()

A.-lB.-2C.lD.2

答案B

解析由已知得](-1)=1隼25J(0)=log24=2"⑴=/(0)-J(-1)=2-lpg25,

/(2)=/(l)-/(0)=-log25,/(3)=/(2)-/(1)=-log25-(2-log25)=-2，故选B.

【命题立意】：本题考查对数函数的运算以及推理过程.

8.(2009山东卷文)已知定义在R上的奇函数f(x),满足/(x—4)=—/(x),且在区间。2]

上是增函数，则().

A./C-25)</(II)</(80)B./(80)</(11)<f(-25)

C./(11)</(80)</(-25)D./(-25)</(80)</(11)

答案D

解析因为/*)满足/(x-4)=—/(x),所以/(x—8)=/(x),所以函数是以8为周期的

周期函数，则/(-25)=/(-1),/(80)=/(0),/(11)=/(3),又因为/(x)在R上是奇函

数，/(0)=0,得f(80)=/(0)=0,/(-25)=/(-I)=一/⑴，而由/(x-4)=-f(x)得

/(11)=/(3)=-/(-3)=-/(1-4)=/⑴，又因为f(x)在区间［0,2］上是增函数，所以

/(D>/(0)=0,所以一/⑴<0,即/(—25)</(80)</(11),故选D.

【命题立意】:本题综合考查了函数的奇偶性、单调性、周期性等性质，运用化归的数学思想

和数形结合的思想解答问题.

9.(2009全国卷H文)函数y=W7(x«0)的反函数是()

(A)y=x2(x>0)(B)y=-x2(x>0)

(B)y=x2(x<0)(D)y=-x2(x<0)

答案B

解析本题考查反函数概念及求法，由原函数xW0可知AC错,原函数y>0可知D错.

10.(2009全国卷U文)函数y=y=log,2二日的图像()

2+x

(A)关于原点对称(B)关于主线y=-x对称

(C)关于y轴对称(D)关于直线y=x对称

答案A

解析本题考查对数函数及对称知识，由于定义域为(-2,2)关于原点对称，又f(-x)=-f(x),

故函数为奇函数，图像关于原点对称，选A。

11.(2009全国卷H文)设。=lge,b=(lge)2,c=lgj^?则()

(A)a>b>c(B)a>c>b(C)c>a>b(D)c>b>a

答案B

解析本题考查对数函数的增减性，由l>lge>0,知a>b,又c=万Ige,作商比较知c>b,选B。

12.(2009广东卷理)若函数y=/(x)是函数y=a*(a>0,且awl)的反函数，其图像

经过点(、万,a),则/(x)=

A.log2xB.log,x

答案B

解析/(x)=log“x,代入解得a=L,所以/(x)=log]x,选B.

25

13.（2009广东卷理）已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线（假定为直线）

行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为叫和v乙（如图2所示）.那么对于图中给定的"和",

卜一列判断中一定正确的是)

A.在乙时刻，甲车在乙车前面

B.乙时刻后，甲车在乙车后面

在办时刻，两车的位置相同

D.小时刻后，乙车在甲车前面

答案A

解析由图像可知，曲线叫比v乙在。〜为、0〜乙与x轴所围成图形面积大，则在小、八

时刻，甲车均在乙车前面，选A.

14.（2009安徽卷理）设aVb,函数y=（x—a）2（x—〃）的图像可能是()

答案C

解析y1=(x-a)(3x-2a-b),由=0得x=a,x=之"；"，.,.当x=a时,y取极

大值0,当彳=誓女时y取极小值且极小值为负。故选C。

或当x<b时y<0,当x>b时，>>0选。

15.（2009安徽卷文）设。〈力，函数丁二^一4飞入一切的图像可能是

()

解析可得x=a,x=b为y=(x-a)2(x-b)=0的两个零解.

当x<4x<hf(x)<0

当。<x<b时，则f(x)<0,当x>。时，则/(九)>0.选C。

J—丫2—+4

16.(2009江西卷文)函数y="十一的定义域为()

x

A.[-4,1]B.[-4,0)C.(0,1]D.[-4,0)U(0,1]

答案D

,fxw0

解析由《7得-4<x<0或0vx〈l,故选D.

-X2-3X+4>0

17.(2009江西卷文)已知函数/(x)是(-8,+8)上的偶函数，若对于xNO,都有

/(x+2)=/(%),且当xw[0,2)时,/(x)=log2(x+l),贝4/(—2008)+/(2009)的

值为()

A.—2B.-1C.1D.2

答案C

解析/(-2008)+/(2009)=/(0)+/(1)=log；+log；=1,故选C.

18.(2009江西卷文)如图所示，一质点P(x,y)在xOy平面上沿曲线运动,

速度大小不变，其在x轴上的投影点。(x,0)的运动速度丫=V(f)的图象_

大致为()

解析由图可知，当质点P(x,y)在两个封闭曲线上运动时，投影点。(x,0)的速度先

由正到0、到负数，再到0,到正，故A错误；质点P(x,y)在终点的速度是由大到小

接近0,故。错误；质点P(x,y)在开始时沿直线运动，故投影点。(x,O)的速度为常

数，因此C是错误的，故选8.

19.(2009江西卷理)函数y=.”(x+l)的定义域为()

J—f—3x+4

A.(-4,-1)B.(-4,1)C.(-1,1)D.(-1,1]

答案C

x+l>0x>—1

解析由〈=>n—1<x<1.故选c

—x—3x+4>0-4<x<1

20.(2009江西卷理)设函数/(x)=Jaf+bx+cgvO)的定义域为D,若所有点

(s,/Q))(s,fe。)构成一个正方形区域，则。的值为()

A.—2B.—4C.—8D.不能确定

答案B

解析1万一次2l=/max(X)，\~一T~~=\一”，I。1=2,Q=-4,选B

VaV4a

21.(2009天津卷文)设函数/(x)=-4'+6，*20则不等式/*)>八])的解集是()

x+6,x<0

A.(—3,1)。(3,+oo)B.(-3,1)U(2,+8)

C.(—1,1)(3,+<x>)D.(—oo,-3)(1,3)

答案A

解析由已知，函数先增后减再增

当xNO,/(x)N2/⑴=3令/(x)=3,

解得x=l,x=3。

当x<0,x+6=3,x=-3

故/3)>/(1)=3，解得—3<x<l或x>3

【考点定位】本试题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解。

22.(2009天津卷文)设函数f(x)在R上的导函数为f，(x),且2f(x)+xf(x)>x2,x下面的不等式

在R内恒成立的是()

A./(X)>0B./(x)<0C.f(x)>xD./(x)<x

答案A

解析由已知，首先令x=0,排除B,Do然后结合已知条件排除C,得到A

【考点定位】本试题考察了导数来解决函数单调性的运用。通过分析解析式的特点，考查

了分析问题和解决问题的能力。

23.(2009湖北卷理)设a为非零实数，函数>=上竺(>€R,且的疾曲激是()

1+axa

l-ax,门口1、1+QX/人口1、

A、y=-----(xG#——)B、y=------(XER,且天。——)

l+axa\-axa

C、y=-------(xG1)D、y=-------(xe-1)

a(l-x)a(l+x)

答案D

解析由原函数是>=匕竺(xeR,且xw—L),从中解得

1+oxa

x=-j-(yeR,且y*-1)即原函数的反函数是x=上匚(〉eR,且yH-1),糙

a(i+y)a(i+y)

择D

24..(2009湖北卷理)设球的半径为时间t的函数R(f)。若球的体积以均匀速度c增长，则球

的表面积的增长速度与球半径()

A.成正比，比例系数为CB.成正比，比例系数为2c

C.成反比，比例系数为CD.成反比，比例系数为2c

答案D

4

解析由题意可知球的体积为VQ)=§7&⑺，则c=V«)=4乃R2«)R«),由此可

-------=4〃R(f),而球的表面积为S(t)=4)A?。)，

R(t)R⑺

所以々=S'(f)=4万甯⑺=8万/?”冰«),

rsrs

即酿=腕刈甲?«)2x4兀RQ)R'(J)——/?'(0—故选

R(t)R(/)R(t)

25.(2009四川卷文)已知函数/(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意

实数x都有

V(x+l)=(l+x)/(x)，则/(|)的值是

)

15

A.0B.-C.1D.-

22

答案A

]+XI

解析若XW0,则有/(x+l)=L'/(x),^x=--9则有:

x2

I-1

/(-；+1)_2

_1(：/(x)是偶函数,则

~2

)由此得0于是

1+3

51+-]

55

+1)=-^-+1)=-[-^]/(-)0

33

22

b

26.(2009福建卷理)函数/(x)=ax+bx+c(awO)的图象关于直线》=一二对称。据此

2a

可推测，对任意的非零实数a,b,c,m,n,p,关于x的方程〃7[/(x)『+〃(fx)+p=Q

的解集都不可能是)

A.{1,2}B{1，叫C{1,2,3,4}D{1,4,16,64}

答案D

解析本题用特例法解决简洁快速，对方程机"(x)f+〃依)+P=0中见〃，〃分别

赋值求出/(X)代入/(%)=0求出检验即得.

27.(2009辽宁卷文)已知偶函数/(x)在区间[0,+oo)单调增加，则满足了(2尤-1)<

的X取值范围是)

(A)(-,-)c(D

33-r小-

答案A

解析由于f(x)是偶函数，故f(x)=f(lxl)

.,.得f(l2x-ll)<f(-),再根据f(x)的单调性

3

12

解得—<x<—

333

28.(2009宁夏海南卷理)用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值()

设f(x)=min{,x+2,10-x}(x>0),则f(x)的最大值为

(A)4(B)5(C)6(D)7

答案C

29.(2009陕西卷文)函数/(x)=6。*N4)的反函数为()

(A)/-'(X)=1X2+4(X>0)B./-'(X)=1X2+4(X>2)

2

(C)/T(x)=；f+2(xN0)(D)/-'(X)=1X+2(X>2)

答案D

解析令原式y=/(x)=J2x-4(xN2)则尸=2了_4,即》=上二^=2+2

'22

故广'(x)=J/+2(x22)故选D.

30.(2009陕西卷文)定义在R上的偶函数/(x)满足：对任意的王,马6[0,+8)(玉，/)，

有/(x2)/(r)<o则()

(A)/(3)</(-2<加1)B./(l)</(-2<力(3)

C./(-2<力⑴</(3)D./(3)</⑴</(-2

答案A

解析山(/一/)(/(>2)—/01))>0等价，于/(£)_/(')〉0则/(X)在

Z一演

X],/e(-8,0](凡。上单调递增，又/(x)是偶函数，故/(x)在

七/26(0,+8]。尸々)单调递减.且满足〃€叱时，/(-2)=/(2),3>2>1>0,得

/(3)</(-2<)(1),故选A.

31.(2009陕西卷理)定义在R上的偶函数/(X)满足：对任意

的王，K2€(-00,0](工尸了2)，有(了2一%)(/(》2)-/(玉))>0.

则当"CN"时，有()

(A)/(—〃)</(»-1)</(〃+1)B./(»-1)</(_〃)</(〃+1)

C.C./(«+1)</(-«)</(«-1)D./(H+l)</(77-1)</(-«)

答案c

解析：xvx2e(一8,0](玉wx2)=>(x2-xi)(f(x2)-f(xiy)>0

OX2〉X|时，取维)<=>f(x)(-oo,0]

/(x)为偶函数存,/改减函演8]

lfUn+l>n>n-l>0,f(n+1)</(»)</(/i-l)=>f(n+1)</(-»)<f(n-1)

32.(2009四川卷文)已知函数/(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意

实数x都有灯1(X+1)=(1+x)/(x),则八|)的值是()

15

A.0B.-C.1D.-

22

答案A

1-1.X1

解析若x#0,则有/(x+l)=——/(x),取了=——，则有：

x2

1~1

/(1)=/(-1+1)=—/(-1)==-/(1)(•♦•/(X)是偶函数，则

~2

“沙耳))

由此得/(g)=0于是，

1+31+1

*=w+Tw)亨耻1小=型*5冲=。

22

33.(2009湖北卷文)函数丫=上二(》€凡且"」)的反函数是()

1+2x2

A.y=：+<(xG=《)B.y=；w凡且xw—!)

i-2x21+2x2

+X

C.y=——(xGR,且xw1)D.y=----(xwR,且xw-1)

2(1-x)2(1+x)

答案D

解析可反解得只=>J故/T(X)J」且可得原函数中y£R、yW-1所以

2(1+y)2(14-x)

f(x)-------且XGR、龙工-1选D

2(l+x)

x

34.(2009湖南卷理)如图1,当参数2=4时，连续函数？=-----(x>0)的图像分别对应

1+Ax

曲线G和。2，则)

A0<2,<2B0<4<4

c4<4<0D4<4<0

答案B

解析解析山条件中的函数是分式无理型函数，先山函

数在(0,+8)是连续的，可知参数4>0,4>0,即排除c,D项，又取x=l,知对应函

数值>1=-^^,%=-/1,•，山图可知M<%，所以4>4,即选B项。

Ji+4Ji+4

35.(2009湖南卷理)设函数y=/(不)在(一8,+oo)内有定义。对于给定的正数K,定义函

数()

jk(X)—<

k[K,f(x)>K

取函数/(x)=2-x-eT。若对任意的xe(+oo,-oo),恒有£(x)=/(x),则()

A.K的最大值为2B.K的最小值为2

C.K的最大值为1D.K的最小值为1

答案D

解析由/'(》)=1一0-*=0,知x=0,所以xe(-oo,0)时，/'(x)>0,当xe(0,+oo)

时，八x)<0,蝌/(x)1rax=/(0)=L即/(x)的值域是(一8,1]，而要更力(x)=/(x)

在R上恒成立，结合条件分别取不同的K值，可得D符合，此时£C)=/(x)。故选D

项。

x2+4xXN0

36.(2009天津卷理)已知函数/(x)=''一若/(2—/)〉/3),则实数q

4x-x9x<0

的取值范围是()

A(—oo,—1)D(2,+OO)B(—1,2)C(—2,1)D(—oo,—2)v_J(l,4-oo)

【考点定位】本小题考查分段函数的单调性问题的运用。以及•元二次不等式的求解。

解析：由题知/(X)在R上是增函数，由题得2-。2>“，解得一2<。<1,故选择C。

37.(2009四川卷理)已知函数/(X)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意

实数X都有;^。+1）=（1+》）/。），则”/§））的值是（）

15

A.OB.—C.1D.一

22

【考点定位】本小题考查求抽象函数的函数值之赋值法，综合题。（同文12）

答案A

解析令*=一；，则一;/（；）=；/（一；）=；/（；）=/（；）=0；令x=0,则

/(0)=0

X4-1

由#(x+l)=(l+x)/(x)得/(X+l)=——/(X),所以

X

53

/(1)=1/(1)=1/(|)=1-1/(|)=0=>/(/(|))=/(0)=0,故选择A»

22

38.（2009福建卷文）下列函数中，与函数y=有相同定义域的是)

B."

A.f(x)=InxC./(%)=1x1D./(x)=/

答案A

1/(x)=L的定

解析解析由y可得定义域是x>0./（x）=Inx的定义域x>0；

yfxx

义域是xWO：/（x）=lxl的定义域是xeR;/（x）=e*定义域是xeR。故选A.

39.（2009福建卷文）定义在R上的偶函数/（x）的部分图像如右图所示，则在（-2,0）上,

下列函数中与/(X)的单调性不同的是y

()

A.y=x2+1

B.y=1xl+1

2x+l,x>0

C.y=<

x3+l,x<0

答案c

解析解析根据偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反，故可知求在(-2,0)上单调

递减，注意到要与/(x)的单调性不同，故所求的函数在(-2,0)上应单调递增。而函数

y=/+1在(-oo,l］上递减；函数y=凶+1在(-oo,0］时单调递减；函数

y：在(-8,0］上单调递减，理由如下y'=3x2>0(x<0),故函数单调递增，

X’+1,XY0

x>o

显然符合题意；而函数e'x—，有y'=-eT<0(x<0),故其在(-8,0］上单调递减,

「XYO

不符合题意，综上选C。

40.(2009重庆卷文)把函数/(x)=x3-3x的图像G向右平移〃个单位长度，再向下平移

v个单位长度后得到图像C2.若对任意的“>0,曲线G与G至多只有一个交点，则v

的最小值为()

A.2B.4C.6D.8

答案B

解析根据题意曲线C的解析式为y=(X-M)3-3(X-H)-V,则方程

(x—a)，—3(x—u)—V-d—3x,即3MX?(“3一3〃+V)40,即U2—"3+3M对任意

4

恒成立，于是vN——力+3〃的最大值，令g(〃)=-L/+3M(〃>0),则

44

33

«>0g(Q)=——W2+3=一一(“一2)(“+2)由此知函数gQ)在(0,2)上为增函数,

44

在(2,+8)上为减函数，所以当w=2时，函数g(“)取最大值，即为4,于是丫24。

41.(2009重庆卷理)若/")=—1—+。是奇函数，则。=

2'-1------------

答案-

2

12X

解析解法1/(-x)=——+。=--+=-f(x)

2—11—2

2',I、c12X,,,1

=>------\-a=—(------Fq)=2a=------------=］故<2=—

1-2'2'-ll-2r1—2，2

42(2009上海卷文)函数f(x)=x3+l的反函数f'(x)=.

答案加二T

解析由y=x4l,得x=fy-1,将y改成x,x改成y可得答案。

44(2009北京文)已知函数/(x)='3'*—L若/(x)=2,贝Ux=____________.

I-x,x>1,

答案log?2

解析本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求x的值.属于基础知识、基本运算的

考查.

fx<1[x>1

由<=>x=log32,《-无解，故应填logs2.

13*=2-x=2=>x=-2

一,x<0.

”则不等式l/(x)lN上的解集为

45.(2009北京理)若函数/(x)=<

(1r,x>o3

答案[-3,1]

解析本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法.属于基础知识、基本运算

的考查.

x<0

(1)由l/(x)W=><

1=>-3<x<0.

>-

1x1-3

x>0x>0

(2)由1/(无)»：=,

1A<1Y1=>0<x<l.

〉—I3J-3

一3

二不等式的解集为｛xl-3WxWl｝，，应填[—3,1].

J?-1

46.(2009江苏卷)已知。=,函数/(x)=a'，若实数"、〃满足/(m)>/(〃),

则机、n的大小关系为.

解析考查指数函数的单调性。

J5-1

a--------e(0,1),函数/(x)=优在R上递减。由/(机)〉/(〃)得：m<n

47.(2009山东卷理)已知定义在R上的奇函数/(x),满足/(x—4)=-/(x),且在区间[0,2]

上是增函数，若方程f(x)=m(m>0)在区间［-8,8］上有四个不同的根玉,々,七，乙，则

xt+x2+x3+x4=.

答案-8

解析因为定义在R上的奇函数，满足/。-4)=一/3),所以/(x-4)=/(-x),所以,

由/a)为奇函数，所以函数图象关于直线x=2对称且/(0)=0,由4)=-/(x)知

/*一8)=/(x)，所以函数是以8为周期的周期函数,又因为/(x)在区间［0,2］上是增函数,

所以/(%)在区间［-2,0］上也是增函数.如图所示，那么方程f(x)=m(m>0)在区间［-8,8］上有

四个不同的根玉,％2，苫3，%4,不妨设玉<》2<%3<%4由对称性知玉+X2=-12X3+X4=4

所以％+X2+X3+X4—12+4=—8

【命题立意】：本题综合考查了函数的奇偶性，单调性,

对称性，周期性，以及由函数图象解答方程问题，

运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题.

14.(2009四川卷文)设V是已知平面M上所有向量的集合，对于映射

记。的象为/(a)。若映射满足：对所有a、beV及任意实数九〃都有

+=+则/称为平面加上的线性变换。现有下列命题：

①设/是平面M上的线性变换，a、beV,则/(a+b)=/(a)+/S)

②若e是平面”上的单位向量，对aeV,设/'(a)=a+e,则/是平面M上的线性变

换；

③对aeV,设/(a)=-a,则/是平面M上的线性变换；

④设/是平面〃上的线性变换，aeV,则对任意实数々均有/(履)=4(a)。

其中的真命题是(写出所有真命题的编号)

答案①③④

解析①：令几=〃=1,则f(a+b)=/(«)+f(b)故①是真命题

同理，④：令九=k，x=O,则/(3)=好'(")故④是真命题

③：•••/(4)=—a,则有/(6)=—b

f(Aa+fjb)--(/la+pb)=2-(-a)+〃•(-b)=/If(a)+juf(b)是线性变换，故③是

真命题

②：由/(a)=a+e,则有/(b)=b+e

f(Aa+jub)=(Aa+曲)+e=2•(a+e)+〃•(b+e)-e="(a)+frf(b)-e

•；e是单位向量，eKO,故②是假命题

【备考提示】本小题主要考查函数，对应及高等数学线性变换的相关知识，试题立意新

颖，突出创新能力和数学阅读能力，具有选拔性质。

48.(2009年广东卷文)(本小题满分14分)

已知二次函数y=g(x)的导函数的图像与直线y=2x平行，且y=g(x)在x=-1处取

得最小值m-l(m*0).设函数/(x)=.

X

(1)若曲线y=/(x)上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为收，求m的值

(2)k(kGR)如何取值时，函数y=/(x)-履存在零点，并求出零点.

解(1)设g(x)=ax2+/?x+c,则g'(x)=2ax+/?；

又g'(x)的图像与直线y=2x平行/.2a=2a=l

又g(x)在/=—1取极小值，一耳=—1，b=2

/.g(-l)=iz-/?+c=l-2+c=m-l,c=m；

/(x)=i^l=x+：+2,设产(%”)

/\22_____

则|P0『=x；+(yo-2)2=x；+x0+—=2x：+4+222^^7+2

\JXQ

/.2yl2ml+2=4t?t=±；

2

(2)由y=/⑴-攵x=(1-Z)xd——+2=0,

得(1一攵)尤2+2x+m=0(*)

当攵=1时，方程(*)有一解1=一£,函数y=/(x)-履有一零点工=一£；

当女H1时，方程(*)有二解=