第四章角度计算

试卷第=page66页，共=sectionpages66页试卷第=page55页，共=sectionpages66页第四章角度计算学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．【实践操作】三角尺中的数学．(1)如图1，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起，．①若，则______；若，则_____；②猜想：请直接写出与的数量关系：_______．(2)如图乙若是两个同样的直角三角尺60°锐角的顶点虫重合在一起，，则请直接写出与的数量关系______；(3)已知，（、都是锐角），如图3，若把它们的顶点O重合在一起，请直接写出与的数量关系：_______．2．如图所示，以直线上的一点为端点，在直线的上方作射线，使，将一块直角三角尺的直角顶点放在点处，且直角三角尺在直线的上方．设．(1)当时，求的大小；(2)当恰好平分时，求的值；(3)当时，嘉嘉认为与的差为定值，淇淇认为与的和为定值，且二人求得的定值相同，均为，老师说，要使两人的说法都正确，需要对分别附加条件．请你补充这个条件：当满足时，；当满足时，．3．请仔细观察如图所示的折纸过程，然后回答下列问题：(1)的度数为__________；(2)与有何数量关系：______；(3)与有何数量关系：__________；4．已知O是直线AB上的一点，，OE平分．(1)如图①，若，则___________．(2)如图①，若，求的度数（用含的代数式表示）．(3)将图①中的绕顶点O顺时针旋转至图②的位置，其他条件不变，那么（2）中所求出的结论是否还成立？请说明理由．5．如图，直线，相交于点，平分，平分，．(1)求的度数；(2)求的度数．6．已知：O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．(1)如图1，当∠AOC＝40°时，求∠DOE的度数；(2)如图2，OF平分∠BOD，求∠EOF的度数；(3)如图3，∠AOC=36°，此时∠COD绕点O以每秒6°沿逆时针方向旋转t秒（0≤t<60），请直接写出∠AOC和∠DOE之间的数量关系7．点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝65°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处．(1)如图①，将三角板MON的一边ON与射线OB重合放置，则∠MOC＝；（不需要写步骤）(2)如图②，将三角板MON如图放置，此时OC是∠MOB的角平分线，求∠BON的度数；(3)如图③，将三角板MON如图放置时，满足∠NOC＝∠AOM，直接写出∠NOB＝．（不需要写步骤）8．如图，直线与相交于点，是的平分线，如果．求的度数．9．如图，点A，O，B在同一直线上，OD是的平分线，，且．(1)试求的度数：(2)直接写出图中所有与互余的角．10．如图，点O在直线AB上，，，OE是的平分线，．(1)求的度数．(2)找出图中与互补的角，并求出补角的度数．11．如图，O为直线CD上一点，将直角三角板的直角顶点放在点O处，即∠AOB＝90°，且OA，OB位于直线CD两侧，作射线OE，使OB平分∠COE．(1)当∠AOC＝75°时，求∠DOE的度数；(2)绕点O转动三角板AOB，∠AOC随之变化，设∠AOC＝，用含的式子表示∠DOE．12．如图，O为直线上的两点，，平分，．(1)求的度数；(2)是的平分线吗？为什么？13．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC，∠FOD=90°．(1)若∠AOF=50°，求∠BOE的度数；(2)若∠BOD：∠BOE=1：4，求∠AOF的度数．14．如图，已知直线交于点O，的度数为x，平分．(1)当时，求与的度数；(2)当时，射线分别以，的速度同时绕点O顺时针转动，当射线与射线重合时至少需要多少时间？15．图（1）所示，点O是直线AB上一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．(1)若∠AOC＝30°，求∠DOE的度数；(2)将图（1）中的∠COD绕点O顺时针旋转至图（2）所示的位置，以（1）题思路探究∠AOC与∠DOE的度数之间的关系，并说明理由；(3)将图（1）中的∠COD绕点O顺时针旋转至图（3）所示的位置，直接写出∠AOC与∠DOE的度数之间的关系．答案第=page1212页，共=sectionpages1313页答案第=page1313页，共=sectionpages1313页参考答案：1．(1)①，；②(2)(3)【分析】（1）①本题已知两块直角三角尺实际就是已知三角板的各个角的度数，根据角的和差就可以求出的度数；②根据前两个小问题的结论猜想与的大小关系，结合前两问的解决思路得出证明；（2）根据（1）解决思路确定与的大小并证明；（3）由于（都是锐角），而，进而得出结论．【详解】（1）①∵∴∵∴∵∴∵∴故答案为：；②猜想得（或与互补），理由：∵∴∴；故答案为：（2），理由如下：由于，故；故答案为：（3），理由：∵∴，即，∴．故答案为：【点睛】本题考查余角与补角，掌握互为余角、互为补角的意义以及图形中角的和差关系是正确解答的关键．2．(1)(2)23(3)，【分析】（1）用减去即可．（2）利用角平分线的性质计算角度即可．（3）分在内部和外部讨论解题即可．【详解】（1）解：当时，，，，，；（2）解：恰好平分，，，，；（3）当时，如图1，，理由如下：，，，，；当时，如图2，理由如下：，，，，；故答案为：，．【点睛】本题主要考查角的加减运算，能够熟练根据要求列角的等量关系是解题关键．3．(1)(2)(3)【分析】（1）由图中第三个图形可知，折叠后，再根据B、E、C三点共线可求得结论；（2）根据（1）可知，两角之和为，两角互余；（3）由三点共线可得出结论．【详解】（1）解：根据折叠的过程可知：，∵，三点共线∴．故答案是：．（2）∵，∴．故答案是：．（3）∵三点共线，∴，故答案是：．【点睛】本题考查的角的计算以及折叠问题，解题的关键是依据折叠的特性找到之间的关系．4．(1)(2)(3)成立，理由见解析【分析】（1）由，可知，根据OE平分，可得，所以；（2）由，可得，则，根据OE平分，可得；所以．（3）设，则，根据OE平分，可得；所以．【详解】（1）∵，∴，∵OE平分，∴，∴，故答案为：；（2），∴，∴，∵OE平分，∴；∴．（3）成立，理由如下：设，∴，∵OE平分，∴；∴．∴（2）中所求出的结论还成立．【点睛】本题主要考查角度的和差计算，角平分线的定义（从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线），解决本题的关键是由图形得到角度之间的关系．5．(1)30°.(2)45°．【分析】（1）根据邻补角的和等于180°求出∠BOD的度数，然后根据角平分线的定义解答；（2）先求出∠COE的度数，再根据角平分线的定义求出∠EOF，再根据∠BOF＝∠EOF-∠BOE，代入数据进行计算即可得解．【详解】（1）∵∠AOD=2∠BOD，∠AOD+∠BOD＝180°.∴∠BOD＝×180°＝60°.∵OE平分∠BOD.∴∠DOE＝∠BOE=∠BOD＝×60°＝30°.（2）∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝180°﹣30°＝150°.∵OF平分∠COE.∴∠EOF＝∠COE＝×150°＝75°.由（1）得，∠BOE＝30°，∴∠BOF＝∠EOF-∠BOE＝75°-30°＝45°．【点睛】本题考查了对顶角相等的性质，角平分线的定义，比较简单，准确识图并熟记性质与概念是解题的关键．6．(1)(2)(3)或【分析】(1)由补角及直角的定义可求得的度数，结合角平分线的定义可求解∠DOE的度数；(2)由角平分线的定义可得，进而可求解；(3)可分两种情况：①当时，，求出，得出答案；②当时，，得出，进而得到答案．（1）解：∵，∴，∵OE平分，∴，∵，∴；（2）∵OE平分，OF平分，∴，，∴，∵，∴；（3）①当时，由题意可得∴，∴，，∴；②当时，如下图，∴，∴，∴【点睛】本题主要考查角的计算，角平分线的定义，补角的定义等知识的综合运用，分类讨论是解题的关键．7．(1)25°；(2)∠BON＝40°；(3)70°．【分析】（1）根据∠MOC＝∠MON−∠BOC代入数据计算即可得解；（2）根据角平分线的定义可得∠MOB＝2∠BOC，再根据∠BON＝∠MOB−∠MON计算即可得解；（3）由∠BOC＝65°，∠NOM＝90°，∠NOC＝∠AOM，可求得∠NOC的度数，再根据∠NOB＝∠NOC＋∠BOC计算即可．（1）解：∵∠MON＝90°，∠BOC＝65°，∴∠MOC＝∠MON−∠BOC＝90°−65°＝25°，故答案为：25°；（2）∵OC是∠MOB的角平分线，∴∠MOB＝2∠BOC＝2×65°＝130°，∴∠BON＝∠MOB−∠MON＝130°−90°＝40°；（3）∵∠NOC＝∠AOM，∴∠AOM＝4∠NOC，∵∠BOC＝65°，∴∠AOC＝180°−65＝115°，∵∠MON＝90°，∴∠AOM＋∠NOC＝∠AOC−∠MON＝115°−90°＝25°，∴4∠NOC＋∠NOC＝25°，∴∠NOC＝5°，∴∠NOB＝∠NOC＋∠BOC＝70°，故答案为：70°．【点睛】本题考查了余角和补角，角平分线的定义，三角板的知识，角的计算，熟记概念并准确识图，理清图中各角之间的关系是解题的关键．8．【分析】根据角的比例关系设，则，，可求出∠BOC，∠DOF再根据角平分线的定义求出∠COE，根据即可求出答案．【详解】解：设，则，，由题意，得解得，∴，则．∵是的平分线，∴，∴【点睛】本题考查邻补角、对顶角以及角平分线，理解角平分线的定义以及邻补角、对顶角的性质是正确解题的关键．9．(1)30°(2)∠COE与∠BOE【分析】（1）利用OD是∠AOC的平分线，得出∠AOD＝∠COD∠AOC，求出∠AOE，再利用平角的意义求得问题；（2）利用互余两角的和是90°直接写出即可．（1）解：∵OD平分∠AOC，∠AOC＝120°，∴∠AOD＝∠COD∠AOC＝60°，∵OD⊥OE，∴∠DOE＝90°，∴∠AOE＝∠AOD+∠DOE＝150°，∵∠AOE+∠EOB＝180°，∴∠BOE＝30°；（2）∵∠COE+∠COD=90°又=∠COD,∠BOE=∠COE∴∠COE+∠COD=90°，∠BOE+∠COD=90°∴与互余的角为：∠COE与∠BOE．【点睛】此题考查两角互余的关系、角平分线的意义、平角的意义，以及角的和与差等知识点．10．(1)(2)和，【分析】（1）利用余角互余关系求得，利用邻角补角关系求得，进而人求得；（2）利用等角的余角相等，求得与相等的角，即求得的补角．（1），，．OE平分，．（2）与互补的角是和，因为，，，补角的度数是31．【点睛】本题考查余角、邻补角的定义，利用余角、邻补角的关系是解题关键．11．(1)(2)【分析】（1）由直角可得出由角平分线可得出：，即可求得结论；（2）由直角可得出，由角平分线可得出：，即可求得结论．（1）解：∵，∴∵OB平分∠COE，∴,∴（2）∵，∴，∵OB平分∠COE，∴,∴．【点睛】此题考查了角的运算，掌握直角、角平分线、补角的性质是解题的关键．12．(1)∠BOD＝156°(2)是；见解析【分析】（1）由角平分线的定义可知∠1的度数，再利用互补即可算出∠BOD的度数；（2）想要判断OE是否为∠BOC的平分线，只需分别计算出∠3和∠4的度数，看它们是否相等．（1）解：∵∠AOC＝48°，OD平分∠AOC，∴∠1＝∠2＝24°，∴∠BOD＝180°－24°＝156°；（2）∵∠DOE＝90°，∴∠2＋∠3＝90°，∴∠1＋∠4＝90°，∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4，∴OE是∠BOC的平分线．【点睛】本题考查角平分线的定义和角的计算，解题时注意结合图形分析已知条件与问题之间的位置关系，把条件与问题的联系作为主要的思考方向．13．(1)∠BOE=70°；(2)∠AOF=70°．【分析】（1）根据补角，余角的关系，可得∠COB，根据角平分线的定义，可得答案；（2）根据邻补角，可得关于x的方程，根据解方程，可得∠AOC，再根据余角的定义，可得答案．（1）解：∵∠COF与∠DOF是邻补角，∴∠COF=180°-∠DOF=90°．∵∠AOC与∠AOF互为余角，∴∠AOC=90°-∠AOF=90°-50°=40°．∵∠AOC与∠BOC是邻补角，∴∠COB=180°-∠AOC=180°-40°=140°．∵OE平分∠BOC，∴∠BOE=∠BOC=70°；（2）解：∠BOD：∠BOE=1：4，设∠BOD=∠AOC=x，∠BOE=∠COE=4x．∵∠AOC与∠BOC是邻补角，∴∠AOC+∠BOC=180°，即x+4x+4x=180°，解得x=20°．∵∠AOC与∠AOF互为余角，∴∠AOF=90°-∠AOC=90°-20°=70°．【点睛】本题考查了对顶角、邻补角，利用邻补角的定义、余角的定义是解题关键．14．(1)，(2)30秒【分析】（1）利用平角求出∠AOE的度数，结合∠AOC＝x＝20°，求出∠AOD