2023届安徽省长丰高考适应性考试数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设等差数列的前n项和为，若，则（）A． B． C．7 D．22．设，命题“存在，使方程有实根”的否定是()A．任意，使方程无实根B．任意，使方程有实根C．存在，使方程无实根D．存在，使方程有实根3．已知函数，则的值等于（）A．2018 B．1009 C．1010 D．20204．执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的()A．9 B．31 C．15 D．635．设，，，则、、的大小关系为（）A． B． C． D．6．已知双曲线的实轴长为，离心率为，、分别为双曲线的左、右焦点，点在双曲线上运动，若为锐角三角形，则的取值范围是（）A． B． C． D．7．设是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点，使（为坐标原点），且，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．8．我国宋代数学家秦九韶（1202-1261）在《数书九章》（1247）一书中提出“三斜求积术”，即：以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.其实质是根据三角形的三边长，，求三角形面积，即.若的面积，，，则等于（）A． B． C．或 D．或9．已知为坐标原点，角的终边经过点且，则()A． B． C． D．10．抛物线的焦点为，点是上一点，，则（）A． B． C． D．11．设，其中a，b是实数，则（）A．1 B．2 C． D．12．已知，，，则（）A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在数列中，，则数列的通项公式_____.14．如图，在平行四边形中，，,则的值为_____.15．定义，已知，，若恰好有3个零点，则实数的取值范围是________.16．记等差数列和的前项和分别为和，若，则______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在锐角中，分别是角的对边，，，且．（1）求角的大小；（2）求函数的值域．18．（12分）已知函数（1）求函数的单调递增区间（2）记函数的图象为曲线，设点是曲线上不同两点，如果在曲线上存在点，使得①；②曲线在点M处的切线平行于直线AB，则称函数存在“中值和谐切线”，当时，函数是否存在“中值和谐切线”请说明理由19．（12分）在平面直角坐标系中，曲线，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线、的极坐标方程；（2）在极坐标系中，射线与曲线，分别交于、两点（异于极点），定点，求的面积20．（12分）一张边长为的正方形薄铝板（图甲），点，分别在，上，且（单位：）.现将该薄铝板沿裁开，再将沿折叠，沿折叠，使，重合，且重合于点，制作成一个无盖的三棱锥形容器（图乙），记该容器的容积为（单位：），（注：薄铝板的厚度忽略不计）（1）若裁开的三角形薄铝板恰好是该容器的盖，求，的值；（2）试确定的值，使得无盖三棱锥容器的容积最大.21．（12分）在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为；直线的参数方程为（为参数），直线与曲线分别交于两点．（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；（2）若点的极坐标为，，求的值．22．（10分）如图，在中，已知，，，为线段的中点，是由绕直线旋转而成，记二面角的大小为.（1）当平面平面时，求的值；（2）当时，求二面角的余弦值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．B【解析】

根据等差数列的性质并结合已知可求出，再利用等差数列性质可得，即可求出结果．【详解】因为，所以，所以，所以，故选：B【点睛】本题主要考查等差数列的性质及前项和公式，属于基础题．2．A【解析】

只需将“存在”改成“任意”，有实根改成无实根即可.【详解】由特称命题的否定是全称命题，知“存在，使方程有实根”的否定是“任意，使方程无实根”.故选：A【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，此类问题要注意在两个方面作出变化：1.量词，2.结论，是一道基础题.3．C【解析】

首先，根据二倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，根据所求函数的周期性，得到其周期为4，然后借助于三角函数的周期性确定其值即可．【详解】解：．，，的周期为，，，，，．．故选：C【点睛】本题重点考查了三角函数的图象与性质、三角恒等变换等知识，掌握辅助角公式化简函数解析式是解题的关键，属于中档题．4．B【解析】

根据程序框图中的循环结构的运算，直至满足条件退出循环体，即可得出结果.【详解】执行程序框；；；；；，满足，退出循环，因此输出，故选:B.【点睛】本题考查循环结构输出结果，模拟程序运行是解题的关键，属于基础题.5．D【解析】

因为，，所以且在上单调递减，且所以，所以，又因为，，所以，所以.故选：D.【点睛】本题考查利用指对数函数的单调性比较指对数的大小，难度一般.除了可以直接利用单调性比较大小，还可以根据中间值“”比较大小.6．A【解析】

由已知先确定出双曲线方程为，再分别找到为直角三角形的两种情况，最后再结合即可解决.【详解】由已知可得，，所以，从而双曲线方程为，不妨设点在双曲线右支上运动，则，当时，此时，所以，，所以；当轴时，，所以，又为锐角三角形，所以.故选：A.【点睛】本题考查双曲线的性质及其应用，本题的关键是找到为锐角三角形的临界情况，即为直角三角形，是一道中档题.7．D【解析】

利用向量运算可得，即，由为的中位线，得到，所以，再根据双曲线定义即可求得离心率.【详解】取的中点，则由得，即；在中，为的中位线，所以，所以；由双曲线定义知，且，所以，解得，故选：D【点睛】本题综合考查向量运算与双曲线的相关性质，难度一般.8．C【解析】

将，，，代入，解得，再分类讨论，利用余弦弦定理求，再用平方关系求解.【详解】已知，，，代入，得，即，解得，当时，由余弦弦定理得：，.当时，由余弦弦定理得：，.故选：C【点睛】本题主要考查余弦定理和平方关系，还考查了对数学史的理解能力，属于基础题.9．C【解析】

根据三角函数的定义，即可求出，得出，得出和，再利用二倍角的正弦公式，即可求出结果.【详解】根据题意，，解得，所以，所以，所以.故选：C.【点睛】本题考查三角函数定义的应用和二倍角的正弦公式，考查计算能力.10．B【解析】

根据抛物线定义得，即可解得结果.【详解】因为，所以.故选B【点睛】本题考查抛物线定义，考查基本分析求解能力，属基础题.11．D【解析】

根据复数相等，可得，然后根据复数模的计算，可得结果.【详解】由题可知：，即，所以则故选：D【点睛】本题考查复数模的计算，考验计算，属基础题.12．C【解析】

利用二倍角公式,和同角三角函数的商数关系式,化简可得,即可求得结果.【详解】，所以，即.故选:C.【点睛】本题考查三角恒等变换中二倍角公式的应用和弦化切化简三角函数,难度较易.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．【解析】

由题意可得，又，数列的奇数项为首项为1，公差为2的等差数列，对分奇数和偶数两种情况，分别求出，从而得到数列的通项公式.【详解】解：∵，∴①，②，①﹣②得：，又∵，∴数列的奇数项为首项为1，公差为2的等差数列，∴当为奇数时，，当为偶数时，则为奇数，∴，∴数列的通项公式，故答案为：.【点睛】本题考查求数列的通项公式，解题关键是由已知递推关系得出，从而确定数列的奇数项成等差数列，求出通项公式后再由已知求出偶数项，要注意结果是分段函数形式．14．【解析】

根据ABCD是平行四边形可得出，然后代入AB＝2，AD＝1即可求出的值．【详解】∵AB＝2，AD＝1，∴＝1﹣4＝﹣1．故答案为：﹣1．【点睛】本题考查了向量加法的平行四边形法则，相等向量和相反向量的定义，向量数量积的运算，考查了计算能力，属于基础题．15．【解析】

根据题意，分类讨论求解，当时，根据指数函数的图象和性质无零点，不合题意；当时，令，得，令，得或，再分当，两种情况讨论求解.【详解】由题意得：当时，在轴上方，且为增函数，无零点，至多有两个零点，不合题意；当时，令，得，令，得或，如图所示：当时，即时，要有3个零点，则，解得；当时，即时，要有3个零点，则，令，，所以在是减函数，又，要使，则须，所以.综上：实数的取值范围是.故答案为：【点睛】本题主要考查二次函数，指数函数的图象和分段函数的零点问题，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，利用导数判断函数单调性，属于中档题.16．【解析】

结合等差数列的前项和公式,可得,求解即可.【详解】由题意,,,因为,所以.故答案为:.【点睛】本题考查了等差数列的前项和公式及等差中项的应用,考查了学生的计算求解能力,属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）；（2）【解析】

（1）由向量平行的坐标表示、正弦定理边化角和两角和差正弦公式可化简求得，进而得到；（2）利用两角和差余弦公式、二倍角和辅助角公式化简函数为，根据的范围可确定的范围，结合正弦函数图象可确定所求函数的值域.【详解】（1），，由正弦定理得：，即，，，，又，.（2）在锐角中，，．．，，，，函数的值域为．【点睛】本题考查三角恒等变换、解三角形和三角函数性质的综合应用问题；涉及到共线向量的坐标表示、利用三角恒等变换公式化简求值、正弦定理边化角的应用、正弦型函数值域的求解等知识.18．（1）见解析（2）不存在，见解析【解析】

（1）求出函数的导数，通过讨论的范围求出函数的单调区间即可；（2）求出函数的导数，结合导数的几何意义，再令，转化为方程有解问题，即可说明.【详解】(1)函数的定义域为，所以当时，；，所以函数在上单调递增当时，①当时，函数在上递增②，显然无增区间；③当时，，函数在上递增，综上当函数在上单调递增.当时函数在上单调递增；当时函数无单调递增区间当时函数在上单调递增(2)假设函数存在“中值相依切线”设是曲线上不同的两个点，且则曲线在点处的切线的斜率为，.令，则，单调递增，，故无解，假设不成立综上，假设不成立，所以不存在“中值相依切线”【点睛】本题考查了函数的单调性，导数的几何意义，考查导数的应用以及分类讨论和转化思想，属于中档题．19．（1），；（2）.【解析】

（1）先把参数方程化成普通方程，再利用极坐标的公式把普通方程化成极坐标方程；（2）先利用极坐标求出弦长，再求高，最后求的面积．【详解】（1）曲线的极坐标方程为：，因为曲线的普通方程为：，曲线的极坐标方程为；（2）由（1）得：点的极坐标为，点的极坐标为，，点到射线的距离为的面积为.【点睛】本题考查普通方程、参数方程与极坐标方程之间的互化，同时也考查了利用极坐标方程求解面积问题，考查计算能力，属于中等题.20．（1），；（2）当值为时，无盖三棱锥容器的容积最大.【解析】

（1）由已知求得，求得三角形的面积，再由已知得到平面，代入三棱锥体积公式求的值；（2）由题意知，在等腰三角形中，，则，，写出三角形面积，求其平方导数的最值，则答案可求．【详解】解：（1）由题意，为等腰直角三角形，又，，恰好是该零件的盖，，则，由图甲知，，，则在图乙中，，，，又，平面，平面，；（2）由题意知，在等腰三角形中，，则，，．令，，，．可得：当时，，当，时，，当时，有最大值．由（1）知，平面，该三棱锥容积的最大值为，且．当时，取得最大值，无盖三棱锥容器的容积最大．答：当值为时，无盖三棱锥容器的容积最大．【点睛】本题考查棱锥体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用导数求最值，属于中档题．21．(1)曲线的直角坐标方程为即，直线的普通方程为；（2）.【解析】

（1）利用代入法消去参数方程中的参数，可得直线的普通方程，极坐标方程两边同乘以利用即可得曲线的直角坐标方程；（2）直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，根据直线参数方程的几何意义，利用韦达定理可得结果.【详解】（1）由，得，所以曲线的直角坐标方程为，即，直线的普通方程为.(2)将直线的参数方程代入并化简、整理，得.因为直线与曲线交于，两点．所以，解得.由根与系数的关系，得，.因为点的直角坐标为，在直线上.所以，解得，此时满足.且，故.．【点睛】参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式，等可以把极坐标