2021年永州市高二（上）期末数学试卷

高二（上）期末数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。）1．（5分）倾斜角为45°，在y轴上的截距是﹣2的直线方程为（）A．x﹣y+2＝0 B．x﹣y﹣2＝0 C．x﹣y﹣2＝0 D．x+y+2＝02．（5分）已知向量，，则等于（）A． B． C． D．3．（5分）在等差数列{an}中，a8＝15，则a1+a7+a9+a15＝（）A．15 B．30 C．45 D．604．（5分）已知抛物线E：y2＝4x，焦点为F，若过F的直线l交抛物线于A、B两点，A、B到抛物线准线的距离分别为3、7，则AB长为（）A．3 B．4 C．7 D．105．（5分）在等比数列{an}中，，则{an}的公比q为（）A．﹣2 B． C． D．26．（5分）过点P（4，6）且与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为（）A． B． C． D．7．（5分）一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y﹣2）2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A．或 B．或 C．或 D．或8．（5分）已知F1，F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且|PF1|＞|PF2|，线段PF1的垂直平分线过F2，若椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，则的最小值为（）A．8 B．6 C．4 D．2二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）（多选）9．（5分）下列说法中正确的是（）A．若直线的斜率存在，则必有一个倾斜角与之对应 B．每一条直线都有且仅有一个倾斜角与之对应 C．与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0°或90° D．若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tanα（多选）10．（5分）已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝﹣7，S3＝﹣15，则下列结论正确的是（）A．an＝2n﹣9 B．{an}为递减数列 C．a6是a4和a9的等比中项 D．Sn的最小值为﹣16（多选）11．（5分）如图，四边形ABCD为正方形，平面PCD⊥平面ABCD，且△PCD为正三角形，CD＝2，M为BC的中点，则下列命题中正确的是（）A．BC⊥PD B．AM∥平面PCD C．直线AM与PCD成角的余弦值为 D．二面角C﹣PD﹣M大小为（多选）12．（5分）泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交会的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交会，却在转瞬间无处寻觅．已知点M（0，2），直线l：y＝﹣3，若某直线上存在点P，使得点P到点M的距离比到直线l的距离小1，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论正确的是（）A．点P的轨迹曲线是一条线段 B．点P的轨迹与直线l0：y＝﹣1是没有交会的轨迹（即两个轨迹没有交点） C．y＝2x﹣3是“最远距离直线” D．不是“最远距离直线”三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＝3，a9＝11，则S11＝．14．（5分）已知点P是抛物线y2＝2x上的动点，点P到准线的距离为d，且点P在y轴上的射影是M，点A（，4），则|PA|+|PM|的最小值是．15．（5分）数列{an}的前n项和为Sn＝n2﹣2n+3，则an＝．16．（5分）已知F1、F2是椭圆的左、右焦点，P在椭圆上运动，当的值最小时，△PF1F2的面积为．四、解答题（本大题共6小题，满分70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，PD＝AB＝2，E为PC中点．（1）求证：PA∥平面BDE；（2）求平面BDE与平面PAB的夹角余弦值．18．（12分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S9＝81，a7＝13，求：（1）Sn；（2）若S3、S17﹣S16、Sk成等比数列，求k．19．（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F（2，0），直线l：y＝k（x﹣2）与抛物线C相交于不同的两点A、B．（1）求抛物线C的方程；（2）若|AB|＝9，求k的值．20．（12分）已知直线l1：2x﹣y+1＝0和l2：x﹣y﹣2＝0的交点为P．（1）若直线l经过点P且与直线l3：4x﹣3y﹣5＝0平行，求直线l的方程；（2）若直线m经过点P且与x轴，y轴分别交于A，B两点，P为线段AB的中点，求△OAB的面积（其中O为坐标原点）．21．（12分）数列{an}是单调递增的等比数列，a2＝4，a1+a2+a3＝14，数列{bn}满足b1＝，且bn+1＝．（1）证明：数列是等差数列，并求{an}，{bn}的通项公式；（2）设数列的前n项和为Tn，求Tn．22．（12分）已知椭圆的离心率为，且其左顶点到右焦点的距离为5．（1）求椭圆的方程；（2）设点M、N在椭圆上，以线段MN为直径的圆过原点O，试问：是否存在定点P，使得P到直线MN的距离为定值？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。）1．（5分）倾斜角为45°，在y轴上的截距是﹣2的直线方程为（）A．x﹣y+2＝0 B．x﹣y﹣2＝0 C．x﹣y﹣2＝0 D．x+y+2＝0【分析】由题意利用斜截式求直线的方程．【解答】解：倾斜角为45°的直线的斜率为1，在y轴上的截距是﹣2，故它的直线方程为y＝x﹣2，即x﹣y﹣2＝0，故选：B．【点评】本题主要考查用斜截式求直线的方程，属于基础题．2．（5分）已知向量，，则等于（）A． B． C． D．【分析】利用空间向量的坐标运算求出+，再利用求模公式求解即可．【解答】解：∵，，∴+＝（3，5，4），则＝＝5，故选：C．【点评】本题考查空间向量的坐标运算，求模公式的应用，属于基础题．3．（5分）在等差数列{an}中，a8＝15，则a1+a7+a9+a15＝（）A．15 B．30 C．45 D．60【分析】由等差数列{an}的性质可得：a1+a15＝a7+a9＝2a8．即可得出．【解答】解：由等差数列{an}的性质可得：a1+a15＝a7+a9＝2a8．∵a8＝15，∴a1+a7+a9+a15＝4a8＝4×15＝60．故选：D．【点评】本题考查了等差数列的性质，属于基础题．4．（5分）已知抛物线E：y2＝4x，焦点为F，若过F的直线l交抛物线于A、B两点，A、B到抛物线准线的距离分别为3、7，则AB长为（）A．3 B．4 C．7 D．10【分析】利用抛物线的定义，转化求解AB的距离即可．【解答】解：抛物线E：y2＝4x，焦点为F（1，0），过F的直线l交抛物线于A、B两点，A、B到抛物线准线的距离分别为3、7，则AB＝3+7＝10．故选：D．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．5．（5分）在等比数列{an}中，，则{an}的公比q为（）A．﹣2 B． C． D．2【分析】由已知结合等比数列的通项公式及性质即可求解公比q．【解答】解：因为等比数列{an}中，，所以＝0，即＝a3＝，a6＝1，则q3＝＝8，所以q＝2．故选：D．【点评】本题主要考查了等比数列的性质及通项公式，属于基础题．6．（5分）过点P（4，6）且与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为（）A． B． C． D．【分析】与双曲线有相同的渐近线的方程可设为双曲线＝λ，λ≠0，再把点P的坐标代入即可．【解答】解：由题意可设要求的双曲线方程为：＝λ，λ≠0，把点P（4，6）代入可得16﹣18＝λ，解得λ＝﹣2．∴双曲线方程为：．故选：B．【点评】本题考查双曲线方程的求法，双曲线的简单性质的应用，与双曲线有相同的渐近线的方程可设为双曲线＝λ，λ≠0，是解题的关键．7．（5分）一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y﹣2）2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A．或 B．或 C．或 D．或【分析】点A（﹣2，﹣3）关于y轴的对称点为A′（2，﹣3），可设反射光线所在直线的方程为：y+3＝k（x﹣2），利用直线与圆相切的性质即可得出．【解答】解：点A（﹣2，﹣3）关于y轴的对称点为A′（2，﹣3），故可设反射光线所在直线的方程为：y+3＝k（x﹣2），化为kx﹣y﹣2k﹣3＝0．∵反射光线与圆（x+3）2+（y﹣2）2＝1相切，∴圆心（﹣3，2）到直线的距离d＝＝1，化为24k2+50k+24＝0，∴k＝﹣，或k＝﹣．故选：D．【点评】本题考查了反射光线的性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、点斜式、对称点，考查了计算能力，属于中档题．8．（5分）已知F1，F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且|PF1|＞|PF2|，线段PF1的垂直平分线过F2，若椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，则的最小值为（）A．8 B．6 C．4 D．2【分析】由于线段PF1的垂直平分线过F2，所以有|F1F2|＝|PF2|，再根据双曲线和椭圆的定义，求出2c的表达式，然后利用基本不等式来求得最小值．【解答】解：设椭圆对应的参数为a1，b1，c，双曲线对应的参数为a2，b2，c，由于线段PF1的垂直平分线过F2，所以有|F1F2|＝|PF2|＝2c．根据双曲线和椭圆的定义，两式相减得到4c＝2（a1﹣a2），即a1﹣a2＝2c，a2＞0，c＞0，所以，当且仅当即c＝2a2等号成立，即最小值为6．故选：B．【点评】本题考查双曲线的定义和几何性质，考查椭圆的定义和几何性质，化归转化思想，基本不等式的应用，属中档题．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）（多选）9．（5分）下列说法中正确的是（）A．若直线的斜率存在，则必有一个倾斜角与之对应 B．每一条直线都有且仅有一个倾斜角与之对应 C．与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0°或90° D．若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tanα【分析】直接利用直线的倾斜角和斜率的关系判断A、B、C、D的结论．【解答】解：对于A：若直线的斜率存在，则必有一个倾斜角与之对应，故A正确；对于B：每一条直线都有且仅有一个倾斜角与之对应，故B正确；对于C：与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0°或90°，故C正确；对于D：若直线的倾斜角为α（α≠90°），则直线的斜率为tanα，故D错误．故选：ABC．【点评】本题考查的知识要点：直线的倾斜角和斜率的关系，主要考查学生对基础知识的理解，属于基础题．（多选）10．（5分）已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝﹣7，S3＝﹣15，则下列结论正确的是（）A．an＝2n﹣9 B．{an}为递减数列 C．a6是a4和a9的等比中项 D．Sn的最小值为﹣16【分析】由等差数列的前n项和公式可求得公差d，从而可得数列{an}的通项公式，再逐个选项判断即可．【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，因为a1＝﹣7，S3＝﹣15，所以3a1+d＝﹣15，解得d＝2，所以an＝a1+（n﹣1）d＝﹣7+2（n﹣1）＝2n﹣9，故A正确，因为d＝2＞0，所以{an}为递增数列，故B错误；a6＝12﹣9＝3，a4＝8﹣9＝﹣1，a9＝18﹣9＝9，a62＝9，a4a9＝﹣9，故a6不是a4和a9的等比中项，故C错误；由an＝2n﹣9，得当n≤4时，an＜0，当n≥5时，an＞0，所以Sn的最小值为S4＝4a1+d＝4×（﹣7）+12＝﹣16，故D正确．故选：AD．【点评】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列的前n项和公式，考查运算求解能力，属于中档题．（多选）11．（5分）图，四边形ABCD为正方形，平面PCD⊥平面ABCD，且△PCD为正三角形，CD＝2，M为BC的中点，则下列命题中正确的是（）A．BC⊥PD B．AM∥平面PCD C．直线AM与PCD成角的余弦值为 D．二面角C﹣PD﹣M大小为【分析】根据三垂线定理，线面平行的概念，线面角的概念，三垂线定理作二面角，即可分别求解．【解答】解：对A选项，∵平面PCD⊥平面ABCD，∴PD在底面ABCD内的射影为CD，又四边形ABCD为正方形，∴BC⊥CD，∴根据三垂线定理可知BC⊥PD，∴A选项正确；对B选项，∵四边形ABCD为正方形，又M为BC的中点，∴AM与DC为相交直线，∴AM与平面PCD相交，∴B选项错误；对C选项，∵平面PCD⊥平面ABCD，∴AM在平面PCD内的射影为CD，又CD∥AB，∴直线AM与平面PCD成角为∠BAM，又易知cos∠BAM＝＝＝，∴C选项错误；对D选项，∵平面PCD⊥平面ABCD，又BC⊥DC，且平面PCD∩平面ABCD＝DC，∴BC⊥平面PCD，取PD的中点H，又△PCD为正三角形，∴CH⊥PD，根据三垂线定理可得：二面角C﹣PD﹣M的平面角为∠MHC，又易知CH＝，CM＝1，∴tan∠MHC＝＝＝，∴∠MHC＝，∴二面角C﹣PD﹣M大小为，∴D选项正确．故选：AD．【点评】本题考查三垂线定理证明线线垂直，线面平行的概念，线面角的求解，二面角的求解，三垂线定理作二面角，属中档题．（多选）12．（5分）泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交会的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交会，却在转瞬间无处寻觅．已知点M（0，2），直线l：y＝﹣3，若某直线上存在点P，使得点P到点M的距离比到直线l的距离小1，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论正确的是（）A．点P的轨迹曲线是一条线段 B．点P的轨迹与直线l0：y＝﹣1是没有交会的轨迹（即两个轨迹没有交点） C．y＝2x﹣3是“最远距离直线” D．不是“最远距离直线”【分析】根据已知条件，确定出P点轨迹是抛物线，再确定此抛物线与BCD中的直线有无公共点，即可求解．【解答】解：∵平面上点P到点M的距离比到直线l的距离小1，∴点P到点M的距离比它到直线y＝﹣2的距离相等，∴点P的轨迹是以M为焦点，直线y＝﹣2为准线的抛物线，轨迹方程为x2＝8y，故A错误，抛物线x2＝8y与直线y＝﹣1无交点，故B正确，联立，化简整理可得，x2﹣16x+24＝0，Δ＝162﹣4×24＝160＞0，故方程组有实数解，因此抛物线与直线y＝2x﹣3有交点，故直线y＝2x﹣3是“最远距离直线”，故C正确，联立，化简整理可得，x2﹣4x+8＝0，Δ＝（﹣4）2﹣4×8＝﹣16＜0，方程组无实数解，故y＝不是“最远距离直线”，故D正确．故选：BCD．【点评】本题主要考查轨迹方程的求解，掌握抛物线的定义是解本题的关键，属于中档题．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＝3，a9＝11，则S11＝77．【分析】根据题意，分析可得S11＝＝＝11a6，进而结合等差数列的前n项和性质计算可得答案．【解答】解：根据题意，等差数列{an}中，S11＝＝＝11a6，又由a3+a9＝2a6＝14，则a6＝7，故S11＝11a6＝77；故答案为：77．【点评】本题考查等差数列前n项和的计算，涉及等差数列的性质，属于基础题．14．（5分）已知点P是抛物线y2＝2x上的动点，点P到准线的距离为d，且点P在y轴上的射影是M，点A（，4），则|PA|+|PM|的最小值是．【分析】由题意利用抛物线的定义可得，当A、P、M共线时，|PA|+|PM|取得最小值，由此求得答案．【解答】解：抛物线焦点F（，0），准线x＝﹣，延长PM交准线于N，由抛物线定义|PF|＝|PN|，∵|PA|+|PM|+|MN|＝|PA|+|PN|＝|PA|+|PF|≥|AF|＝5，而|MN|＝，∴PA|+|PM|≥5﹣＝，当且仅当A，P，F三点共线时，取“＝”号，此时，P位于抛物线上，∴|PA|+|PM|的最小值为，故答案为．【点评】本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．15．（5分）数列{an}的前n项和为Sn＝n2﹣2n+3，则an＝．【分析】根据题意，由数列的前n项和与通项的关系，分析可得答案．【解答】解：根据题意，数列{an}的前n项和为Sn＝n2﹣2n+3，当n＝1时，a1＝S1＝1﹣2+3＝2，当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2﹣2n+3﹣（n﹣1）2+2（n﹣1）﹣3＝2n﹣3，故an＝；故答案为：．【点评】本题考查由数列的前n项和求通项的方法，注意数列的表示方法，属于基础题．16．（5分）已知F1、F2是椭圆的左、右焦点，P在椭圆上运动，当的值最小时，△PF1F2的面积为2．【分析】根据椭圆定义得出|PF1|+|PF2|＝6，进而对进行化简，结合基本不等式得出的最小值，并求出|PF1|，|PF2|的值，进而求出面积．【解答】解：由椭圆定义可知，|PF1|+|PF2|＝2a＝6，所以，，当且仅当，即|PF1|＝2，|PF2|＝4时取′′＝''．又，所以．所以，由勾股定理可知：PF1⊥F1F2，所以．故答案为：．【点评】本题主要考查椭圆的定义的应用，基本不等式求最值的方法等知识，属于中等题．四、解答题（本大题共6小题，满分70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，PD＝AB＝2，E为PC中点．（1）求证：PA∥平面BDE；（2）求平面BDE与平面PAB的夹角余弦值．【分析】（1）连接AC交BD于点O，连接EO，利用线面平行的判定定理，即可证明结论；（2）由题意可建立以点D为坐标原点，以直线DA，DC，DP为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系D﹣xyz，利用向量法，即可得出答案．【解答】解：（1）证明：连接AC交BD于点O，连接EO，如图所示：在正方形ABCD中，O是AC中点，∵E为PC中点，∴在△APC中，PA∥EO，又PA⊄平面BDE，EO⊂平面BDE，∴PA∥平面BDE；（2）由题意可建立以点D为坐标原点，以直线DA，DC，DP为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系D﹣xyz，如图所示：PD＝AB＝2，则D（0，0，0），P（0，0，2），B（2，2，0），E（0，1，1），A（2，0，0），∴，设平面BDE的法向量为，则，即，取z＝1，则y＝﹣1，x＝1，∴平面BDE的法向量为，设平面PAB的法向量为＝（x，y，z），＝（2，0，﹣2），＝（0，2，0），则，即，取x＝1，则y＝0，z＝1，∴平面PAB的法向量为＝（1，0，1），设平面BDE与平面PAB的夹角为α，∴cosα＝|cos＜＞|＝＝＝，故平面BDE与平面PAB的夹角余弦值为．【点评】本题考查空间直线与平面平行和二面角，考查转化思想和数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．18．（12分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S9＝81，a7＝13，求：（1）Sn；（2）若S3、S17﹣S16、Sk成等比数列，求k．【分析】（1）由已知结合等差数列的通项公式及求和公式可求首项及公差，然后结合等差数列的求和公式可求；（2）应用子结合等比数列的性质即可求解．【解答】解：（1）等差数列{an}中，S9＝81，a7＝13，所以，解得，d＝2，a1＝1，所以Sn＝n+＝n2；（2）若S3、S17﹣S16、Sk成等比数列，则S3•Sk＝（S17﹣S16）2＝，所以9k2＝332，所以k＝11．【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式，等比数列的性质的应用，属于基础题．19．（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F（2，0），直线l：y＝k（x﹣2）与抛物线C相交于不同的两点A、B．（1）求抛物线C的方程；（2）若|AB|＝9，求k的值．【分析】（1）由抛物线焦点坐标即可解出p的值，进而确定抛物线的方程；（2）联立直线与抛物线方程，利用弦长公式即可解出．【解答】解：（1）由抛物线的焦点（2，0），∴＝2，∴p＝4，所以抛物线方程为：y2＝8x；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由直线l过抛物线的焦点，所以|AB|＝x1+x2+4＝9，∴x1+x2＝5，联立方程，∴k2x2﹣（8+4k2）x+4k2＝0，∴x1+x2＝＝5，∴k＝±2．【点评】本题考查了抛物线与直线相交，相交弦长，学生的数学运算能力，属于基础题．20．（12分）已知直线l1：2x﹣y+1＝0和l2：x﹣y﹣2＝0的交点为P．（1）若直线l经过点P且与直线l3：4x﹣3y﹣5＝0平行，求直线l的方程；（2）若直线m经过点P且与x轴，y轴分别交于A，B两点，P为线段AB的中点，求△OAB的面积（其中O为坐标原点）．【分析】（1）先求出交点P的坐标和直线的斜率，再用点斜式求直线的方程．（2）先求出A、B两点的坐标，再利用三角形的面积公式，求得△OAB的面积．【解答】解：（1）由，求得，可得直线l1：2x﹣y+1＝0和l2：x﹣y﹣2＝0的交点为P（﹣3，﹣5）．由于直线l3的斜率为，故过点P且与直线l3：4x﹣3y﹣5＝0平行的直线l的方程为y+5＝（x+3），即4x﹣3y﹣3＝0．（2）由题意可得，直线m的斜率存在且不为零，设直线m的斜率为k，则直线m的方程为y+5＝k（x+3）．由于直线m与x轴，y轴分别交于A，B两点，且P（﹣3，﹣5）为线段AB的中点，故A（﹣3，0），B（0，3k﹣5），且＝﹣3，且＝﹣5，求得k＝＝﹣，故A（﹣6，0）、B（0，﹣10）．故△OAB的面积为•OA•OB＝×6×10＝30．【点评】本题主要考查求