2023年高考数学二轮复习专题5立体几何第1讲空间几何体的三视图、表面积及体积课后强化训练

专题五第一讲空间几何体的三视图、外表积及体积A组1．(文)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，那么这个几何体是(B)A．三棱锥 B．三棱柱C．四棱锥 D．四棱柱[解析]由三视图知该几何体是一个横放的直三棱柱，三棱柱的底面是直角三角形，两直角边长都是6，正对观察者．棱柱高为4．(理)(2023·沈阳高三质量监测一)“牟合方盖〞是我国古代数学刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图，图中四边形是为表达其直观性所作的辅助线．当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是(B)[解析]根据直观图以及图中的辅助四边形分析可知，当正视图和侧视图完全相同时，俯视图为B，应选B．2．(2023·全国卷Ⅱ)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，那么该几何体的外表积为(C)A．20π B．24πC．28π D．32π[解析]该几何体是圆锥与圆柱的组合体，由三视图可知圆柱底面圆的半径r＝2，底面圆的周长c＝2πr＝4π，圆锥的母线长l＝eq\r(22＋2\r(3)2)＝4，圆柱的高h＝4，所以该几何体的外表积S表＝πr2＋ch＋eq\f(1,2)cl＝4π＋16π＋8π＝28π，应选C．3．(文)一个几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为(A)A．12－π B．12－2πC．6－π D．4－π[解析]由三视图知，该几何体是一个组合体，由一个长方体挖去一个圆柱构成，长方体的长、宽高为4,3,1，圆柱底半径1，高为1，∴体积V＝4×3×1－π×12×1＝12－π．(理)假设某棱锥的三视图(单位：cm)如下图，那么该棱锥的体积等于(B)A．10cm3 B．20cm3C．30cm3 D．40cm3[解析]由三视图知该几何体是四棱锥，可视作直三棱柱ABC－A1B1C1沿平面AB1C1截去一个三棱锥A－A1B1∴VA－BCC1B1＝VABC－A1B1C1－VA－A1B1C1＝eq\f(1,2)×4×3×5－eq\f(1,3)×(eq\f(1,2)×4×3)×5＝20cm3．4．(2023·武昌调研)某几何体的三视图如下图，那么该几何体的外表积为(B)A．18＋2π B．20＋πC．20＋eq\f(π,2) D．16＋π[解析]由三视图可知，这个几何体是一个边长为2的正方体割去了相对边对应的两个半径为1、高为1的eq\f(1,4)圆柱体，其外表积相当于正方体五个面的面积与两个eq\f(1,4)圆柱的侧面积的和，即该几何体的外表积S＝4×5＋2×2π×1×1×eq\f(1,4)＝20＋π．应选B．5．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，那么三棱锥D1－EDF的体积为＋＋＋__eq\f(1,6)__－－－.[解析]利用三棱锥的体积公式直接求解．VD1－EDF＝VF－DD1E＝eq\f(1,3)SD1DE·AB＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,6)．6．E，F分别是矩形ABCD的边BC与AD的中点，且BC＝2AB＝2，现沿EF将平面ABEF折起，使平面ABEF⊥平面EFDC，那么三棱锥A－FEC外接球的体积为＋＋＋__eq\f(\r(3),2)π__－－－.[解析]如图，平面ABEF⊥平面EFDC，AF⊥EF，所以AF⊥平面ECDF，将三棱锥A－FEC补成正方体ABC′D′－FECD．依题意，其棱长为1，外接球的半径R＝eq\f(\r(3),2)，所以外接球的体积V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π·(eq\f(\r(3),2))3＝eq\f(\r(3),2)π．7．如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1(1)证明：AB⊥A1C(2)假设AB＝CB＝2，A1C＝eq\r(6)，求三棱柱ABC－A1B1C1的体积．[解析](1)取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B．因为CA＝CB，所以OC⊥AB．由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB．因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A(2)由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形，所以OC＝OA1＝eq\r(3)．又A1C＝eq\r(6)，那么A1C2＝OC2＋OAeq\o\al(2,1)，故OA1⊥OC．因为OC∩AB＝O，所以OA1⊥平面ABC，OA1为三棱柱ABC－A1B1C1又△ABC的面积S△ABC＝eq\r(3).故三棱柱ABC－A1B1C1的体积V＝S△ABC×OA1＝3．8．(2023·全国卷Ⅱ，18)如图，四棱锥P－ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝eq\f(1,2)AD，∠BAD＝∠ABC＝90°.(1)证明：直线BC∥平面PAD；(2)假设△PCD的面积为2eq\r(7)，求四棱锥P－ABCD的体积．[解析](1)证明：在平面ABCD内，因为∠BAD＝∠ABC＝90°，所以BC∥AD．又BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，故BC∥平面PAD．(2)如图，取AD的中点M，连接PM，CM．由AB＝BC＝eq\f(1,2)AD及BC∥AD，∠ABC＝90°得四边形ABCM为正方形，那么CM⊥AD．因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PM⊥AD，PM⊥底面ABCD．因为CM⊂底面ABCD，所以PM⊥CM．设BC＝x，那么CM＝x，CD＝eq\r(2)x，PM＝eq\r(3)x，PC＝PD＝2x．如图，取CD的中点N，连接PN，那么PN⊥CD，所以PN＝eq\f(\r(14),2)x．因为△PCD的面积为2eq\r(7)，所以eq\f(1,2)×eq\r(2)x×eq\f(\r(14),2)x＝2eq\r(7)，解得x＝－2(舍去)或x＝2．于是AB＝BC＝2，AD＝4，PM＝2eq\r(3)．所以四棱锥P－ABCD的体积V＝eq\f(1,3)×eq\f(22＋4,2)×2eq\r(3)＝4eq\r(3)．B组1．(2023·河南质检)假设某几何体的三视图(单位：cm)如下图，那么此几何体的体积是(B)A．36cm3 B．48cm3C．60cm3 D．72cm3[解析]由三视图可知，该几何体的上面是个长为4，宽为2，高为2的长方体，下面是一个放倒的四棱柱，高为4，底面是个梯形，梯形的上、下底分别为2、6，高为2.长方体的体积为4×2×2＝16，四棱柱的体积为4×eq\f(2＋6,2)×2＝32，所以该几何体的体积为32＋16＝48(cm3)，选B．2．(2023·唐山统考)三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC且PA＝2，△ABC是边长为eq\r(3)的等边三角形，那么该三棱锥外接球的外表积为(C)A．eq\f(4π,3) B．4πC．8π D．20π[解析]由题意得，此三棱锥外接球即为以△ABC为底面、以PA为高的正三棱柱的外接球，因为△ABC的外接圆半径r＝eq\f(\r(3),2)×eq\r(3)×eq\f(2,3)＝1，外接球球心到△ABC的外接圆圆心的距离d＝1，所以外接球的半径R＝eq\r(r2＋d2)＝eq\r(2)，所以三棱锥外接球的外表积S＝4πR2＝8π，应选C．3．某四面体的三视图如下图，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，那么此四面体的四个面中面积最大的为(B)A．2eq\r(2) B．2eq\r(3)C．4 D．2eq\r(6)[解析]如图，四面体的直观图是棱长为2的正方体ABCD－MNPQ中的三棱锥Q－BCN，且QB＝eq\r(22＋2\r(2)2)＝2eq\r(3)，NC＝QN＝QC＝2eq\r(2)，四面体Q－BCN各面的面积分别为S△QBN＝S△QBC＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(2)＝2eq\r(2)，S△BCN＝eq\f(1,2)×2×2＝2，S△QCN＝eq\f(\r(3),4)×(2eq\r(2))2＝2eq\r(3)，面积最大为2eq\r(3)．4．(2023·淄博一模)三棱锥S－ABC及其三视图中的正视图和侧视图如下图，那么棱SB的长为(B)A．2eq\r(11) B．4eq\r(2)C．eq\r(38) D．16eq\r(3)[解析]由中的三视图可得SC⊥平面ABC，且底面△ABC为等腰三角形，在△ABC中AC＝4，AC边上的高为2eq\r(3)，故BC＝4，在Rt△SBC中，由SC＝4，可得SB＝4eq\r(2)．5．(2023·广西南宁检测)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2.假设它们的侧面积相等且eq\f(V1,V2)＝eq\f(3,2)，那么eq\f(S1,S2)的值是＋＋＋__eq\f(9,4)__－－－.[解析]设甲、乙两个圆柱的底面半径分别为r1，r2，高分别为h1，h2，那么有2πr1h1＝2πr2h2，即r1h1＝r2h2，又eq\f(V1,V2)＝eq\f(πr\o\al(2,1)h1,πr\o\al(2,2)h2)，∴eq\f(V1,V2)＝eq\f(r1,r2)，∴eq\f(r1,r2)＝eq\f(3,2)，那么eq\f(S1,S2)＝(eq\f(r1,r2))2＝eq\f(9,4)．6．(2023·山西太原一模)在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，AB＝2AD＝2CD＝2，将直角梯形ABCD沿AC折叠成三棱锥D－ABC，当三棱锥D－ABC的体积取最大值时，其外接球的体积为＋＋＋__eq\f(4,3)π__－－－.[解析]当平面DAC⊥平面ABC时，三棱锥D－ABC的体积取最大值．此时易知BC⊥平面DAC，∴BC⊥AD，又AD⊥DC，∴AD⊥平面BCD，∴AD⊥BD，取AB的中点O，易得OA＝OB＝OC＝OD＝1，故O为所求外接球的球心，故半径r＝1，体积V＝eq\f(4,3)πr3＝eq\f(4,3)π．7．如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD.(1)证明：平面AEC⊥平面BED；(2)假设∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥E－ACD的体积为eq\f(\r(6),3)，求该三棱锥的侧面积．[解析](1)证明：因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD．因为BE⊥平面ABCD，所以AC⊥BE．故AC⊥平面BED.又AC⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面BED．(2)设AB＝x，在菱形ABCD中，由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝eq\f(\r(3),2)x，GB＝GD＝eq\f(x,2)．因为AE⊥EC，所以在Rt△AEC中，可得EG＝eq\f(\r(3),2)x．由BE⊥平面ABCD，知△EBG为直角三角形，可得BE＝eq\f(\r(2),2)x．由得，三棱锥E­ACD的体积VE­ACD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)AC·GD·BE＝eq\f(\r(6),24)x3＝eq\f(\r(6),3)．故x＝2.从而可得AE＝EC＝ED＝eq\r(6)．所以△EAC的面积为3，△EAD的面积与△ECD的面积均为eq\r(5)．故三棱锥E­ACD的侧面积为3＋2eq\r(5)．8．如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的正方形，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF＝3，G和H分别是CE和CF的中点.(1)求证：AC⊥平面BDEF；(2)求证：平面BDGH//平面AEF；(3)求多面体ABCDEF的体积．[解析](1)证明：因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD．又因为平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD＝BD，且AC⊂平面ABCD，所以AC⊥平面BDEF．(2)证明：在△CEF中，因为G、H分别是CE、CF的中点，所以GH∥EF，又因为GH⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，所以GH∥平面AEF