2023年高考数学二轮复习专题20坐标系与参数方程教学案理

专题20坐标系与参数方程1.考查参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化．2.考查利用曲线的参数方程、极坐标方程计算某些量或讨论某些量之间的关系．一、直角坐标与极坐标的互化如图，把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ，,y＝ρsinθ，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ρ2＝x2＋y2，,tanθ＝\f(y,x)x≠0.))【特别提醒】在曲线方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性．二、直线、圆的极坐标方程(1)直线的极坐标方程假设直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，那么它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置直线的极坐标方程①直线过极点：θ＝α；②直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcosθ＝a；③直线过点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b，\f(π,2)))且平行于极轴：ρsinθ＝b.(2)几个特殊位置圆的极坐标方程①圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；②圆心位于M(r,0)，半径为r：ρ＝2rcosθ；③圆心位于Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(r，\f(π,2)))，半径为r：ρ＝2rsinθ.【特别提醒】当圆心不在直角坐标系的坐标轴上时，要建立圆的极坐标方程，通常把极点放置在圆心处，极轴与x轴同向，然后运用极坐标与直角坐标的变换公式．三、参数方程(1)直线的参数方程过定点M(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋tcosα，,y＝y0＋tsinα))(t为参数)．(2)圆、椭圆的参数方程①圆心在点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋rcosθ，,y＝y0＋rsinθ))(θ为参数，0≤θ≤2π)．②椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝acosθ，,y＝bsinθ))(θ为参数)．【特别提醒】在参数方程和普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．考点一坐标系与极坐标例1．【2023天津，理11】在极坐标系中，直线与圆的公共点的个数为___________.【答案】2【变式探究】【2023年高考北京理数】在极坐标系中，直线与圆交于A，B两点，那么______.【答案】2【解析】直线过圆的圆心，因此【变式探究】在极坐标系中，圆ρ＝2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为()A．θ＝0(ρ∈R)和ρcosθ＝2B．θ＝eq\f(π,2)(ρ∈R)和ρcosθ＝2C．θ＝eq\f(π,2)(ρ∈R)和ρcosθ＝1D．θ＝0(ρ∈R)和ρcosθ＝1解析由ρ＝2cosθ得x2＋y2－2x＝0.∴(x－1)2＋y2＝1，圆的两条垂直于x轴的切线方程为x＝0和x＝2.故极坐标方程为θ＝eq\f(π,2)(ρ∈R)和ρcosθ＝2，应选B.答案B考点二参数方程例2．【2023·江苏】[选修4-4：坐标系与参数方程]〔本小题总分值10分〕在平面坐标系中中,直线的参考方程为(为参数),曲线的参数方程为(为参数).设为曲线上的动点，求点到直线的距离的最小值.【答案】【考点】参数方程化普通方程【变式探究】【2023高考新课标1卷】〔本小题总分值10分〕选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xy中,曲线C1的参数方程为〔t为参数,a＞0〕．在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2：ρ=.〔I〕说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程；〔II〕直线C3的极坐标方程为,其中满足tan=2,假设曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a．【答案】〔I〕圆,〔II〕1【变式探究】(2023·重庆，15)直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ρ＞0，\f(3π,4)＜θ＜\f(5π,4)))，那么直线l与曲线C的交点的极坐标为________．解析直线l的直角坐标方程为y＝x＋2，由ρ2cos2θ＝4得ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4，直角坐标方程为x2－y2＝4，把y＝x＋2代入双曲线方程解得x＝－2，因此交点为(－2，0)，其极坐标为(2，π)．答案(2，π)【变式探究】(2023·江西，11(2))假设以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，那么线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为()A．ρ＝eq\f(1,cosθ＋sinθ)，0≤θ≤eq\f(π,2)B．ρ＝eq\f(1,cosθ＋sinθ)，0≤θ≤eq\f(π,4)C．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤eq\f(π,2)D．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤eq\f(π,4)答案A1.【2023天津，理11】在极坐标系中，直线与圆的公共点的个数为___________.【答案】2【解析】直线为，圆为，因为，所以有两个交点2.【2023北京，理11】在极坐标系中，点A在圆上，点P的坐标为〔1,0〕，那么|AP|的最小值为___________.【答案】1【解析】将圆的极坐标方程化为普通方程为，整理为，圆心，点是圆外一点，所以的最小值就是.3.【2023课标1，理22】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为〔θ为参数〕，直线l的参数方程为.〔1〕假设a=−1，求C与l的交点坐标；〔2〕假设C上的点到l的距离的最大值为，求a.【答案】〔1〕与的交点坐标为，；〔2〕或.【解析】〔1〕曲线的普通方程为.当时，直线的普通方程为.由解得或.从而与的交点坐标为，.【2023·江苏】[选修4-4：坐标系与参数方程]〔本小题总分值10分〕在平面坐标系中中,直线的参考方程为(为参数),曲线的参数方程为(为参数).设为曲线上的动点，求点到直线的距离的最小值.【答案】【解析】直线的普通方程为.因为点在曲线上，设，从而点到直线的的距离，当时，.因此当点的坐标为时，曲线上点到直线的距离取到最小值.1.【2023年高考北京理数】在极坐标系中，直线与圆交于A，B两点，那么______.【答案】2【解析】直线过圆的圆心，因此2.【2023高考新课标1卷】〔本小题总分值10分〕选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xy中,曲线C1的参数方程为〔t为参数,a＞0〕．在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2：ρ=.〔I〕说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程；〔II〕直线C3的极坐标方程为,其中满足tan=2,假设曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a．【答案】〔I〕圆,〔II〕1〔Ⅱ〕曲线的公共点的极坐标满足方程组假设，由方程组得，由，可得，从而，解得〔舍去〕，.时，极点也为的公共点，在上.所以.3.【2023高考新课标2理数】选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，圆的方程为．〔Ⅰ〕以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；〔Ⅱ〕直线的参数方程是〔为参数〕,与交于两点，，求的斜率．【答案】〔Ⅰ〕；〔Ⅱ〕.4.【2023高考新课标3理数】〔本小题总分值10分〕选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．〔I〕写出的普通方程和的直角坐标方程；〔II〕设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标.【答案】〔Ⅰ〕的普通方程为，的直角坐标方程为；〔Ⅱ〕．1．(2023·广东，14)直线l的极坐标方程为2ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝eq\r(2)，点A的极坐标为Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)，\f(7π,4)))，那么点A到直线l的距离为________．解析依题直线l：2ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝eq\r(2)和点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)，\f(7π,4)))可化为l：x－y＋1＝0和A(2，－2)，所以点A到直线l的距离为d＝eq\f(|2－〔－2〕＋1|,\r(12＋〔－1〕2))＝eq\f(5\r(2),2).答案eq\f(5\r(2),2)2．(2023·北京，11)在极坐标系中，点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3)))到直线ρ(cosθ＋eq\r(3)sinθ)＝6的距离为________．解析在平面直角坐标系下，点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3)))化为(1，eq\r(3))，直线方程为：x＋eq\r(3)y＝6，∴点(1，eq\r(3))到直线的距离为d＝eq\f(|1＋\r(3)×\r(3)－6|,2)＝eq\f(|－2|,2)＝1.答案13．(2023·安徽，12)在极坐标系中，圆ρ＝8sinθ上的点到直线θ＝eq\f(π,3)(ρ∈R)距离的最大值是________．解析由ρ＝8sinθ得x2＋y2＝8y，即x2＋(y－4)2＝16，由θ＝eq\f(π,3)得y＝eq\r(3)x，即eq\r(3)x－y＝0，∴圆心(0，4)到直线y＝eq\r(3)x的距离为2，圆ρ＝8sinθ上的点到直线θ＝eq\f(π,3)的最大距离为4＋2＝6.答案64．(2023·江苏，21)圆C的极坐标方程为ρ2＋2eq\r(2)ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))－4＝0，求圆C的半径．解以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy.圆C的极坐标方程为ρ2＋2eq\r(2)ρeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)sinθ－\f(\r(2),2)cosθ))－4＝0，化简，得ρ2＋2ρsinθ－2ρcosθ－4＝0.那么圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y－4＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝6，所以圆C的半径为eq\r(6).5．(2023·新课标全国Ⅰ，23)在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C1，C2的极坐标方程；(2)假设直线C3的极坐标方程为θ＝eq\f(π,4)(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．6．(2023·福建，21(2))在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(t为参数)．在极坐标系(与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴)中，直线l的方程为eq\r(2)ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝m(m∈R)．①求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；②设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值．解①消去参数t，得到圆C的普通方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9.由eq\r(2)ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝m，得ρsinθ－ρcosθ－m＝0.所以直线l的直角坐标方程为x－y＋m＝0.②依题意，圆心C到直线l的距离等于2，即eq\f(|1－〔－2〕＋m|,\r(2))＝2，解得m＝－3±2eq\r(2).7．(2023·湖南，16Ⅱ)直线l：(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点M的直角坐标为(5，eq\r(3))，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|·|MB|的值．1.【2023高考安徽卷理第4题】以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，直线的参数方程是〔为参数〕，圆的极坐标方程是，那么直线被圆截得的弦长为〔〕A.B.C.D.【答案】D【解析】将直线的参数方程消去参数，化成直角坐标方程为，圆的极坐标方程两边同乘为，化成直角坐标方程为，那么圆心到直线的距离，所以直线被圆截得的弦长，应选D.2.【2023高考北京卷理第3题】曲线，〔为参数〕的对称中心〔〕A．在直线上B．在直线上C．在直线上D．在直线上【答案】B【解析】参数方程所表示的曲线为圆心在，半径为1的圆，其对称中心为，逐个代入选项可知，点满足，应选B.3.【2023高考湖北卷理第16题】曲线的参数方程是，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，那么与交点的直角坐标为.【答案】4.【2023高考湖南卷第11题】在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线与曲线，〔为参数〕交于、两点，且，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，那么直线的极坐标方程是________.【答案】【解析】试题分析：利用可得曲线的普通方程为,即曲线为直角的圆,因为弦长,所以圆心在直线上,又因为直线的斜率为,所以直线的直角坐标方程为,那么根据直角坐标与极坐标之间的转化可得,故填.5.【2023江西高考理第12题】假设以直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，那么线段的极坐标为〔〕A.B.C.D.【答案】A【解析】根据，得：解得，选A.6.【2023重庆高考理第15题】直线的参数方程为〔为参数〕，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，那么直线与曲线的公共点的极径________.【答案】7.【2023陕西高考理第15题】在极坐标系中，点到直线的距离是.【答案】1【解析】直线化为直角坐标方程为，点的直角坐标为，点到直线的距离，故答案为1.8.【2023天津高考理第13题】在以为极点的极坐标系中，圆和直线相交于两点．假设是等边三角形，那么的值为___________．【答案】3．【解析】圆的方程为，直线为．是等边三角形，∴其中一个交点坐标为，代入圆的方程可得．9.【2023高考福建理第21〔2〕题】直线的参数方程为，〔为参数〕，圆的参数方程为，〔为常数〕.〔I〕求直线和圆的普通方程；〔II〕假设直线与圆有公共点，求实数的取值范围.【答案】〔I〕,;〔II〕试题解析：〔I〕直线的普通方程为.圆C的普通方程为.〔II〕因为直线与圆有公共点,故圆C的圆心到直线的距离,解得.10.【2023高考江苏第21C题】在平面直角坐标系中，直线的参数方程〔为参数〕，直线与抛物线相交于两点，求线段的长.【答案】【解析】直线的普通方程为，即，与抛物线方程联立方程组解得，∴.11.【2023高考辽宁理第23题】将圆上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.〔Ⅰ〕写出C的参数方程；(Ⅱ)设直线与C的交点为，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段的中点且与垂直的直线的极坐标方程.【答案】〔1〕〔t为参数〕；〔2〕.〔2〕由解得：，或.不妨设,那么线段的中点坐标为,所求直线的斜率为，于是所求直线方程为，化极坐标方程，并整理得，即.12.【2023高考全国1第23题】曲线，直线：〔为参数〕. 〔I〕写出曲线的参数方程，直线的普通方程； 〔II〕过曲线上任意一点作与夹角为的直线，交于点，的最大值与最小值．【答案】〔I〕；〔II〕最大值为，最小值为.13.【2023高考全国2第23题】在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为，.〔Ⅰ〕求C的参数方程；〔Ⅱ〕设点D在C上，C在D处的切线与直线垂直，根据〔Ⅰ〕中你得到的参数方程，确定D的坐标.【答案】〔Ⅰ〕是参数，；〔Ⅱ〕【解析】〔1〕设点M是C上任意一点，那么由可得C的普通方程为：，即，所以C的参数方程为是参数，.14.【2023高考上海理科】曲线C的极坐标方程为，那么C与极轴的交点到极点的距离是.【答案】【解析】令，那么，，所以所求距离为.〔2023·新课标I理〕〔23〕〔本小题10分〕选修4—4：坐标系与参数方程曲线C1的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=4+5cost,y=5+5sint))〔t为参数〕，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ。〔Ⅰ〕把C1的参数方程化为极坐标方程；〔Ⅱ〕求C1与C2交点的极坐标〔ρ≥0,0≤θ＜2π〕【答案】〔1〕因为，消去参数，得，即，故极坐标方程为；〔2〕的普通方程为，联立、的方程，解得或，所以交点的极坐标为.【解析】〔1〕先得到C1的一般方程，进而得到极坐标方程；〔2〕先联立求出交点坐标，进而求出极坐标.【考点定位】此题考查极坐标方程的应用以及转化，考查学生的转化与化归能力.〔2023·新课标Ⅱ理〕〔23〕〔本小题总分值10分〕选修4——4；坐标系与参数方程动点，Q都在曲线C：〔β为参数〕上，对应参数分别为β=α与α=2π〔0＜α＜2π〕，M为PQ的中点。〔Ⅰ〕求M的轨迹的参数方程〔Ⅱ〕将M到坐标原点的距离d表示为的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点。【解题思路与技巧】此题第〔Ⅰ〕问，由曲线C的参数方程,可以写出其普通方程,从而得出点P的坐标,求出答案;第〔Ⅱ〕问，由互化公式可得.【易错点】对第〔Ⅰ〕问，极坐标与普通方程之间的互化,有一局部学生不熟练而出错;对第(2)问,不理解题意而出错.【考点定位】本小题主要考查坐标系与参数方程的根底知识,熟练这局部的根底知识是解答好本类题