2023年高考数学一轮复习单元评估检测8平面解析几何文北师大版

单元评估检测(八)平面解析几何(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)1．两条直线y＝ax－2和3x－(a＋2)y＋1＝0互相平行，那么a等于()A．1或－3 B．－1或3C．1或3 D．－1或－3A2．(2023·广州模拟)假设直线l1：x－2y＋m＝0(m＞0)与直线l2：x＋ny－3＝0之间的距离是eq\r(5)，那么m＋n＝()A．0B．1C．－1D．2A3．双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,3)＝1(a＞0)的离心率为2，那么a＝()【导学号：00090402】A．2B．eq\f(\r(6),2)C．eq\f(\r(5),2) D．1D4．直线x＋2y－5＋eq\r(5)＝0被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为()A．1 B．2C．4 D．4eq\r(6)C5．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，那么以C为圆心，半径为eq\r(5)的圆的方程为()A．x2＋y2－2x＋4y＝0 B．x2＋y2＋2x＋4y＝0C．x2＋y2＋2x－4y＝0 D．x2＋y2－2x－4y＝0C6．(2023·德州模拟)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，那么|AB|＝()A．eq\f(\r(30),3) B．6C．12 D．7eq\r(3)C7．(2023·黄山模拟)双曲线x2－eq\f(y2,3)＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，那么eq\o(PA1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))的最小值为()A．－2 B．－eq\f(81,16)C．1 D．0A8．椭圆eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,64)＝1的焦点为F1，F2，椭圆上的点P满足∠F1PF2＝60°，那么△F1PF2的面积是()A．eq\f(64\r(3),3)B．eq\f(91\r(3),3)C．eq\f(16\r(3),3) D．eq\f(64,3)A9．(2023·南昌模拟)抛物线C的顶点在坐标原点，准线方程为x＝－1，直线l与抛物线C相交于A，B两点．假设线段AB的中点为(2,1)，那么直线l的方程为()A．y＝2x－3 B．y＝－2x＋5C．y＝－x＋3 D．y＝x－1A10．设双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，离心率e＝eq\r(2)，右焦点F(c,0)．方程ax2－bx－c＝0的两个实数根分别为x1，x2，那么点P(x1，x2)与圆x2＋y2＝8的位置关系是()A．点P在圆外 B．点P在圆上C．点P在圆内 D．不确定A11．抛物线y2＝8x的焦点F与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点重合，又P为两曲线的一个公共点，且|PF|＝5，那么双曲线的实轴长为()A．1 B．2C．eq\r(17)－3 D．6B12．(2023·邵阳模拟)双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，a∈R，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，点P为双曲线上一点，满足|OP|＝3a，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比数列，那么此双曲线的离心率为()A．eq\f(\r(21),3)B．eq\f(7,3)C．eq\f(2\r(7),3) D．eq\f(7\r(3),3)A二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．直线l过点P(3,4)且与点A(－2,2)，B(4，－2)等距离，那么直线l的方程为________．2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝014．双曲线S与椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,34)＝1的焦点相同，如果y＝eq\f(3,4)x是双曲线S的一条渐近线，那么双曲线S的方程为________．eq\f(y2,9)－eq\f(x2,16)＝115．(2023·济南模拟)直线3x－4y＋a＝0与圆x2－4x＋y2－2y＋1＝0相切，那么实数a的值为________．－12或816．P是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)上的点，F1，F2是其焦点，双曲线的离心率是eq\f(5,4)，且eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，假设△PF1F2的面积为9，那么a＋b的值为________.【导学号：00090403】7三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)圆C：x2＋(y－1)2＝5，直线l：mx－y＋1－m＝0.(1)求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点．(2)设直线l与圆C交于A，B两点，假设|AB|＝eq\r(17)，求直线l的倾斜角．(1)将直线l化为y－1＝m(x－1)，直线l恒过定点P(1,1)．因为eq\r(12＋1－12)＝1＜eq\r(5)，所以点P(1,1)在圆C内，从而直线l与圆C总有两个不同的交点．(2)eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)18．(12分)(2023·太原模拟)圆M和圆P：x2＋y2－2eq\r(2)x－10＝0相内切，且过定点Q(－eq\r(2)，0)．(1)求动圆圆心M的轨迹方程．(2)斜率为eq\r(3)的直线l与动圆圆心M的轨迹交于A，B两点，且线段AB的垂直平分线经过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2)))，求直线l的方程．(1)eq\f(x2,3)＋y2＝1(2)y＝eq\r(3)x＋eq\f(5,2)19．(12分)设抛物线C：y2＝4x，F为C的焦点，过F的直线l与C相交于A，B两点．(1)设l的斜率为1，求|AB|的大小．(2)求证：eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))是一个定值．[解](1)因为F(1,0)，所以直线l的方程为y＝x－1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x－1，,y2＝4x，))得x2－6x＋1＝0，所以x1＋x2＝6，x1x2＝1.所以|AB|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12)＝eq\r(2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(2)·eq\r(36－4)＝8.(2)设直线l的方程为x＝ky＋1，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ky＋1，,y2＝4x，))得y2－4ky－4＝0.所以y1＋y2＝4k，y1y2＝－4，eq\o(OA,\s\up6(→))＝(x1，y1)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(x2，y2)．因为eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝(ky1＋1)·(ky2＋1)＋y1y2＝k2y1y2＋k(y1＋y2)＋1＋y1y2＝－4k2＋4k2＋1－4＝－3.所以eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))是一个定值．20．(12分)椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq\f(\r(2),2)，且过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(14),4))).(1)求椭圆C的标准方程．(2)设F是椭圆C的左焦点，过点P(－2,0)的直线交椭圆于A，B两点，求△ABF面积的最大值．(1)eq\f(x2,2)＋y2＝1(2)eq\f(\r(2),4)21．(12分)(2023·浙江高考)如图1，设椭圆eq\f(x2,a2)＋y2＝1(a>1)．图1(1)求直线y＝kx＋1被椭圆截得的线段长(用a，k表示)．(2)假设任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围．[解](1)设直线y＝kx＋1被椭圆截得的线段为AM，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,\f(x2,a2)＋y2＝1))得(1＋a2k2)x2＋2a2kx故x1＝0，x2＝－eq\f(2a2k,1＋a2k2).因此|AM|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\f(2a2|k|,1＋a2k2)·eq\r(1＋k2).(2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P，Q，满足|AP|＝|AQ|.记直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，且k1，k2＞0，k1≠k2.由(1)知，|AP|＝eq\f(2a2|k1|\r(1＋k\o\al(2,1)),1＋a2k\o\al(2,1))，|AQ|＝eq\f(2a2|k2|\r(1＋k\o\al(2,2)),1＋a2k\o\al(2,2))，故eq\f(2a2|k1|\r(1＋k\o\al(2,1)),1＋a2k\o\al(2,1))＝eq\f(2a2|k2|\r(1＋k\o\al(2,2)),1＋a2k\o\al(2,2)).所以(keq\o\al(2,1)－keq\o\al(2,2))[1＋keq\o\al(2,1)＋keq\o\al(2,2)＋a2(2－a2)keq\o\al(2,1)keq\o\al(2,2)]＝0.由于k1≠k2，k1，k2＞0，得1＋keq\o\al(2,1)＋keq\o\al(2,2)＋a2(2－a2)keq\o\al(2,1)keq\o\al(2,2)＝0，因此eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k\o\al(2,1))＋1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k\o\al(2,2))＋1))＝1＋a2(a2－2)①.因为①式关于k1，k2的方程有解的充要条件是1＋a2(a2－2)＞1，所以a＞eq\r(2).因此，任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件是1＜a≤eq\r(2)，由e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2－1),a)得，所求离心率的取值范围是0＜e≤eq\f(\r(2),2).22．(12分)(2023·山东高考)椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的长轴长为4，焦距为2eq\r(2).图2(1)求椭圆C的方程．(2)过动点M(0，m)(m>0)的直线交x轴于点N，交C于点A，P(P在第一象限)，且M是线段PN的中点．过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B．①设直线PM，QM的斜率分别为k，k′，证明eq\f(k′,k)为定值；②求直线AB的斜率的最小值．[解](1)由题意a＝2，c＝eq\r(2)，所以b2＝2，所以椭圆方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.(2)①由题意，设P(p,2m)(0＜2m＜eq\r(2)，0＜p＜2)，那么Q(p，－2m)，所以eq\f(k′,k)＝eq\f(\f(－2m－m,p),\f(2m－m,p))＝－3为定值．②直线PA的斜率k＝eq\f(m,p)＝eq\f(m,\r(4－8m2))＝eq\r(\f(1,\f(4,m2)－8))，其中0＜m2＜eq\f(1,2)，所以k＞0.将直线y＝Kx＋m与椭圆方程联立，可得，(2K2＋1)x2＋4Kmx＋2m设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线PA：y＝kx＋m，直线QB：y＝－3kx＋m，分别令K＝k，K＝－3k可得：x1p＝eq\f(2m2－4,2k2＋1)，x2p＝eq\f(2m2－4,18k2＋1)，所以，kAB＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(kx1＋m－－3k