2023年高考数学一轮复习第十章立体几何初步第73课柱、锥、台、球的表面积、和体积教案

柱、锥、台、球的外表积和体积一、教学目标能运用公式求柱、锥、台、球的外表积和体积.二、知识梳理【回忆】阅读课本必修2第47页至59页，理解以下内容.正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式及其关系；圆柱、圆锥、圆台的体积公式及其关系；柱体、锥体、台体的体积公式及其关系；球的外表积、体积公式．三、诊断练习1、教学处理：课前由学生自主完成4道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏。课前抽查批阅局部同学的解答，了解学生的思路及主要错误。找出学生错误的原因，设计“问题串〞，将知识问题化，通过问题驱动，使教学言而有物，帮助学生内化知识，初步形成能力。点评时要简洁，要点击要害。2、诊断练习点评题1．假设圆锥的侧面积为，底面积为，那么该圆锥的体积为__________.【分析与点评】此题是容易题，主要是考查圆锥侧面积公式和体积公式的正确使用．题2．如图，一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，那么该多面体的体积是__________.【分析与点评】该多面体是正四棱锥，侧棱长为1，底面正方形外接圆的半径等于eq\f(\r(2),2)，由侧棱、底面正方形外接圆半径及高之间关系求解.题3．正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为eq\r(3)，那么四面体AB1CD1的外接球的体积为__________．【分析与点评】正方体外接球半径是正方体棱长的eq\r(3)倍得到球的半径求解.四面体的外接球就是该正方体的外接球变式1：棱长分别是2，3，4的长方体外接球的体积是________.变式2：棱长都是2的正四面体的外接球的外表积为________.题4．三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，那么此棱锥的体积为_______【分析与点评】：在直角三角形ASC中，AC＝1，∠SAC＝90°，SC＝2，∴SA＝eq\r(4－1)＝eq\r(3)；同理SB＝eq\r(3).过A点作SC的垂线交SC于D点，连接DB，因△SAC≌△SBC，故BD⊥SC，故SC⊥平面ABD，且平面ABD为等腰三角形，因∠ASC＝30°，故AD＝eq\f(1,2)SA＝eq\f(\r(3),2)，那么△ABD的面积为eq\f(1,2)×1×eq\r(AD2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(2),4)，那么三棱锥的体积为eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),4)×2＝eq\f(\r(2),6).3、要点归纳〔1〕注意各个公式的推导过程，不要死记硬背公式本身，要熟悉柱体中的矩形、锥体中的直角三角形、台体中的直角梯形等特征图形在公式推导中的作用.〔2〕如果不是正棱柱、正棱锥、正棱台，在求其侧面积或全面积时，应对每一个侧面分别求解后再相加.〔3〕注意求体积的一此特殊方法：分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些不规那么几何体体积计算常用方法.四、范例导析例1如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为1，高为8，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A点的最短路线的长为____________.【教学处理】先将“沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A点〞改为“沿着三棱柱的侧面绕行一周到达A点〞组织学生讨论解法，在有解决方案后，改回原题．如能配合实物模型和细线演示一，效果更好．【引导分析与精讲建议】1、学生大多接触过“蚂蚁爬火柴盒〞问题，先提醒学生对照条件，判断能否用同样的方法解决？2、“沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A点〞与“沿着三棱柱的侧面绕行一周到达A点〞的差异是什么？如何调整方案？3、可继续把条件“沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A点〞变换成：“沿着三棱柱的侧面绕行十周到达A点〞和“沿着三棱柱的侧面绕行一周多〔缺乏两周〕到达C点〞让学生讨论如何调整方案．例2.如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，PA⊥AB，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．(1)求证：CD⊥平面AEG；(2)假设PA＝2，PB＝PD＝eq\r(5)，求三棱锥F－ABE的体积．例2答案：(1)证明连接AC，因为四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，所以AC＝AD，又G为CD的中点，所以AG⊥CD，由PA⊥AB，AB∥CD，得PA⊥CD，又PA∩AG＝A，故CD⊥平面AEG.(2)解因为PA＝2，PB＝PD＝eq\r(5)，所以AB＝1，AE＝1，易知△PAB≌△PAD，所以PA⊥AD，由E，F分别是线段PA，PD的中点得EF∥AD，EF⊥PA，所以B到平面AEF的距离为eq\f(\r(3),2)，所以VF－ABE＝VB－AEF＝eq\f(1,3)×S△AEF×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),24).变式题：正三棱台的上、下底面边长分别是2cm和4cm，侧棱长是cm，试求该几何体的体积.【教学处理】读题、识图〔不给出辅助线的图〕，引导学生回忆棱台概念，搞清各个面的形状大小，理解体积公式。也可【变式】求侧面积等。【引导分析与精讲建议】厘清高与斜高的区别？台体中有哪些常用的直角三角形，直角梯形？如果通过斜高求高，在不能用三垂线定理的前提下，怎样证得B’E确是高？步步有据，先证再算。补台成锥，也可用两个锥体体积之差求得。例3在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，过A1、C1、B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如下图的几何体ABCD－A1C1D1，且这个几何体的体积为eq\f(40,3).(1)证明：直线A1B∥平面CDD1C1(2)求棱A1A(3)求经过A1，C1，B，D四点的球的外表积．【教学处理】此题中，〔1〕〔2〕两小题属于常规题型，可由学生自己独立完成，〔3〕小题属于难题，师生共同探讨完成.【引导分析与精讲建议】第一问：如果由线面平行证明，教师完善平面内那条“线〞的寻找方法．如果由面面平行得到，注意提醒学生书写上的注意点。面面平行只能有线面平行证到，而不能由线线平行直接得到．第三问：可以让学生去尝试寻找出经过为四点的球。【备用题】圆锥高eq\f(32,3)，侧面展开图的中心角为eq\f(6π,5)；〔1〕求圆锥底面半径及母线长；〔2〕距离底面多高的平面截其所得圆台有内切球；〔3〕求上述圆台的侧面积S及体积V.【教学处理】第〔1〕小题让学生自己解决，第〔2〕〔3〕两小题先结合轴截面图讨论圆锥的内切球与圆台内切球的联系及圆锥内切球与圆锥的联系．【引导分析与精讲建议】1、圆锥母线l，底面圆半径r、圆锥高h及侧面展开图的中心角θ的关系是2πr=θl，且l2=h2+r2.运用方程组知识求解.2、圆锥是否有内切球？—→如何求圆锥的内切球半径？—→圆台的高与圆锥内切球半径的关系？3、可以落实到平面图形〔轴哉面〕中，运用“图形相似〞或“解直角三角形知识〞求解．五、解题反思1、正棱锥、正棱台的计算问题中常利用高关系侧棱、底面多边形外接圆半径及斜高、底面多边形内切圆半径，如课前诊断2及4两题；2、旋转体常利用轴截面分析