2023年高考物理（热点+题型全突破）专题5.2天体质量和密度的估算与天体表面重力加速度问题（含解析）

专题5.2天体质量和密度的估算与天体外表重力加速度问题一、天体的质量和密度1．万有引力定律(1)内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的平方成反比。(2)表达式：F＝eq\f(Gm1m2,r2)，G为引力常量，G＝6.67×10－11N·m2/kg2。2．中心天体质量和密度的估算(1)“g、R法〞：天体外表的重力加速度g和天体半径R。①由Geq\f(Mm,R2)＝mg得天体质量M＝geq\f(R2,G)。②天体密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g,4πGR)。(2)“T、r法〞：测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。①由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2r,T2)得天体的质量M＝eq\f(4π2r3,GT2)。②假设天体的半径R，那么天体的密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3πr3,GT2R3)。③假设卫星绕天体外表运行时，可认为轨道半径r等于天体半径R，那么天体密度ρ＝eq\f(3π,GT2)可见，只要测出卫星环绕天体外表运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。【例如1】(2023江苏单科3)过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51pegb〞的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕。“51pegb〞绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的eq\f(1,20)，该中心恒星与太阳的质量比约为()A.eq\f(1,10)B．1C．5D．10【答案】：B【解析】：根据万有引力提供向心力，有Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，可得M＝eq\f(4π2r3,GT2)，所以恒星质量与太阳质量之比为eq\f(M恒,M太)＝eq\f(r\o\al(3,行)T\o\al(2,地),r\o\al(3,地)T\o\al(2,行))＝eq\f(81,80)≈1，应选项B正确。考前须知：(1)区分两个质量：利用万有引力提供天体圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量而非环绕天体的质量eq\o(。,\s\do4(,))(2)区别两个半径：天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体外表附近的卫星才有r≈R；计算天体密度时，V＝eq\f(4,3)πR3中的R只能是中心天体的半径eq\o(。,\s\do4(,))【例如2】到目前为止，火星是除了地球以外人类了解最多的行星，已经有超过30枚探测器到达过火星，并发回了大量数据.如果万有引力常量为G，根据以下测量数据，能够得出火星密度的是()A.发射一颗绕火星做匀速圆周运动的卫星，测出卫星的轨道半径r和卫星的周期TB.测出火星绕太阳做匀速圆周运动的周期T和轨道半径rC.发射一颗贴近火星外表绕火星做匀速圆周运动的飞船，测出飞船运行的速度vD.发射一颗贴近火星外表绕火星做匀速圆周运动的飞船，测出飞船运行的角速度ω【答案】D【例如3】(多项选择)(2023天津卷)P1、P2为相距遥远的两颗行星，距各自外表相同高度处各有一颗卫星s1、s2做匀速圆周运动。图中纵坐标表示行星对周围空间各处物体的引力产生的加速度a，横坐标表示物体到行星中心的距离r的平方，两条曲线分别表示P1、P2周围的a与r2的反比关系，它们左端点横坐标相同。那么()A．P1的平均密度比P2的大B．P1的“第一宇宙速度〞比P2的小C．s1的向心加速度比s2的大D．s1的公转周期比s2的大【答案】AC二、计算重力加速度的方法(1)在地球外表附近的重力加速度g方法一：根据万有引力等于重力，有mg＝Geq\f(mM,R2)，得g＝Geq\f(M,R2)方法二：利用与地球平均密度的关系，得g＝Geq\f(M,R2)＝Geq\f(4πR3ρ/3,R2)＝eq\f(4,3)GπρR。(2)在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′，根据万有引力提供向心力，得g′＝Geq\f(M,r2)∝eq\f(1,r2)，eq\f(g′,g)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,r)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,R＋h)))2，那么g′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,R＋h)))2g。(3)在质量为M′、半径为R′的任意天体外表上的重力加速度为g″，不计星球自转时，根据万有引力定律，有mg″＝eq\f(GM′m,R′2)，可得g″＝eq\f(GM′,R′2)，所以eq\f(g″,g)＝eq\f(M′,M)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,R′)))2那么g″＝eq\f(M′,M)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,R′)))2g，上述中M为地球的质量，g为地球外表的重力加速度。【例如4】(2023重庆卷)宇航员王亚平在“天宫一号〞飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象。假设飞船质量为m，距地面高度为h，地球质量为M，半径为R，引力常量为G，那么飞船所在处的重力加速度大小为()A．0B.eq\f(GM,R＋h2)C.eq\f(GMm,R＋h2)D.eq\f(GM,h2)【答案】B【解析】对飞船受力分析知，飞船所受到的万有引力提供其做匀速圆周运动的向心力，等于飞船所在位置的重力，即Geq\f(Mm,R＋h2)＝mg，可得飞船所在位置的重力加速度大小g＝eq\f(GM,R＋h2)，应选B。【例如5】“蛟龙号〞载人潜水器在西太平洋进行第一次下潜试验，最大下潜深度约为6.4km，假设地球是一半径R＝6400km，质量分布均匀的球体。质量分布均匀的球壳对壳内的物体的引力为零，那么“蛟龙号〞在最大下潜深度处的重力与海面上的重力之比约为()A.eq\f(999,1000)B.eq\f(1001,1000)C.eq\f(9992,10002)D.eq\f(10012,10002)【答案】：A【精选针对训练】1.设想我国宇航员随“嫦娥〞号登月飞船贴近月球外表做匀速圆周运动，宇航员测出飞船绕行n圈所用的时间为t.登月后，宇航员利用身边的弹簧测力计测出质量为m的物体重力为G1.引力常量为G，根据以上信息可得到()A.月球的密度B.飞船的质量C.月球的第一宇宙速度D.月球的自转周期【答案】A【解析】设月球的半径为R，月球的质量为M.宇航员测出飞船绕行n圈所用的时间为t，那么飞船的周期为T＝eq\f(t,n)①eq\f(GMm,R2)＝mR(eq\f(2π,T))2 ②得到月球的质量M＝eq\f(4π2R3,GT2)月球的密度为ρ＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(\f(4π2R3,GT2),\f(4,3)πR3)＝eq\f(3π,GT2)＝eq\f(3πn2,Gt2)，故A正确；根据万有引力提供向心力，列出的等式中消去了飞船的质量，所以无法求出飞船的质量，故B错误；月球的半径未知，故不可求出月球的第一宇宙速度，故C错误；根据万有引力提供向心力，不能求月球自转的周期，故D错误.2.为了验证拉住月球使它围绕地球运动的力与拉着苹果下落的力以及地球、众行星与太阳之间的作用力是同一性质的力，同样遵从平方反比定律，牛顿进行了著名的“月地检验〞.月地之间的距离为60R(R为地球半径)，月球围绕地球公转的周期为T，引力常量为G.那么以下说法中正确的选项是()A.物体在月球轨道上受到的地球引力是其在地面附近受到的地球引力的eq\f(1,60)B.由题中信息可以计算出地球的密度为eq\f(3π,GT2)C.物体在月球轨道上绕地球公转的向心加速度是其在地面附近自由下落时的加速度的eq\f(1,3600)D.由题中信息可以计算出月球绕地球公转的线速度为eq\f(2πR,T)【答案】C3.据新闻报导，“天宫二号〞将于2023年秋季择机发射，其绕地球运行的轨道可近似看成是圆轨道.设每经过时间t，“天宫二号〞通过的弧长为l，该弧长对应的圆心角为θ弧度.引力常量为G，那么地球的质量是()A.eq\f(l2,Gθ3t)B.eq\f(θ3,Gl2t)C.eq\f(t2,Gθl3)D.eq\f(l3,Gθt2)【答案】D【解析】“天宫二号〞通过的弧长为l，该弧长对应的圆心角为θ弧度，所以其轨道半径：r＝eq\f(l,θ)t时间内“天宫二号〞通过的弧长是l，所以线速度：v＝eq\f(l,t)“天宫二号〞做匀速圆周运动的向心力是由万有引力提供，那么：eq\f(GMm,r2)＝eq\f(mv2,r)，所以M＝eq\f(rv2,G)＝eq\f(l3,Gθt2).4.太空行走又称为出舱活动.狭义的太空行走即指航天员离开载人航天器乘员舱进入太空的出舱活动.如下图，假设某宇航员出舱离开飞船后身上的速度计显示其相对地心的速度为v，该航天员从离开舱门到结束太空行走所用时间为t，地球的半径为R，地球外表的重力加速度为g，那么()A.航天员在太空行走时可模仿游泳向后划着前进B.该航天员在太空“走〞的路程估计只有几米C.该航天员离地高度为eq\f(gR2,v2)－RD.该航天员的加速度为eq\f(Rv2,t2)【答案】C5.关于静止在地球外表(两极除外)随地球自转的物体，以下说法正确的选项是()A.物体所受重