高中不等式讲义及例题

不等式、知识体系：、知识体系：二、基础知识点：1.不等式的基本性质及推论：如果a>b，那么b<a,如果b<a，那么a>b.(对称性)即：a>bnb<a；b<ana>b。如果a>b,且b>c,那么a>c.(传递性)即a>b,b>cna>c。如果a>b，那么a+c>b+c.即a>bna+c>b+c。如果a>b,且c>d，那么a+c>b+d.(相加法则)即a>b,c>dna+c>b+d如果a>b,且c>0，那么ac>bc；如果a>b，且c<0，那么ac<bc如果a>b>0,且c>d>0,那么ac>bd.(相乘法则)若a>b>0,贝【Jan>bn(ngN且n>1)若a>b>0,则na>n'b(ngN且n>1)2．不等式的证明：几个重要的不等式：设a、b是两个正数，则纟J称为正数a、b的算术平均数，乔称为正数a、b的几何平均数.均值不等式定理：若a>0，b>0，则a+b'2莎，即字'临.常用的基本不等式：①a2+b2>2ab(a,b&R)；②ab<"+加(a,bgR)；③ab<｛出］2(a>0,b>0)趨>(凹［(a,bgR).I2丿2I2丿极值定理：设x、y都为正数，则有s2若x+y=s(和为定值)，则当X=y时，积xy取得最大值—.若xy=p(积为定值)，则当x=y时，和x+y取得最小值2“.不等式的证明方法：比较法：作差作商后的式子变形，判断正负或与1比较大小。综合法：利用某些已经证明过的不等式(例如算术平均数与几何平均数定理)和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立的证明方法。逻辑关系是：A=B=B=…=B=B12n思维特点：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论。分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立。逻辑关系是：BuBuB=•••=BuA12n思维特点：执果索因，步步寻求上一步成立的充分条件，它与综合法是对立统一的两种方法。反证法：正难则反。先假定要证不等式的反面成立然后推出与已知条件(或已知真命题或定理、公理、定义)矛盾的结论,从而断定反证假定错误,因而要证不等式成立。放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小来证明不等式成立。常用的放缩方法有：添加或舍去一些项，如：fa2+1>|a|；vn(n+1)>n；将分子或分母放大(或缩小)；利用基本不等式，如：log3-lg5<(lg3：lg5)2=lg"5<lg"6=lg4；n+(n+1)vn(n+1)<—利用常用结论：心k+1-\-k=<k+1+斗k2k

1<=——

k2k(k—1)k—1k程度大）1111程度大）>=———

k2k(k+1)kk+1程度小）—<」=-丄-=丄(丄-丄)

k2k2—1(k—1)(k+1)2k—1k+1程度小）换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元.构造法：过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式；数学归纳法：数学上证明与自然数N有关的命题的一种特殊方法，它主要用来研究与正整数有关的数学问题，在高中数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立。证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．3．不等式的求解：（1）一元二次不等式的解法：先将不等式化为ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0（a>0）的形式，然后求出对应方程的根（若有根的话），再写出不等式的解：大于0时两根之外，小于0时两根之间；或者利用二次函数的图象来写出一元二次不等式的解集。（x—a）\x—a丿...（x—a）（亠\（2）分式不等式的解法：主要是转化为（％_才）（x_#）&_洛）>0（或<0），再用12n数轴标根法求解。（3）高次不等式的解法：主要利用数轴标根法进行求解。（4）绝对值不等式的求解：Ixl>a-a>0）Ox>a或x<—a；IxI<a（a>0）O—a<x<a（5）根式不等式、指数不等式、对数不等式的求解：利用根式、指数函数、对数函数的定义及性质将其转化为普通的不等式（组）进行求解。（6）含参不等式的求解：具体问题具体分析，基本模型依然是前面几种不等式，灵活利用前面的方法。4．不等式的综合应用。不等式比较灵活，可以和数学的很多知识相结合考察，如集合、函数、数列等等。在面对这样的综合性比较强的习题时，利用基本的概念和定理，熟练利用基本技巧，不断的分析，将其转化成一个一个小的习题来求解，是一般的求解思路。

例题】【例一】已知a>b,c<d，求证a—c>b—d。【例二】已知a、beR+，比较(a+b)-(an+b)与2(an+1+bn+1)(ngN)的大小。【例三】若a,b,c满足b+c=3a2—4a+6,b—c=a2—4a+4,比较a,b,c的大小。【例四】已知0<a<-,A=1—a2,B=1+a2,C=-^,D=-^21—a1+a(1)通过某种“试验”，你能很快地猜测出A、B、C、D的大小关系吗?2)证明你的“猜测”。cc【例五】已知a>b>0,c<0，求证一>丁.abTOC\o"1-5"\h\z【例六】已知avbvO,那么下列不等式成立的是()11baa+bA.—<B・ab>b2C・—>D・<1ababb【例七】下列命题中正确命题的个数是()B.都小于2D.都大于2①a>bn—>1:②a>bna2>b2；@)a3>b3oa>b；®a>baa2n+1>b2n+1(neB.都小于2D.都大于2A・1B・2C・3D・4【例八】若a>b>c,贝U()A・(a-cI007〉(b—cI007B・(a—c)2007<(b—c)2007C・(a-b)2007>(b-c)2007D・(a—b)2007<(b—c)2007【例九】设x,y,zW(0,+<»),a=x+1,b=y+1,yzc=z+1,则a,b,c三数()xA.至少有一个不大于2C.至少有一个不小于21【例十】若x>-1，则x为何值时x+市有最小值’最小值为多少?1【例^一】若Ovavb，且a+b=l,则a,b,=,2ab,a2+b2从小到大的顺序是2【例十二】已知x+2y=1，则2x+4y的取值范围是；【例十三】已知x,y都是正数，求证：①如果积xy是定值p，那么当x=y时，和x+y有最小值2.p；②如果和x+y是定值s，那么当x=y时，积xy有最大值4s2【例十四】已知x,yw行，且xy-x-y二1,则x+y的最小值是【例十五】已知：a,b是正常数，x,yWR*,且a+b=1O,~+~=1,x+y的最小值为18,xy求a、b的值.【例十六】已知a,b都是正数，并且a丰b,求证：a5+b5>a2b3+a3b2a+b【例十七】设a,bwR+,求证：aabb>(ab)2>abba【例十八】已知a>2，求证：log(、a>log(a+1)TOC\o"1-5"\h\z\a-1)a114【例十九】已知X、y均为正数，设M=—+—,N=，试比较M和N的大小\o"CurrentDocument"xyx+y【例二十】已知a,b^R,且a+b=l.求证：例二十】若a例二十】若a,b,c,deR+,求证:+++

a*b*db*c*ac*d*bd*a*c【例二十二】求证：—+—+—+•••+—<2。122232n21+y1+x【例二十三】若x,y>0,且x+y>2,则和中至少有一个小于2。xy【例二十四】设0<a,b,c<2,求证:(2-a)c,(2-b)a,(2-c)b，不可能同时大于1。【例二十五】已知x2+y2=1，求证_*1+a2<y-ax<V1+a2(aeR)。3)3)x2-3|x|-10<0(x+2)(x-1)二十六】解下列不等式(1)x2-x-6<0(2)-x2+3x+10<0x(x+1)(x二2)、0(5)Ix2-5x+5I<1(6)X2-3x+2<0x2—2x—3【例二十七】解关于X的不等式A(X-ab)>b(x+ab)。【例二十八】设函数f(x)=2Ix+1I—Ix—1I，求使f(x)>2迈的x取值范围.2x2+2kx+k【例二十九】沁何值时’不等式乔e<1恒成立。x—ax—b1【例三十】若不等式>的解为三<X<1,求a,b的值。x2+x+1x2—x+12【例三十一】已知不等式ax2+bx+c>0的解集为{xI2<x