AMC10美国数学竞赛讲义

AMC10美国数学竞赛讲义AMC中的数论问题1：Remembertheprimebetween1to100：23571113171923293137414347535961677173798389912：Perfectnumber:LetPistheprimenumber.ifisalsotheprimenumber.thenistheperfectnumber.Forexample:6,28,496.3:Letisthreedigitalinteger.ifThenthenumberiscalledDaffodilsnumber.Thereareonlyfournumbers:153370371407Letisfourdigitalinteger.ifThenthenumberiscalledRosesnumber.Thereareonlythreenumbers:1634820894744：TheFundamentalTheoremofArithmeticEverynaturalnumberncanbewrittenasaproductofprimesuniquelyuptoorder.n=5：Supposethataandbareintegerswithb=0.Thenthereexistsuniqueintegersqandrsuchthat0≤r<|b|anda=bq+r.6：(1)GreatestCommonDivisor:Letgcd(a,b)=max{d∈Z:d|aandd|b}.Foranyintegersaandb,wehavegcd(a,b)=gcd(b,a)=gcd(±a,±b)=gcd(a,b−a)=gcd(a,b+a).Forexample:gcd(150,60)=gcd(60,30)=gcd(30,0)=30(2)Leastcommonmultiple:Letlcm(a,b)=min{d∈Z:a|dandb|d}.(3)Wehavethat:ab=gcd(a,b)lcm(a,b)7：CongruencemodulonIf,thenwecallacongruencebmodulomandwerewrite.(1)Assumea,b,c,d,m,k∈Ifa≡,,(2)Theequationax≡b(modm)hasasolutionifandonlyifgcd(a,m)dividesb.8：Howtofindtheunitdigitofsomespecialintegers(1)HowmanyzeroattheendofForexample,when,LetNbethenumberzeroattheendofthen(2)Findtheunitdigit.Forexample,when9：Palindrome,suchas83438,isanumberthatremainsthesamewhenitsdigitsarereversed.Therearesomenumbernotonlypalindromebut11(1)Somespecialpalindromethatisalsopalindrome.Forexample:(2)Howtocreateapalindrome?Almostintegerplusthenumberofitsreverseddigitsandrepeatitagainandagain.Thenwegetapalindrome.Forexample:ButwhetheranyintegerhasthisPropertyhasyettoprove(3)Thepalindromeequationmeansthatequationfromlefttorightandrighttoleftitallsetup.Forexample：Letandaretwodigitalandthreedigitalintegers.Ifthedigitssatisfythe,then.10:FeaturesofanintegerdivisiblebysomeprimenumberIfniseven，then2|n一个整数的所有位数上的数字之和是3（或者9）的倍数，则被3（或者9）整除一个整数的尾数是零，则被5整除一个整数的后三位与截取后三位的数值的差被7、11、13整除，则被7、11、13整除一个整数的最后两位数被4整除，则被4整除一个整数的最后三位数被8整除，则被8整除一个整数的奇数位之和与偶数位之和的差被11整除，则被11整除11.ThenumberTheoreticfunctionsIf(1)(2)(3)Forexample:Exercise1.Thesumsofthreewholenumberstakeninpairsare12,17,and19.Whatisthemiddlenumber?(A)4 (B)5 (C)6 (D)7 (E)83.Forthepositiveintegern,let<n>denotethesumofallthepositivedivisorsofnwiththeexceptionofnitself.Forexample,<4>=1+2=3and<12>=1+2+3+4+6=16.Whatis<<<6>>>?(A)6 (B)12 (C)24 (D)32 (E)368.Whatisthesumofallintegersolutionsto?(A)10 (B)12 (C)15 (D)19 (E)510Howmanyorderedpairsofpositiveintegers(M,N)satisfytheequation(A)6 (B)7 (C)8 (D)9 (E)101.Letandberelativelyprimeintegerswithand.Whatis?(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 (E)515．Thefiguresandshownarethefirstinasequenceoffigures.For,isconstructedfrombysurroundingitwithasquareandplacingonemorediamondoneachsideofthenewsquarethanhadoneachsideofitsoutsidesquare.Forexample,figurehas13diamonds.Howmanydiamondsarethereinfigure?18.Positiveintegersa,b,andcarerandomlyandindependentlyselectedwithreplacementfromtheset{1,2,3,…,2010}.Whatistheprobabilitythatisdivisibleby3?(A) (B) (C) (D) (E)24.Letandbepositiveintegerswithsuchthatand.Whatis?(A)249 (B)250 (C)251 (D)252 (E)2535.Inmultiplyingtwopositiveintegersaandb,Ronreversedthedigitsofthetwo-digitnumbera.Hiserroneousproductwas161.Whatisthecorrectvalueoftheproductofaandb?(A)116 (B)161 (C)204 (D)214 (E)22423.Whatisthehundredsdigitof?(A)1 (B)4 (C)5 (D)6 (E)99.Apalindrome,suchas83438,isanumberthatremainsthesamewhenitsdigitsarereversed.Thenumbersxandx+32arethree-digitandfour-digitpalindromes,respectively.Whatisthesumofthedigitsofx?(A)20 (B)21 (C)22 (D)23 (E)2421.Thepolynomialhasthreepositiveintegerzeros.Whatisthesmallestpossiblevalueofa?(A)78 (B)88 (C)98 (D)108 (E)11824.Thenumberobtainedfromthelasttwononzerodigitsof90!Isequalton.Whatisn?(A)12 (B)32 (C)48 (D)52 (E)6825.Jimstartswithapositiveintegernandcreatesasequenceofnumbers.Eachsuccessivenumberisobtainedbysubtractingthelargestpossibleintegersquarelessthanorequaltothecurrentnumberuntilzeroisreached.Forexample,ifJimstartswithn=55,thenhissequencecontain5numbers:5555-72= 66-22= 22-12= 11-12= 0LetNbethesmallestnumberforwhichJim’ssequencehas8numbers.WhatistheunitsdigitofN?(A)1 (B)3 (C)5 (D)7 (E)921．Whatistheremainderwhenisdividedby8?(A)0 (B)1 (C)2 (D)4 (E)65．Whatisthesumofthedigitsofthesquareof?(A)18 (B)27 (C)45 (D)63 (E)8125．For,let,wheretherearezerosbetweenthe1andthe6.Letbethenumberoffactorsof2intheprimefactorizationof.Whatisthemaximumvalueof?(A)6 (B)7 (C)8 (D)9 (E)1024.Let.Whatistheunitsdigitof?(A)0 (B)1 (C)4 (D)6 (E)8AMCaboutalgebraicproblems一、Linearrelations(1)Slopey-interceptform:(istheslope,isthey-intercept)(2)Standardform:(3)Slopeandonepoint(4)Twopoints(5)x,y-interceptform:二、therelationsofthetwolines(1)∥(1)⊥三、Specialmultiplicationrules:四、quadraticequationsandPolynomialThequadraticequationshastworootsthenwehasMoregenerally,ifthepolynomialhasroots,thenwehave:开方的开方、估计开方数的大小绝对值方程ArithmeticSequenceIfn=2k,thenwehaveIfn=2k+1,thenwehaveGeometricsequenceSomespecialsequence1,1,2,3,5,8,…9,99,999,9999，…1，11，111，1111，…Exercise4.WhenRingoplaceshismarblesintobagswith6marblesperbag,hehas4marblesleftover.WhenPauldoesthesamewithhismarbles,hehas3marblesleftover.RingoandPaulpooltheirmarblesandplacethemintoasmanybagsaspossible,with6marblesperbag.Howmanymarbleswillbeleftover?7Forascienceproject,Sammyobservedachipmunkandasquirrelstashingacornsinholes.Thechipmunkhid3acornsineachoftheholesitdug.Thesquirrelhid4acornsineachoftheholesitdug.Theyeachhidthesamenumberofacorns,althoughthesquirrelneeded4fewerholes.Howmanyacornsdidthechipmunkhide?21.Fourdistinctpointsarearrangedonaplanesothatthesegmentsconnectingthemhavelengths,,,,,and.Whatistheratioofto?6.Theproductoftwopositivenumbersis9.Thereciprocalofoneofthesenumbersis4timesthereciprocaloftheothernumber.Whatisthesumofthetwonumbers?8.Inabagofmarbles,

ofthemarblesareblueandtherestarered.Ifthenumberofredmarblesisdoubledandthenumberofbluemarblesstaysthesame,whatfractionofthemarbleswillbered?13.An

iterativeaverage

ofthenumbers1,2,3,4,and5iscomputedthefollowingway.Arrangethefivenumbersinsomeorder.Findthemeanofthefirsttwonumbers,andthenfindthemeanofthatwiththethirdnumber,thenthemeanofthatwiththefourthnumber,andfinallythemeanofthatwiththefifthnumber.Whatisthedifferencebetweenthelargestandsmallestpossiblevaluesthatcanbeobtainedusingthisprocedure?16.Threerunnersstartrunningsimultaneouslyfromthesamepointona500-metercirculartrack.Theyeachrunclockwisearoundthecoursemaintainingconstantspeedsof4.4,4.8,and5.0meterspersecond.Therunnersstoponcetheyarealltogetheragainsomewhereonthecircularcourse.Howmanysecondsdotherunnersrun?24.Letandbepositiveintegerswithsuchthatand.Whatis?(A)249 (B)250 (C)251 (D)252 (E)2531.Whatis?(A)-1 (B) (C) (D) (E)10.Considerthesetofnumbers{1,10,102,103……1010}.Theratioofthelargestelementofthesettothesumoftheothertenelementsofthesetisclosesttowhichinteger?(A)1 (B)9 (C)10 (D)11 (E)10119.Whatistheproductofalltherootsoftheequation?(A)-64 (B)-24 (C)-9 (D)24 (E)5764.LetXandYbethefollowingsumsofarithmeticsequences:X=10+12+14+…+100.Y=12+14+16+…+102.Whatisthevalueof?(A)92 (B)98 (C)100 (D)102 (E)1127.WhichofthefollowingequationsdoesNOThaveasolution?(A) (B) (C)(D) (E)16.Whichofthefollowinginequalto?(A) (B) (C) (D) (E)13.Whatisthesumofallthesolutionsof?(A)32 (B)60 (C)92 (D)120 (E)12414.Theaverageofthenumbers1,2,3…98,99,andxis100x.Whatisx?(A) (B) (C) (D) (E)11.Thelengthoftheintervalofsolutionsoftheinequalityis10.Whatisb-a?(A)6 (B)10 (C)15 (D)20 (E)3013.Angelinadroveatanaveragerateof80kphandthenstopped20minutesforgas.Afterthestop,shedroveatanaveragerateof100kph.Altogethershedrove250kminatotaltriptimeof3hoursincludingthestop.Whichequationcouldbeusedtosolveforthetimetinhoursthatshedrovebeforeherstop?(A) (B) (C) (D) (E)21.Thepolynomialhasthreepositiveintegerzeros.Whatisthesmallestpossiblevalueofa?(A)78 (B)88 (C)98 (D)108 (E)11815．Whenabucketistwo-thirdsfullofwater,thebucketandwaterweighkilograms.Whenthebucketisone-halffullofwaterthetotalweightiskilograms.Intermsofand,whatisthetotalweightinkilogramswhenthebucketisfullofwater?13．Supposethatand.Whichofthefollowingisequaltoforeverypairofintegers?16．Let,,,andberealnumberswith,,and.Whatisthesumofallpossiblevaluesof?5.Whichofthefollowingisequaltotheproduct??(A)251 (B)502 (C)1004 (D)2008 (E)40167.Thefractionsimplifiestowhichofthefollowing?(A)1 (B)9/4 (C)3 (D)9/2 (E)913.Dougcanpaintaroomin5hours.Davecanpaintthesameroomin7hours.DougandDavepainttheroomtogetherandtakeaone-hourbreakforlunch.Lettbethetotaltime,inhours,requiredforthemtocompletethejobworkingtogether,includinglunch.Whichofthefollowingequationsissatisfiedbyt?(A) (B) (C) (D) (E)15.YesterdayHandrove1hourlongerthanIanatanaveragespeed5milesperhourfasterthanIan.Jandrove2hourslongerthanIanatanaveragespeed10milesperhourfasterthanIan.Handrove70milesmorethanIan.HowmanymoremilesdidJandrivethanIan?(A)120 (B)130 (C)140 (D)150 (E)160AMC中的几何问题一、三角形有关知识点1.三角形的简单性质与几个面积公式①三角形任何两边之和大于第三边；②三角形任何两边之差小于第三边；③三角形三个内角的和等于180°；④三角形三个外角的和等于360°；⑤三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；⑥三角形一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。设三角形ABC的三个角A，B，C对应的边是a,b,c,以A为顶点的高为h。则的三角形的面积公式有：①；②；③,其中r是内切圆半径；④2.直角三角形的相关定理（勾股、射影）直角三角形的识别：①有一个角等于90°的三角形是直角三角形；②有两个角互余的三角形是直角三角形；③勾股定理定理：两个直角边的平方和等于斜边的平方④勾股定理逆定理：三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。直角三角形的性质：①直角三角形的两个锐角互余；②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；③射影定理：如图直角三角形中过直角点向斜边做垂线ＡＤ则有3.正三角形的数据：等边三角形ABC如上图，分别作ABC的内切圆和外接圆，设等边三角形的边长为a,则4.其它特殊三角形：等腰三角形性质：①等边对等角；②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；③等腰三角形是轴对称图形，底边的中垂线是它的对称轴；5.三角形的四心：①三角形的三条中线交于一点，这个点叫做三角形的重心，重心将每一条中线分成1:2；②三角形三边的垂直平分线交于一点，这个点叫做三角形的外心，三角形的外心到各顶点的距离相等；③三角形的三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的内心，三角形的内心到三边的距离相等；④三角形三条垂线交于一点，这个点叫做三角形的垂心。6.三角形全等与相似：二、正六边形ABCDEF的性质，设AB=a则正六边形ABCDEF被三条对角线分成了六个全等的等边三角形.三、正四面体数据如上图，设正四面体ABCD的棱长为a,则有：1.正四面体是由四个全等正三角形围成的空间封闭图形。它有4个面，6条棱，4个顶点。正四面体是最简单的正多面体。正四面体的重心、四条高的交点、外接球、内切球球心共点，此点称为中心。正四面体有一个在其内部的内切球和一个外切球正四面体有四条三重旋转对称轴，六个对称面。正四面体可与正八面体填满空间，在任意顶点周围有八个正四面体和六个正八面体。2.相关数据当正四面体的棱长为a时，一些数据如下：高：。中心O把高分为1:3两部分。表面积：体积：对棱中点的连线段的长：外接球半径：，内切球半径：，两邻面夹角：正四面体的对棱相等。具有该性质的四面体符合以下条件：1．四面体为对棱相等的四面体当且仅当四面体每对对棱的中点的连线垂直于这两条棱。2．四面体为对棱相等的四面体当且仅当四面体每对对棱中点的三条连线相互垂直。3．四面体为对棱相等的四面体当且仅当四条中线相等。四、正方体相关数据：1.如图，设正方体的棱长为a,则面对角线为，体对角线为，体对角线不仅与截面、垂直，而且被截面与截面分成三等分。2.正方体的八个顶点中的每四个面对角线的顶点构成了一个棱长为的正四面体。即与是一个棱长为的正四面体。这两个正四面体的相交部分是一个正八面体（恰好是正方体六个面的中心的连线）。3.正方体六个面的中心的连线构成一个棱长为的正八面体，体积是正方体的4.正方体在各个方向的投影的面积最大为5截面的性质：正方体的截面中会出现（见下图）：三角形、正方形、梯形、菱形、矩形、平行四边形、五边形、六边形、正六边形。其中三角形还分为锐角三角型、等边、等腰三角形。梯形分位非等腰梯形和等腰梯形。不可能出现：钝角三角形、直角三角形、直角梯形、正五边形、七边形或更多边形。6.最大截面：最大截面四边形，如图所示的矩形：五、正八边形与正八面体：正八边形：设正八边形的棱长为a,面积是为，，四边形、是正方形。正八边形有20条对角线(更一般的凸边形有条对角线，内部有49个交点(这个推广还没有统一的结论，是一个较为困难的问题)。正八面体：

和都是正方形，内切球的半径，外接球半径，体积为六、圆和球：切割线、切割线定理（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。即：在⊙中，∵弦、相交于点，∴（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即：在⊙中，∵直径，∴（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即：在⊙中，∵是切线，是割线∴球的相关公式：球的体积、表面积公式：，Exercise2Acircleofradius5isinscribedinarectangleasshown.Theratioofthelengthoftherectangletoitswidthis2:1.Whatistheareaoftherectangle?3Thepointinthexy-planewithcoordinates(1000,2012)isreflectedacrosstheliney=2000.Whatarethecoordinatesofthereflectedpoint?12PointBisdueeastofpointA.PointCisduenorthofpointB.ThedistancebetweenpointsAandCis,and=45degrees.PointDis20metersdueNorthofpointC.ThedistanceADisbetweenwhichtwointegers?

14Twoequilateraltrianglesarecontainedinsquarewhosesidelengthis.Thebasesofthesetrianglesaretheoppositesideofthesquare,andtheirintersectionisarhombus.Whatistheareaoftherhombus?16Threecircleswithradius2aremutuallytangent.Whatisthetotalareaofthecirclesandtheregionboundedbythem,asshowninthefigure?17Jessecutsacircularpaperdiskofradius12alongtworadiitoformtwosectors,thesmallerhavingacentralangleof120degrees.Hemakestwocircularcones,usingeachsectortoformthelateralsurfaceofacone.Whatistheratioofthevolumeofthesmallerconetothatofthelarger?23Asolidtetrahedronisslicedoffawoodenunitcubebyaplanepassingthroughtwononadjacentverticesononefaceandonevertexontheoppositefacenotadjacenttoeitherofthefirsttwovertices.Thetetrahedronisdiscardedandtheremainingportionofthecubeisplacedonatablewiththecutsurfacefacedown.Whatistheheightofthisobject?24．Thekeystonearchisanancientarchitecturalfeature.Itiscomposedofcongruentisoscelestrapezoidsfittedtogetheralongthenon-parallelsides,asshown.Thebottomsidesofthetwoendtrapezoidsarehorizontal.Inanarchmadewithtrapezoids,letbetheanglemeasureindegreesofthelargerinteriorangleofthetrapezoid.Whatis?10.Marydividesacircleinto12sectors.Thecentralanglesofthesesectors,measuredindegrees,areallintegersandtheyformanarithmeticsequence.Whatisthedegreemeasureofthesmallestpossiblesectorangle?11.ExternallytangentcircleswithcentersatpointsAandBhaveradiioflengths5and3,respectively.AlineexternallytangenttobothcirclesintersectsrayABatpointC.WhatisBC?15.Threeunitsquaresandtwolinesegmentsconnectingtwopairsofverticesareshown.Whatistheareaof?21.Letpoints=,=,=,and=.Points,,,andaremidpointsoflinesegmentsandrespectively.Whatistheareaof?9.Theareaof△EBDisonethirdoftheareaof3-4-5△ABC.SegmentDEisperpendiculartosegmentAB.WhatisBD?(A) (B) (C) (D) (E)16.Adartboardisaregularoctagondividedintoregionsasshown.Supposethatadartthrownattheboardisequallylikelytolandanywhereontheboard.Whatisprobabilitythatthedartlandswithinthecentersquare?(A) (B) (C) (D) (E)17.Inthegivencircle,thediameterEBisparalleltoDC,andABisparalleltoED.TheanglesAEBandABEareintheratio4:5.WhatisthedegreemeasureofangleBCD?(A)120 (B)125 (C)130 (D)135 (E)14020.RhombusABCDhassidelength2and∠B=120°.RegionRconsistsofallpointsinsidetherhombusthatareclosertovertexBthananyoftheotherthreevertices.WhatistheareaofR?(A) (B) (C) (D) (E)22.Apyramidhasasquarebasewithsidesoflengthlandhaslateralfacesthatareequilateraltriangles.Acubeisplacedwithinthepyramidsothatonefaceisonthebaseofthepyramidanditsoppositefacehasallitsedgesonthelateralfacesofthepyramid.Whatisthevolumeofthiscube?(A) (B) (C) (D) (E)11.SquareEFGHhasonevertexoneachsideofsquareABCD.PointEisonABwithAE=7·EB.WhatistheratiooftheareaofEFGHtotheareaofABCD?(A) (B) (C) (D) (E)24.Twodistinctregulartetrahedrahavealltheirverticesamongtheverticesofthesameunitcube.Whatisthevolumeoftheregionformedbytheintersectionofthetetrahedra?(A) (B) (C) (D) (E)16.Asquareofsidelength1andacircleofradiussharethesamecenter.Whatistheareainsidethecircle,butoutsidethesquare?(A) (B) (C) (D) (E)19.AcirclewithcenterOhasarea156π.TriangleABCisequilateral,BCisachordonthecircle,,andpointOisoutside△ABC.Whatisthesidelengthof△ABC?(A) (B)64 (C) (D)12 (E)1820.TwocircleslieoutsideregularhexagonABCDEF.ThefirstistangenttoAB,andthesecondistangenttoDE,BotharetangenttolinesBCandFA.Whatistheratiooftheareaofthesecondcircletothatofthefirstcircle?(A)18 (B)27 (C)36 (D)81 (E)10814.TriangleABChasAB=2AC.LetDandEbeonABandBCrespectively,suchthat∠BAE=∠ACD.LetFbetheintersectionofsegmentsAEandCD,andsupposethat△CFEisequilateral.Whatis∠ACB?(A)60° (B)75° (C)90° (D)105° (E)120°17.Asolidcubehassidelength3inches.A2-inchby2-inchsquareholeiscutintothecenterofeachface.Theedgesofeachcutareparalleltotheedgesofthecube,andeachholegoesallthewaythroughthecube.Whatisthevolume,incubicinches,oftheremainingsolid?(A)7 (B)8 (C)10 (D)12 (E)1520.Aflytrappedinsideacubicalboxwithsidelength1meterdecidestorelieveitsboredombyvisitingeachcornerofthebox.Itwillbeginandendinthesamecornerandvisiteachoftheothercornersexactlyonce.Togetfromacornertoanyothercorner,itwilleitherflyorcrawlinastraightline.Whatisthemaximumpossiblelength,inmeters,ofitspath?(A) (B) (C) (D) (E)9．Segmentandintersectat,asshown,,and.Whatisthedegreemeasureof?13．Asshownbelow,convexpentagonhassides,,,,and.Thepentagonisoriginallypositionedintheplanewithvertexattheoriginandvertexonthepositive-axis.Thepentagonisthenrolledclockwisetotherightalongthe-axis.Whichsidewilltouchthepointonthe-axis?17．Fiveunitsquaresarearrangedinthecoordinateplaneasshown,withthelowerleftcornerattheorigin.Theslantedline,extendingfromto,dividestheentireregionintotworegionsofequalarea.Whatis?20．Trianglehasarightangleat,,and.Thebisectorofmeetsat.Whatis?22．Acubicalcakewithedgelengthinchesisicedonthesidesandthetop.Itiscutverticallyintothreepiecesasshowninthistopview,whereisthemidpointofatopedge.Thepiecewhosetopistrianglecontainscubicinchesofcakeandsquareinchesoficing.Whatis?11．Onedimensionofacubeisincreasedby,anotherisdecreasedby,andthethirdisleftunchanged.Thevolumeofthenewrectangularsolidislessthanthatofthecube.Whatwasthevolumeofthecube?14．Fourcongruentrectanglesareplacedasshown.Theareaoftheoutersquareistimesthatoftheinnersquare.Whatistheratioofthelengthofthelongersideofeachrectangletothelengthofitsshorterside?21．ManyGothiccathedralshavewindowswithportionscontainingaringofcongruentcirclesthatarecircumscribedbyalargercircle,Inthefigureshown,thenumberofsmallercirclesisfour.Whatistheratioofthesumoftheareasofthefoursmallercirclestotheareaofthelargercircle?23．Convexquadrilateralhasand.Diagonalsandintersectat,,andandhaveequalareas.Whatis?18.Arighttrianglehasperimeter32andarea20.Whatisthelengthofitshypotenuse?(A)57/4 (B)59/4 (C)61/4 (D)63/4 (E)65/417.Anequilateraltrianglehassidelength6.Whatistheareaoftheregioncontainingallpointsthatareoutsidethetrianglebutnotmorethan3unitsfromapointofthetriangle?(A) (B) (C) (D) (E)21.Acubewithsidelength1isslicedbyaplanethatpassesthroughtwodiagonallyoppositeverticesAandCandthemidpointsBandDoftwooppositeedgesnotcontainingAorC,asshown.WhatistheareaofquadrilateralABCD?(A) (B) (C)(D) (E)25.Aroundtablehasradius4.Sixrectangularplacematsareplacedonthetable.Eachplacemathaswidth1andlengthxasshown.Theyarepositionedsothateachmathastwocornersontheedgeofthetable,theretwocornersbeingendpointsofthesamesideoflengthx.Further,thematsarepositionedsothattheinnercornerseachtouchaninnercornerofanadjacentmat.Whatisx?(A) (B) (C) (D) (E)AMC中的排列组合问题1.排列与组合⑴分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理，两者的区别在于分步计数原理和分步有关，分类计数原理与分类有关.⑵排列与组合主要研究从一些不同元素中，任取部分或全部元素进行排列或组合，求共有多少种方法的问题.区别排列问题与组合问题要看是否与顺序有关，与顺序有关的属于排列问题，与顺序无关的属于组合问题.⑶排列与组合的主要公式①排列数公式：(m≤n)②组合数公式：(m≤n).③组合数性质：①.②③(4)排列组合常见的的题型与解题策略。1.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位共有然后排首位共有最后排其它位置共有由分步计数原理得2.相邻元素捆绑策略例2.7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有种不同的排法要求某几个元素必须排在一起的问题要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为203.不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有种元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为304.定序问题倍缩空位插入策略例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有种方法，其余的三个位置甲乙丙共有1种坐法，则共有种方法。思考:可以先让甲乙丙就坐吗?（插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有方法定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插空模型处理练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？5.重排问题求幂策略例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有7种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原理共有种不同的排法允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为种练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为422.某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法6.环排问题线排策略例6.8人围桌而坐,共有多少种坐法?解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人并从此位置把圆形展成直线其余7人共有（8-1）！种排法即！一般地一般地,n个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈1207.多排问题直排策略例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.个特殊元素有种,再排后4个位置上的特殊元素丙有种,其余的5人在5个位置上任意排列有种,则共有种一般地,一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究.练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是3468.排列组合混合问题先选后排策略例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有种方法.再把4个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有种方法，根据分步计数原理装球的方法共有练习题：一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有192种9.小集团问题先整体后局部策略例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个？解：把１,５,２,４当作一个小集团与３排队共有种排法，再排小集团内部共有种排法，由分步计数原理共有种排法.小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其它策略进行处理。小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其它策略进行处理。练习题：１.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画,排成一行陈列,要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为2.5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有种10.元素相同问题隔板策略例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成９个空隙。在９个空档中选６个位置插个隔板，可把名额分成７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种分法共有种分法。将将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为练习题：10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法？2.求这个方程组的自然数解的组数11.正难则反总体淘汰策略例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的取法有多少种？解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰法。这十个数字中有5个偶数5个奇数,所取的三个数含有3个偶数的取法有,只含有1个偶数的取法有,和为偶数的取法共有。再淘汰和小于10的偶数共9种，符合条件的取法共有有些排列组合问题有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中淘汰.练习题：我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种?12.平均分组问题除法策略例12.6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？解:分三步取书得种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF，若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF该分法记为(AB,CD,EF),则中还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有种取法,而这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共有种分法。2.二项式定理⑴二项式定理其中各项系数就是组合数，展开⑵二项展开式的通项公式二项展开式的第项叫做二项展开式的通项公式。⑶二项式系数的性质①在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即②若是偶数，则中间项(第项)的二项公式系数最大，其值为；若是奇数，则中间两项(第项和第项)的二项式系数相等，并且最大，其值为=.③所有二项式系数和等于④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，.3.概率（1）事件与基本事件：基本事件：试验中不能再分的最简单的“单位”随机事件；一次试验等可能的产生一个基本事件；任意两个基本事件都是互斥的；试验中的任意事件都可以用基本事件或其和的形式来表示．（2）频率与概率：随机事件的频率是指此事件发生的次数与试验总次数的比值．频率往往在概率附近摆动，且随着试验次数的不断增加而变化，摆动幅度会越来越小．随机事件的概率是一个常数，不随具体的实验次数的变化而变化．（3）互斥事件与对立事件：事件定义集合角度理解关系互斥事件事件与不可能同时发生两事件交集为空事件与对立，则与必为互斥事件；事件与互斥，但不一是对立事件对立事件事件与不可能同时发生，且必有一个发生两事件互补（4）古典概型与几何概型：古典概型：具有“等可能发生的有限个基本事件”的概率模型．几何概型：每个事件发生的概率只与构成事件区域的长度（面积或体积）成比例．两种概型中每个基本事件出现的可能性都是相等的，但古典概型问题中所有可能出现的基本事件只有有限个，而几何概型问题中所有可能出现的基本事件有无限个．（5）古典概型与几何概型的概率计算公式：古典概型的概率计算公式：．几何概型的概率计算公式：．两种概型概率的求法都是“求比例”，但具体公式中的分子、分母不同．（6）概率基本性质与公式①事件的概率的范围为：．②互斥事件与的概率加法公式：．③对立事件与的概率加法公式：．（7）如果事件A在一次试验中发生的概率是p，则它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率是pn(k)=Cpk(1―p)n―k.实际上，它就是二项式[(1―p)+p]n的展开式的第k+1项.（8）独立重复试验与二项分布①．一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．注意这里强调了三点：（1）相同条件；（2）多次重复；（3）各次之间相互独立；②．二项分布的概念：一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为．此时称随机变量服从二项分布，记作，并称为成功概率．Exercise11AdessertchefpreparesthedessertforeverydayofaweekstartingwithSunday.Thedesserteachdayiseithercake,pie,icecream,orpudding.Thesamedessertmaynotbeservedtwodaysinarow.TheremustbecakeonFridaybecauseofabirthday.Howmanydifferentdessertmenusfortheweekarepossible?13.Tworealnumbersareselectedindependentlyatrandomfromtheinterval[-20,10].Whatistheprobabilitythattheproductofthosenumbersisgreaterthanzero?(A) (B) (C) (D) (E)24Amy,Beth,andJolistentofourdifferentsongsanddiscusswhichonestheylike.Nosongislikedbyallthree.Furthermore,foreachofthethreepairsofthegirls,thereisatleastonesonglikedbythosegirlsbutdislikedbythethird.Inhowmanydifferentwaysisthispossible?25Abugtravelsfromtoalongthesegmentsinthehexagonallatticepicturedbelow.Thesegmentsmarkedwithanarrowcanbetraveledonlyinthedirectionofthearrow,andthebugnevertravelsthesamesegmentmorethanonce.Howmanydifferentpathsarethere?12.Apairofsix-sideddicearelabeledsothatonediehasonlyevennumbers(twoeachof2,4,and6),andtheotherdiehasonlyoddnumbers(twoofeach1,3,and5).Thepairofdiceisrolled.Whatistheprobabilityth