2006数一真题、答案及解析

一、填空xln(1lim x01cos微分方程yy(1x)的通解 x设.

点(2,1,0)到平面3x4y5z0的距离z 1 设矩阵A 2，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BAB2E，则B .（6）设随机变量XY相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀分布，则Pmax{X,Y}1 二、选择yf(xf(x0,f(x0xxx0ydyf(xx0处对应的增量与微分，若x0（A）0dx （B）0y（C）ydy （D）dyy f(x,y为连续函数，则4df(rcosrsin)rdr （A）

2x

f(x, （B）

2

f(x,（C）

2y

f(x, （C）

2

f(x, 若级 an收敛，则级

收敛 (1)nan收敛 an（C）anan1收敛 （D） 收敛 f(x,y与(x,y均为可微函数，且1(x,y)0.已知(x,yf(x,y 束条件(x,y0下的一个极值点，下列选项正确的（A）fx(x0y00fy(x0y00（D）fx(x0y00fy(x0y00【】（A）若a1a2,L,aAa1Aa2,L,Aa线性相关（B）若a1a2,L,aAa1Aa2,L,Aa线性无关（C）若a1a2,L,aAa1Aa2,L,Aa线性相关（D）若a1a2,L,aAa1Aa2,L,Aa线性无关【】 0 列得C，记P 0 1 （A）C （B）CCPT （D）CPAPT 设A,B为随机，且P(B)0,P(A|B)1，则必（A）P(AB)P( （B）P(AB)（C）P(AB)P( （D）P(AB) P{|X1|1}P{|Y2|（A）1（C）1

（B）11 设区D=xyx2y21,x0,计算二重I设数列xn满足0x1x1sinxnn1,2,...n求(Ⅰ)证明limx存在,n

1 dxdy D (Ⅱ)计算limn1 xxnx2x2fx2xx2x的幂级数设函数fu在0,内具有二阶导数,2z2z 0(Ⅰ)fufu0u(Ⅱ)f10,f11,求函数fu的表达式

zf

满足等式设在上半平面Dxyftxtyt2fxy.

y0内,数fx,y是有连续偏导数,且对任意的t>0证明:对LL,都有yf(xy)dxxf(xy)dy0L4x3x5xx1有3个线性无关的 Ⅰ证明方程组系数矩阵A的秩rA设3阶实对称矩阵A的各行 和均为3,向量11,2,1T,20,1,1T是Ax=0(Ⅰ)A的特征值与特征向量(Ⅱ)QA,使得QTAQA1,1x 量x的概率密度为fxx

,0x2令yx2,Fx,y为二维 (X,Y)的分布函数(Ⅰ)Y的概率密度fYy(Ⅱ)F1

0x23XFX,01x2其中是未知参数010 0X1,X2...,Xn为来自总体X的简单随机样本,记N为样本值x1,x2...,xn中小于1的个数,求的最大似然估计

年入学考试数学一解limxln(1x) x01coscos ln(1x)x,1 cos 2y(1

（当x0时 x

ycxex(x0)，这是变量可分离方程设是锥面Z=x2y20Z1)xdydz2ydzdx3(z1)dxdyx2y2补一个曲面1: zP Q2 R3(zPQR123 ∴6dxdydz（为锥面和平面1所围区域 6V（V为上述圆锥体体积62而dydz2ydzdx3(z1)dxdy（∵在1z1,dz02点(2,1,0,)到平面3x4y5z0的距离d2324233242324222(5)设A=21,2阶矩阵B满足BA=B+2E,则 -1解:由BA=B+2E化得B(A-E)=2E,两边取行列式,|B||A-计算出|A-E|=2,因此19yf(xf(x0f(x0x为自变xx0处的增量ydy分别为f(xx0处对应的增量与微分.若x0，则[A](A)0dyy(B)0ydy(C)ydy0(D)dyy因为f(x0,则f(x)f(x0,则(x)是凹的又x0,故dy 00设f(xy)为连续函数,则4df(rcosrsin)rdr等于00 (A)

2x

f(x, 2

f(x, 0y (C)2 f(x, (D)2dy0y

f(x,若级数an

an收

a (D)anan1收 n 2 2设f(x,y)与(x,y)均为可微函数,且y(x,y)0,已知(x0,y0)是f(x,y)在约束条件(x,y)0下的一个极值点,下列选项正确的是[D](A)若fx(x0,y0)=0,则fy(x0,y0)=0 (B)若fx(x0,y0)=0,则fy(x0,y0)0(C)若fx(x0,y0)0,则fy(x0,y0)=0 (D)若fx(x0,y0)0,则fy(x0,y0)0构造格朗日乘子法函数F=f(x,y)(x,y)F= F= f(x, (x, F=(x,y) f(x,y今(x,y)0, 0代入(1)得f(x,y)fy(x0,y0)x(x0,y0 0(x,y 0(x,y 今fx(x0,y0)0,则fy(x0,y0) 设1,2,…,s都是nAmn（）若1,2,…,s线性相关,则A1,A2,…,As线性相若1,2,…,s线性相关,则A1,A2,…,As线性无若1,2,…,s线性无关,则A1,A2,…,As线性相若1,2,…,s线性无关,则A1,A2,…,As线性无关.解:(A)用A左乘等式两边,于是A1,A2,…,As线性相关1,2,…,s线性无关r(1,2,…,sr(AB)矩阵(A1,A2,…,As)=A(1,2,…,sr(A1,A2,…,As)r(1,2,…,s设A是3阶矩阵,将A的第2列加到第1列上得B,将B的第1列的-1倍加到第2列上得C.记 110P=01000C=P-1AP.(B)C=PAP-(C) (D)解:B=PA1-1010=BP-1=PAP-001P(AB)=P(A)+P(B)-x1P{X

(),X

~N11 1P{Y

1} Y 12P2P 2因PX

1}P{Y

X1 1 YX1

1 22

,12设区域D(xy)

1,x0计算二重积分I

1 D 解 QD

dxdy012 I dxdy 2

dr ln(1r2)1 D1x2D

2

01 设数列xn满足0x1,xn1sinxn(n1,2,Ln n

xn1xx nn解1)Qx2sinx1,0x21,因此当n2xn1sinxnxn,xn又xn0,xn有下界，根据准则1,limxnA存在,递 AsinA,Asin 1

n)2,为"1 Q离散型不能直接用洛必达sin

sin lim2ln(先考虑lim( )tet0 t 2 3 1lim t120(t)t60(t t02tsin limtcostsin lim 6 e2e将函数f(x) 2x

A(2x)(1 2 1A(1x)B(2x)令x 3B

令x 3AB3

A3f(x)23

(2

13

(1

13

(1x2

13

[1x 1 1() (1)nxn11(1)n1xn x3

3

f(u)在(0,Zf2z2z f(u)f(u)u（II）f(10f(11f(u)

x2y2满足等

;zx2x2x2

f x2x2x2x2x2x2x2x22f

x2

x2x2

f f

x2x2x2

f

x2x2y23

fx2x2x2x2x2y23f(x2y2x2

x2y2

f

z

z 得fx2y2

f(u)0u （II）f(up,dpp;dpdu lnplnuc,f(u)pu f(11c1f(uln|u|c2,由f(10得c20于是f(uln|uf(txtyt2f(xL，都有yf(x,y)dxxf(xy)dy0Lf(txtyt2f(xy)两边对t令t1xfx(xyyfy(xy2f(x再令Pyf(xy),Qxf(xQ Qf(x,y)xf(x,P

f(x,y)yfy(x,要求QPxf(xyyf(xy2f(x 我们已经证明，QP，于是结论成立 解:①设1,2,3是方程组的3个线性无关的解,则2-1,3-1是111111-(A|)=35-- 013,a1310由r(A)=2,得出a=2,b=-3.代入后继续作初等行变换10-201-5-.0000求出一个特解(2,-3,0,0)T和AX=0的基础解系(-2,1,1,0)T,(4,-5,0,1T.得到方程组的通解 齐次线性方程组AX ①求A的特征值和特②求作正交矩阵Q和对角矩阵,使Q0001A的特征值为3,0,0.,333T②将单位化,得 333T ) 对1,2 正交化,的

)T, 26262 26262

666作Q=(0,1,2),则Q是正交矩阵300QTAQ=Q-1AQ=000001,1x4 4（22） 量X的概率密度为fX

，令YX2F(x,y)

1

解

0,y (1)式,0y（Ⅰ）FY(y)P(YyP y)(2)式,1y 1,4 4y 4yy式 X y)y

dxy2y

4dx y00y0y 式 X y) dxy

4dx 4

81(y)F'81

3,0y,1y

yF(12P(X1,Y4)P(X1,X24)P(X1,2X2)P(2X1