理论和数字电路课件

Ch5LTI电路的正弦稳态分析引言一学习本章的目的和意义1.寻找求解电路常微分方程特解的新途径。2.工程应用实际与科学研究的迫切需求。（1）国内外电力系统的工程实际问题都是依靠正弦稳态分析来解决。（2）科研或实际工作中的激励信号都是正弦信号的线形组合。二.本章内容及重点1.正弦稳态分析的基本概念和基本定律2.向量分析法3.正弦稳态功率4.非正弦周期信号激励下电路的正弦稳态分析5.谐振电路6.三相电路三著名科学家推荐斯坦梅茨(CharleaProteusSteinmetz1865~1923)

斯坦梅茨是德国一澳大利亚数学家和工程师。他最伟大的贡献就是在交流电路分析中引入了向量分析法，并以其在滞后理论方面的著作而闻名。 出生于德国的布勒斯劳，一岁时就失去了母亲，在即将在大学完成他的数学博士论文时，由于政治活动，被迫离开德国，到瑞士后又去了美国，1893年受雇于美国通用电气公司，这一年他发表论文，首次将复数应用于交流电路的分析中，其后出版了专著《交流现象的理论和计算》，1901年成为美国电气工程师协会(IEEE)主席。四参考书1.《基本电路理论》上册 王蔼 主编 上海交大出版社2.《电路分析基础》中下册(第三版)李翰荪编著高教社3.《电路基础》(FundamentalsofElectricCircuits)(美)charlesK.AlexanderMatthewN.O.Sadiku著英文原版清华大学出版社；中译版电子工业出版社4.《电路分析》胡翔俊编著高教社 5.1正弦量的向量表示基尔霍夫定律的向量形式一.正弦稳态响应：LIT电路(正稳)输入激励输出响应(正弦)

任一LIT电路可用微分方程描述：由ch4微分方程理论可证明：

（设特征根互异）（通解）（特解）

电路固有频率若，则时，电路的自由响应为0，强迫响应就是稳态响应。

1.正弦稳态响应定义：对于任一单一频率正弦独立电源激励F的任意LIT电路，若电路的固有频率具有严格的负实部()，则不论初始条件如何，其响应都将随t→∞而变成与激励频率的正弦波，该正弦波就是称为LIT电路系统的正弦稳态响应。即：

虽然电路系统的正弦稳态响应实质上是零状态响应，可通过求解微分方程特解得到。2.正弦稳态条件：

(1)电路系统必须为：线性时不变渐进稳定

(2)电路的固有频率必须：i. ii. 不能与信号频率相同二.正弦量

1.定义：信号波形随时间按正弦规律变化的物理量称为正弦量，它们可以是，其瞬时值表达式为：2.正弦量三要素

(1)振幅(最大值)：它是一个常数，即的最大值

(2)角频率w：单位弧度/秒 例：中国最大值发生点（波形起点）时间起点(3)初相位：它反映了正弦波形初始值的大小，即

它的取值范围：初相正负的判定方法：这里最大值是指靠近原点的那个，例上图为正。

因为对单一频率激励的电路，是给定的，所以正弦量就是由振幅和相位两个参数描述。三.正弦量的有效值

1.有效值定义正弦信号直流在一个周期内，在上作功相同则称I为的有效值。 2.有效值与最大值间关系而例1.例2.市照明电为220，（有效值）四.正弦量的复数表示及向量：1.复数的四种表示形式（1）代数形式：（2）三角形式：宜加减运算（3）指数形式：（4）极坐标形式：其中：2.正弦量的向量表示：

在W已知的条件下，该正弦量可以用它对应的向量表示，即：（1）有效值向量：（本教材规定采用有效值向量）（2）最大值向量

+j+1LmRe在任一时刻瞬时值等于该时刻复值向量在实轴上的投影（正弦量表示为向量实质是一种变换）3.向量的主要性质：（具有相同频率）（1）唯一性：对 则（2）线性性：若、为任一同频率向量，α为任意实数。 可加性： 齐次性：（3）微分性：若则：对向量（4）定理：任意个角频率相同的正弦量的代数和或者任意个该类正弦量的任意阶导数和，必然是具有相同角频率的正弦量。（由性质2，3推得） 以上性质奠定了电路向量分析的基础。五.基尔霍夫定律的向量形式

1.KCL：

（有效值向量）（最大值向量）例：解：（注：不能写为）注意：

有效值不满足KCL，只有瞬时值和向量才满足KCL2.KVL：（有效值相量）（最大值值相量）5.2阻抗导纳和相量模型一.二端口网络的复阻抗：1.复数定义：设LTI正弦稳态电路LTI正弦稳态电路式中：说明：（1）是的实部，不是电路中的R，是的 虚部。 （2）是W的函数，W改变时也改变，R，X均变。2.复数导纳定义：3.广义欧姆定理：二.电路元件的复阻抗（即向量表示）1.电阻：2.电容：超前超前3.电感：4.耦合电感：（1）共地（2）浮地M或电感电压超前（i）同名端相连（ii）异名端相连5.其他器件：受控源，运算放大器，理想变压器，所以本质为多端电阻，阻抗表达式同于电阻。MM三.电路的向量模型1.定义：电路的向量模型就是在正弦条件下，将电路的时域模型中所有的元件和信号源用向量表示后的电路模型，它与时域模型有相同拓扑结构（网络线图相同）注意：因为是频率的函数，所以它由信号源的频率决定，改变时，也将改变。2.方法：（1）将信号源表为相量。 （2）将LTI电路元件用元件相量模型取代。例1.已知电路如图，试求：（1）的电路模型，（2）的电路模型解：结论：是的函数，改变时也改变。5.3 相量分析法一.等效变换分析法：1.等效变换规则与变换公式：

规则：将电阻电路中变换公式中的R用Z(jw)置换，将信号源用向量置换，即将电阻电路等效变换公式及方法推广到频域的向量法。公式：（1）时域串联 频域串联 电阻： 阻抗：推广电压源：（2）并联时域推广2.等效变换分析法：方法步骤：（1）作出电路的向量模型 （2）对无源网络应用等效变换公式求解 （3）对有源网络应用端口法求解例1：已知RC移相器如图所示，试求当工作频率W=1Krad/s时的相移量。∥解：

由此可见，该电路输出超前于输入，但幅度减少1/3；只要适当的配置R，C元件参数，即可获得需要的移相器。例2.试求回转器端的等效电路解：求出端输入阻抗 方法1：将回转器用电路模型取代，即：二.相代数方程描述法 引入阻抗的概念之后，利用向量模型，即可将电阻电路中的一般分析法推广到正弦稳态分析。（一）网孔分析法：

1.公式：根据电路向量模型，网孔方程可表示为：规律：（1）自阻抗：第i个网孔所有自阻抗之和，取“正” （2） 互阻抗：i网孔与j公共支路上阻抗的代数和 （3） ：激励电压源，电压升为”正“，电压降为”负“2.方法步骤：（1）画出电路的向量模型（2）选定网孔电流方向，按公式列方程（3）用克莱姆法则求解3.使用条件及注意事项：同电阻电路。例1.已知下图所示电路处于正弦稳态，电感中储能为零，输入 试求稳态电流 和解：（1）作出电路系统向量模型（2）列网孔方程向量模型5.3节点分析法1.公式：根据电路模型（向量），节点方程可表示为：规律：（1）自导纳：连接在第K个节点上的所有导纳和，取“正” （2）互导纳：连接在节点K和J之间的导纳和，取“负” （3）流入节点K的所有激励电流源代数和（流入为“正”，反之为“负”）2.方法步骤：（1）画出电路向量模型，选参考点，定节点电压向量 （2）按公式列方程 （3）求解（用克莱姆法则）3.使用条件及注意事项：同电阻电路例1.在图示电路中，激励信号 ，元件参数如图所示，试求其正弦稳态响应解：（1）作出电路模型，选为参考点，（2）列节点方程：例2.已知图示电路为实际应用中的电容陪增器（设运放为理想运放），试求：（1）输入端阻抗（2）输入端获得的倍增电容解：（1）作出电路向量模型（2）列写结点方程：三.电路定理应用1.代文宁定理和诺顿定理：（1）定理：对任意LTI正弦稳态二端口电路，在同频率信号作用下，总可以等效为下述代文宁电路或诺顿电路，显然它是时域电阻电路的推广。（2）应用条件：i.LTI正弦稳态电路

ii.激励信号必须同频率（3）方法步骤：i.作出电路的向量模型

ii.应用等效变换法或端口法或参数计算法求出例：已知正弦稳态电路如图（a）所示，试求出ab端代文宁等效电路解：（1）作出电路的向量模型如图（b）所示（2）求开路电压结论：任何一个正弦稳态线性网络均可以等效为上述两种模型。2.迭加定理：（1）同频率信号：W域迭加，向量运算 （2）不同频率信号：分别在W域计算，t域迭加例3.已知电路中，激励电压源，试求输出响应解：因为激励信号，不是同频率信号，所以不能在w域直接用迭加定理，故只能在时域用迭加定理。（1）单独作用：电路模型为：5.4正弦电路的功率设二端口网络N的端压及电流为：二.平均功率：1.二端网络平均功率P：2.R、L、C元件的P：三、无功功率Q：1.二端网络的无功功率Q定义：在工程上为了表征储能元件与电源间的能量交换，定义无功功率Q为：2.R、L、C元件的无功功率（1）电阻：（2）电感的无功功率：（3）电容的无功功率（4）视在功率S：1.定义：在电子技术中，把或称为视在功率，以示与平均功率有区别，单位：伏安（VA），即：视在功率反映了电器设备的容量。例如：发电机是按照额定电压、额定电流设计的，超过电压、电流的额定值，将损坏设备。所以通常用视在功率表示容量。2.P、Q、S间关系：五.复功功率例：已知图示电路处于稳态，试求P、Q、S六.功率因数1.定义：正弦稳态电路的功率因数是电压与电流间相位差的余弦函数，即：因为平均功率：而视在功率：所以2.提高功率因数的原因：（1）充分利用发电机的容量 因为发电机是按额定功率（即）设计的，S大则P大，但UI是额定的，只有大，即提高（2）降低电线上损耗（3）提高功率因数的方法： 在部改变原始负载的电压、电流的情况下，提高功率因数的方法是在原负载的两端并联电容。因为原负载一般呈感性，用电容的无功功率来补偿感性负载的无功功率，以减小或消除与电源间的能量交换。理论上可以证明，并联电容C为：例：试求下图所示电路获得最大功率的条件及最大功率。()jwZUabs求源，外加电压独立源为，令左边电路内断开&05.5非正弦周期信号激励下电路的稳态分析一.非正弦周期信号的傅立叶级数表示：

1.傅立叶级数表示

显然只要傅立叶系数确定，则也就可表示为傅立叶级数（即：直流分量和各次谐波分量）2.常用非正弦周期信号的傅立叶级数表示：（1）方波：（2）等腰三角波：（3）锯齿波：（4）正弦整流全波：二.稳态响应：方法步骤：（1）将作傅立叶级数展开。 （2）对每一个谐波信号作向量求解

i.可先求频率特性

ii.求稳态响应向量

iii.求出各分量 （3）在时间域使用迭加定理的稳态响应解：（1）将用傅立叶级数表示：（2）利用迭加定理求解三.非正弦周期信号的有效值1.定义：2.公式：四.功率：设二端网络的电压，电流为：1.瞬时功率：2.平均功率：

这就是说周期正弦电路中的平均功率等于直流分量的功率与各次谐波的平均功率之和。3.视在功率：例：二端网络的端钮电压、电流为：求二端网络吸收的功率。5.6谐振电路

谐振是电路在特定条件下出现的一种现象，它一方