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《数理方程》复习汇总分离变量法波动方程以下分别对波动方程的四种振动方式进行概述，其中对形式=1\*ROMANI进行详述，其他形式类推。形式=1\*ROMANIutt= 将u(x,t)中的x,t分离出来，其形式为：u式中X(x),T(t)分别表示仅与x,t有关的待定函数。由ux,t=XxX''(x)XT由边界条件知X(0)=X(l)=0已知λ≤0时没有当λ>0X由初值可知λX再将λ代入T(t)中得Tnuu代入初值得Anπa解得An，Bn后代入所设函数中即可求得关于形式=2\*ROMANIIutt=a2uxx0<x<l,t>0ux0,tu或直接设为u其中Anπa解得An，Bn后代入所设函数中即可求得关于形式=3\*ROMANIIIutt=a2uxx0<x<l,t>0u0,tu其中 A(2解得An，Bn后代入所设函数中即可求得关于形式=4\*ROMANIVutt=a2uxx0<x<l,t>0u其中 A(2解得An，Bn后代入所设函数中即可求得关于热传导方程同波动方程的分析相似，我们也分四种形式进行讨论。形式=1\*ROMANIut=a2uxx0<x<l,t>0u其中 C解得Cn后代入所设函数中即可求得关于u形式=2\*ROMANIIut=a2uxx0<x<l,t>0u或直接写成u其中 C解得Cn后代入所设函数中即可求得关于u形式=3\*ROMANIIIut=a2uxx0<x<l,t>0u其中 C解得Cn后代入所设函数中即可求得关于u形式=4\*ROMANIVut=a2uxx0<x<l,t>0u其中 C解得Cn后代入所设函数中即可求得关于u小结从以上的解题设题过程中我们可以看出：1.形式中的第一个式子决定了方程及解得基本形式；第二个式子，即边界条件决定了其方程的特征函数系的基本形式，其基本规律为：u0,t=0,uux0,tu0,t=0ux0,t第三个式子，即初值，其决定待定常数，其考察形式应该都是以上所罗列到的，如果考察其他形式，一般为其多次导数形式，对所设函数进行相应次数的求导即可。2.现在谈一下其解题中的“绿色”解题通道。一般地，鉴于考试时间的限制，不可出计算过于复杂的试题，其已知的初值的可能情况为：=1\*GB2⑴非确定函数φx,ψ此种情况较为好解，只需将其函数代名词代入方程中即可。=2\*GB2⑵特殊函数msinkπlx此种情况要注意观察试题形式，不可盲目带公式，以防增加计算量。回顾其形式=1\*ROMANI推导通解的过程，有：n=1∞nπa若φx,ψ例如：φn=1∴A∴u=3\*GB2⑶简单函数kx,kx2一般地，设φx为以上函数，ψx非齐次方程的解法有界弦的强迫振动方程设uf∴n=1由sinnπl再由傅里叶积分变换得u代入初值得Anu2.有源有限长杆的热传导方程u与波动方程相似，可得出：u小结以上只就（一）中的形式=1\*ROMANI进行了分析，其他形式与一中的分析方法完全一样，只需就相对应的特征函数系进行变换即可。在变换的过程中特别注意变换要彻底，即由边界问题决定的量要全部进行代换。非齐次边界条件问题波动方程u由线性可叠加原理，可将上式分解成uVtt已知V令U使新的未知函数满足齐次边界条件，即v只要ω考虑到计算的方便，我们取ω接下来我们可以得到v前面已解得vAnπa分别将解得量代入即可得所求方程的固定解u热传导方程u设uVt=已知V令UωvvC代入可得u补充齐次化原理若ωx,t;τ∂2ω则ux,t是初值问题utt令t则有形式∂由D`lambe