2023届贵州省贵阳市高考12月模拟性联考 数学（理）试题

2023届贵州省贵阳市第一中学高考12月备考模拟性联考理科数学一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，则表示的集合为（）A. B. C. D.2.复数，则（）A. B. C.2 D.53.某医疗公司引进新技术设备后，销售收入（包含医疗产品收人和其他收入）逐年翻一番，据统计该公司销售收入情况如图所示，则下列说法错误的是（）A.该地区2021年销售收入是2019年的4倍B.该地区2021年的医疗产品收入比2019年和2020年的医疗产品收入总和还要多C.该地区2021年其他收人是2020年的其他收入的3倍D.该地区2021年的其他收入是2019年的其他收人的6倍4.我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中一些数学用语可见，譬如“阳马”意指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥．某“阳马”的三视图如图所示，则它的最长侧棱与底面所成角的正切值为（）A. B.1 C. D.5.已知焦点在坐标轴上且中心在原点的双曲线的一条渐近线方程为，若该双曲线过点，则它的方程为（）A. B. C. D.6.已知直线与圆，则下列说法错误的是（）A.对，直线恒过一定点B.，使直线与圆相切C.对，直线与圆一定相交D.直线与圆相交且直线被圆所截得的最短弦长为7.以下关于的命题，正确的是（）A.函数在区间上单调递增B.直线是函数图象的一条对称轴C.点是函数图象的一个对称中心D.将函数图象向左平移个单位，可得到的图象8.在中，分别为角的对边，且满足，则的形状为（）A.直角三角形 B.等边三角形C.直角三角形或等腰三角形 D.等腰直角三角形9.小明家订了一份牛奶，送奶人可能在早上6：30~7：00之间把牛奶送到小明家，小明出门去上学的时间在早上6：50~7：10之间，则小明在离开家之前能得到牛奶的概率是（）A. B. C. D.10.已知符号函数，函数满足，当时，，则（）A. B.C. D.11.已知直线l与曲线相切，切点为P，直线l与x轴、y轴分别交于点A，B，O为坐标原点．若的面积为，则点P的个数是（）A1 B.2 C.3 D.412.如图,已知四面体ABCD中,,,E,F分别是AD,BC的中点．若用一个与直线EF垂直,且与四面体的每一个面都相交的平面去截该四面体,由此得到一个多边形截面,则该多边形截面面积的最大值为（）A.1 B. C.2 D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知向量，若，则___________．14.展开式中含项的系数为______．15.若，则a的值为___________．16.抛物线的焦点为F，直线l过点F且与抛物线交于点M，N（点N在x轴上方），点E为坐标轴上F右侧的一点，已知，，若点N在双曲线的一条渐近线上，则双曲线的离心率为________．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.随着人民生活水平的不断提高，“衣食住行”愈发被人们所重视，其中对饮食的要求也愈来愈高．某地区为了解当地餐饮情况，随机抽取了100人对该地区的餐饮情况进行了问卷调查．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图）解决下列问题．组别分组频数频率第1组140.14第2组m第3组360.36第4组0.16第5组4n合计（1）求的值；（2）求中位数；（3）若将满意度在80分以上的人群称为“美食客”，将频率视为概率，用样本估计总体，从该地区中随机抽取3人，记其中“美食客”的人数为，求的分布列和数学期望．18.已知数列是递增的等比数列．设其公比为，前项和为，并且满足，是与的等比中项．（1）求数列通项公式；（2）若，是的前项和，求使成立的最大正整数的值．19.如图,在四棱雉P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,平面ABCD,,（1）求证:平面平面PBC;（2）试问在线段PC上是否存在一点M,使得二面角的大小为,若存在求出的值;若不存在,请说明理由．20.已知椭圆过点，且离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线与椭圆交于不同的两点P，Q，那么在x轴上是否存在点M，使且，若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由．21.已知．（1）讨论的单调性；（2）若对恒成立，求整数a的最小值．请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位淔答题．如果多做，则按所做的第一题计分．22.在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．（1）求直线和曲线的直角坐标方程；（2）从原点引一条射线分别交曲线和直线于两点，求的最大值．23已知函数．（1）当时，求不等式解集；（2）设且的最小值为m，若，求的最小值．2023届贵州省贵阳市第一中学高考12月备考模拟性联考理科数学1.【答案】C2.【答案】C3.【答案】D4.【答案】C5.【答案】A6.【答案】B7.【答案】D8.【答案】A9.【答案】D10.【答案】C11.【答案】C12.【答案】A二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.【答案】14.【答案】3015.【答案】116.【答案】##三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.随着人民生活水平的不断提高，“衣食住行”愈发被人们所重视，其中对饮食的要求也愈来愈高．某地区为了解当地餐饮情况，随机抽取了100人对该地区的餐饮情况进行了问卷调查．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图）解决下列问题．组别分组频数频率第1组140.14第2组m第3组360.36第4组0.16第5组4n合计（1）求的值；（2）求中位数；（3）若将满意度在80分以上的人群称为“美食客”，将频率视为概率，用样本估计总体，从该地区中随机抽取3人，记其中“美食客”的人数为，求的分布列和数学期望．【答案】（1）；（2）（3）分布列见解析，数学期望为.【解析】【分析】（1）根据频率和频数的定义结合频率分步表可求得，根据频率分步直方图中的含义即可求得；（2）根据频率分布直方图结合中位数的估计方法即可得到答案；（3）由题意可得，利用二项分布概率公式求分布列和数学期望即可.【小问1详解】由题意可得第四组的人数为，所以，，又内的频率为，所以，内的频率为，所以.【小问2详解】由频率分布直方图可得第一、二组频率之和为，第一、二、三组频率之和为，故中位数在之间，设中位数为，则：，解得，故中位数为.【小问3详解】由频率分布表可得该地区抽取“美食客”的概率为，由题意可取，且，所以，，，，所以的分布列为012318.已知数列是递增的等比数列．设其公比为，前项和为，并且满足，是与的等比中项．（1）求数列的通项公式；（2）若，是的前项和，求使成立的最大正整数的值．【答案】（1）（）（2）5【解析】【分析】（1）根据等比数列的性质结合条件是与的等比中项得到，联立条件得到和，根据题目条件和等比数列的通项公式即可求解.（2）根据（1）求得，利用错位相减求和得到，从而得到，通过函数法判断出是单调递减数列，即可求解.【小问1详解】因为是与的等比中项，所以，则由题意得：，即，解得：或，因为数列是递增的等比数列，所以，即，，所以，故数列的通项公式为（）.【小问2详解】由（1）得：（），则，①即，②则得：即（），所以（），设，则（），因为在上单调递减，所以是单调递减数列，又有，，所以当且时，成立，故使成立的最大正整数的值为.19.如图,在四棱雉P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,平面ABCD,,（1）求证:平面平面PBC;（2）试问在线段PC上是否存在一点M,使得二面角的大小为,若存在求出的值;若不存在,请说明理由．【答案】（1）证明见解析;（2）存在,.【解析】【分析】(1)先由长度之间关系证明,再证明平面,根据面面垂直判定定理即可证明结论;(2)先建立空间直角坐标,设,写出M点坐标,分别求出平面及平面的法向量,进而求出二面角大小的余弦值,使其为,解出的值,进而求出的值即可.【小问1详解】证明:,,,四边行为平行四边形,,又平面,,而,且BD,PD含于面PBD平面,又平面,平面平面;【小问2详解】由(1)知,,且平面ABCD,故以D为原点,分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示空间直角坐标系,则,假设在存在一点满足条件,设,,,即,设为平面的法向量,则,即,即,令,可得,平面ABCD,不妨令平面的法向量为,由二面角的大小为,,或（舍去）,存在实数,即,解得,使得二面角的大小为．20.已知椭圆过点，且离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线与椭圆交于不同的两点P，Q，那么在x轴上是否存在点M，使且，若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）详见解析【解析】【分析】（1）根据条件得到关于的方程组，即可求得椭圆方程；（2）首先直线与椭圆方程联立，利用韦达定理表示线段中点坐标，再根据,以及，转化为坐标表示，代入韦达定理后，即可求【小问1详解】由条件可知，，解得：，，所以椭圆C的方程是；【小问2详解】假设在轴上存在点，使且，联立，设，，方程整理为，，解得：或，，，则线段的中点的横坐标是，中点纵坐标，即中点坐标，，则，即，化简为，①又,则，，整理为，，化简为②由①得，即，代入②得，整理得③，又由①得，代入③得，即，整理得，即.当时，，当时，，满足，所以存在定点,此时直线方程是，当定点,此时直线方程是.21.已知．（1）讨论的单调性；（2）若对恒成立，求整数a的最小值．【答案】（1）分类讨论，答案见解析；（2）2【解析】【分析】（1）求导，根据和两种情况讨论.（2）把不等式分离参量得，求函数的最大值，但是求导后求不出具体的根，所以设隐零点，整体代入求解.【小问1详解】的定义域为，（ⅰ）当时，，∴在上单调递增；（ⅱ）当时，令，令，∴当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．【小问2详解】由，可得：，∵，∴原命题等价于对恒成立．令，∴，令，∴，∴在上单调递增．又，故存在唯一的，使得．当时，，∴，∴在上单调递增，当时，，∴，∴在上单调递减．∴，∴时，恒成立．∴，又，∴a的最小整数值为2．【点睛】求某个函数的单调性时，发现极值点不容易求出，则用隐零点解决.第一步设出隐零点，然后代入得到等式，第二步根据设出的隐零点得到函数的单调区间，求出函数的极值第三步极值分离出代入，化简成新的表达式第四步求的最值.请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位淔答题．如果多做，则按所做的第一题计分．22.在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．（1）求直线和曲线的直角坐标方程；（2）从原点引一条射线分别交曲线和直线于两点，求的最大值．【答案】（1）直线的直角坐标方程为：，曲线的直角坐标方程为：.（2）【解析】【分析】（1）消去参数可得曲线的直角坐标方程；利用两角和的余弦公式和，可得直线的直角坐标方程；（2）设射线方程为（），将曲线的直角坐标方程化为极坐标方程，并将代入可得，将代入可得，再利用辅助角公式可求出的最大值.【小问1详解】由，得，即,所以曲线的直角坐标方程为：.由，得，得，即，将，代入得，所以直线的直角坐标方程为：.综上所述：直线的直角坐标方程为：，曲线的直角坐标方