2023年数一真题试题答案

2023年全年硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1～1０小题,每小题4分,共４0分,下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目规定,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)当时，与等价的无穷小量是()（A).（B).(C)．(D).答案：(B).(2）曲线渐近线的条数为(）（A)．(B).(C）.(Ｄ).答案：（D）．(３)如图,连续函数在区间上的图形分别是直径为1的上、下半圆周,在区间上的图形分别是直径为2的上、下半圆周,设则下列结论对的的是()(A)．(Ｂ)．(C）．（D).答案:(C）.(４)设函数在处连续，则下列命题错误的是()(A)若存在,则.（Ｂ)若存在，则.（Ｃ)若存在,则存在.（D)若存在,则存在.答案：(D）.(５)设函数在上具有二阶导数,且,令,则下列结论对的的是（）(A)若，则必收敛.（B)若,则必发散.(C)若,则必收敛.(D）若,则必发散．答案：（D)．(6）设曲线(具有一阶连续偏导数）,过第Ⅱ象限内的点和第Ⅳ象限内的点,为上从点到点的一段弧，则下列积分小于零的是()(A).（B).(C).(D).答案：(Ｂ)．(7）设向量组线性无关,则下列向量组线性相关的是(）（A).(Ｂ）.(Ｃ).（Ｄ).答案:(A)．(8）设矩阵，,则与(）(Ａ）协议,且相似.（B)协议,但不相似.（C)不协议，但相似.(Ｄ)既不协议,也不相似.答案:(B).(9）某人向同一目的独立反复射击，每次射击命中目的的概率为,则此人第4次射击恰好第２次命中目的的概率为(）(A).(B).(C).(D).答案:(Ｃ).（1０)设随机变量服从二维正态分布,且与不相关,分别表达的概率密度,则在条件下，的条件概率密度为()(A).(B)．(C).(D).答案：（Ａ）.二、填空题:1１~16小题,每小题4分，共24分,请将答案写在答题纸指定位置上．（１1).答案：．(１2)设为二元可微函数，则.答案：.(1３）二阶常系数非齐次线性微分方程的通解为．答案：非齐次线性微分方程的通解为.(１4)设曲面,则.答案:.(15)设距阵则的秩为.答案:(1６)在区间中随机地取两个数,则这两数之差的绝对值小于的概率为.答案:三、解答题：17～２4小题,共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算环节.(17)（本题满分11分)求函数在区域上的最大值和最小值．答案:函数在上的最大值为,最小值为.(18)(本题满分10分)计算曲面积分其中为曲面的上侧．答案：.(19)（本题满分11分)设函数，在上连续，在内二阶可导且存在相等的最大值,又＝,=,证明:存在使得证明:设,由题设存在相等的最大值,设，使.若,即与在同一点取得最大值，此时，取,有;若,不妨设,则,,且在上连续,则由零点定理得存在使得,即；由题设=,＝，则，结合，且在上连续,在内二阶可导,应用两次使用罗尔定理知：存在使得.在再由罗尔定理,存在使.即.(20)(本题满分10分)设幂级数在内收敛,其和函数满足.(I)证明.(IＩ）求的表达式．答案:(I)证明：对,求一阶和二阶导数，得代入，得.即.于是从而(II).(21）(本题满分1１分)设线性方程组与方程有公共解，求得值及所有公共解.答案:当时，,所以方程组的通解为，为任意常数,此即为方程组(１)与(2）的公共解.当时，,此时方程组有唯一解,此即为方程组(1)与(2)的公共解．(２２)(本题满分１1分)设阶实对称矩阵的特性值是的属于的一个特性向量.记,其中为3阶单位矩阵．（I）验证是矩阵的特性向量,并求的所有特性值与特性向量;(IＩ)求矩阵.答案：(I)由,可得，是正整数，则,于是是矩阵的属于特性值特性向量.所以的所有的特性向量为:相应于的全体特性向量为,其中是非零任意常数，相应于的全体特性向量为,其中是不同时为零的任意常数.（II).(23）(本题满分１1分）设二维随机变量的概率密度为(I)求;(II)求的概率密度．答案:（I).(II)(２4)(本题满分11分)设总体