数学建模2011年题网评卷子

参（由填写题 小麦发育后期茎秆抗倒性的数学模 要问一依所对2007抗倒伏数进计算，过合理设并进行相关分析发现了影响该指数的茎秆外部性状；又基于生物力学原理，建立了小麦茎秆抗倒伏指数。由该计算的抗倒伏指数与建议计算结果具有一致性，且因不需要做力学试验，可操作性更强。对问题二，对题目提供的试验数据，借助SPSS软件，对小麦在最易引起计算相应抗倒伏指数为：矮抗58≤TM≤联丰85≤周18≤国信≤智9998早，其中国信和智9998早的抗倒伏指数明显劣于其它品种，发生倒伏。也可用以验证茎秆各因素指标之间的2007年蜡熟期各品种的数据压风速关系求得临界风速，矮抗58（2006.10.10）倒伏所需风速为15.8m/s（7级）、矮抗58（2006.10.25）为20.22m/s（8级），新麦20811.48m/s（6级）1811.52m/s（6级）。方案和流程，明确了需要的试验数据和数据处理方法。并结合影响小麦茎高抗倒性与提高产量间的出发，对小麦育种提出了合理化的建议。:一、题重相关试验参考数据的，只能在作较多假设下进行粗略研究。需就已有数据解决以下几个依据有关中判断茎秆抗倒性的抗倒伏指数，对提供的数据，建立各品种小麦的茎秆抗倒伏指数。对于缺乏有关参数的年份，可先进行200819998品种的小麦都发生倒伏，而其它品种没有发生倒伏的原因给应用(4EI，麦穗自重下和风载作用下的对2007年腊熟期各品种数据进行计算，有些参数可依据需要作某些假设。期各品种的抗倒伏风速(取小数后两位)。二、型假假设不考虑病、虫害等自然对小麦茎倒的影响三、号说茎秆抗倒M茎秆机械P抗折力（题目中指茎基部第二节的抗折力单茎鲜重（茎秆鲜重与穗鲜重之和茎秆穗鲜茎基部第i节鲜重（i1,2,3,...,6单茎干重（茎秆干重与穗干重之和茎秆穗干茎基部第i节干重（i1,2,3,...,6H株高（茎基部到麦穗顶部的长度H茎秆长度(去穗H穗茎基部第i节节间长（i1,2,3,...,6H单茎重心高度（含穗、即该完整植株力平衡点到基部的穗重心到基部的H茎秆重心高度（去穗、即茎秆重心到基部的长度茎基部第i节重心到基部的长度（i1,2,3,...,6σ茎秆弯曲至破坏时所能承受的最大弯M茎秆弯曲至破坏时所能承受的最大W茎秆抗弯l受力杆的D茎秆t茎秆g重力加ω距基部高度为x处的茎秆δ茎秆顶端F风

四、题分抗倒伏指数是植株重量、重心高度和茎秆机械强度的综合体现，它能够用基部的长度之间的关系，可求出单茎重心高度；由抗弯强度结合实验过程可以建立茎秆机械强度与茎秆的外径、壁厚间的关系式。这样抗倒伏指数结合附件一中数据，计算各品种小麦的茎秆抗倒伏指数，以此表征其抗倒2008改造后再来计算。根据2008造，此时茎秆的抗倒伏指数定义为：单茎干重和株高的乘积与茎秆抗弯截面系数之比。采用2007年的试验数据，借助SPSS软件，对小麦在最易引起倒伏期（素是影响抗倒伏指数的主要因素、哪些是次要因素；借助SPSS软件可求出小麦茎秆性状的各个因间的相关度。对有关数据进行分析，并结合各因素与抗倒伏指数间的相关性，可以对2008年国信1号与智9998品种的小麦都发生求不同单穗重时的小麦理想株型结构，即要在满足特定条件下，对小麦茎态变量和目标函数。设计变量可以取对抗倒性有重要影响的性状指标。约束条件可以为长度约束和强度约束等各种必要的约束茎倒的原因是茎秆与穗的自重和风载的综合作用，超过了小麦茎秆的极限问题五是要在问题四模型的基础上，对模型中各参数利用已有数据或进行2007界风速，化成风级后观察是否符合实际。同时通过对照性试验，用平均临界风速的大小来比较样本之间的抗倒伏能力大小关系。小麦茎秆抗倒伏性试验中，存在着缺乏相关试验参考数据的，且各全面、详尽。我们认为好的试验方案应该是通过较为简便、可靠的方法到问题一的建模及求

五、的建立与求小麦单茎鲜重等于茎秆鲜重（即茎秆各节鲜重之和）与麦穗鲜重之和，由下式表示GxGsxGjxGsx i 其中，Gx为单茎鲜重；Gjx为茎秆鲜重；Gsx为穗鲜重；Gix为茎基部第i节将小麦理想化为竖直的杆状结构，但其整个植株的质量分布并不均匀，要求其茎秆重心高度（含穗）就必须将整个植株分为不同的部分，即：麦穗穗重心到基部的长度用Hsz表示；茎基部第i节重心到基部的长度用Hiz示；单茎重心高度，即该完整植株力平衡点到基部的长度用Hz表示，如 所示图1 以根部原点O为参考点，由力矩平衡原理得：HGsxHszGixHiz

i x其中，Hz为单茎重心高度；Hsz为穗重心到基部的长度；Hiz为茎基部第由附件《2007年数据材料的补充说明》知，茎秆的机械MjM

其中，P为茎节（试验中为茎基部第二节）的抗折力；g为重力加速度。学资料》知，该试验中茎秆弯曲至破坏时所能承受的最大弯曲正应力σσW

WπD4D2t4

M为最大弯矩；W为茎秆抗弯截面系数；lt为茎秆壁厚[1]由（3）、（4）、（5）可得MπσD4D2t4

由于试验中l5cmσ与茎秆本身的生物材料性质有关，对t相关。也就知道茎秆机械强度与茎秆（茎基部第二节）的外径、壁厚相关。（4）抗倒伏指数是植株重量、重心高度和茎秆机械强度的综合体现，研究表明单茎重心高度的乘积与茎秆机械强度之比。抗倒伏指数越小，抗倒性越强[3]结合上述（1（2（6）可建立茎秆抗倒伏指数模型CLIGM GGsHGsHszGi i G （G 4D2t 其中CLI为茎秆抗倒伏2007年试验的小麦的指数计算将附件《 年测量数据》代入（7）进行计算，得到各品种小麦不同时期的抗倒伏指数如表1表 2007年试验的小麦茎秆抗倒伏指品茎秆抗倒开花灌浆腊熟58（10.10种58（10.25种1可知：①各品种小麦茎秆抗倒伏指数由开花期到腊熟期依次递增，种）≤周麦18≤新麦208；③由不同播种时间的矮抗58的茎秆抗倒伏指数知，新建抗倒伏指数模型及2008由于附件《 年测量数据》中缺少某些实验数据，如茎秆机械强度等要计算2008年试验的小麦茎秆抗倒伏指数，就必须对（7）进行改造由由替代茎秆的机械强度 。在此基础上，对以上茎秆抗倒伏指数模型中的参CLIGgW GgGsg HH

i WπD4D2t4 其中，Gg单茎干重（茎秆干重与穗干重之和）Gsg穗干重；Gig茎基部第节干重H株高Hs穗长Hj茎秆长将附件《2008年测量数据》代入（8）进行计算，得到各品种小麦在不同时期的抗倒伏指数如表2所示：表 2008年试验的小麦茎秆抗倒伏指品茎秆抗倒品茎秆抗倒国9998258≤TM≤8518≤国信9998早；②矮58、TM、联8518的抗倒伏指数相近，都较小，说明它们的抗倒伏性较好；③国信、智9998早的抗倒伏指数2011年试验将附件《 年测量数据》中各数据代入（7）进行计算，得到各种小麦在不同测量时间的抗倒伏指数如表3表 2011年试验的小麦茎秆抗倒伏指品茎秆抗倒2011.5.42011.5.152011.5.2866由表3可知：①各品种小麦茎秆抗倒伏指数随时间推移逐渐递增种小麦茎秆抗倒伏指数由小到大为：矮抗58≤豫麦18≤郑麦9023≤周麦22≤温麦6号≤周麦18≤平安6号。偏相关分析就是在研究两个变量之间的线性相关关系时控制可能对其产生助SPSS软件，对小麦在最易引起倒伏期（腊熟期）的茎秆抗倒伏指数与茎秆哪些是次要因素。抗倒伏指数与外部形态特征间的偏相关系数如表4所示：表 抗倒伏指数与外部形态特征间的偏相关系--------借助统计工具 软件，对这些因素进行相关的统计分析，即可求出秆性状的各个因素间的相关性。求出的相关系数如表5表 -------------------------------------------11 年各品种小麦倒伏与否的原因分由表2可知1号与智9998早的抗倒伏指数相明显四个品种的小麦的抗倒伏指数说明它们的抗倒伏性较差再对 年的数5.2.1的分析结果——抗弯截面系数与茎秆抗倒伏指数成显著正小麦茎秆优化的数学模型优化设计是一种寻找确定最优设计方案的技术。该问题中，探讨特定单穗设计变量为自变量，优化结果的取得是通过改变设计变量的数值来实现的。Xx1,x2,...,x6 其中x1表示穗重，单位gx2表示单茎鲜重，单gx3表示穗长，位cm；x4表示株高，单位cm；x5表示基部第二节粗（外径），单位cm；x6表示壁厚，单位cm。每个设计变量都有变化范围，其可能会有上下限，也可能只有单方面的限制，即只有上限或只有下限，这即为约束条件：xixi i 0.444x30.877x50.991x63.709 x1 x 4x3 50x4 0.2x0.444x

2x60.877x

3.709 其中，Gsx1.19,2.06,2.46,2.56,2.75,2.92目标函数是最终的优化目的，它必须是设计变量的函数，即改变设计变量minf y表示茎秆抗倒伏指数CLI最终的优化数学模型可表达为：minf x1 x 4x3s.t. 50

0.2x5 2x0.444x0.877x60.95

3.709优化流程如图2

图 优化流程 优化结果应能经得起实践检验，不能与普遍的经验结论相。比如株高由于小麦茎秆是属于大挠度材料，故将小麦茎秆按弹性材 由于受力复杂，可先做如下简化分解处理小麦茎秆的穗长与其株高相比，是较短的，而其质量却占据整株质量的大部图 茎秆只受麦穗压力EIω''MxFcrδω 可解得其临界压力

Fcr

π22l

带入（12）其挠曲线方程ωδ1

πx2l 式中l为受力杆的长度，这里等于小麦株高H；δ为自由端的挠当考虑小麦茎秆的质量时，仍把麦穗质量作集中力作用在小麦茎秆顶端处理。而把茎秆当作是一端固定、一端自由的均质长细杆，横截面为圆环。qcr为Pcr为临界状态下麦穗的重力。 P8E λ λ2为茎秆系数，与秆长、穗位、截面尺寸和形状等茎秆性状有关。Qqcr 由题目提供的各性状参数数据就可计算出求得λ2，另外对于同一种作物的不同品种（这里假设同一种作物的弹性模量基本相同，2值越小， 的稳定性越好，抗倒伏能力越强，因此λ2值可作为同一种作物不同品种间茎秆倒伏能力的综合评价指标。代入值后简化为PcrEI

对于整个麦田地来说，单株小麦茎秆的迎风面很小，与麦穗部分受力相比可图6麦秆受风载作用示意图ωFf

3l

考虑风载荷与麦穗重对茎秆的作用，不计茎秆自重。茎秆看作是下风载荷Ff，如图7所示： 茎秆距离基部x处任意横截面上的所受弯矩为：MxGs(δω)Ff(l 将Mx代入茎秆的挠曲线近似微分方程。此时可将风载荷和麦穗重力载荷各 ω

πx3lxδ1cos 2l 将其求二次导数，代入挠曲线近似微程（14）EIδπ

πx

δω 求解得

4l2cos Ff x Gs Ff 6EIδcosπF

P

EIδπ2 Px23lx 4l 对于距离基部x处弯曲正应力σ，其计算为σ(x)MWWx为茎秆距离基部x处横截面的抗弯截面

(

Q)(δω)

(lσ(x)

π[D4(D2t)4 节壁厚、穗重、鲜重等茎秆内部性状及风载荷有关，且各因素相互作用，共同影响着弯曲应力σ(x)，而当σ(x)σcr时，茎秆是稳定平衡的，而一旦某截的弯曲应力σ(xσcr时，则在该处发生弯折，因此σ(x)也可作为抗倒伏能力作用在麦穗穗头上，因此在只考虑麦穗自重和风载作用下，选用模型四，利用（23），便可求得不同品种受风载的平均临界载荷Ffcr图 求解抗倒伏临界风速流程可用（23）来计算临界风速。由附件二FwS (a Sva、ba0.4841b0.2238Gsxν Ffcr16300.4841

根据（23）、（27），临界风载下列因素有关表 与模型相关参数的取值与合理假设因取弹性模量20071.319（E越大，使其压截面惯性矩与直D、壁厚tIπD4D2t4杆茎刚度临界时麦秆顶点处的挠度0.3横截面距基部的高度取各品种基部第二节的高取茎重心（含穗）的2麦穗穗头的鲜量取单穗代入上表数据后，求得临界风速后，取平均值。得2007年数据中腊熟期各品表 2007年腊熟期各品种的抗倒伏风品EI(MPaI(mm^4平均临风载荷FfcrN风速V(m/s)风7（疾风8（大风6（强风6（强风从表7可以看出，对于要使小麦吹倒的风级与我们接近。同时不难看出，供试品种为矮抗58的平均临界风速要高于对照品种周麦l8、新麦208，说影响小麦茎倒的因素可分为内部因素和外部因素，小麦发生茎倒通常是内外因素综合作用的结果。各因素如图9所示

图 影响小麦茎倒的因在对小麦茎秆的抗倒伏性与其有关因素进行分析时，存在着缺乏相关试验参考数据的，且各年的参数选取也不一致，这是由于农业数据一年只有一为简便、可靠的方法到与茎秆抗倒伏性最为相关的试验数据，这主要由小目前对于小麦抗倒性机理的探索大体可分为两个研究方向，即用理论拟和通过倒伏程度相关性状系统分析。具体有以 面①不同品种（系）、不同密度下、在不同期、经历不同降雨量的降①田间试验：在相同基础地力的条件下，将具有代表性的不同品种（系）小麦以多种密度进需测量的数试验中需要测量的数据包①每一定数量的田间小麦植株中发生倒伏的植株数②气候因素方面的数据：在小麦最易发生倒伏的时期的风力状况和降雨量等③植株外部形态特征方面的数据：茎秆各节的长和粗、壁厚、单穗鲜（干重、茎秆鲜（干）重、抗弯强度、机械强度、单茎重心高度（含穗④负重试验中的应力及其对应的小麦茎秆的应变①由统计分析的方法，研究最易发生倒伏的小麦品种及其特性、风力和降