2021-2022学年江苏省常州市金坛区高一下学期期末数学试题【含答案】

2021-2022学年江苏省常州市金坛区高一下学期期末数学试

题

一、单选题

i

zx------

1.已知复数1-i（i是虚数单位），若复数z与马在复平面上对应的点关于原点对

称，则复数z为（）.

1-i1+i

A.2B.2

-1-i-1+i

C.2D.2

A

【分析】利用复数运算法则化简复数4,得到其在复平面上的对应点为人记复数z

在复平面对应点为8,由于点4、8关于原点对称，得8的坐标，即可求得复数z.

ii（l+i）-1+i11.

...z-=_________/—____________।__j

【详解】解：，-i（l）0+i）222

4」-）

则4在复平面上的对应点为2'2

设z在复平面上的对应点为B,由于点工、8关于原点对称

即复数z为.2

故选：A.

2.运动员甲10次射击成绩（单位：环）如下：7,8,9,7,4,8,9,9,7,2,则

下列关于这组数据说法不正确的是（）.

A.众数为7和9B.平均数为7

C.中位数为7D.方差为『=4.8

C

【分析】根据众数的含义可判断A;计算出平均数判断B,算出中位数判断C;计算出方差

判断D.

【详解】由题意，这组数据中7和9都出现3次，其余数出现次数没超过3次，

故众数为7和9,A正确;

7+8+9+7+4+8+9+9+7+2”

-----------------------------------------=7

计算平均数为10，故B正确；

将10次射击成绩从小到大排列为：2,4,7,7,7,8,8,9,9,9,

-^-=7.5

则中位数为2,故C错误：

?=—[(7-7)2X3+(8-7)2X2+(9-7)2X3+(4-7)2+(2-7)2]=4.8

方差为10,

故D正确，

故选：C

3.已知m,”是两条不同的直线，«,P,/是三个不同的平面，则下列结论正确的

是().

A,若"〃/〃，w//cz,则〃〃aB.若加01，。，则初尸/

all

C,若B]丫，则。〃力D.若加〃〃，P,mlat则

D

【分析】根据平面的基本性质判断A、B、C,由线面垂直、面面平行的性质判断D即

可.

【详解】A：〃?//〃，m"a,则〃〃a或〃ua,错误；

B：wla,a'。,则团//£或机u77,错误；

C：a'/,2,则名夕相交或平行，错误；

D：mH",mya,则又a〃夕，故正确.

故选：D

4.甲、乙两人独立地解决某个数学难题，甲解决出该难题的概率为0.4,乙解决出该

难题的概率为0.5,则该难题被解决出的概率为().

A.0.9B.0.8C.0.7D.0.2

C

【分析】求出甲乙两人分别解决不了难题的概率，即可求得该难题不能被解决即甲乙

两人同时都解决不了该难题的概率，根据对立事件的概率计算，可得答案.

【详解】由题意可知甲不能解决该难题的概率为1-0.4=0.6,

乙不能解决出该难题的概率为1-65=0.5,

故该难题被解决出的概率为1-66X0.5=0.7,

故选：C

一五。,tan222.5°

5.已知"-2"°slS'n'),1+tan222.5°,c=sin22°cos240+cos22°sin240,

则a,h,c的大小顺序为().

A.b>a>cB.c>b>aC.c>a>bD.b>c>a

B

【分析】利用和差角正弦公式及商数关系可得"=sin44。、6=sin45。、c=sin46。，根

据正弦函数的性质判断大小.

【详解］〃=cosl°sin450-sinl°cos45°=sin44。，

,1-tan222.5°cos222.5°-sin222.5°…

b=-----；-----=——；----------；-----=cos45°=sin45°

1+tan222.5°cos222.5°+sin222.5°

c=sin22°cos240+cos22°sin24°=sin46°.

所以

故选：B

6.设平面向量"B满足忖=12,b=(2^y£%=i8,则B在"上投影向量的模为

().

335/|

A.2B.2C.3D.6

A

【分析】表示出坂在Z上投影向量，结合己知条件忖=12即可求得答案.

a-ha1一

―二—,_——Q

【详解】由题意可知：B在］上投影向量为51|°|8

|1^|_1|2=A

故否在“上投影向量的模为88X2,

故选：A

7.如图，一个底面半径为2a的圆锥，其内部有一个底面半径为〃的内接圆柱，且此

内接圆柱的体积为6兀。,则该圆锥的体积为().

2638G3

A.3mB.3c.4Gg'D.8扃^

B

【分析】作出该几何体的轴截面，求出内接圆柱的高，利用三角形相似求出圆锥的高,

即可求的其体积.

【详解】作出该几何体的轴截面如图示：为圆锥的高,

设内接圆柱的高为〃，而BC=2a,BD=r=a,

因为内接圆柱的体积为6兀°\即放"=百兀/，

则h=y/3at

hDC

由于4B〃ED,故A。巡CED,则—8C,

\!?)ala-a

即AB2a,故AB=2出a,

K=-?tx(2a)2x2Via=na)

所以圆锥体积为33

故选：B

8.在A48C中，角”，B,C的对边分别为a,b,c,的面积为若

4s=0+c-y-a2则角A的值为()

27171

A.3B.2

nn

C.§D.4

B

【分析】由4s=("0)--/可得26csin4=〃+2bc+c2-/，利用余弦定理结合二倍角

.AAA

sin—=cos—,tan—=1t

公式化简，即可得222,进而求得答案.

【详解】由4s=S+c)一〃-可得：2历5出4=62+2儿+/_。2,

即26csinA=26ccosA+2bcgpsinA=cosJ+l,

2sin—cos—=2cos2一

所以222

-cH’osin幺c",tad

因为小(0,兀)，故2,则222

AjrA7T,n

Je(0,7r),-e(0,-)—,A=—

由于22故242

故选:B

二、多选题

9.设向量z,书满足H=W=i，且曰卜如,

则下列结论正确的是（）.

A.(词=9

B.

c|£-可=6D,B+34=V7

CD

【分析】根据平面向量数量积的运算性质可求得伍―3力2=>6晨石+9=13,从而求出

万石的值，进而可求出向量£,1的夹角余弦值，再由数量积的运算性质判断各选项式

子的正误.

【详解】解：旧六出E,1万-3田=加；

...他-35)2=1-6心8+9=13.

-7*1

ab=——

.・.2.

a»b：—1

\a\\b\2.

哂=4

又°wG»W］；...

/3.故选项4错误;

布++而离M7+2〉B+r=l,故选项8错误；

小一牛+B=百,故选项c正确；

.市+3+而+3尔=布+6弟+犷访,故选项o正确.

故选：CD.

10.某教育局对全区高一年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了200名学生，他

们的身高都处在从B,C,D,E五个层次内，根据抽样结果得到统计图表如下，则

下列结论正确的是（）.

男生身高情况扇形图

女生身高情况直方图

A.男生人数为80人

B.8层次男女生人数差值最大

C.。层次男生人数多于女生人数

D.E层次女生人数最少

ABD

【分析】根据条形图求出抽取女生人，得出抽取男生人，再对照图表判断选项中的命

题是否正确即可.

【详解】解：由条形图知，抽取女生学生有18+48+30+18+6=120（人），

所以抽取男生有200T20=80（人），选项A正确：

8层次的男生有8°X（1T0%-15%-20%-25%）=24（人），/，B,C,D,E五个层次男

生人数分别：8,24,20,16,12（人），与女生各层次差值分别为：

10,24,10,2,6,选项B正确；

。层次的男生有12（人），女生有18人，男生人数少于女生，选项C错误；

E层次的女生人数最少，选项D正确.

故选：ABD.

11.已知复数"，复数Z2=cos6+isin0,其中①①6为实数，i为虚数单

位，定义：复数2=平2=/（6）+8伊＞为，，目标复数„,其中7,）和g（e）分别为“目标

复数''的实部和虚部，则下列结论正确的为（）.

Ag（9）=QsinO+8cos。

B/（，）=ocosd+bsin。

/(e)=2sin(E-，1r

C.若(6人贝心=1,b=S

D.若”=1,b=6,且g(8)=2,则锐角。的值为7

ACD

【分析】根据z=z/2=/(，)+g(O)i,利用复数的乘法以及复数相等，可求得

f(e)=2sin&e]

/(e)，g3),即可判断A,B；根据16J利用两角差的正弦公式结合复数

相等，确定“力的值，判断c；利用g(')=2结合三角恒等变换，可求得锐角6的值,

判断D.

【详解】由题意知：z=*=I⑻+g⑻i=(a+6i)(cos办isin°)

=acos0-bs\n0-^(asin夕+bcos9)i

故/(6)=acos8—bsingg(0^=asin0+hcos0

故A正确，B错误;

/(，)=2sin仔厂

若[6Jfgpacos0-bsin0=cos-V3sin0y

贝6=6,故c正确；

若"1,b=6且g(')=2,gpg(<?)=sin6>+V3cos6>=2)

7T7T

2sin(6>+-)=20=-

即3,因为夕为锐角，故6,D正确，

故选：ACD

12.如图，二面角”一,一夕的大小为120。，点48在二面角的棱/上，过点4B分

别在平面&和尸内作直线/的垂线段4C和8。，且NC=6,80=8,AB=46，则

下列结论正确的是().

A.异面直线NC和8。的所成之角为120。

B.CD=14

C.点C到平面夕与点D到平面。的距离之比为3：4

12vHi

D.异面直线和。的之间距离是37

BCD

【分析】对A,根据线线角的范围判断即可；

对B,过/8C作矩形N8EC,根据二面角的性质结合余弦定理求解即可；

对C,根据二面角的性质可得点C到平面4与点O到平面々的距离之比为

JC-sinl200:5Z)-sinl200再计算即可;

对D,根据二面角的性质分析可得异面直线AB和CD的之间距离即B到平面的距

离，再根据面积公式列式求解即可

【详解】对A,因为线线角的范围为故A错误；

对B,过/8C作矩形/8EC如图，则力。〃£3,故NE8D=120°,且平面E8D

DE2=DB2+BE2-2DB-EB\.

由余弦定理，I2),解得DE=,148又.BlBE,故

221

CE1BE9CD=CE+ED=48+148=196f故CD=14,故B正确；

对C,由题意，CALI,BD11,故点C到平面夕与点。到平面a的距离之比为

4c•sin120°:6。sin1200=AC:BD=3:4,故c正确;

对D,同B中图，因为N8〃CE,故/8//平面COE,又CDu平面故异面直

线N8和。的之间距离即到平面COE的距离.因为NE8O为二面角a-、6,故

力8到平面COE的距离即B到平面的距离设为力，则根据三角形的面积公式有

-5E-5Z)-sinl20°=-EDh6r—,I2VHT

22,故24/3=2力7(解得A=37,故D正确；

故选：BCD

三、填空题

13.已知/,8是相互独立事件，且尸⑷=。3,尸巧）=。6,则P（"）=

0.12

【分析】根据对立事件的概率公式，结合相互独立事件的概率公式求解即可

【详解】由题意，尸⑻=尸（"）=尸⑷尸（2）=°.3x°.4=°」2

故0.12

14.如图，在四边形“88中，E,E分别是力。和8C的中点，若

-2

【分析】由E、/分别是8c的中点，根据相反向量的定义，易得项+E5=0,

丽+定=0,利用平面向量加法的三角形法则，我们易将向量乔分别表示为

而+阱+丽和丽+岚+丽的形式，两式相加后，易得到结论.

【详解】解：尸分别是8c的中点，

二.球+防=0,FB+FC=Qt

又•/AB+BF+FE+EA=6,

EF=AB+BF+EA（i）

同理EF=ED+DC+CF②

由①+②得，

2EF=JB+DC+EA+ED+BF+CF=AB+DC.

整理得：_而_反+2而=G.

又AAB+piDC+2EF=6

4=〃=—17+〃=—2

故答案为.-2

15.在“8C中，边AB、"C的长度分别为5、⑵现在从格❷电…，匕四｝这乡个正

整数中任选一个数作为边8c的长度，则A48C为钝角三角形的概率为

2

3

【分析】计算出使得8c为钝角三角形时，8c的可能取值有多少种，根据古典概型

的概率计算

【详解】由题意可知：7VBe<17,

从｛8,9,10,…,15,16｝这9个正整数中任选一个数作为边8c的长度，故有9种可能，

要使“8C为钝角三角形，需满足：52+BC2-122<0或片+口-叱葭。，

即或8c>13,故8c的取值可能是：8,9,10；或14,15,16,共6种可能，

6_2

故△48c为钝角三角形的概率为,

2

故3

16.已知三棱锥P-48C的四个顶点均在同一个球面上，且满足"8=8C=后，

ZABC=-

2,若该三棱锥体积的最大值为3,则其外接球的表面积为.

16兀

【分析】确定三棱锥体积取最大值时顶点的位置，根据体积求得其高，继而利用勾股

定理求得外接球的半径，即可求得答案.

【详解】如图示：

由题意知是等腰直角三角形，故/C为截面圆的直径，

则外接球的球心O在截面ABC上的射影为AC的中点D,

当ROQ三点共线，且尸，。位于截面Z8C的同一侧时，棱锥体积最大,

此时棱锥的高为PD,且高此时最大，

-xix>/6x\/6xPD=3cc>>

故32，即得PD=3,

设外接球半径为R,则。O=3-R,℃=R,

在RtZ\ODC中，==",故(3-R)2+3=/?2,

解得尺=2，所以外接球的表面积为4兀尸=16兀，

故16兀

四、解答题

17.一个盒中装有编号分别为1,2,3,4的四个形状大小和质地完全相同的小球.

（1）从盒中任取两球，求”取出的两球编号之和大于4”的概率；

（2）从盒中任取一球，记下该球的编号x,将球放回，再从盒中任取一球，记下该球的

编号乃求事件小一引M2,,发生的概率.

2

（1）3

7

（2）8

【分析】（1）列举出从盒中任取两球的所有等可能基本事件，再列出取出的两球编号

之和大于4的事件，根据古典概型的概率公式即可求得答案：

（2）列出有放回地连续抽取两球的所有等可能基本事件，列出事件“以一”42,,发生的

所有基本事件，根据古典概型的概率公式即可求得答案.

【详解】（1）从盒中任取两球的所有等可能基本事件有：

（1,2）,（1,3）,（1,4）,（2,3）,（2,4）,（3,4）,共6个，

记取出的两球编号之和大于4的事件为4

则事件4包含（*）,（2,3）,（2,4）,（3,4）,共4个等可能基本事件

P^A）=-=-

所以63；

2

答：从盒中任取两球，取出的两球编号之和大于4的概率为§

（2）有放回地连续抽取两球的所有等可能基本事件有：

（1,1）,（1,2）,（1,3）,（1,4）,（2,1）,（2,2）,（2,3）,（2,4）,（3,1）,（3,2）,（3,3）,

（3,4）,（4,1）,（4,2）,（4,3）,（4,4）共馆个,

记卜-042的事件为以

则事件8包含°」），OZ,（L3）,（2,1）,（2,2）,（2,3）,（2,4）,（3,1）,（3,2）,

（3,3）,（3,4）,（4,2）,（4,3）,G，4）共⑶个等可能基本事件，

P（5）=—=2

所以168,

7

答：事件发生的概率为K

18.已知Z,石为平面向量，且"=。一2）.

⑴若M,且M卜2君,求向量刃的坐标；

⑵若加=(T2),且向量与£+25平行，求实数上的值.

(1)(42)或(-4,-2)

k=--

⑵2

【分析】(1)设为=0/),根据平面向量垂直和平面向量的模长公式可得出关于x、

y的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出向量否的坐标;

(2)计算出向量65与£+25的坐标，由已知向量平行，可求得上的值.

【详解】⑴设'=(xj),因为W=2右，所以Jx'L=2'①

又因为所£彳=0,即尸2尸0②

JJx?+.2=2MJ%=4(X2=-4

由①②联立得1x-2y=0,解之得卜=2或卜=-2,

则所求向量］的坐标为区2)或(T，-2)

(2)因为口(卜2),5=(-3,2),

所以攵a—刃=(攵+3,—2%-2)a+2b=(-5,2)

又因为向量3-5与1+23平行，所以2(左+3)-(-5)(-2"_2)=0,

k=~-

解之得2

19.某城市缺水问题比较严重，市政府计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价，为

了解家庭用水量的情况，相关部分在某区随机调查了100户居民的月平均用水量(单

位：吨)得到如下频率分布表：

分组频数频率

[1.5,4.

220.22

[4.5,7

Xy

[7,5,1(160.16

[10,5,1

100.10

[13.5,1

60.06

[16,5,1

60.06

[19.5,：

5Z

[22.5,

20.02

[25.5,

20.02

合计1001

⑴求上表中x,y,Z的值；

(2)试估计该区居民的月平均用水量；

(3)从上表中月平均用水量不少于22.5吨的4户居民中随机抽取2户调查，求2户居民

来自不同分组的概率.

⑴x=31,y=0.31,z-0.05

(2)9.21吨

2

⑶§

【分析】(1)根据频数和为100计算可得x，进而根据概率求得再根据频率和为

1求得z；

(2)根据平均数的计算公式直接求解即可；

(3)将所有基本事件例举出，再根据古典概型的公式求解即可

【详解】⑴由题意可得X=10°-（22+16+10+6+6+5+2+2）=31,

则’100100,

yZ=1-（0.22+J+0.16+0.10+0.06+0.06+0.02+0.02）=0.05,

（2）利用组中值估计该区居民的月平均用水量为

x=3x0.22+6x0.31+9x0.16+12x0.10+15x0.06+18x0.06+21x0.05

+24x0.02+27x0.02=9.21

（3）记从上表中月平均用水量不少于22.5吨的4户居民中随机抽取2户调查，且2户居

民来自不同分组的事件为设［22525.5）中的2户为48,125.5,28.5）中的2户为

CD,则所有可能的情况有（45）（/,C）（4O）（8，C）（8，°）（C，。）共6种情况，其中满

42

足条件的有四种情况，故尸⑼-7一§,故从上表中月平均用

水量不少于22.5吨的4户居民中随机抽取2户调查，且2户居民来自不同分组的概率

2

为§

冗

ZBAD=—

20.如图，在四棱锥尸中，尸。，平面48C。，AB//CD,4,

AB=AD=-CD=3

3，点E为棱尸。上的一点，且。E=3EP=3.

P

⑴求证：尸8〃平面NEC；

（2）求直线4£与平面「CO所成的角.

（1）证明见解析

n

⑵不

BFPE1

【分析】（1）连结8。交力C于点R连结EF,由4B//CD,结合而=方=§,得

到EF//PB,再利用线面平行的判定定理证明；

（2）过点/作直线。的垂线交。的延长线于点G,连结EG,易证ZG_L平面

PDC，得到/AEG即为直线AE与平面尸。C所成的角求解.

【详解】(1)证明：连结8。交"C于点尸，连结E/"

因为在底面/8CO中，AB//CD,

BFABPE_1

所以丽=五=3,又访=5,

BFPE\

则在中，FD~ED~3,

叔EFHPB,

又因为EFu平面4EC,尸8a平面/EC,

所以「8〃平面NEC；

(2)过点N作直线CD的垂线交8的延长线于点G,连结EG,

因为P£)_L平面48C。，又NG,/Qu平面/8CO,

所以/G_LP。，ADLPD,

又因为/GJ.8,且PDcCD=D,PD,CZ>u平面PQC,

所以/GJ.平面尸℃,

则AAEG即为直线AE与平面PDC所成的角，

又因为EGu平面PDC,所以4G_LEG,

又在直角三角形ADE中，4E=y/AD2+ED2=后于=3应,

AG=ADxsinZADG=^-

在直角三角形/GO中，2,

sinZAEG=-=-

在直角三角形"GE中，AE2,

TTJT

NZEGe(O,-)ZAEG=-

因为2,所以6,

即所求直线AE与平面PCD所成之角为6.

21.如图，NC是平面四边形的一条对角线，且在ANZJC中,

4。+AD?-DC?

2AD-DC=

AD

（1）求角D的大小;

NBAD=-AABC=—

⑵若3,6,AB=2,DC=4,求/C的长.

D=-

⑴3

⑵AC=2百

【分析】（1）在△/口）,根据已知边等式，可转化为边的二次式，结合余弦定理即可

求角的大小;

(2)设“C=x,NCAD=a,在△"CD中，由正弦定理可得2g=xsina,在

1

X----------------------

，e'nf兀\

A/8C中，由正弦定理S，na-6,联立可解得Sina的值，在△ZCL＞中，由正弦定

理可得4c的值.

【详解】（1）解：因为在A"。。中,

2AD-DC="+皿二

AD

fi^\^AD2+DC2-AC2=ADxDC,①

即在A/OC中，由余弦定理得,

222

AD+DC-AC=2xADxDCxcosDt②

cosD=—

则由①②两式得，2.

D=Z

又因为在"CC中，。€(0,0，所以3,

ACDC

(2)解：在中，设NC/O=a,AC=x,则由正弦定理得忑万sinZCJZ),

DC.小26

x=--------xsinZ.D-----

即sinZCJDsina①

.Z.CAB---aZ.BCA=7t----a)=a-—

又在A/8DCZ,中，3,6k36,

ACAB

则由正弦定理得sinN/8CsinNBC/,

x=--------xsin/.ABC=---------

sinZ.BCA./兀、

sm(a-)

即6②

2也=--------

----sin(6r--)25/3sin(«--)=sina

则由①②两式得,sina6,即6

展开并整理得2sina=Kcosa,也即4sin2a=3cos2a=3-3sin2a

•2J

sina=—

7,

V21

A—.sma=----

又因为在△4CO中，sma>0,所以7,

TH14百r-

sma=----=-...=,—=2A//

把