2021-2022学年山东省泰安市岱岳区八年级下学期期末数学试题（五四学制）

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2021-2022学年山东省泰安市岱岳区八年级（下）期末

数学试卷（五四学制）

学校:姓名：班级：考号：

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上,

写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）

1.矩形、菱形都具有的性质是（）

A.对角线互相垂直B.对角线互相平分

C,对角线相等D.对角线互相垂直且相等

2.下列计算正确的是（）

A.3v5—V3=6B.V34-2=2V3

C.V6+V3=2D.V3xV6=3近

3.如图，在△力BC中，DE//AC,若AD=4,BD=8,CE=3,

则BC的长为（）

A.9

B.8

C.6

D.4

②R③R欧而.将它们都化为最简二次根式后，同类

4.下列二次根式：（2V50：

二次根式是（）

A.四②B.四口③C.创口④D.明口④

5.用配方法解方程/一4%=1,下列配方正确的是（）

A.（x-2）2=1B.（x-2）2=5C.（x+2）2=3

6.如图，矩形4BCD的对角线交于点。，乙4。。=120。，4B=

4,贝IJBC的长为（）

B

A.4B.6C.8D.4V3

7.下列一元二次方程中，没有实数根的是（）

A.4x2—5x+2=0B.x2—6x+9=0

C.5x2—4x-1=0D.3x2—4x+1=0

8.如图，在平行四边形ABC。中，E为BC边上的点，若

BE：EC=1：2,4E交BD于F,贝S^FA

等于（）

A.1：2

B.1：3

C.1：4

D.1：9

9.若x=l是关于尤的一元二次方程ox2-bx+i=o的一个根，则2024+2a-2b

的值为（）

A.2022B.2020C.2024D.2018

10.如图，在矩形4BCD中，点E、F分别在边4D、DC上，

△ABEMDEF,AB=6,DE=2,OF=3,则BE的长

是（）

A.12

B.15

C.3V13

D.3V15

11.某商场销售某种水果，第一次降价60%,第二次又降价10%,则这两次平均降价

的百分比是（）

A.35%B.30%C.40%D.50%

12.如图，菱形ABCD中，N84D=60°,4C与8。交于点。，E为CD延长线上一点，且CO=

DE,连结BE,分别交AC,AD于点F、G,连结。G,则下列结论正确的有个.（）

①OG="B；

②由点力、B、D、E构成的四边形是菱形：

颔四边形ODGF~S^ABFt

®S/\ACD=4SABOG.

其中正确的结论是（）

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

13.若代数式7^飞有意义，则实数x的取值范围是.

14.若关于x的一元二次方程m/一2乂+1=0有两个不相等的实数根，则加的取值范

围是•

如图，在正方形ZBCD中，点尸为边CD上一点，BF^AC

交于点E.若NCBF=25。，则N4ED的大小为

16.最简二次根式痉二号与最简二次根式后以是同类二次根式，则x的值是

17.如图，在直角△ABC中，已知N4CB=90。，CD1ABC

于点。，若CD=24。=2,则BC的长是./

18.如图，在菱形48CO中，E,尸分别是边CD,BC上的动点，连接4E,EF,G,H分

别为AE,EF的中点，连接GH.若48=45,BC=2V3.则GH的最小值为.

-----------------yD

/GK/

H

B

C

三、解答题(本大题共7小题，共78.0分)

19.计算：

(1)V32-V18-Ji；

(2)(7+473)(7-4V3)-(V3-I)2.

20.解方程：

(1)3X2-6%-5=0；

(2)x(%—1)=2(1—%).

21.如图，直立在B处的标杆AB=2.9米，小爱站在F处，眼睛E处看到标杆顶4树顶C

在同一条直线上(人，标杆和树在同一平面内，且点F,B,。在同一条直线上).已知

80=6米，FB=2米，EF=1.7米，求树高CD.

RD

22.如图，矩形力BCD的对角线ZC、BC交于点。，且DE//AC,CE//BD.

(1)求证：四边形OCED是菱形：

(2)若4B4C=30。，AC=4,求菱形OCED的面积.

23.2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩一开售，就深受大家的喜欢.某商店销售冰墩墩

周边，每件冰墩墩周边进价60元，在销售过程中发现，当销售价为100元时，每

天可售出30件，为庆祝冬奥会圆满落幕，该商店决定采取适当的降价措施，以扩

大销售量增加利润，经市场调查发现，如果每件冰墩墩周边降价1元，平均可多售

出3件.

(1)若每件冰墩墩周边降价5元，商家平均每天能盈利多少元？

(2)每件冰墩墩周边降价多少元时，能让利于顾客并且让商家平均每天能盈利1800

元？

24.如图在△ABC中，4c=90。，AC=BC=2,点。为AB的中点，点E,尸分别为BC,

4c边上的动点.

(1)若点E,F分别为BC,4c的中点，求线段EF的长;

(2)若4EOF=45°,

醒证：△BOEYAF。；

②试问△BOE与△EOF相似吗？并说明理由.

图⑴

25.利用我们学过的完全平方公式与不等式知识能解决方程或代数式的一些问题，阅读

下列两则材料：

材料一：已知m2-2mn+2n2—8n+16=0,求m、n的值.

解：vm2—2mn+2n2—8n+16=0,

•••(m2-2mn+n2)+(n2—8n+16)=0,

(m-n)2+(n-4)2=0>

(m-n)2>0,(n-4)2>0

•••(m-n)2=0,(n—4)2=0

m=n=4.

材料二：探索代数式/+4x+2与一d+2%+3是否存在最大值或最小值？

(Dx2+4x+2=(%2+4x+4)-2=(x+2)2-2,(x+2)2>0,x2+4x+

2=(x+2)2-2>-2.

二代数式“2+4x+2有最小值一2；

②一x2+2x+3=-(x2-2x+1)+4=-(x-I)2+4,v-(x-I)2<0,x2+

2X+3=-(X-1)2+4<4.

•••代数式一x2+2x+3有最大值4.

学习方法并完成下列问题：

(1)代数式%2—6x+3的最小值为；

(2)如图，在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为100米的木栅栏围成一个长

方形花圃，为了设计一个尽可能大的花圃，设长方形垂直于围墙的一边长度为x米,

则花圃的最大面积是多少？

(3)已知△ABC的三条边的长度分别为a,b,c,且a?+/+74=10a+14b,且c

为正整数，求△ABC周长的最小值.

围墙(大于10咪)

木引栏

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：•.・菱形的对角线互相垂直平分，矩形的对角线互相平分且相等，

•••矩形、菱形都具有的性质是对角线互相平分，

故选：B.

由矩形的性质和菱形的性质可直接求解.

本题考查了矩形的性质，菱形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键.

2.【答案】D

【解析】解：4、3V3-V3=2V3,故/不符合题意；

B、百与2不属于同类二次根式，不能运算，故8不符合题意；

C、V6V3-V2»故C不符合题意；

D、V3xV6=3>/2.故。符合题意；

故选：D.

利用二次根式的相应的法则对各项进行运算即可.

本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握.

3.【答案】A

【解析】解：•••DE//AC,

.**-B-D=-B-E,

ADCE

・・・4。=4,BD=8,CE=3,

8BE

:.————,

43

解得：BE=6,

・•・BC=BE+CE=6+3=9,

故选：4

根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可.

本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键.

4.【答案】A

【解析】解：(2X/50=5>/2；

W40=2V10,

所以，0口②是同类二次根式，

故选：A.

先把每一个二次根式化成最简二次根式，再根据同类二次根式的定义，即可解答.

本题考查了同类二次根式，最简二次根式，先把每一个二次根式化成最简二次根式是解

题的关键.

5.【答案】B

［解析］解：：久2-4x=1,

x2—4x+4=1+4,即(x—2)2=5,

故选：B.

两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式即可得出答案.

本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分

解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法.

6.【答案】D

【解析】解：•.•四边形4BCD是矩形，

Z.ABC=90°,OA=-AC,OB=-BD,AC=BD,

22

・•・OA=OB,

・・•^AOD=120°,

:.Z-AOB=60°,

.•.△40B是等边三角形，

:.OA=AB=4,

AC=20A=8,

•••BC=>JAC2-AB2=4V3>

故选：D.

由条件可求得△4。8为等边三角形，则可求得AC的长，在中，由勾股定理可

求得BC的长.

本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理，熟练掌握矩形的性质,

证明三角形是等边三角形是解决问题的关键.

7.【答案】A

【解析】解：4、•••△=25-4x2x4=-7<0,.•.方程没有实数根，故本选项正确：

8、•••△=36-4X1X4=0,•••方程有两个相等的实数根，故本选项错误；

C、•・•△=16—4X5x(-1)=36>0,.•.方程有两个相等的实数根，故本选项错误；

。、••・△=16—4xlx3=4>0,.•.方程有两个相等的实数根，故本选项错误；

故选：A.

分别计算出每个方程的判别式即可判断.

本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

(1)△>0Q方程有两个不相等的实数根；

(2)△=0Q方程有两个相等的实数根；

(3)△<0o方程没有实数根.

8.【答案】D

【解析】解：•:BE：EC=1：2,

设BE=x,则EC=2x,BC=3x,

•••四边形4BCO是平行四边形，

:.AD=BC=3x,AD//BC,

•••△BEFFDAF,

.S^BEF_r\2_1

••S.DFA-l茄，一亨

故选。.

2

通过证明△BEFQZMF,可得S"EF：S^DFA=(^)=i,即可求解.

本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，掌握相似三角形的性质是解

题的关键.

9.【答案】A

【解析】解：,；x=1是关于x的一元二次方程ax?-bx+1=0的一个根，

•a*u—b+1=0,

CL—b=-1,

2024+2a-2b=2024+2(a-b)=2024+2x(-1)=2022.

故选：A.

先根据一元二次方程根的定义得到a-b=-1,再把2024+2a-2b变形为2024+

2(a-b),然后利用整体代入的方法计算.

本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二

次方程的解.

10.【答案】C

【解析】解："AABE-^DEF,AB=6,DF=3,DE=2,

•嗡=第哈筝解得他=9,

•••四边形4BCD为矩形，

Z.D=90°,

由勾股定理得：

EB—ylAB2+AE2=V62+92=3V13.

故选：C.

先根据相似三角形的性质求出4E的长，再由勾股定理即可得出结论.

本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键.

11.【答案】C

【解析】解：设这两次平均降价的百分比是X,

依题意得：(1-x)2=(1-60%)x(1-10%),

解得：Xj=0.4=40%,X2=1.6(不合题意，舍去)，

・•.这两次平均降价的百分比是40%.

故选：C.

设这两次平均降价的百分比是x,利用经过两次降价后的价格=原价x(1-这两次平均降

价的百分比)2,即可得出关于X的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论.

本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

12.【答案】D

【解析】解：•.•四边形4BCD是菱形，

•••AB=BC=CD=DA,AB"CD,OA=OC,OB=OD,AC1BD,

・•・Z.BAG=乙EDG，

・・・CD=DE,

:.AB=DE,

在△A8G和△OEG中，

NAGB=乙DGE

乙BAG=4EDG,

,AB=DE

/.△ABG=/^DEG(AAS),

:.AG=DG,

・•・OG是△ABO的中位线，

.•.06=248,故②正确；

vAB//CE,AB=DE,

・•・四边形4BDE是平行四边形，

・・•(BCD=乙BAD=60°,

••・△4B。、△BCD是等边三角形，

AB=BD=AD,2L0DC=60°,

・・・平行四边形/BDE是菱形，故②正确;

vOA=OC,AG=DG,

・•・OG是△ACD的中位线，

OG//CD//AB,0G=Q,

・••S&ACD=4sMOG，

・•・S^AOG=S4BOG»

・•・S^ACD=4s△BOG，故@正确；

连接FD,如图：

•••△48。是等边三角形,4。平分NB/D,BG平分44BD,

:.尸到△4BD三边的距离相等，

'SwDF-S4ABF=2SW0F=2s△口。尸=S四边形ODGF，

',四边形ODGF=S&ABF，故@正确；

正确的是①②③④,

故选：D.

①由力AS证明maOEG,得出4G=DG,证出0G是△力BC的中位线，得出OG=

\AB,①正确；

②先证明四边形4BDE是平行四边形，证出△48。、△BCD是等边三角形,得出48=

BD=AD,得出四边形力BCE是菱形，②正确；

④ffiOG是△ACD的中位线，得OG〃CD〃4B,OG=^CD,贝IJS0CD=4S^OG，再由

SAAOG=SABOG，则SAACD=4SAB0C,④正确；

③连接FD,由等边三角形的性质和角平分线的性质得F到△4BD三边的距离相等，则

S&BDF=S&ABF=2S&BOF=2S&DOF=S四边形ODGF，则,四边形QDGF=‘AABF，③正确；即

可得出结论.

本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、

三角形中位线定理以及三角形面积等知识；本题综合性强，难度较大.

13.【答案】%>5

【解析】解：•••二次根式有意义，

•••x-5>0,

解得：x>5.

故答案为：%>5.

直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案.

此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键.

14.【答案】m<1且mH0

【解析】解：根据题意得znM0且4=(一2)2-4m>0,

解得m<1且m*0,

所以m的取值范围为m<1旦m*0.

故答案为：m<l且niRO,

利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到mH0且4=(-2)2-4m>0,然

后求出两不等式的公共部分即可.

本题考查了根的判别式：一元二次方程a%2+bx+c=0(aH0)的根与4=b2-4ac有

如下关系，当/>0时，方程有两个不相等的实数根；当4=0时，方程有两个相等的

实数根；当2<0时，方程无实数根.

15.【答案】70

【解析】解：•••四边形ABCD是正方形，且4c为正方ABCD的对角线，

ABE^^/WE关于直线AC对称，乙ACB=45°,

Z.AED=Z.AEB,

■■N4EB为△EBC的外角，

•••^AEB=乙CBE+Z.ACB=250+45°=70°,

•••^AED=70°,

故答案为70.

根据正方形的对称性可知，△ABE与△AOE关于直线4c对称，得到N4ED=/4EB,利

用三角形的外角等于不相邻的两个内角之和可解.

本题主要考查正方形的性质，解题关键是是利用了正方形关于对角线所在的直线对称求

解.

16.【答案】3

【解析】解：根据题意得：x2-5=1+x,

•••%2—x—6=0,

•••(x+2)(x—3)=0,

•••x+2=0或x—3=0,

:.x=—2或3,

•••1+x>0,

:.x>—1>

x,—3•

故答案为：3.

根据同类二次根式和最简二次根式的定义列出方程，求出x的值，根据二次根式有意义

的条件进行判断即可得出答案.

本题考查了同类二次根式，最简二次根式，掌握一般地，把几个二次根式化为最简二次

根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关

键.

17.【答案】2V5

【解析】解：•・・CD=2AD=2,

:.AD=1.

y,-CDLAB,

二由勾股定理，得AC=V124-22=V5-

v/-ADC=Z-CDB=90°,4/=4DCB（同角的余角相等），

•••△ACDMCBD.

.=丝,即渔=工.

CBCDCB2

BC=2V5.

故答案为：2遍.

利用射影定理求得BD的长度：然后根据勾股定理推知AC的长度；最后由相似三角形

△ACD-ACBD的对应边成比例求得BC的长度.

本题主要考查了相似三角形的判定与性质，三角形相似的判定一直是中考考查的热点之

一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边、对顶角相等

以及同角的余角相等等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用.

18.【答案】-

2

【解析】解：连接4F,如图所示：

•••四边形力BCD是菱形，

•••AB=BC=2V3.

•••G,H分别为4E,EF的中点，

•••GH是△4EF的中位线，

GH=-AF,

2

当AF1BC时，AF最小，GH得至IJ最小值,

则乙4FB=90°,

v乙B=45°,

・・.△Z8F是等腰直角三角形，

・••AF==?x2V3=V6,

ux^6

：•GrH=—,

2

即GH的最小值为农，

2

故答案为：”

2

连接AF,利用三角形中位线定理，可知GH=：AF,求出ZF的最小值即可解决问题.

本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段

最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型.

19.【答案】解：(1)原式=4衣一3近一直

4

=型;

4

(2)原式=49-48-(3-2V3+1)

=1-4+273

=2V3-3.

【解析】(1)先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；

(2)利用平方差公式和完全平方公式计算.

本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解

决问题的关键.

20.【答案】解:(1)V3x2-6%-5=0,

•••%2—2x=

3

则—2%+1=即(％-I)2=

(2),:x(x—1)=2(1—x),

•••x(x-1)+2(x—1)=0,

则l)(x+2)=0,

•••x-1=0或x+2=0,

解得Xi=l，x2=-2.

【解析】(1)将常数项移到方程的右边，再将二次项系数化为1,继而两边都加上一次

项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得；

(2)先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次

方程，再进一步求解即可.

本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分

解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法.

21.【答案】解：过E作EH1C。交C。于〃点，交4B

于点G,如下图所示：

由已知得，EFA.FD,AB1FD,CD1FD,

•:EHLCD,EHLAB,

二四边形EFOH为矩形,

•••EF=GB=DH=1.7米，EG=FB=2米,GH=BD=6米,

AG=AB-GB2.9-1.7=1.2(米),

•：EHLCD,EH1AB,

AG“CH,

•••AAEG^ACEH,

AGEG

—=—•

CHEH

._2

"CH-2+6）

解得C//=4.8,

•••CD=CH+DH=4.8+1.7=6.5（米）.

答：树高CD为6.5米.

【解析】过E作EHLCD交CC于H点，交AB于点G,可证明四边形EFDH为长方形，可得

HD的长；可证明△AEGsaCEH,故可求得CH的长，所以树高CD的长即可知.

本题考查了相似三角形在实际问题中的运用，关键是正确作出辅助线，构造出相似三角

形.

22.【答案】⑴证明：vCE//OD,DE//OC,

•••四边形OCED是平行四边形，

•.•矩形4BCD,

AC=BD,OC=^AC,OD=；BD,

.・.OC=OD,

•••平行四边形OCED是菱形；

(2)解：在矩形ABCD中，^ABC=90°,^BAC=30°,AC=4,

BC=2,

AB=DC=2V3.

连接0E,交CD于点、F,

•.•四边形。CED为菱形，

F为CD中点，

。为BO中点，

OF=^BC=1,

2

・・・OE=2OF=2,

•1•s菱形OCED=^x0ExCD-^x2x2-73=2V3.

【解析】(1)根据平行四边形的判定得出四边形OCEC是平行四边形，根据矩形的性质求

出0C=。。，根据菱形的判定得出即可.

(2)利用含30度角的直角三角形的性质求出BC=2,AB=DC=2®连接OE,交CD

于点F,根据菱形的性质得出F为CD中点，求出。尸=羡8。=1,求出OE=2OF=2,求

出菱形的面积即可.

本题考查了矩形的性质，菱形的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键,

注意：菱形的面积等于对角线积的一半.

23.【答案】解：(1)(100-60-5)x(304-3x5)

=(100-60-5)x(30+15)

=35x45

=1575(元).

答：商家平均每天能盈利1575元.

(2)设每件冰墩墩周边降价x元，则每件的销售利润为(100-60-吗元，每天的销售量

为(30+3x)件，

依题意得:(100-60-x)(30+3x)=1800,

整理得：X2-30x4-200=0,

解得：=10,X2=20.

答：每件冰墩墩周边降价10元或20元时，能让利于顾客并且让商家平均每天能盈利

1800元.

【解析】(1)利用商家每天销售冰墩墩周边获得的利润=每件的利润X每天的销售量，即

可求出结论：

(2)设每件冰墩墩周边降价x元，则每件的销售利润为(100-60-幻元，每天的销售量

为(30+3x)件，利用商家每天销售冰墩墩周边获得的利润=每件的利润x