河北省邯郸市第二十四中学2021年高三数学理测试题含解析

河北省邯郸市第二十四中学2021年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.北京某小学组织个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的个博物馆，每个年级任选一个博物馆参观，则有且只有两个年级选择甲博物馆的方案有A．种

B.种

C.种

D.参考答案：D2.函数的值域是

（

）

A．[－2，2]

B．[]

C．[]

D．[参考答案：C3.如右图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点。那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是(

)

参考答案：A本题考查了轨迹的识别，体现了动态数学的特点。立意清新，难度较大。根据小圆与大圆半径1：2的关系，找上下左右四个点，根据这四个点的位置，小圆转半圈，刚好是大圆的四分之一，因此M点的轨迹是个大圆，而N点的轨迹是四条线，刚好是M产生的大圆的半径。4.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A． B． C． D．+2参考答案：A【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】如图所示，该几何体由两个三棱锥组成的，利用三角形面积计算公式即可得出．解：如图所示，该几何体由两个三棱锥组成的，该几何体的表面积S=+1×1+++=．故选：A．5.已知点P的坐标，过点P的直线l与圆相交于A、B两点，则的最小值为(

)A．2

B．4

C．

D．参考答案：B6.使不等式成立的必要不充分条件是

A．

B．C．

D．，或

参考答案：答案：B7.已知函数在其定义域上单调递减，则函数的单调增区间是

A.

B.

C.

D.参考答案：D8.已知集合，集合为整数集，则（

）A、

B、

C、

D、

参考答案：D知识点：交集及其运算解析：=，又集合B为整数集，故，故选D．【思路点拨】由题意，可先化简集合A，再求两集合的交集．

9.已知a<0,b<0,a+b=-2若，则c的最值为

(

)A．最小值-1

B．最小值-2

C．最大值-2

D．最大值-1参考答案：C10.复数的值为(A)-i

(B)+i

(C)-i

(D)i参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（坐标系与参数方程选做题）直线（）被圆截得的弦长为_________..参考答案：【知识点】选修4-4

参数与参数方程N3【答案解析】

∵直线（t为参数）

∴直线的普通方程为x+y-1=0圆心到直线的距离为d==，

l=2，故答案为：．【思路点拨】先将直线的参数方程化成普通方程，再根据弦心距与半径构成的直角三角形求解即可．12.计算：

（为虚数单位）参考答案：复数13.已知抛物线x2=2py（p＞0）的焦点F是椭圆(a＞b＞0)的一个焦点，若P，Q是椭圆与抛物线的公共点，且直线PQ经过焦点F，则该椭圆的离心率为．参考答案：【考点】抛物线的简单性质．【分析】由题意，p=2c，P（，c），即P（2c，c），代入椭圆方程，可得=1，由此即可求出椭圆的离心率．【解答】解：由题意，p=2c，P（，c），即P（2c，c）代入椭圆方程，可得=1，整理可得e4﹣6e2+1=0，∵0＜e＜1，∴e=．故答案为．14.已知函数，其中c＞0．且f（x）的值域是［－，2］，则c的取值范围是＿＿＿＿参考答案：15.如果函数的图像关于点成中心对称，那么的最小值为

.

参考答案：16.已知是抛物线上的点，则的最大值是

．参考答案：17.△ABC中，AB=，cosB=，点D在边AC上，BD=，且=λ（+）（λ＞0）则sinA的值为．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算．【专题】数形结合；向量法；平面向量及应用．【分析】根据=λ（+），容易判断点D为AC的中点，由三角形的中线长定理和余弦定理，可得AC，BC的长，再由正弦定理，可得sinA．【解答】解：如图，过B作BE⊥AC，垂足为E，取AC中点F，连接BF，则=λ（+）（λ＞0）=λ（+）=；∴和共线，∴D点和F点重合，∴D是AC的中点，由中线长定理可得，BD===，又AC2=AB2+BC2﹣2AB?BC?cosB，即为AC2=+BC2﹣?BC?，解方程可得BC=2，AC=，由正弦定理可得=，可得sinA===．故答案为：．【点评】本题考查向量加法的平行四边形法则，共线向量基本定理，余弦定理的运用，考查运算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在△ABC中，BC=，AC=3，sinC=2sinA．（1）求AB的值；（2）已知D为AB的中点，求线段CD的长．参考答案：考点：余弦定理；正弦定理．专题：计算题；转化思想；分析法；解三角形．分析：（1）根据正弦定理即可求值得解．（2）根据余弦定理可求cosA，由D为AB边的中点，可求AD，根据余弦定理即可求得CD的值．解答：（本题满分13分）解：（1）在△ABC中，根据正弦定理，，于是．…（2）在△ABC中，根据余弦定理，得，∵D为AB边的中点，∴AD=，在△ACD中，由余弦定理有：．…（13分）点评：本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．19.【选修4-4：坐标系与参数方程】点P是曲线上的动点，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O为中心，将点P逆时针旋转90°得到点Q，设点Q的轨迹为曲线C2．（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）射线与曲线C1，C2分别交于A，B两点，设定点，求的面积．参考答案：（1），；（2）．（1）曲线的圆心为，半径为2，把互化公式代入可得：曲线的极坐标方程为．设，则，则有．所以曲线的极坐标方程为．（2）到射线的距离为，，则．20.（本小题满分14分）已知函数，，其中（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）若在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围;（Ⅲ）设函数，当时,若，对，总有成立，求实数的取值范围.参考答案：（Ⅰ）的定义域为，且，①当时，，在（0，+∞）上单调递增；②当时，由，得;由，得故在在上单调递减，在上单调递增．……4分（Ⅱ），的定义域为，因为在其定义域内为增函数，所以，

，即

……………6分∴，当且仅当时取等号，所以

………9分（Ⅲ）当时，﹣，，由，得或当时，；当x时，所以在（0，1）上，，……………10分“，，总有成立”等价于“在（0，1）上的最大值不小于在上的最大值”……………11分而在上的最大值为，所以有

∴，∴

……………13分解得

所以实数的取值范围是

……14分

21.已知数列｛an｝满足：a1＝，且an＝（1）

求数列｛an｝的通项公式；（2）

证明：对于一切正整数n，不等式a1·a2·……an<2·n！

参考答案：解析：（1）

将条件变为：1－＝，因此｛1－｝为一个等比数列，其首项为1－＝，公比，从而1－＝，据此得an＝（n31）…………1°（2）

证：据1°得，a1·a2·…an＝为证a1·a2·……an<2·n！只要证n?N*时有>…………2°显然，左端每个因式都是正数，先证明，对每个n?N*，有31－（）…………3°用数学归纳法证明3°式：（i）

n＝1时，3°式显然成立，（ii）

设n＝k时，3°式成立，即31－（）则当n＝k＋1时，3〔1－（）〕·（）＝1－（）－＋（）31－（＋）即当n＝k＋1时，3°式也成立。故对一切