【课件】球的表面积和体积课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.3.3球表面积和体积第八章立体几何初步引

入圆柱圆锥圆台lOO'2πrr••h2πrOSlr•hO'Or'2πr'rl2πr••h引入割圆术

早在公元三世纪，我国数学家刘徽为推导圆的面积公式而发明了“倍边法割圆术”.他用加倍的方式不断增加圆内接正多边形的边数，使其面积与圆的面积之差更小，即所谓“割之弥细，所失弥小”.这样重复下去，就达到了“割之又割，以至于不可再割，则与圆合体而无所失矣”.这是世界上最早的“极限”思想.探究新知1.球的表面积设球的半径为R，它的表面积只与半径R有关，是以R为自变量的函数.事实上，如果球的半径为R，那么它的表面积是O

把一个半径为R的球的上半球横向切成n（无穷大）份，每份等高并且把每份看成一个类似圆柱，球的表面积为所有圆柱的侧面积之和.AOS球=4πR24倍大圆面积探究新知S球=4πR2把一个半径为R的球的上半球横向切成n(无穷大)份，每份等高并且把每份看成一个类似圆柱，其中半径等于底面圆半径，则从下到上第k个圆柱的侧面积为O'Ork••h•kh例题讲解例1

如图，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是0.3m，圆柱高0.6m．如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要0.5kg涂料，那么给1000个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？(π取3.14)解:一个浮标的表面积为

2π×0.15×0.6+4π×0.152=0.8478(m2),所以给1000个这样的浮标涂防水漆约需涂料0.8478×0.5×1000=423.9(kg).类比利用圆周长求圆面积方法,我们可利用球的表面积求球的体积.如图,把球O的表面分成n个小网格,连接球心O和每个小网格的顶点,整个球体就被分割成n个“小锥体”.当n越大，每个小网格越小，每个“小椎体”的底面越平，“小椎体”就越接近似于棱锥，其高越近似于球的半径R.设O-ABCD是其中一个“小椎体”，那么它的体积就为探究新知OABCD2.球的体积问题1在小学,我们学习了圆的面积公式,你还记得是如何求得的吗?类比这种方法，你能由球的表面积公式推导出球的体积公式吗?πrr探究新知OABCD由于球的体积就是这n个“小椎体”的体积之和，而这n个“小椎体”的底面积这个就是球的表面积.因此，球的体积为2.球的体积探究新知公式归纳：圆柱圆锥圆台•OR球lOO'2πrr••O'Or'2πr'rl2πr••2πrOSlr•例题讲解

例2

如图示，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比.解：设球的半径为R，则圆柱的底面半径也为R，高为2R.即球与圆柱的体积之比为2:3.问题2球的表面积与圆柱的侧面积之比呢？与圆柱的表面积呢？S球=4πR2S圆柱=2πR×2R=4πR2球的体积是圆柱体积的2/3

，球的表面积也是圆柱全面积的2/3.

这是我生平最得意的定理圆柱容球课堂练习2.当一个球的半径满足什么条件时，其体积和表面积的数值相等？解：由S球=V球，得∴当一个球的半径等于3时，其体积和表面积的数值相等.解得R=3探究新知3.球的截面及其性质问题3一条直线与圆相交，在圆内的部分是什么图形？问题4把直线换成平面，圆换成球，即用一个平面去截球，截面会是什么形状?提示：弦（线段）.提示：圆面.1.大圆：球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆.如⊙O(浅蓝色圆面）.2.小圆：球面被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆.如⊙O′(黄色圆面）..O.O′O1探究新知

性质2:

球心和截面圆心的连线垂直于截面．

性质1:

用一个平面去截球，截面是圆面；

性质3:

球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r有下面的关系:3.球的截面及其性质垂径定理的拓展O1课堂练习2.已知过球面上三点A，B，C的截面和球心的距离为球半径的一半，且AB=BC=CA=2，求球的表面积1.用与球心距离为1的平面去截球所得的截面面积为π，则球的表面积为(

)CO′OABC探究新知4.球的切线直线与球相切：当直线与球有唯一交点时，称直线与球相切，其中它们的交点称为直线与球的切点.问题5过球外一点P，有无数条切线，那么所有切线长都相等吗？所有切点组成什么图形？②提示：如图

②可知，AP为定值，这说明，过球外一点的所有切线长都相等，这些切点的集合是一个圆.①切线长定理的拓展探究新知5.球与多面体的内切、外接类型：内切球、棱切球、外接球内切球：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，称这个球是这个多面体的内切球，这个多面体是这个球的外切多面体.

棱切球：若一个多面体的各棱都与一个球的球面相切，称这个球是这个多面体的棱切球.外接球：一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，称这个球是这个多面体的外接球，这个多面体是这个球的内接多面体.多面体在球体内多面体在球体外探究新知（1）正方体切点：各个面的中心.球心：正方体的中心.直径：相对两个面中心连线.直径等于正方体的棱长.①内切球•OO•②棱切球O••O切点：各棱的中点.球心：正方体的中心.直径：“对棱”中点连线直径等于正方体一个面的对角线长.③外接球OABCDO•ABCD直径等于正方体的体对角线长.a是正方体棱长球心：正方体的中心.直径：体对角线例题讲解•OO•A解：作出截面图如图示.由图可知，球的直径等于正方体的棱长，即2R=2，∴R=1.∴球的体积为3.

将一个棱长为6cm的正方体铁块磨制成一个球零件，求可能制作的最大零件的体积.2R=6，即R=3.教材119页4.一个长、宽、高分别为80cm，60cm，55cm的水槽中装有200000cm3的水，现放入一个直径为50cm的木球.如果木球的三分之二在水中，三分之一在水上，那么水是否会从水槽中溢出.例题讲解4.一个长、宽、高分别为80cm，60cm，55cm的水槽中装有200000cm3的水，现放入一个直径为50cm的木球.如果木球的三分之二在水中，三分之一在水上，那么水是否会从水槽中溢出.解：由题意知∴水槽在水面以上的体积为又木球浸在水中的体积为∴水不会从水槽中溢出.6.甲球内切于正方体的各面，乙球内切于该正方体的各条棱，丙球外接于该正方体，则三球表面面积之比为()

A.1:2:3 B. C. D.A5.一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为

.探究新知（2）长方体①内切球一个球在长方体内部，最多可以和该长方体的5个面相切.如果一个长方体有内切球，那么它一定是正方体例如，装乒乓球的盒子问题6一般的长方体有内切球吗？没有.例题讲解（2）长方体O•ABCDOABCD解：作出截面图如图示.由图可知，球的直径等于正方体的体对角线长，即∴球的表面积为14π②外接球

例题讲解变式

长方体的共顶点的三个侧面积分别为，则它的外接球的表面积为__________.解：设长方体共顶点的三条棱长分别为a，b，c，则Oabc探究新知①内切球（3）圆柱、直棱柱若球与直三棱柱三个侧面相切，可由平行于底面截面图，求出球的半径.若球与直三棱柱各个面相切，则球的直径为棱柱高.例题讲解（3）圆柱、直棱柱•O•O2CBAa•O1BAO2=∴R2=AO2=AO22+OO22=OO2=∴S球=4πR2=②外接球探究新知直棱柱外接球半径求法3、1、球心是上、下底面外接圆圆心所连线段的中点；2、球心到底面的距离是侧棱长的一半ro1oo2●R课堂练习课堂练习设正三棱柱的底面边长为a，则球的半径√设球的半径为r，底面中心为D,取BC边中点E例题讲解（4）正棱锥、圆锥①内切球例6

正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与它的四个面都相切，求内切球的表面积与体积．ABCDPOE解1：如图，P-ABC为正三棱锥,以球心O为顶点，棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥PE为斜高D,∴PD=2,易知

，∴S球=4πr2=V球=πr3=利用等体积直接来求半径(球内切于多面体，则球心到各个面的距离相等)等体积法例题讲解（4）正棱锥、圆锥①内切球例6

正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与它的四个面都相切，求内切球的表面积与体积．ABCDPOE解2：如图，P-ABC为正三棱锥,设球的半径为r，底面中心为点D,内切球球O与底面ABC切于点D,与侧面PBC切于点F,PE为斜高D,过PA,PD作轴截面，交BC边中点E,∴PD=2,易知

，S球=4πr2=V球=πr3=rrOEPADF连接OE，OF由△POF∽△PEO，得

，解得r=轴截面法作轴截面，球心在棱锥的高所在的直线上.例题讲解例7轴截面为正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为2，求球的表面积.ABCDO解：如图所示，作出轴截面，因为△ABC为正三角形，CO1=AC=2,AC=4,AO1=2,12Rt△AOE~Rt△ACO1,所以E=OEAOCO1ACOE=R=32S=16π3ABCO1OEO2例题讲解（4）正棱锥、圆锥36π②外接球OOAO′P••R

RO′•PO′=4，OO′=4－R，AO=RAO2=OO′2+AO′2，R=3例8O•O′O课堂练习（4）正棱锥、圆锥②外接球探究新知（4）正棱锥、圆锥正棱锥外接球半径求法——轴截面法1.球心在棱锥的高所在的直线上2.球心到底面外接圆圆心的距离d等于锥体的高h

减去球半径R的绝对值d=|h

－R|②外接球3.OAO′P••RlRh|h-R|例题讲解（4）正棱锥——球的内接正四面体问题(正四面体的外接球)•ODR•O′PCBAa解1：作出截面图如图示.由图可知，ROADO′P••RaR例题讲解解2：补形法.•OPCBA（4）正棱锥——球的内接正四面体问题(正四面体的外接球)探究新知同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥都分别可构造长方体或正方体．PABC补形法：探究新知总结：正四面体的棱长与外接球、内切球的半径总结的关系•