(4.1.1)-4.1根轨迹的基本概念学习资料

根轨迹的基本概念4.1根轨迹的基本概念系统特征方程的根在复平面上的分布情况与系统的动态性能是密切相关的。闭环控制系统是否稳定取决于其特征方程的根是否位于复平面的左半平面内，而闭环控制系统的动态性能取决于系统特征方程的根在复平面左半平面上的分布。4.1根轨迹的基本概念对于高阶系统，为了避免解析法求解所有特征根的繁琐性，1948年伊万斯（W.R.Evans）创立了一种通过改变系统的一个参数来分析系统特征方程根的位置变化的方法，并给出了绘制系统特征根变化轨迹的方法，简称为根轨迹法。

4.1根轨迹的基本概念根轨迹法是一种分析线性控制系统的图解方法，具有直观和简便的优点，并且是一种通用方法，可以绘制任意线性多项式关于任何参数的根轨迹，这样不需要用解析法求特征方程的根也能够在根轨迹图上分析改变系统的参数对其动态性能的影响。4.1根轨迹的基本概念

4.1.1根轨迹的概念根轨迹常用于研究开环传递函数增益变化对系统的影响，因此，从0变化到无穷的某个参数通常是指与开环传递函数放大系数K成正比的一个参数K*，一般称为根轨迹增益。根轨迹的研究是在一个复平面（简称S平面）上展开的，这时的复平面就叫根平面。当系统开环传递函数的某一参数从0变化到无穷时，系统的闭环特征根在根平面上变化的轨迹就称为根轨迹。根平面加上根轨迹就叫根轨迹图。4.1根轨迹的基本概念假设系统前向通路传递函数、反馈通路传递函数分别为

，式中KG为前向通路增益，KG*为前向通路根轨迹增益；KH*为反馈通路根轨迹增益。于是系统的开环传递函数为4.1根轨迹的基本概念式中，K*=KG*KH*为开环系统的根轨迹增益。对于有m个开环零点和n个开环极点的系统，必有f+l=m，q+h=n。即有：4.1根轨迹的基本概念

4.1.2根轨迹与系统性能例4-14.1根轨迹的基本概念

4.1.2根轨迹与系统性能K*>0，系统闭环特征根始终在S平面的左半部，系统总是稳定的。0<K*<4，两个互不相等的负实数根，系统阶跃响应为单调上升的非周期过程。K*=4，两个相等的负实数，系统阶跃响应为单调上升的非周期过程。K*>4，两个共轭复根，系统的阶跃响应变为衰减振荡过程，K*越大，振荡越剧烈。K*的取值不同，系统特征根在S平面的分布不同，系统具有不同的动态特性。4.1根轨迹的基本概念考虑到4.1.1中，系统闭环传递函数为

4.1.3根轨迹方程闭环特征方程为即就是当K*从零变化到无穷时，将上式称为根轨迹方程。4.1根轨迹的基本概念根轨迹方程实质是一个向量方程，直接使用很不方便，考虑到因此，根轨迹方程可用如下两个方程描述：以上两个方程是根轨迹上的点应该同时满足的两个条件，前者称为相角条件，后者称为模值条件。根据这两个条件，可以完全确定S平面上的根轨迹和根轨迹上对应的K*值。4.1根轨迹的基本概念幅值条件仅是根轨迹应满足的必要条件，因为幅值还取决于K*的大小。在根轨迹上的点都满足幅值条件，而S平面上满足幅值条件的点未必在根轨迹上。相角条件是根轨迹应满足的充要条件，因为相角大小与K*的大小无关。在根轨迹上的点都满足相角条件，而S平面上满足相角条件的点一定在根轨迹上。由于绘制根轨迹的目的是通过图上向量计算来进行系统的性能分析，因此S平面的横坐标和纵坐标必须采用相同的比例尺。通常，直接利用幅值条件和相角条件绘制系统的根轨