概率统计学-正态分布均值和方的区间估计

我们知道，正态随机变量是最为常见的，特别是很多产品的指标服从或近似服从正态分布。因此,我们主要研究正态总体参数的区间估计。先研究均值的区间估计，然后再研究方差的区间估计。这些在实际应用中是很重要的.正态分布均值和方的区间估计

设总体X~N(,2)，其中2已知，又x1,x2,,xn为来自于总体的样本。一.均值EX的区间估计下面分两种情况进行讨论。1.方差DX已知，对EX进行区间估计由第七章第三节中的结论可知于是

即

由标准正态分布可知，对于给定的，可以找到一个数z1-/2

，使

当＝0.05时,查标准正态分布表得临界值此时的置信区间是

即为的置信区间。称z1-/2为在置信度1-下的临界值，或称为标准正态分布的双侧分位点。区间

当＝0.01时,查标准正态分布表得临界值此时的置信区间是例1.已知某种滚珠的直径服从正态分布，且方差为0.06，现从某日生产的一批滚珠中随机地抽取6只，测得直径的数据（单位mm）为14.615.114.914.815.215.1

试求该批滚珠平均直径的95％置信区间。解当＝0.05时，1-=0.95,查表得

于是故所求置信区间为上面的讨论是在DX已知的情况下进行的，但实际应用中往往是DX未知的情况。

设x1,x2,,xn为正态总体N(,2)的一个样本，由于2未知，我们用样本方差S2来代替总体方差2，

2.方差DX未知，对EX进行区间估计U与V独立根据第七章定理四，统计量请比较U与T

对给定的，查t分布表可得临界值使得即故得均值的置信区间为当=0.05，n=9时，查t分布表得临界值

因此，在方差2未知的情况下，的置信区间是例2:设有某种产品,其长度服从正态分布，现从该种产品中随机抽取9件,得样本均值＝9.28(cm),样本标准差s＝0.36(cm),试求该产品平均长度的90％置信区间.解：当=0.01,n=9时,查t分布表得于是故所求置信区间为〔9.06，9.50〕。例3:设灯泡的寿命服从正态分布，现从一批灯泡中随机地抽取6只，测得寿命的数据(单位：h)为:1020,1010,1050,1040,1050，1030.求灯泡寿命平均值的置信度为0.95的单侧置信下限。解由于总体方差未知，故统计量于是对给定的，查t分布表可得临界值即

由此得到的置信度为1-的单侧置信区间:的置信度为1-的单侧置信下限为:使得

设总体是来自于总体的样本。现利用样本给出2的置信区间。考虑统计量二.方差DX的区间估计由第七章定理三可知，统计量

于是，对给定的(0<<1)，查2分布表，可得临界值使得

因此，当总体N(,2)中的参数为未知的情况下，方差2的置信区间为注意这里选取的临界值不是唯一的。例如可以选取顺便指出，的置信区间是

等等。例3.某自动车床生产的零件,其长度X服从正态分布,现抽取16个零件，测得长度(单位：mm)如下：

12.15,12.12,12.01,12.08,12.09,12.16,12.03,12.01,12.06,12.13,12.07,12.11,12.08,12.01,12.03,12.06试求DX的置信度为95%的置信区间。解：经计算可得查分布表得故DX的置信区间为

例设正态总体N(,2)的方差2为已知,问容量n为多大的样本,才能使总体均值的1-的置信区间的长度不大于L？解:因为所以,的1-的置信区间为

欲使区间长度即要求第五节

二正态总体均值差和方差比的区间估计

设和分别来自于正态总体N和N的两独立样本，相应的样本均值和样本方差分别记为和.我们的任务是求的置信区间.下面按总体方差的不同情况分别进行讨论。一.二正态总体均值差的区间估计1.方差和都已知由第七章第三节中的结论可知于是如同上节一样讨论，可得的置信区间为2.方差和都为未知

这时，只要m,n足够大，就以分别代替并用作为的近似置信区间。3.方差且为未知由第七章定理五知,统计量

服从t(m+n-2)分布。由此可得的置信区间为

(*)例1.有两台车床A和B同生产一种型号的零件，为了比较这两台车床所生产的零件的直径的均值，随机地抽取A车床生产的零件8个，测得平均直，标准离差。随机地抽取B车床生产的零件9个，测得平均直，标准离差。根据以往经验可以认为，这两台车床所生产的零件的直径都服从正态分布，且它们的方差相等，求二总体均值差的95%置信区间。解：由抽样的随机性可推知两样本相互独立，又因它们的总体方差相等，因此由(*)式可求得置信区间。查t分布表得临界值在这里故所求置信区间是[0.077，0.683]，由此可认为

设二正态总体和，其中参数均为未知。是分别来自于两总体且容量各为m和n的独立样本的方差考虑统计量二.正态总体方差比的区间估计由于所以~F(m-1,n-1)

对于给定的，查F分布表得临界值于是，的1-置信区间为

当置信区间的下限大于1时，；当区间的上限小于1时，则.和使例2设