第七讲分布函数及连续型随机变量

第七讲分布函数及连续型随机变量第一页，共二十七页，2022年，8月28日一、随机变量的概念（P21）由于随机试验的所有结果是知道的，就可以对每一个结果赋予一个相应的值，这就建立了“事件”与数之间的一种函数系，而这种关系中自变量不是数，而是随机试验的结果(样本点)，因而称为“样本点的函数”。且不论自变量还是因变量，它们取到某个“值”都是带有偶然性的，是不确定的。我们把这种取值带有随机性的变量称为随机变量，一般用希腊字母或用大写字母X,Y,Z…来表示。(理论定义见P22定义2.1）第二页，共二十七页，2022年，8月28日随机变量的分类：第三页，共二十七页，2022年，8月28日二、离散型随机变量（P22）定义(P22)：

X

x1 x2

…

xK …

P

p1 p2 … pk …定义2.2：设离散型随机变量X取值x1,x2,…,xn,…且取这些值的概率依次为p1,p2,…,pn,…,则称P{X=xk}=pk,(k=1,2,…)为X的概率函数或概率分布或分布律。为X的概率分布表或分布列分布律的性质（P22)：(1)pk0,k＝1,2,…;

而称非负性归一性第四页，共二十七页，2022年，8月28日

(0-1)分布若随机变量X只取0,1两个值,则称X服从(0－1)分布。其概率函数为：P{X＝k}＝pk(1－p)1－k,(0<p<1)k＝0，1分布列为：1、两点分布(P22)（贝努里分布）：只有两个可能取值的随机变量所服从的分布三、常用离散型随机变量的分布（P22）第五页，共二十七页，2022年，8月28日2、二项分布（P23）定义2.4：如果随机变量的概率函数为其中则称服从参数为的二项分布，简记为：第六页，共二十七页，2022年，8月28日定义：如果随机变量的概率函数为则称服从参数为普哇松分布，简记为：3、泊松（Poisson)分布（普哇松分布）（P24）第七页，共二十七页，2022年，8月28日要求：

（1）明确随机变量的含义。（2）掌握离散型随机变量的概率分布。（3）掌握几个常用离散型随机变量的分布及相关概率计算。第八页，共二十七页，2022年，8月28日第九页，共二十七页，2022年，8月28日一、分布函数（P27）第七讲分布函数和连续型随机变量

定义(P27)：设是随机变量，对任意实数，事件的概率称为随机变量的分布函数。记为，即第十页，共二十七页，2022年，8月28日第十一页，共二十七页，2022年，8月28日分布函数的性质(P28)

若x1<x2,则F(x1)

F(x2);(2)规范性：对任意实数x，0F(x)1，且

若某函数满足上述3条性质，则它一定是某随机变量的分布函数

(1)单调不减性：教材P28第14行…“四条”应改为“（1）（2）（3）条”

例1中证明满足（4）的部分去掉第十二页，共二十七页，2022年，8月28日例1：解：第十三页，共二十七页，2022年，8月28日一般地，对离散型随机变量P{X=xk}＝pk,k＝1,2,…其分布函数为解

012P0.10.60.3例2:设随机变量具有分布律如右表试求出的分布函数。二、离散型随机变量的分布函数（P28）第十四页，共二十七页，2022年，8月28日一般结论：X

x1 x2

…

xK …

P

p1 p2 … pk …设随机变量X的分布列为：则X的分布函数为：第十五页，共二十七页，2022年，8月28日0－1－2123P0.10.20.20.10.30.1课练:设随机变量具有分布律如下表试求出的分布函数。第十六页，共二十七页，2022年，8月28日三、连续型随机变量(P30)

定义(P31)：对任意实数x，如果随机变量的分布函数F（x）可以写成则称为连续型随机变量，为的概率密度函数，简称概率密度或密度函数.常记为～,(-<x<+)由积分知识可知，连续型随机变量的分布函数的几何意义是：以概率密度曲线为顶，以X轴为底的一个左开口曲边梯形的面积（见P31）第十七页，共二十七页，2022年，8月28日

密度函数的性质(P31-32)(1)非负性

0，(-<x<)；

(2)归一性（4）对任意实数b，连续型随机变量取该值的概率为零，即(-<b<)，则P{=b}＝0。第十八页，共二十七页，2022年，8月28日

连续型随机变量落入某区间的概率等于其密度函数在该区间上的积分或其分布函数在该区间“右端点”处的值减去“左端点”处的值记在P32第十九页，共二十七页，2022年，8月28日例3：解：第二十页，共二十七页，2022年，8月28日对任意实数c,d(a<c<d<b)，都有1、均匀分布(P32)则称服从区间[a,b]上的均匀分布。记作~U[a,b]试求其分布函数F(x)四、常用连续型随机变量的分布（P32）

第二十一页，共二十七页，2022年，8月28日记在P33第二十二页，共二十七页，2022年，8月28日例4.长途汽车起点站于每时的10分、25分、55分发车，设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随机地到达车站，求乘客候车时间超过10分钟的概率1545解：设A=“乘客候车时间超过10分钟”X为乘客于某时X分钟到达，则XU[0,60]第二十三页，共二十七页，2022年，8月28日2、指数分布（P33）第二十四页，共二十七页，2022年，8月28日第二十五页，共二十七页，2022年，8月28日本次课要求：（1）明确分布函数的含义。

（2）掌握连续型随机变量的概率分布密度函数和分布函数及简单概率计算。