第三讲对称的数学本质

第三讲对称的数学本质第一页，共二十二页，2022年，8月28日一、身边的对称第二页，共二十二页，2022年，8月28日数学中，许多数学公式（式子）都表现出对称性

第三页，共二十二页，2022年，8月28日李政道同毛泽东谈对称

对称这个概念绝不是静止的，它要比通常的含义普遍很多，而且适用于一切自然现象，从宇宙的产生到每个微观的亚核反应过程。

——李政道

第四页，共二十二页，2022年，8月28日“对称是一个广阔的主题，在艺术和自然两个方面都意义重大。数学则是它的根本”。

——德国数学家外尔（H.Weyl）第五页，共二十二页，2022年，8月28日二、平面图形的对称性第六页，共二十二页，2022年，8月28日问题：如何比较下列图形的对称性？或怎样“量化”它们的对称性？第七页，共二十二页，2022年，8月28日初中教科书关于对称图形的定义：定义：如果一个平面图形沿着平面上一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线称为它的对称轴。第八页，共二十二页，2022年，8月28日2.1、在运动中看“对称”“如果一个操作使体系从一个状态变换到另一个与之等价的状态，或者说，状态在此操作下不变，我们就说这个体系对于这个操作是‘对称的’，而这个操作叫做这个体系的一个‘对称操作’。”——德国数学家外尔（H.Weyl）

第九页，共二十二页，2022年，8月28日2.2、平面图形的“对称集”保距变换：

在平面中，我们把反射、旋转、平移以及它们的相继实施，统称为“保距变换”。特别的，平面“不动”也是一种“保距变换”。通常称为“恒等变换”。第十页，共二十二页，2022年，8月28日描述平面图形对称性（及对称性强弱）的一种方法:对称集的大小

把所有使平面图形K整体不变的“保距变换”放在一起，构成一个集合，记为S(K)，并称S(K)为“K的对称集”。如果S(K1)中的元素个数多于S(K2)中的元素个数,即，就说“K1的对称性强于K2的对称性”，或者说“K1比K2更对称”。第十一页，共二十二页，2022年，8月28日第十二页，共二十二页，2022年，8月28日三、对称的本质“变中有不变”的性质，不仅是“平面图形对称”的本质，也是各种客观事物对称性的本质。第十三页，共二十二页，2022年，8月28日四、对任意客观事物之对称性的描述：

子集的对称进一步的任务：

把讨论“平面图形的对称”中形成的数学思想提炼出来，用“子集的对称”的语言来统一地描述任一客观事物的“对称”。

第十四页，共二十二页，2022年，8月28日o第十五页，共二十二页，2022年，8月28日4.1集合上的可逆变换，子集的对称变换

设M是一个集合，则M到自身的一个映射称为“M上的一个变换”；M到自身的一个可逆映射称为“M上的一个可逆变换”。集合M上的可逆变换使M中的每一元素都发生了“变化”，但在整体上又保持M的不变。不过，对于M的某个子集N，情况就不一样了，可能在整体上保持N不变；也可能不能在整体上保持N不变：即。子集N的对称变换：N是M的一个子集，若是集合M上的可逆变换，在M上的可逆变化中，我们称满足的可逆变换为“N的对称变换”。第十六页，共二十二页，2022年，8月28日第十七页，共二十二页，2022年，8月28日4.2、子集的对称集集合M上的可逆变换，在变换集合M的同时，一般也变换了M中我们所考察的子集N，使之成为，但有些可逆变换却使N整体上保持不变，即。我们称使N整体上保持不变的那些可逆变换为N的对称变换，并且把所有这样的“对称变换”放在一起，记作

S（N）,，称S（N）为“N的对称集”。第十八页，共二十二页，2022年，8月28日五、对称群及群的概念第十九页，共二十二页，2022年，8月28日5.1平面图形的对称变换群

我们把平面图形对称集S（N）中保距变换的“相继实施”，称作S（N）中元素的一种“运算”，记作“○”，叫作“乘法”。该乘法运算满足以下四条规律：封闭律结合律幺元律逆元律第二十页，共二十二页，2022年，8月28日5.2群的概念设G是一个带有运算“○”的非空集合，且其中的运算满足以下四条，则称{G；○