河北省保定市2023届高三(上)期末数学试卷(解析版)(文科)

2023-2023学年河北省保定市高三〔上〕期末数学试卷〔文科〕一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．集合P={x|2≤x≤3}，Q={x|x2≤4}，那么P∪Q=〔〕A．〔﹣2，3] B．[﹣2，3] C．[﹣2，2] D．〔﹣∞，﹣2]∪[3，+∞〕2．=〔x，2〕，=〔1，6〕，假设∥，那么x=〔〕A． B． C．2 D．33．数列{an}为等差数列，假设a1=3，a2+a3=12，那么a2=〔〕A．27 B．36 C．5 D．64．设x=，其中i是虚数单位，x、y是实数，那么x+y=〔〕A．1 B． C． D．25．MOD函数是一个求余函数，其格式为MOD〔n，m〕，其结果为n除以m的余数，例如MOD〔12，5〕=2，下面是一个算法的程序框图，当输入的n为77时，那么输出的结果为〔〕A．9 B．5 C．11 D．76．a=，b=，c=，那么a、b、c的大小关系为〔〕A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b7．设△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，假设a+c=2b，3sinB=5sinA，那么角C=〔〕A． B． C． D．8．F1、F2是双曲线E：﹣=1〔a＞0，b＞0〕的左、右焦点，点M在E的渐近线上，且MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1=，那么E的离心率为〔〕A． B． C． D．29．直线l过圆x2+〔y﹣3〕2=4的圆心，且与直线x+y+1=0垂直，那么l的方程是〔〕A．x+y﹣2=0 B．x﹣y+2=0 C．x+y﹣3=0 D．x﹣y+3=010．等腰直角三角形ABC中，斜边BC=6，那么•+•+的值为〔〕A．25 B．36 C．9 D．1811．设a＞0，假设函数y=，当x∈[a，2a]时，y的范围为[，2]，那么a的值为〔〕A．2 B．4 C．6 D．812．某企业生产A、B、C三种家电，经市场调查决定调整生产方案，方案本季度〔按不超过480个工时计算〕生产A、B、C三种家电共120台，其中A家电至少生产20台，生产A、B、C三种家电每台所需的工时分别为3、4、6个工时，每台的产值分别为20、30、40千元，那么按此方案生产，此季度最高产值为〔〕千元．A．3600 B．350 C．4800 D．480二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分，把最简答案填在答题卡上．13．为了得到函数y=sin〔2x﹣〕的图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有的点至少向右平行移动个单位长度．14．一个几何体的三视图如下图〔单位：m〕，正视图和俯视图的上面均是底边长为12m的等腰直角三角形，下面均是边长为6m的正方形，那么该几何体的体积为m3．15．f〔x〕是定义在R上的奇函数，且当x＞0时f〔x〕=ex+a，假设f〔x〕在R上是单调函数，那么实数a的最小值是．16．数列{an}满足a1=3，an﹣1+an+an+1=6〔n≥2〕，Sn=a1+a2+…+an，那么S10=．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．〔10分〕在数列{an}中，a1=1，an+1=2an+n﹣1，n∈N*．〔1〕证明：数列{an+n}是等比数列；〔2〕求数列{an}的前n项和Sn．18．〔12分〕海军某舰队在一未知海域向正西方向行驶〔如图〕，在A处测得北侧一岛屿的顶端D的底部C在西偏北30°的方向上，行驶4千米到达B处后，测得该岛屿的顶端D的底部C在西偏北75°方向上，山顶D的仰角为30°，求此岛屿露出海平面的局部CD的高度．19．〔12分〕高三〔3〕班班主任根据本班50名学生体能测试成绩，绘制频率分布直方图〔如下图〕，其中样本数据分组区间为[40，50〕，[50，60〕，…，[80，90〕，[90，100]．〔1〕求频率分布图中a的值；〔2〕求该班50名学生中，成绩不低于80分的概率；〔3〕从成绩在[40，60〕的学生中，随机抽取2人，求此2人分数都在[40，50〕的概率．20．〔12分〕如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD是以O为中心的正方形，PO⊥底面ABCD，AB=2，M为BC的中点且PM⊥AP．〔1〕证明：PM⊥平面PAD；〔2〕求四棱锥P﹣ABMO的体积．21．〔12分〕椭圆C：+=1〔a＞b＞0〕的右焦点为〔1，0〕，离心率为．〔1〕求椭圆C的标准方程；〔2〕过点P〔0，3〕的直线m与C交于A、B两点，假设A是PB的中点，求直线m的方程．22．〔12分〕函数f〔x〕=2x3﹣3〔a+1〕x2+bx．〔1〕假设曲线y=f〔x〕在点〔2，f〔2〕〕处的切线方程为y=6x﹣8，求实数a、b的值；〔2〕假设b=6a，a＞1，求f〔x〕在闭区间[0，4]上的最小值．2023-2023学年河北省保定市高三〔上〕期末数学试卷〔文科〕参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．集合P={x|2≤x≤3}，Q={x|x2≤4}，那么P∪Q=〔〕A．〔﹣2，3] B．[﹣2，3] C．[﹣2，2] D．〔﹣∞，﹣2]∪[3，+∞〕【考点】并集及其运算．【分析】先分别求出集合P，Q，由此能求出P∪Q．【解答】解：∵集合P={x|2≤x≤3}，Q={x|x2≤4}={x|﹣2≤x≤2}，∴P∪Q={x|﹣2≤x≤3}=[﹣2，3]．应选：B．【点评】此题考查并集的求法，是根底题，解题时要认真审题，注意并集定义的合理运用．2．=〔x，2〕，=〔1，6〕，假设∥，那么x=〔〕A． B． C．2 D．3【考点】平面向量共线〔平行〕的坐标表示．【分析】利用向量共线定理即可得出．【解答】解：∵∥，那么6x=2，解得x=．应选：B．【点评】此题考查了向量共线定理，考查推理能力与计算能力，属于根底题．3．数列{an}为等差数列，假设a1=3，a2+a3=12，那么a2=〔〕A．27 B．36 C．5 D．6【考点】等差数列的通项公式．【分析】利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵a1=3，a2+a3=12，∴2×3+3d=12，解得d=2．那么a2=3+2=5．应选：C．【点评】此题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．设x=，其中i是虚数单位，x、y是实数，那么x+y=〔〕A．1 B． C． D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法那么、复数相等即可得出．【解答】解：∵x=，其中i是虚数单位，x、y是实数，∴x+xi=1+yi，∴x=1，x=y，解得x=y=1，那么x+y=2．应选：D．【点评】此题考查了复数的运算法那么、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于根底题．5．MOD函数是一个求余函数，其格式为MOD〔n，m〕，其结果为n除以m的余数，例如MOD〔12，5〕=2，下面是一个算法的程序框图，当输入的n为77时，那么输出的结果为〔〕A．9 B．5 C．11 D．7【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，根据题意，依次代入各选项，计算MOD〔n，i〕的值，验证输出的结果是否为0，即可得解．【解答】解：模拟执行程序框图，可得：n=77，i=2，MOD〔77，2〕=1，不满足条件MOD〔77，2〕=0，执行循环体，i=3，MOD〔77，3〕=2，不满足条件MOD〔77，3〕=0，执行循环体，i=4，MOD〔77，4〕=1，不满足条件MOD〔77，4〕=0，执行循环体，i=5，MOD〔77，5〕=2，不满足条件MOD〔77，5〕=0，执行循环体，i=6，MOD〔77，6〕=5，不满足条件MOD〔77，6〕=0，执行循环体，i=7，MOD〔77，7〕=0，不满足条件MOD〔77，7〕=0，退出循环，输出i的值为7，应选：D．【点评】此题主要考查了循环结构的程序框图，依次正确写出每次循环得到的MOD〔n，i〕的值是解题的关键，属于根底题．6．a=，b=，c=，那么a、b、c的大小关系为〔〕A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【考点】指数函数的图象与性质．【分析】分别求出a=2，判断出b＜2，c＞2，从而判断出a，b，c的大小即可．【解答】解：a==2，b=＜2，c=＞2，那么c＞a＞b，应选：A．【点评】此题考查了指数幂的运算，考查数的大小比拟，是一道根底题．7．设△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，假设a+c=2b，3sinB=5sinA，那么角C=〔〕A． B． C． D．【考点】正弦定理．【分析】根据正弦定理，可得a=b，进而可求c=，再利用余弦定理，即可求得C．【解答】解：∵3sinB=5sinA，∴由正弦定理，可得3b=5a，∴a=b，∵a+c=2b，∴c=，∴cosC==﹣，∵C∈〔0，π〕，∴C=．应选：B．【点评】此题考查正弦、余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于根底题．8．F1、F2是双曲线E：﹣=1〔a＞0，b＞0〕的左、右焦点，点M在E的渐近线上，且MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1=，那么E的离心率为〔〕A． B． C． D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的定义，结合直角三角形的勾股定理建立方程关系进行求解即可．【解答】解：∵MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1=，∴设MF1=m，那么MF2=3m，由双曲线的定义得3m﹣m=2a，即2m=2a，得m=a，在直角三角形MF2F1中，9m2﹣m2=4c2，即8m2=4c2，即8a2=4c2，即e=，应选：A．【点评】此题主要考查双曲线离心率的计算，根据双曲线的定义结合直角三角形的勾股定理，结合双曲线离心率的定义是解决此题的关键．9．直线l过圆x2+〔y﹣3〕2=4的圆心，且与直线x+y+1=0垂直，那么l的方程是〔〕A．x+y﹣2=0 B．x﹣y+2=0 C．x+y﹣3=0 D．x﹣y+3=0【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由题意可得所求直线l经过点〔0，3〕，斜率为1，再利用点斜式求直线l的方程．【解答】解：由题意可得所求直线l经过点〔0，3〕，斜率为1，故l的方程是y﹣3=x﹣0，即x﹣y+3=0，应选：D．【点评】此题主要考查用点斜式求直线的方程，两条直线垂直的性质，属于根底题．10．等腰直角三角形ABC中，斜边BC=6，那么•+•+的值为〔〕A．25 B．36 C．9 D．18【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量数量积的运算法那么，将前两项提出公因式，第三项，计算求得结果．【解答】解：等腰直角三角形ABC中，斜边BC=6，∴AB=AC=3，∴•+•+=•〔+〕+=+CA•CB•cos∠ACB=18+3•6•=36，应选：B．【点评】此题考查向量数量积的运算律，向量加法减法、数量积的运算，属于中档题．11．设a＞0，假设函数y=，当x∈[a，2a]时，y的范围为[，2]，那么a的值为〔〕A．2 B．4 C．6 D．8【考点】函数的值域．【分析】由得，由此能求出a的值．【解答】解：∵a＞0，函数y=，当x∈[a，2a]时，y的范围为[，2]，∴，解得a=4．应选：B．【点评】此题考查实数值的求法，是根底题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．12．某企业生产A、B、C三种家电，经市场调查决定调整生产方案，方案本季度〔按不超过480个工时计算〕生产A、B、C三种家电共120台，其中A家电至少生产20台，生产A、B、C三种家电每台所需的工时分别为3、4、6个工时，每台的产值分别为20、30、40千元，那么按此方案生产，此季度最高产值为〔〕千元．A．3600 B．350 C．4800 D．480【考点】简单线性规划的应用；简单线性规划．【分析】设本季度生产A家电x台、B家电y台，那么生产家电C：120﹣x﹣y台，总产值为z千元，由题意列出关于x，y的不等式组，再求出线性目标函数z=20x+30y+40〔120﹣x﹣y〕=4800﹣20x﹣10，由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：设本季度生产A家电x台、B家电y台，那么生产家电C：120﹣x﹣y台，总产值为z千元，家电名称ABC工时346产值〔千元〕203040那么依题意得z=20x+30y+40〔120﹣x﹣y〕=4800﹣20x﹣10y，由题意得x，y满足，即，画出可行域如下图．解方程组，得，即a〔80，0〕．做出直线l0：2x+y=0，平移l0过点A〔80，0〕时，目标函数有最大值，zmax=4800﹣20×80﹣10×0=3600〔千元〕．答：本季度生产A：80台，B：0台，C：40台，才能使产值最高，最高产值是3600千元．应选：A．【点评】此题考查简单的线性规划，考查了简单的数学建模思想方法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分，把最简答案填在答题卡上．13．为了得到函数y=sin〔2x﹣〕的图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有的点至少向右平行移动个单位长度．【考点】函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换．【分析】由条件根据函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换规律，可得结论．【解答】解：把函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度，可得函数y=sin2〔x﹣〕=sin〔2x﹣〕的图象，故答案为：．【点评】此题主要考查函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换规律，属于根底题．14．一个几何体的三视图如下图〔单位：m〕，正视图和俯视图的上面均是底边长为12m的等腰直角三角形，下面均是边长为6m的正方形，那么该几何体的体积为216+72πm3．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】该几何体由上下两局部组成的，上面是一个圆锥，下面是一个正方体．【解答】解：该几何体由上下两局部组成的，上面是一个圆锥，下面是一个正方体．∴该几何体的体积=63+=216+72π．故答案为：216+72π．【点评】此题考查了圆锥与正方体的三视图与体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于根底题．15．f〔x〕是定义在R上的奇函数，且当x＞0时f〔x〕=ex+a，假设f〔x〕在R上是单调函数，那么实数a的最小值是﹣1．【考点】指数函数的图象与性质．【分析】由f'〔x〕=ex＞0，知f〔x〕在〔0，+∞〕上为增函数，故当x=0时，f〔x〕的最小值为1+a，当x＜0，f〔x〕=﹣e﹣x﹣a，为增函数，当x=0时，f〔x〕max=﹣1﹣a，由此能求出实数a的最小值．【解答】解：f'〔x〕=ex＞0，f〔x〕在〔0，+∞〕上为增函数，当x=0时，f〔x〕的最小值为1+a，当x＜0，因为f〔x〕为奇函数，∴f〔x〕=﹣e﹣x﹣a，x＜0，f〔x〕为增函数，当x=0时，f〔x〕max=﹣1﹣a，∵f〔x〕是增函数，∴﹣1﹣a≤1+a解得a≥﹣1．故实数a的最小值是﹣1．【点评】此题考查函数的图象和性质的应用，是根底题．解题时要认真审题，仔细解答，注意函数的奇偶性和单调性的灵活运用．16．数列{an}满足a1=3，an﹣1+an+an+1=6〔n≥2〕，Sn=a1+a2+…+an，那么S10=21．【考点】数列的求和．【分析】由推导出a1+a2+a3=a4+a5+a6=a7+a8+a9=6，a10=3，由此能求出结果．【解答】解：∵数列{an}满足a1=3，an﹣1+an+an+1=6〔n≥2〕，Sn=a1+a2+…+an，∴a1+a2+a3=3+a2+a3=6，∴a2+a3=3，又a2+a3+a4=6，∴a4=3，又a4+a5+a6=3+a5+a6=6，∴a5+a6=3，∴a5+a6+a7=3，∴a7=3，∴a7+a8+a9=3+a8+a9=6，∴a8+a9=3，∴a8+a9+a10=6，∴a10=3，S10=〔a1+a2+a3〕+〔a4+a5+a6〕+〔a7+a8+a9〕+a10=6+6+6+3=21．故答案为：21．【点评】此题考查数列的前10项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数列的递推公式的合理运用．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．〔10分〕〔2023秋•保定期末〕在数列{an}中，a1=1，an+1=2an+n﹣1，n∈N*．〔1〕证明：数列{an+n}是等比数列；〔2〕求数列{an}的前n项和Sn．【考点】数列的求和；等比关系确实定．【分析】〔1〕由an+1=2an+n﹣1，n∈N*．变形为an+1+n+1=2〔an+n〕，n∈N*．即可证明．〔2〕由〔1〕得an+n=2n，利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出．【解答】〔1〕证明：由an+1=2an+n﹣1，n∈N*．可得an+1+n+1=2〔an+n〕，n∈N*．又a1+1=2，所以数列{an+n}是以2为首项，以2为公比的等比数列．〔2〕解：由〔1〕得an+n=2n，故an=2n﹣n，所以数列{an}的前n项和Sn=﹣=2n+1﹣2﹣．【点评】此题考查了数列递推关系、通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．〔12分〕〔2023秋•保定期末〕海军某舰队在一未知海域向正西方向行驶〔如图〕，在A处测得北侧一岛屿的顶端D的底部C在西偏北30°的方向上，行驶4千米到达B处后，测得该岛屿的顶端D的底部C在西偏北75°方向上，山顶D的仰角为30°，求此岛屿露出海平面的局部CD的高度．【考点】解三角形的实际应用．【分析】把数据过渡到△ABC中，由正弦定理可得．【解答】解：在三角形ABC中，∠A=30°，∠C=75°﹣30°=45°．…〔2分〕由正弦定理得BC==2，CD=BCtan30°=〔千米〕．所以此岛露出海平面的局部CD为千米．…〔12分〕【点评】此题考查解三角形的实际应用，从实际问题中抽象出三角形是解决问题的关键，属根底题．19．〔12分〕〔2023秋•保定期末〕高三〔3〕班班主任根据本班50名学生体能测试成绩，绘制频率分布直方图〔如下图〕，其中样本数据分组区间为[40，50〕，[50，60〕，…，[80，90〕，[90，100]．〔1〕求频率分布图中a的值；〔2〕求该班50名学生中，成绩不低于80分的概率；〔3〕从成绩在[40，60〕的学生中，随机抽取2人，求此2人分数都在[40，50〕的概率．【考点】列举法计算根本领件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】〔1〕由频率分布直方图中小矩形面积之和为1，能求出a．〔2〕由所给频率分布直方图知，50名学生成绩不低于80的频率为0.4，由此能求出该班成绩不低于80的概率的估计值．〔3〕学生成绩在[50，60〕的有3人，记为A1，A2，A3，学生成绩在[40，50〕的有2人，记为B1，B2．由此能求出此2人分数都在[40，50〕的概率．【解答】解：〔1〕因为〔0.004+a+0.018+0.022+0.028〕×10=1，所以a=0.006．…〔3分〕〔2〕由所给频率分布直方图知，50名学生成绩不低于80的频率为〔0.022+0.018〕×10=0.4，所以该班成绩不低于80的概率的估计值为0.4．…〔7分〕〔3〕学生成绩在[50，60〕的有：50×0.006×10=3〔人〕，记为A1，A2，A3，学生成绩在[40，50〕的有：50×0.004×10=2〔人〕，记为B1，B2．从这5名学生中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}，又因为所抽取2人的成绩都在[40，50〕的结果有1种，即{B1，B2}，故所求的概率为p=．…〔12分〕【点评】此题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是根底题，解题时要认真是题，注意列举法的合理运用．20．〔12分〕〔2023秋•保定期末〕如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD是以O为中心的正方形，PO⊥底面ABCD，AB=2，M为BC的中点且PM⊥AP．〔1〕证明：PM⊥平面PAD；〔2〕求四棱锥P﹣ABMO的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【分析】〔1〕推导出△PBC为等腰三角形，从而PM⊥BC，从而PM⊥AD，再由PM⊥AP，能证明PM⊥平面PAD．〔2〕延长MO与AD交于E，并连接PE．求出PO=1，且PO⊥平面AMO，由此能求出四棱锥P﹣ABMO的体积．【解答】证明：〔1〕∵底面四边形ABCD是以O为中心的正方形且PO⊥底面ABCD．∴△PBC为等腰三角形，又∵M为BC的中点，∴PM⊥BC，…〔2分〕又∵AD∥BC，∴PM⊥AD，又∵PM⊥AP，∴PM⊥平面PAD．解：〔2〕如图，延长MO与AD交于E，并连接PE．∵O为正方形ABCD的中心，M为BC的中点，∴E为AD的中点，∵底面四边形ABCD是以O为中心的正方形且PO⊥底面ABCD，…〔8分〕由〔1〕得△PME为等腰直角三角形，又∵AB=2，∴PO=1，且PO⊥平面AMO，∴四棱锥P﹣ABMO的体积：VP﹣ABMO=S四边形ABMO•PO=，所以四棱锥P﹣ABMO的体积为．…〔12分〕【点评】此题考查线面垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．21．〔12分〕〔2023秋•保定期末〕椭圆C：+=1〔a＞b＞0〕的右焦点为〔1，0〕，离心率为．〔1〕求椭圆C的标准方程；〔2〕过点P〔0，3〕的直线m与C交于A、B两点，假设A是PB的中点，求直线m的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】〔1〕由题意可知：c=1，由椭圆的离心率e==，那么a=2，b2=a2﹣c2=3，即可求得椭圆C的标准方程；〔2〕由设其方程为y=kx+3，A是PB的中点，x1=，①y1=，②代入椭圆方程，即可求得B点坐标，求得直线m的斜率为﹣或，求得直线m的方程，直线m的斜率不存在，那么可得A点的坐标为〔0，〕，B点的坐标为〔0，﹣〕，显然不存在．【解答】解：〔1〕椭圆C：+=