2022届福州市某中学高三考前热身数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在平面直角坐标系X。)，中，锐角。顶点在坐标原点，始边为x轴正半轴，终边与单位圆交于点P(乎，加，则

sin(2e+j=()

A&V1007&n3而

A.RB.------C.------D.------

10101010

2.已知方程》国+>|乂=-1表示的曲线为y=/(x)的图象，对于函数y=/(x)有如下结论：①/(幻在(，物")上

单调递减；②函数b(x)=/(x)+x至少存在一个零点；③y=/(|x|)的最大值为1；④若函数g(x)和/(幻图象关于

原点对称，则卜=晨了)由方程y|y|+xW=l所确定；则正确命题序号为()

A.①③B.②③C.①④D.②④

3.已知过点P(L1)且与曲线y=/相切的直线的条数有().

A.0B.1C.2D.3

4.已知加，〃是两条不重合的直线，①〃是两个不重合的平面，下列命题正确的是()

A.若加||。，加||万，n//a,n//p,则a||月

B.若加〃〃，加_La,n10,则月

C.若机ua,nu0,则a,尸

D.若m_L〃，m\\a,nA./3,则

5.已知抛物线。：丁=2〃宜〃>0)的焦点为尸，过点尸的直线/与抛物线。交于4,8两点(设点A位于第一象限),

过点A,3分别作抛物线。的准线的垂线，垂足分别为点A-5，抛物线。的准线交x轴于点K,若整*=2,则

I81KI

直线/的斜率为

A.1B.0C.2及D.6

6.函数g（x）=羯皿如+夕）（4>0,0<夕<2乃）的部分图象如图所示，已知g（O）=g[?）=由，函数y=/（x）

的图象可由y=g（x）图象向右平移g个单位长度而得到，则函数/（x）的解析式为（）

A.〃x)=2sin2xB./(x)=2sin[2x+?

C./(x)=-2sinxD./(x)=2sin2x--

7.已知函数〃x)满足/(1一x)=/(l+x),当xNl时，/(x)=x-|,贝！]{x|/(x+2)>l}=(

A.{x[x<-3或x>0}B.{x|x<0或x>2}

C.{x[x<-2或x>0}D.{x|x<2或x>4}

8.设6,用分别是椭圆E：1+与=1（。">0）的左、右焦点，过尸2的直线交椭圆于A，8两点，且通「底=0,

a~b~

南=2可，则椭圆£的离心率为（）

9.某校为提高新入聘教师的教学水平，实行“老带新”的师徒结对指导形式，要求每位老教师都有徒弟，每位新教师都

有一位老教师指导，现选出3位老教师负责指导5位新入聘教师，则不同的师徒结对方式共有（）种.

A.360B.240C.150D.120

10.已知函数/（x）=sin3x—cos3x,给出下列四个结论：①函数/⑺的值域是卜0,3]；②函数/冗+彳为

奇函数；③函数“X）在区间单调递减；④若对任意xeR,都有/（百）〈/（力〈/（与）成立，则|内一出|的

最小值为其中正确结论的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

11.下图是我国第24~30届奥运奖牌数的回眸和中国代表团奖牌总数统计图，根据表和统计图，以下描述正确的是

（）.

金牌银牌铜牌奖牌

（块）（块）（块）总数

245111228

2516221254

2616221250

2728161559

2832171463

29512128100

3038272388

120

*278*2*居*298

国代*0）契

A.中国代表团的奥运奖牌总数一直保持上升趋势

B.折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化，不具有实际意义

C.第30届与第29届北京奥运会相比，奥运金牌数、银牌数、铜牌数都有所下降

D.统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数的中位数是54.5

2%_工3<0]

12.已知函数，（幻='一，则/（/（_））=（）

In龙,x>0e

3

A.-B.1C.-1D.0

2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

22

13.如图，耳、与分别是双曲线=1的左、右焦点，过尼的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于A、B两

ab~

14.由于受到网络电商的冲击，某品牌的洗衣机在线下的销售受到影响，承受了一定的经济损失，现将A地区200家

实体店该品牌洗衣机的月经济损失统计如图所示，估算月经济损失的平均数为m，中位数为"，则机-〃=.

15.五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”.中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽，如果

把这五个音阶全用上，排成一个五个音阶的音序，且要求宫、羽两音阶不相邻且在角音阶的同侧，可排成种不

同的音序.

16.某大学A、B、C、。四个不同的专业人数占本校总人数的比例依次为3.2%、4.8%、4%、5.2%,现欲采用

分层抽样的方法从这四个专业的总人数中抽取129人调查毕业后的就业情况，则。专业应抽取人.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知函数，(x)=gx2+wu+lnx.

(1)若函数f(x)不存在单调递减区间，求实数，〃的取值范围；

(2)若函数y=/(x)的两个极值点为不马(玉＜w)，他4一斗，求/(%)-/(%)的最小值.

18.(12分)如图，已知平面。8c与直线Q4均垂直于所在平面，且孙=AB=4C.

(1)求证：B4//平面Q8C；

(2)若PQ_L平面QBC,求CQ与平面P8C所成角的正弦值.

19.(12分)某房地产开发商在其开发的某小区前修建了一个弓形景观湖.如图，该弓形所在的圆是以为直径的

圆，且A3=300米，景观湖边界CO与平行且它们间的距离为50近米.开发商计划从A点出发建一座景观桥

(假定建成的景观桥的桥面与地面和水面均平行)，桥面在湖面上的部分记作PQ.设NAOP=2G.

(1)用。表示线段PQ,并确定sin26的范围；

(2)为了使小区居民可以充分地欣赏湖景，所以要将PQ的长度设计到最长，求PQ的最大值.

20.(12分)选修4-4：坐标系与参数方程

x=2cos0

已知曲线G的参数方程是｛.八(。为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C

y=sin。

的极坐标方程是。=2sind.

(1)写出G的极坐标方程和G的直角坐标方程；

(2)已知点M2的极坐标分别为［1，、］和(2,0),直线与曲线相交于P，。两点，射线OP与曲线

G相交于点A,射线与曲线G相交于点3,求巧)+此加的值.

21.（12分）如图，在四棱锥P—4BCD中，底面ABCD是菱形，NN54£>=60°,△RV）是边长为2的正三角形,

PC=M，E为线段的中点.

（1）求证：平面PBC-L平面P3E；

（2）若尸为线段PC上一点，当二面角P—D3—厂的余弦值为好时，求三棱锥B—包厂的体积.

5

22.（10分）在锐角三角形A8C中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知tanAtan民tanC成等差数列,

cosA,JcosC,cosB成等比数列.

（1）求A的值；

（2）若△ABC的面积为1,求c的值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

根据单位圆以及角度范围，可得加，然后根据三角函数定义，可得sinacos®,最后根据两角和的正弦公式，二倍角

公式，简单计算，可得结果.

【详解】

由题可知:+m2=1,又。为锐角

所以机>0,机=工

5

根据三角函数的定义：sin6=2,cose=且

55

4

所以sin20=2sin0cos0=—

3

cos20=cos2^-sin20=——

5

/7T\T7C1T7T1

由sin20+—=sin2。cos—+cos2。sin一

I4)4444

4^300

所以sin20+-—x--------x=----

l4J525210

故选：A

【点睛】

本题考查三角函数的定义以及两角和正弦公式，还考查二倍角的正弦、余弦公式，难点在于公式的计算，识记公式,

简单计算，属基础题.

2.C

【解析】

分四类情况进行讨论，然后画出相对应的图象，由图象可以判断所给命题的真假性.

【详解】

22

(1)当y20时，x+y=-\,此时不存在图象;

(2)当xNO,y<0时，/_尤2=],此时为实轴为y轴的双曲线一部分;

(3)当x<0,yNO时,x2-y2=l,此时为实轴为x轴的双曲线一部分;

(4)当x<0,y<0时，x2+y2=\,此时为圆心在原点，半径为1的圆的一部分;

画出y=/(x)的图象,

由图象可得：

对于①，f(x)在(…，收)上单调递减，所以①正确;

对于②，函数、=/（为与＞=一》的图象没有交点，即E（x）=/（x）+x没有零点，所以②错误；

对于③，由函数图象的对称性可知③错误；

对于④，函数g（x）和/（X）图象关于原点对称，则1中用t代替x,用一），代替y,可得丁仅|+%忖=1，

所以④正确.

故选：c

【点睛】

本题主要考查了双曲线的简单几何性质，函数的图象与性质，函数的零点概念，考查了数形结合的数学思想.

3.C

【解析】

设切点为（x0,yo）,则y0=xo3,由于直线]经过点（1,1）,可得切线的斜率，再根据导数的几何意义求出曲线在点X。处

的切线斜率，建立关于X。的方程，从而可求方程.

【详解】

若直线与曲线切于点HO）,则k=¥==&==x；+x（）+l,

X。—1x0-l

又Ty'=3x2,r.y[x=X0=3x（）2,，ax。？一X。-1=0,解得x0=i,x（）=_Lt

二过点P（U）与曲线C:y=x'相切的直线方程为3x—y-2=0或3x_4y+l=0,

故选C.

【点睛】

本题主要考查了利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，求解曲线的切线的方程，其中解答中熟记利用导数的几何

意义求解切线的方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.

4.B

【解析】

根据空间中线线、线面位置关系，逐项判断即可得出结果.

【详解】

A选项，若根||。，m\\j3,n//a,n///3,则a||£或a与4相交；故A错；

B选项，若相〃〃，mVa,则〃_La,又〃_L尸，a,/?是两个不重合的平面，则口||夕，故B正确；

C选项，若加_L〃，mua,则〃ua或〃〃&或〃与a相交，又nu。，a,6是两个不重合的平面，则a||A或a

与P相交；故C错;

D选项，若利」〃，m\\a,则〃ua或〃〃&或〃与a相交，又n工/3,a,夕是两个不重合的平面，则二||4或a与

月相交；故D错；

故选B

【点睛】

本题主要考查与线面、线线相关的命题，熟记线线、线面位置关系，即可求解，属于常考题型.

5.C

【解析】

根据抛物线定义，可得IAEHA4J,I8FR38",

又抽〃雁〃叫所以空!j所以小1=凶=2,

1mn

'\BtK\\BF\^\BtK\|

设|3旦|=机（〃]>0）,贝（JlMbZa,则COSZ/I&MCOSZBM=

IAB\2m+m3

所以sinZAFx=半，所以直线/的斜率％=tanZA6=20.故选C.

6.A

【解析】

由图根据三角函数图像的对称性可得[=葛-2x7=1,利用周期公式可得①，再根据图像过仁可（0,@,即

可求出e,A,再利用三角函数的平移变换即可求解.

【详解】

由图像可知工=包一2*工=2，即7=万，

2662

所以T=当，解得。=2,

CO

又gQ）=对山（2*2+0）=0,

所以§+"=%兀（攵£Z）,由0<0<2万，

2兀5n

所以夕或刀，

33

又g（o）=G，

所以Asine=J^,（A>0）,

2九

所以4=2,

即g(x)=2sin^2x+^j,

因为函数y=/(x)的图象由y=g(x)图象向右平移?个单位长度而得到，

所以y=/(x)=2sin[2(x—-2sinlx.

故选：A

【点睛】

本题考查了由图像求三角函数的解析式、三角函数图像的平移伸缩变换，需掌握三角形函数的平移伸缩变换原则，属

于基础题.

7.C

【解析】

,2,

2x__—]

简单判断可知函数关于X=1对称，然后根据函数/'(x)=x—-的单调性，并计算，结合对称性，可得结果.

X[x>0

【详解】

由，。一X)=/(l+X),

可知函数/(X)关于X=1对称

、2

当时，f(x)=x—,

X

2

可知/(x)=X-*在[L+8)单调递增

---1

则<x=>x=2

x>0

又函数/(X)关于％=1对称，所以/(o)=l

且“X)在(一叫1)单调递减，

所以x+2<0或x+2>2,故xv-2或x>0

所以{x|/(x+2)〉l}={x|x<—2或x>0}

故选：C

【点睛】

本题考查函数的对称性以及单调性求解不等式，抽象函数给出式子的意义，比如：/(l-x)=./(l+x),

/(1-力+/(1+力=0,考验分析能力，属中档题.

8.C

【解析】

根据阳=2所表示出线段长度，由勾股定理，解出每条线段的长度，再由勾股定理构造出关系，求出离心率.

【详解】

•.­幅=2哥

设BF2=x,则A居=2x

由椭圆的定义，可以得到A《=2。-2元,84=2。一工

•.•沂亚'=AFilAF2

在心中，有(2a-2x)2+(3x)2=(2a-力1解得*=

4.2a,^a

••Acg=可,的r=石

在Rt^AK巴中，w[yJ+[yT=(2c)2

整理得《=*,，e=£=好

a29a3

故选C项.

【点睛】

本题考查几何法求椭圆离心率，是求椭圆离心率的一个常用方法，通过几何关系，构造出a，。关系，得到离心率.属于

中档题.

9.C

【解析】

可分成两类，一类是3个新教师与一个老教师结对，其他一新一老结对，第二类两个老教师各带两个新教师，一个老

教师带一个新教师，分别计算后相加即可.

【详解】

分成两类，一类是3个新教师与同一个老教师结对，有C：8=6()种结对结对方式，第二类两个老教师各带两个新教

师，有警

=90.

,共有结对方式60+90=150种.

故选：c.

【点睛】

本题考查排列组合的综合应用.解题关键确定怎样完成新老教师结对这个事情，是先分类还是先分步，确定方法后再

计数.本题中有一个平均分组问题.计数时容易出错.两组中每组中人数都是2,因此方法数为5C2c二2.

2!

10.C

【解析】

化/(X)的解析式为&sin(3x—?)可判断①，求出+的解析式可判断②，由xe得

结合正弦函数得图象即可判断③，由

444

/&)«/(x)<)得|内-々L=!可判断④.

【详解】

由题意，/(x)=V2sin(3x-^),所以e[-在人],故①正确;/(x+?)=

0sin[3(x+g)-9]=J5sin(3x+q)=0cos3x为偶函数，故②错误；当xepy

时，3x-^e[y,y],/(x)单调递减，故③正确；若对任意xeR,都有

/(王)〈/(同《/(工2)成立，则*为最小值点，七为最大值点，则上一x?|的最小值为

T7t

—=一,故④正确.

23

故选：C.

【点睛】

本题考查三角函数的综合运用，涉及到函数的值域、函数单调性、函数奇偶性及函数最值等内容，是一道较为综合的

问题.

11.B

【解析】

根据表格和折线统计图逐一判断即可.

【详解】

A.中国代表团的奥运奖牌总数不是一直保持上升趋势，29届最多，错误；

B.折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化，不表示某种意思，正确；

C.30届与第29届北京奥运会相比，奥运金牌数、铜牌数有所下降，银牌数有所上升，错误；

D.统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数按照顺序排列的中位数为-----^=56.5,不正确；

2

故选：B

【点睛】

此题考查统计图，关键点读懂折线图，属于简单题目.

12.A

【解析】

由函数f(x)=2一求得f(3=in，=-1,进而求得的值，得到答案.

Inx,x>0eee

【详解】

，,、[2V-X3,X<0

由题意函数.=1,

Inx,x>0

I113

则/(一)=ln—=—1,所以/(/(—))=/(—1)=2一|一(一1)3=:;,故选A.

eee2

【点睛】

本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中根据分段函数的解析式，代入求解是解答的关键，着重考查了推理

与运算能力，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.2

【解析】

—►—►b

根据三角形中位线证得AO〃B£,结合耳—鸟5=0判断出A。垂直平分8g,由此求得’的值，结合求

得£的值.

a

【详解】

,•,豆=•瓦.,•A为因中点，AO//BF,,•.•不从月万=0,AO垂直平分叫，

ZAOF,=ZAOB=ABOF,=60°,即2=tan60。=6,，8=&，c?=3/+/=4/,即6=£=2.

aa

故答案为：2

【点睛】

本小题主要考查双曲线离心率的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.

14.360

【解析】

先计算第一块小矩形的面积S1=0.3,第二块小矩形的面积S2=0.4,,面积和超过0.5,所以中位数在第二块求解，

然后再求得平均数作差即可.

【详解】

第一块小矩形的面积S,=0.3,第二块小矩形的面积S2=0.4,

故〃=2000+0-5"0-3=3000；

0.0002

而m=1()()()x0.3+3000x0.4+5()(X)x0.18+(7(X)0+90(X))x0.06=3360,

故加一〃=360.

故答案为：360.

【点睛】

本题考查频率分布直方图、样本的数字特征，考查运算求解能力以及数形结合思想，属于基础题.

15.1

【解析】

按照“角”的位置分类，分“角”在两端,在中间，以及在第二个或第四个位置上，即可求出.

【详解】

①若“角”在两端,则宫、羽两音阶一定在角音阶同侧，此时有2x3x^x&=24种；

②若“角”在中间，则不可能出现宫、羽两音阶不相邻且在角音阶的同侧；

③若“角”在第二个或第四个位置上，则有2A；用=8种；

综上，共有24+8=32种.

故答案为：1.

【点睛】

本题主要考查利用排列知识解决实际问题，涉及分步计数乘法原理和分类计数加法原理的应用，意在考查学生分类讨论

思想的应用和综合运用知识的能力，属于基础题.

16.39

【解析】

求出。专业人数在A、B、C、。四个专业总人数的比例后可得.

【详解】

由题意A、B、C、。四个不同的专业人数的比例为8:12:10:13,故。专业应抽取的人数为

129x------=-----=39.

8+12+10+13

故答案为：1.

【点睛】

本题考查分层抽样，根据分层抽样的定义，在各层抽取样本数量是按比例抽取的.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)[-2,+00)(2)j-ln2

【解析】

分析：(1)先求导，再令/'(x)»0在(0,+8)上恒成立，得到x+’N-m在(0,+e)上恒成立，利用基本不等式得到

X

m的取值范围.(2)先由r(x)=x+，+m=1+〃"=0得到

XX

再求得了(%)一/(工2)=1口五一:五一土

玉+工2=-m,x}x2=1,,再构造函数

X221%2%J

令:=t,g(t)=hit-<(t-；)(0<t<1),再利用导数求其最小值.

详解：(1)由函数/(力=3/+，依+11«:有意义，则x>0,即定义域为(0,+。)

由/'(x)=x+m+：，且/(x)不存在单调递减区间，则/'(x)“在(0,+<功上恒成立,

xH—2—mit(0,+8)上恒成立

X

vx>0,x+->2Vi=2,当且仅当x=1时取到最小值2

X

.•.-mK2恒成立，解得mi-2

.•.171的取值范围为［-2,+8)

(2)由⑴知f(x)定义域为(0,+<»)f(x)=x+、+m,

X

令/'(x)=x+)+〃z=％+如+1=0,BPx2+mr4-l=0

xx

由/(x)有两个极值点玉,x2(0<xI<x2)

故％,工2为方程如+1=0的两根，

/.x+/=-m,XjX2=1,

2X2%)

m=一（玉+工2），q=—,马=-

X?王

2

则/（百）-/（工2）=3+/g+］叫-(gx2+twc2+lnx2］

=3（尤,一々2）+机（%一九2)+1。匕

2-%2-

=g（尤「-^2）（12

x2)+ln—

=喘一/1）

=lnA_l工一垣

X

x22（工2\>

由0<%</，令土=兀£“/)=1皿_；,_；］,则0<.<1,

X2

由心）=；3.二=一”工<0,则g(。在(0』)上单调递减

2r

又.「MW一述，即_（30

%+/)W2

21

'X1+X2-一^一

•,•(X|+%2)=玉2+X；+2%|%2=---+2=fH-2>-

x2Xjt2

15

,,t~\—之一

t2

:.t>2或r<-

2

由()<f<l知0</<!

2

•••g(x)Ng(£)=$胎2)=、-ln2

综上所述，/(%)-/(/)的最小值为、-ln2.

点睛：(1)本题主要考查利用导数求函数的单调区间和极值,考查利用导数求函数的最值，意在考查学生对这些知识

的掌握水平和分析推理能力.(2)本题的难点有两个，其一是求出/(芯)-/(々)=心百•一;土-五，其二是构造函数

令:=t,g(t)=Int——；］(0<t<1),再利用导数求其最小值.

18.(1)见解析；(2)@

3

【解析】

(I)证明：过点。作于点。，

•••平面QBC_L平面ABC,AQD±平面ABC

又：24,平面ABC

.t.QD//PA,

又•••。。之平面Q3C

；•Q4〃平面Q8C

(D)'：PQ±平面QBC：.NPQB=NPQC=90,又,：PB=PC,PQ=PQ：.\PQB^\PQC：.BQ=CQ

.••点。是8c的中点，连结AO,则AOL3C

AZ)_L平面。3c.•.PQ〃A。，AD1QD

四边形PAOQ是矩形

设R4=AB=AC=2a,得:PQ=AD=\p2a»PD=V6a

又：BC±PA,BC±PQ,：.BC1平面P4QQ,

从而平面PBC,平面PA。。，过。作Q”-LP。于点H,则Q"_L平面PBC

ANQCH是CQ与平面PBC所成角

:.QH=2*a=述*CQ=BQ=RI

J63

二CQ与平面PBC所成角的正弦值为显

3

考点：面面垂直的性质定理；线面平行的判定定理；线面垂直的性质定理；直线与平面所成的角.

点评：本题主要考查了线面平行的证明和直线与平面所成的角，属立体几何中的常考题型，较难.本题也可以用向量

法来做：用向量法解题的关键是；首先正确的建立空间直角坐标系，正确求解平面的一个法向量.注意计算要仔细、

认真.咨

19.(1)p2=300sin。—,—<sin2^<1;(2)50"米.

cos。3

【解析】

(D过点。作于点H,再在“8中利用正弦定理求解”，再根据/求解A。,进而求得

PQ.再根据PQ>0确定sin2。的范围即可.

⑵根据⑴有PQ=50夜(3夜山。一熹)，再设〃。)=3y/2smO--^，求导分析函数的单调性与最值即可.

【详解】

解：(1)

过点。作。"J-A6于点”,

则QH=506,

在4Aop中,；OA=OP=150,ZAOP=20,

TT

：.ZOAP=^——e,

2

OPAP

由正弦定理得：$足(三_6)一$足2。,

AP=3OOsin0,

4cQH50V2

AQ=——关--------T-=------------

sinJcos。，

(2)

：.PQ=AP-AQ=300sz〃9-,

COS。

PQ=300sin0-史也〉o,因为cos6>0,

COS。

化简得/<sin26〈l

3

(2)P(2=3OO.sz^=50V2f3V25/n6>一一

令"9)=3A/2sin6-<sin2。W1,且26e(0,万),

tan。、

/⑹=30cos。-

cos20,

(sin20+cos28)tan0、

=cosff35/2-

cos20

=cos6^3^2-(tan2e+l)tan°]=cos6(3五-tan"'-tan。

jr

因为6e(0,—),故cos6>>0

2

令/(6)=0,

即tan'e+tan。一？五=0,

/.(tand—0)(tan。。+\/2tan0+3)=0,

记tanBpe,%e[0,5),

当o<e<%时,尸⑻>oj⑻单调递增;

当e吟时，/（e）<0,/（。）单调递减，

乂*.*51〃2绦=—-—>3，

•••当tand=42时,/S）取最大值，

此时sine=巫,cosO=B,PQ=50A/2f3瓜in®-一二］=50>/6

33Icos刃

・••PQ的最大值为50#米.

【点睛】

本题主要考查了三角函数在实际中的应用，需要根据题意建立角度与长度间的关系，进而求导分析函数的单调性,根据三

角函数值求解对应的最值即可.属于难题.

2115

20.（D线G的普通方程为\r+y2=i,曲线Cz的直角坐标方程为Y+（y-1）2=］；（2）=

【解析】

x=pcosO

试题分析：（D（1）利用cos2e+sin20=l,即可曲线Cl的参数方程化为普通方程，进而利用”.八即可化为极坐

y=psinb

标方程，同理可得曲线C2的直角坐标方程；

（2）由M%过V+（y—1）2=1的圆心，得OP_LOQ得OA_LOB,设4（月，6»）,B^p2,0+^,

两1+研1K1+后1代入—42+夕,02、。=1中即可得解•

试题解析：

（1）曲线G的普通方程为二-+>2=1,化成极坐标方程为Qcos。+22sin2e=1

44

曲线。2的直角坐标方程为l+（y—1）2=1

⑵在直角坐标系下，M）（0,1）,%（2,0）,MlM2:x+2y-2=0

恰好过炉+（丁-1）2=1的圆心，

2

.•./夕0。=90。由0月，。2得。4,03A,3是椭圆工+尸=1上的两点，

在极坐标下，设4(月，8),小2,6+?|分别代入小严+P湎26=1中,

有P12COS2^+「3^2。=1和22cos

+p^sinp+|Ul

4

2

1cos2。.21sin^2八

•*•—~=-----Fsinu9—~=-----Fcos0

Px4p；4

115115

AH4H|0A|2|0B|24

21.(1)见解析；(2)

9

【解析】

(1)先证明P£_LAT>,防上也可证仞,平面「班；，再由45〃BC可证8cl.平面P8E,即得证；

(2)以E为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系七一Ayz,设而=丸定(啖收1),求解面D5P的法向量而，

面。用的法向量5,利用二面角P—DB-产的余弦值为手，可求解2,转化力一户分二匕^女一匕“亦即得解.

【详解】

(1)证明：因为△A4D是正三角形，£为线段AO的中点，

所以P£_LA。.

因为ABC。是菱形，所以AD=AB.

因为44)=60。，所以是正三角形，

所以BELAZ),所以4)，平面PBE.

又AD〃BC,所以8c_L平面P3E.

因为BCu平面PBC,

所以平面PBC_L平面PBE.

(2)由(1)知3C_L平面PBE,

所以BC上PB,PB=ylPC?-B。=«•

而PE=BE=