2022届甘肃省平凉市高三下学期联考数学试题含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

考生须知：

1,全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.执行如图所示的程序框图，则输出的S的值是（）

A.8B.32C.64D.128

2,已知公差不为0的等差数列｛凡｝的前〃项的和为S,,,a,=2,且％,生，为成等比数列，则Sg=（）

A.56B.72C.88D.40

3.某学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为”的样本，其频率分布直方图如图所示，其中

支出在［20,40）（单位：元）的同学有34人，则〃的值为（）

C.90D.90

4.若函数/（力=%2+2%-加85（%+1）+〃/+3加-7有且仅有一个零点，则实数，”的值为（）

A.-3-质

B.3丁一D.2

2

5.根据散点图，对两个具有非线性关系的相关变量x,y进行回归分析，设〃=/町，v=（x-4）\利用最小二乘法，得到

线性回归方程为G=-0.5V+2,则变量y的最大值的估计值是（）

C.IniD.2ln2

6.如图，在等腰梯形ABC。中，ABIIDC,AB=2DC=2AD=2,ND43=60。，£为A3的中点，将A4DE

与ABEC分别沿瓦>、EC向上折起，使A、B重合为点F,则三棱锥方—OCE的外接球的体积是（）

C.，D.%

23

7.已知斜率为2的直线/过抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点F,且与抛物线交于A,B两点，若线段AB的中点

M的纵坐标为1,则p=()

A.1B.0C.2I).4

8.蒙特卡洛算法是以概率和统计的理论、方法为基础的一种计算方法，将所求解的问题同一定的概率模型相联系；用

均匀投点实现统计模拟和抽样，以获得问题的近似解，故又称统计模拟法或统计实验法.现向一边长为2。的正方形模

型内均匀投点，落入阴影部分的概率为，，则圆周率乃“（)

A.4〃+2B.4〃+1

C.6-4pD.4P+3

2

9.双曲线上—y2=l的渐近线方程是（）

4-

A.y=±且xD.y=±2x

2

10.M、N是曲线y=7rsinx与曲线y=7tcosx的两个不同的交点，则|MN|的最小值为（）

A.nB.&7TC.舟D.In

o2

11.已知6,F,是双曲线「-写=13>0力>0）的左、右焦点，若点入关于双曲线渐近线的对称点A满足

ab

/片AO=NAO£（。为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（）

A.y=±2xB.y=±V3xC.y=±5/2xI).y=±x

12.设机、〃是两条不同的直线，。、夕是两个不同的平面，则相夕的一个充分条件是（）

A.a-L/7且，B.mHn旦n工0C.a1.（3豆ml/aD.”且〃//月

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.某班星期一共八节课（上午、下午各四节，其中下午最后两节为社团活动），排课要求为：语文、数学、外语、物

理、化学各排一节，从生物、历史、地理、政治四科中选排一节.若数学必须安排在上午且与外语不相邻（上午第四节

和下午第一节不算相邻），则不同的排法有种.

14.若向量3=卜2,2"=（1,x）满足£/<3,则实数x的取值范围是.

15.已知x>（）,y>0,x+3y=5xy,则x+2y的最小值是

16.AA8C中，角A,B,C的对边分别为a1,c,且A,8,C成等差数列，若。=6，c=\,则AABC的面积为

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面用

于艺术装饰，如图1.为了便于设计，可将该礼品看成是由圆。及其内接等腰三角形A8C绕底边8。上的高所在直线

7T

A。旋转180。而成，如图2.已知圆。的半径为10c〃2,^ZBAO=0,O<0<­,圆锥的侧面积为Sc>.

（1）求S关于。的函数关系式；

（2）为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积S最大.求S取得最大值时腰AB的长度.

fflI图2

18.（12分）设抛物线。：丁=2川（。>0）的焦点为~,准线为/,AB为抛物线C过焦点尸的弦，已知以43为直

径的圆与/相切于点（一1,0）.

(1)求，的值及圆的方程；

(2)设/为/上任意一点，过点M作C的切线，切点为N,证明：MF1NF.

19.(12分)某企业现有A.8两套设备生产某种产品，现从4,8两套设备生产的大量产品中各抽取了100件产品作

为样本，检测某一项质量指标值，若该项质量指标值落在［20,40)内的产品视为合格品，否则为不合格品.图1是从A

设备抽取的样本频率分布直方图，表1是从3设备抽取的样本频数分布表.

图1：A设备生产的样本频率分布直方图

表1：3设备生产的样本频数分布表

质量指标值[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)[40,45)

频数2184814162

(1)请估计A.8设备生产的产品质量指标的平均值;

(2)企业将不合格品全部销毁后，并对合格品进行等级细分，质量指标值落在［25,30)内的定为一等品，每件利润240

元；质量指标值落在［20,25)或［30,35)内的定为二等品，每件利润180元；其它的合格品定为三等品，每件利润120

元.根据图1、表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件

相应等级产品的概率.企业由于投入资金的限制，需要根据A,8两套设备生产的同一种产品每件获得利润的期望值调

整生产规模，请根据以上数据，从经济效益的角度考虑企业应该对哪一套设备加大生产规模？

20.(12分)已知函数/(x)=e*+or,g(x)=e*lnx.

(1)若对于任意实数xNO,/(x)>0恒成立，求实数。的范围；

<2)当a=-l时，是否存在实数七«1,4,使曲线C：y=g(x)-/(x)在点玉,处的切线与>轴垂直？若存在，求

出厮的值；若不存在，说明理由.

21.(12分)在以A8CDEE为顶点的五面体中，底面ABCO为菱形，NABC=120°,AB=AE=ED=2EF,

EF//AB,二面角E—AO—3为直二面角.

(I)证明：BDLFC；

(n)求二面角4一。尸一3的余弦值.

22.(10分)已知点A为圆C：(x—lp+y2=i上的动点，。为坐标原点，过尸(0,4)作直线的垂线(当A、0

重合时，直线Q4约定为》轴)，垂足为M，以。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求点M的轨迹的极坐标方程；

(2)直线/的极坐标方程为psin6+==4,连接。4并延长交/于B,求禺的最大值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.C

【解析】

根据给定的程序框图，逐次计算，结合判断条件，即可求解.

【详解】

由题意，执行上述程序框图，可得

第1次循环，满足判断条件，s=l,k=l；

第2次循环，满足判断条件，s=2#=2；

第3次循环，满足判断条件，S=8«=3；

第4次循环，满足判断条件，S=64,Z=4；

不满足判断条件，输出S=64.

故选：c.

【点睛】

本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出，其中解答中认真审题，逐次计算，结合判断条件求解是解答的关

键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

2.B

【解析】

域=%%0（4+2〃）2=4（4+8〃），将4=2代入，求得公差d,再利用等差数列的前〃项和公式计算即可.

【详解】

由已知，裙=%。9，%=2,故（q+2"f=%（%+84）,解得"=2或4=0（舍），

故=2+（〃_l）x2=2〃，S8=8（。；％）=4（2+2X8）=72.

故选：B.

【点睛】

本题考查等差数列的前"项和公式，考查等差数列基本量的计算，是一道容易题.

3.A

【解析】

利用频率分布直方图得到支出在［20,40）的同学的频率，再结合支出在［20,40）（单位：元）的同学有34人，即得解

【详解】

由题意，支出在［20,40）（单位：元）的同学有34人

由频率分布直方图可知，支出在［20,40）的同学的频率为

34

（0.01+0.024）x10=0.34,二〃=-=100.

0.34

故选：A

【点睛】

本题考查了频率分布直方图的应用，考查了学生概念理解，数据处理，数学运算的能力，属于基础题.

4.D

【解析】

推导出函数y=/（x）的图象关于直线x=—l对称，由题意得出/（-1）=0,进而可求得实数加的值，并对加的值进

行检验，即可得出结果.

【详解】

,.,/(x)=(x+l)--mcos(x+l)+m2+3m-8»

则/(-1+x)=(-1+x+l)~-z«cos(-l+x+l)+m2+3m-8=x2-mcosx+m2+3m-8,

/(-l-x)=(-l-x+l)--wcos(-l-x+l)+/n2+3/«-8=x2-mcosx+w2+3加一8,

.-./(-1+x)=/(-I-%),所以，函数y=/(x)的图象关于直线X=-1对称.

若函数y=/(x)的零点不为x=-1,则该函数的零点必成对出现，不合题意.

所以，/(T)=°，即＞+2〃z-8=0,解得〃?=-4或2.

①当m=T时，令/(x)=(x+l)~-4cos(x+l)-4=0,得4cos(x+l)=4-(x+l)2,作出函数y=4cos(x+l)与

不合乎题意;

②当机=2时，•••cos(x+l)Wl,.•.〃X)=(X+1)2—2COS(X+1)+220,当且仅当x=-l时，等号成立，则函数

y=/(x)有且只有一个零点.

综上所述，m=2.

故选：D.

【点睛】

本题考查利用函数的零点个数求参数，考查函数图象对称性的应用，解答的关键就是推导出/(-1)=0,在求出参数

后要对参数的值进行检验，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

5.B

【解析】

将“=/〃y,v=（x-4）2代入线性回归方程。=-0.592,利用指数函数和二次函数的性质可得最大估计值.

【详解】

解：将“=3，》>=（厂4）2代入线性回归方程力=-0.5丫+2得：

Iny=-0.5（x-4）2+2,即y=产…）,

当x=4时，-0.5（x-4y+2取到最大值2,

因为y=e*在R上单调递增，则）=15（1『+2取到最大值^2.

故选：B.

【点睛】

本题考查了非线性相关的二次拟合问题，考查复合型指数函数的最值，是基础题”

6.A

【解析】

由题意等腰梯形中的三个三角形都是等边三角形，折叠成的三棱锥是正四面体，易求得其外接球半径，得球体积.

【详解】

由题意等腰梯形中ZM=A£=E5=8C=C0,又ND钻=60。，二A4£。，ABCE是靠边三角形，从而可得

OE=CE=，.•.折叠后三棱锥F—DEC是棱长为1的正四面体，

设M是A0CE的中心，则平面£>C£,DM=-x—xl=—,FM=yjFD2-DM2=—,

3233

F—Z）CE外接球球心。必在高加上，设外接球半径为R,即。厂=。。=火，

：.史=吟一底+吟¥，解得R=手，

球体积为V=±7rR3=—7TX.

3348

故选：A.

【点睛】

本题考查求球的体积，解题关键是由已知条件确定折叠成的三棱锥是正四面体.

7.C

【解析】

设直线I的方程为X=yj+^,与抛物线联立利用韦达定理可得p.

【详解】

由已知得F0),设直线/的方程为+并与y2=2px联立得y2-py-p2=o,

设A(X1,Ji),B(X2,J2),A5的中点C(xo,Jo),

・・・yi+y2=p,

又线段AB的中点M的纵坐标为1,则/=；(ji+j2)=々=\，所以P=2,

故选C.

【点睛】

本题主要考查了直线与抛物线的相交弦问题，利用韦达定理是解题的关键，属中档题.

8.A

【解析】

计算出黑色部分的面积与总面积的比，即可得解.

【详解】

7T—1

/.〃=4/7+2.

4

故选：A

【点睛】

本题考查了面积型几何概型的概率的计算，属于基础题.

9.C

【解析】

根据双曲线的标准方程即可得出该双曲线的渐近线方程.

【详解】

由题意可知，双曲线宁一：/=1的渐近线方程是丫=±5.

故选：C.

【点睛】

本题考查双曲线的渐近线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线的简单性质的合理运用.

10.C

【解析】

两函数的图象如图所示,则图中|MN|最小，

设M(xi,yi),N(x2,y2),

K5

则nilXl=—,X2=—7T,

44

|Xl-X2|=7t,

|yi-y2|=|7rsinXl-7TCOSX2|

V2上夜

22

=V2Jr,

•••|MN|=42+23t2=£兀故选c.

11.B

【解析】

先利用对称得AF21OM,根据/片A。=44。耳可得A£=c,由几何性质可得NA6O=60,即NMOF?=6()。,

从而解得渐近线方程.

【详解】

如图所示：

由对称性可得：M为人工的中点，且

所以耳AJ_A鸟，

因为NKAO=NAOK，所以A£=EO=c,

故而由几何性质可得ZA^O=60。，即ZMOF2=60,

故渐近线方程为y=±Gx,

故选B.

【点睛】

本题考查了点关于直线对称点的知识，考查了双曲线渐近线方程，由题意得出NMOg=60是解题的关键，属于中档

题.

12.B

【解析】

由机//〃且〃，力可得〃故选B.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.1344

【解析】

分四种情况讨论即可

【详解】

解：数学排在第一节时有：C：xA：xC：=384

数学排在第二节时有：C；xA：xC：=288

数学排在第三节时有：CxA；xC：=288

数学排在第四节时有：C：xA；xC=384

所以共有1344种

故答案为：1344

【点睛】

考查排列、组合的应用，注意分类讨论，做到不重不漏；基础题.

14.(-3,1)

【解析】

根据题意计算£.石=m+2犬<3,解得答案.

【详解】

a=(x:2)石=(1,x),故〃•h=x?+2xv3,解得-3<X<1.

故答案为：(一3,1).

【点睛】

本题考查了向量的数量积，意在考查学生的计算能力.

15•----bl•

5

【解析】

\(13、

因为1+2丁=1一+—(%+2y),展开后利用基本不等式，即可得到本题答案.

51yX)

【详解】

13

由x+3y=5zy,得一+—=5,

yx

src1(13Y△、1(x6)、1___lx6y2^61

所以x+2y=——+—(x+2y)=—5cHF—>—(5+2/------)x=------bl当且仅当尤=Cy,取等号.

51yx).5(yxj5\yx5

故答案为：巫+1

5

【点睛】

本题主要考查利用基本不等式求最值，考查学生的转化能力和运算求解能力.

16.B.

2

【解析】

TT

由A,B,C成等差数列得出8=60。，利用正弦定理得C进而得A=一代入三角形的面积公式即可得出.

2

【详解】

VA,B,C成等差数歹!],.M+COB,

又A+5+C=180°,.,.3B=180°,5=60°.

ch177

故由正弦定理-----=-----.-.sinC=-vc<^.-.C=-故吟

sinCsinB26

所以SAABC=—hc=f

22

故答案为：B

2

【点睛】

本题考查了等差数列的性质，三角形的面积公式，考查正弦定理的应用，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)5=400nsin^cos2^,(0<^<-)(2)侧面积S取得最大值时，等腰三角形的腰A3的长度为卫巫cm

23

【解析】

TT

试题分析：(1)由条件，AB=20cos^,BD=2()cos0-sin0,所以S=400;rsinecos2e,(0<^<—)；(2)

S=400%sinecos2e=40()Hsine-sin3e)^x=sin。，所以得人力=x-丁，通过求导分析，得/(x)在

时取得极大值，也是最大值.

试题解析：

(1)设四交BC于点。，过G作OELAB，垂足为E,

在AAO石中，AE=1OCOS0,AB=2AE—20cos0,

在AABD中，BD=AB-sin^=2()cos^-sin0,

JI

所以S=400^-sin^cos2^,(0<^<­)

(2)要使侧面积最大，由(1)得：

S=400%sin6cos2。=4004卜皿夕—sin'。)

☆x=sin。，所以得/(无)=》一》3,

由/。)=1-3公=0得：x=g

当0,时，/'(x)>0,当xe，1时，/'(x)<0

所以/(x)在区间上单调递增，在区间,1上单调递减,

所以/(X)在X=当时取得极大值，也是最大值;

所以当sin。=走时，侧面积S取得最大值，

3

此时等腰三角形的腰长A8=20cos6=20Vfii百=20,与=当区

答：侧面积S取得最大值时，等腰三角形的腰AB的长度为生尼cm.

3

18.(1)2,(x—l)?+y2=4；(2)证明见解析.

【解析】

(1)由题意得/的方程为x=—根据AB为抛物线。过焦点厂的弦，以AB为直径的圆与/相切于点(-1,0)・.利

用抛物线和圆的对称性，可得-5=-1,圆心为尸(1,0),半径为2.

(2)设MN的方程为y=%(x+l)+%,代入C的方程，得"-4)，+4(%+%)=0,根据直线与抛物线

相切，令A=16-162(%+2)=O，得.％+%=：，代入。2-4y+4(%+k)=0,解得y=将丁=代入。的方程，

Kkk

得x=\,得到点N的坐标为(5,g],然后求解而彳.丽.

【详解】

(D解：由题意得/的方程为x=—K,

2

所以一岑=一1,解得。=2.

2

又由抛物线和圆的对称性可知，所求圆的圆心为尸(1,0),半径为2.

所以圆的方程为(x—lp+y2=4.

(2)证明：易知直线MN的斜率存在且不为0,

设M(—1,%),MN的方程为丫=刈》+1)+%,代入C的方程,

得力2-4y+4(%+L)=0.

令△=16-16k(y()+k)=0,得%+&=5,

k

所以妙2_4y+4(%+k)=U~~华+4,解得丫=].

kk

将y=|代入C的方程，得x=*，即点N的坐标为1},£|,

所以FA/=(一2,%),加=(5一1,胃，

________222门、2

FM-F/V=2-p-+yo--=2-p-+l--^l--=O,

故MF工NF.

【点睛】

本题主要考查抛物线的定义几何性质以及直线与抛物线的位置关系，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属

于中档题.

19.(1)亏=30.2,居=29；(2)5设备

【解析】

(1)平均数的估计值为组中值与频率乘积的和；

(2)要注意指标值落在[20,40)内的产品才视为合格品，列出4、8设备利润分布列，算出期望即可作出决策.

【详解】

(DA设备生产的样本的频数分布表如下

质量指标值

[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)[40,45)

XA

频数41640121810

=0.04x17.5+0.16x22.5+0.40x27.5+0.12x32.5+0.18x37.5+0.10x42.5=30.2.

根据样本质量指标平均值估计4设备生产一件产品质量指标平均值为30.2.

B设备生产的样本的频数分布表如下

质量指标值

[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)[40,45)

XH

频数2184814162

豆=17.5x0.02+22.5x0.18+27.5x0.48+32.5x0.14+37.5x0.16+42.5x0.02=29

根据样本质量指标平均值估计B设备生产一件产品质量指标平均值为29.

(2)A设备生产一件产品的利润记为X,B设备生产一件产品的利润记为Y,

X240180120

20149

P

434343

Y240180120

j_j_

P

236

E(X).(240x20+180x14+120x9)=195.35

£(/)=240x1+180xi+120x1=200

236

E(X)<E")

若以生产一件产品的利润作为决策依据，企业应加大B设备的生产规模.

【点睛】

本题考查平均数的估计值、离散随机变量的期望，并利用期望作决策，是一个概率与统计综合题，本题是一道中档题.

20.(1)(―e,+»)；(2)不存在实数毛«1,百，使曲线》="(%)在点》=玉)处的切线与一丫轴垂直.

【解析】

XX

(D分类x=0时，恒成立，》¥()时，分离参数为。〉一引入新函数H(x)=-J,利用导数求得函数最值即

XX

可；

(2)M(x)=f(x)-g(x)=exInx-e'+x,导出导函数M'(x),问题转化为M'(x)=0在［l,e］上有解.再用导数研

究M(x)的性质可得.

【详解】

解：(1)因为当x»0时，/(司="+以>0恒成立，

所以，若x=0,。为任意实数，/(力=^+6:^恒成立.

若x>(),/(x)=e"+依>0恒成立，

即当x>0时，a>~—

X

设“⑴」，〃，(x)=_y=

XXX

当xe(O,l)时，H'(x)>0,则”(x)在(0,1)上单调递增，

当xe(l,+8)时，力(力<0,则”(无)在(1,内)上单调递减，

所以当x=l时，”(x)取得最大值.

“(力皿=/1)=-6，

所以，要使x»()时，/(x)>0恒成立，。的取值范围为(一4+8).

(2)由题意，曲线C为：y=exlnx-e'+x.

令M(x)=ex\nx—ex+x,

x

所以M<x)=一e+e"lnx-e*+1=[-+lnx-lje"+1,

X

设/?(%)=』+lnx-l,则》(x)=--y+—x-1

x2

当X£[l,e]时，/z*(x)>0,

故/i(x)在［l,e］上为增函数，因此人(力在区间［l,e］上的最小值〃⑴=In1=0,

所以/?(%)=—+lnx-l>0,

当尤()e［l,e］时，e%>0，—+Inx0-1>0,

X()

/(1、

所以M'(xo)=—FInx0—1e"+l>0,

\X0)

曲线y=e*Inx-，在点x=/处的切线与)'轴垂直等价于方程M'(%)=0在xe0,百上有实数解.

而”(与)>0,即方程M'(xo)=0无实数解.

故不存在实数而«1,e］,使曲线y=M(x)在点x=/处的切线与>轴垂直.

【点睛】

本题考查不等式恒成立，考查用导数的几何意义，由导数几何把问题进行转化是解题关键.本题属于困难题.

21.(I)见解析(H)走

5

【解析】

(I)连接4。,8。交于点。，取A0中点/，连结证明50,平面OFC得到答案.

(II)分别以0A03,0尸为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，平面反才的法向量为［=(-1,百,1),平面

AC户的法向量为正=(0,1,0),计算夹角得到答案.

【详解】

(I)连接4。,8。交于点。，取中点”，连结区

因为ABC。为菱形，所以AC_L8D.

因为AE=E。，所以EMLAD.

因为二面角E-AD-B为直二面角，所以平面E4D_L平面ABC。，

且平面EADn平面ABCD=4),所