2022年八年级数学下《正比例函数（培优）》专项练习题-带解析

八年级数学下-专题:19.12正比例函数（培优篇）（专项练习）

一、单选题

1.如图,正方形"BCD的对角线/C,8。相交于点°,点E在8。上由点8向点。运动（点

E不与点B重合），连接NE,将线段ZE绕点A逆时针旋转90"得到线段AF,连接BF交

4°于点G,设8E的长为x,°G的长为九下列图象中大致所映V与x之间的函数关系的是

0

2.如图，点C、B分别在两条直线y=-3*和丫=1«（上，点A、D是x轴上两点，若四边形

ABCD是正方形，则k的值为（）

23

A.3B.2C.3D.2

3.如图，梯形四8中，出"CD,AB工BC,"为期中点,AB="2cm,BC=2cm,"

CD=0.5cm点P在梯形的边上沿BTC-。T”运动,速度为Icm/s,则的面积

Km?与点尸经过的路程Xcm之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（）

1

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n

4.如图,在同一直角坐标系中，正比例函数夕=幻，丫=跖，y=hx,好幻的图象分别为

则下列关系中正确的是()

Bk2<k1<k4<k3

k<k<k<kDk<k<k<k

C.[2432x34

5.如图，在长形中截取两个相同的圆作为圆柱的上、下底面，剩余的矩形作为圆柱的侧面,

刚好能组合成圆住.设矩形的长和宽分别为y和x,则y与x的函数图象大致是()

2

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二、填空题

6.新定义：［a,b］为一次函数'=以+65/0,,2、b为实数）的“关联数”.若“关联数”

为［3,m-2］的一次函数是正比例函数，则点（1-m,1+m）在第象限.

7.如图,在平面直角坐标系中，函数）'=3'和^=一》的图象分别是直线4和£过点°，。）作

X轴的垂线交4于点4•••过点4作y轴的垂线交4于点4,过点4作X轴的垂线交4于

点4,过点4作了轴的垂线交4于点4,...........依次进行下去，点外。2。的坐标为

8.如图,直线l」x轴于点（1,0）,直线l2±x轴于点⑵0）,直线l3±x轴于点（3,0），…,直

线ln±x轴于点（n,0）.函数y=x的图象与直线11,12,1%…,In分别交于点AbA2,A3,―,An;

函数y=2x的图象与直线L,12,”分别交于点B„B2,B3,Bn.如果△0A@的面积记

作sb四边形A1A2B2B,的面积记作S2）四边形A2A3B3B2的面积记作S3）四边形An-iAnBRnT

的面积记作sn,那么S20l9=______.

3

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7Ci…4S'

9.如凰过点"°，°)作x轴的垂线与正比例函数夕=x和y=3x的图象分别相交于点B>C,

则I0C8的面积为

10.若函数y=(2k—5)x+(k—25)为正比例函数，求26124+二的值.

11.如凰点力为平面直角坐标系第一象限内一点,直线尸x过点A,过点/作轴于点

D,点、6是y轴正半轴上一动点,连接AB,过点力作交x轴于点C.

⑴如图，当点6在线段如上时,求证:4生然；

(2)①如图，当点8在阳延长线上，且点「在x轴正半轴上，而、OB、%之间的数量关系为

(不用说明理由)；

②当点8在勿延长线上,且点，在x轴负半轴上,写出的、OB、%之间的数量关系，并说明

原因.

(3)直线式1分别与直线/〃、直线尸x交于点反£若废5,g12,直接写出49的长.

4

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(D求口4尸。的面积y关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围；

(2)并画出这个函数的图象.

参考答案

1.A

【解析】

5

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2022年八年级数学下《正比例函数（培优）》专项练习题

【分析】

连接ED,易证明AABE丝△ADF,得到BE=DF=x,NABE=/ADF=45°,所以/BDF=90°,因为正方

形，易得OG_LBD,所以OG//FD,因为点。是BI）的中点,所以0G是△BFD的中位线,故0G=2FD,即

y=5x,且x>0,可得是正比例函数,即可求出答案.

【详解】

解:连接FD,如图所示：

VZBAE+ZEAD=90°,ZFAD+ZEAD=90°

ZBAE=NFAD

,.,AB=AD,AE=AF

.•.△ABE^AADF

AZABE=ZADF=45°,BE=DF=x

；./FDB=45°+45°=90°

VOG1BD,FD1BD

.•.OG//FD

：0是BD的中点

；.0G是aBED的中位线

.\0G=2FD

]_

：.y=2x,且x>0

.•.是k增大的正比例函数

故选A.

【点拨】本题主要考查了全等三角形的证明、中位线以及一次函数，合理的作出辅助线并找

到中位线是解决本题的关键.

2.D

【解析】

6

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【分析】

3m

设点C的横坐标为m,则点C的坐标为（m,-3m）,点B的坐标为（-左，-3m）,根据正方形的

性质，即可得出关于k的分式方程,解之经检验后即可得出结论.

【详解】

解:设点C的横坐标为叫

:点C在直线y=-3x上，，点C的坐标为（m,-3m）,

四边形ABCD为正方形，

.♦.BC〃x轴,BC=AB,

又点B在直线y=kx上，且点B的纵坐标与点C的纵坐标相等，

3m

.•.点B的坐标为（-k,-3m）,

3机

-k-m=-3m,

3

解得:k=5,

3

经检验,k=2是原方程的解,且符合题意.

故选:D.

【点拨】本题考查正方形的性质，正比例函数的图象与性质以及解分式方程等知识点,灵活

运用性质是解题的关键.

3.D

【解析】

【详解】

当点P在BC段运动时.，2PM的面积Nm?随着点尸经过的路程"cm的增大而增大,并且

是正比例函数,故排除A、C,当点P在DM段运动时,到达M点面积为0,此时x=3.5,据此可

选D

4.B

【解析】

【分析】

首先根据直线经过的象限判断k的符号,再进一步根据直线的陡峭趋势（直线越陡网越大）

判断k的绝对值的大小,最后判断四个数的大小.

【详解】

解:根据直线经过的象限,知&%%&>°,根据直线越陡阳越大,知网>|看，

7

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闷<闷,所以%2<K<%<%3.故选民

【点拨】此题主要考查了正比例函数图象的性质,直线越陡阳越大,熟练掌握正比例函数的

性质是解题关键.

5.A

【解析】

【分析】

根据展开图的性质分析数量关系

【详解】

£x£仔+

由y—5等于该圆的周长，得列方程式y—5=5X,即y=122JX

与x的函数关系是正比例函数关系,其图象为过原点的直线

故选A

【点拨】考核知识点:展开图

6.二.

【解析】

【分析】

根据新定义列出一次函数解析式,再根据正比例函数的定义确定m的值,进而确定坐标、确

定象限.

【详解】

解：•••“关联数”为［3,m-2］的一次函数是正比例函数，

/•y=3x+m-2是正比例函数，

.♦.m-2=0,

解得:m=2,

则1-m=-1,l+m=3,

故点(1-m,1+m)在第二象限.

故答案为二.

【点拨】本题属于新定义和正比例函数的定义，解答的关键运用新定义和正比例函数的概念

确定m的值.

一(3,0,0,-3|0|())

【解析】

【分析】

先根据直线4和,2的函数解析式求出点4，4，4，4，4，4的坐标，再归纳类推出一般规律，

由此即可得出答案.

8

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【详解】

由题意得:点4的横坐标为1

将》=1代入'=3、得：夕=3、1=3

则点4的坐标为4(1,3)

由题意得:点4的纵坐标与点4的纵坐标相同，即为3

将y=3代入y=-x得：-x=3,解得x=-3

则点4的坐标为4(-3,3)

同理可得：4(-3,-9)4(9,-9)4(9,27)4(-27,27)

22

由此可知，点4的横坐标为-3=(-3)2,纵坐标为3=-(-3)2

44

点4的横坐标为9=(-3)2,纵坐标为-9=-(-3户

66

点4的横坐标为一27=(-3尸，纵坐标为27=-(-3)2

上n

归纳类推得:点4的横坐标为(-3)2,纵坐标为-(-3)2(其中n为正偶数)

20202020

210101010

则点&2。的横坐标为(-3)2=(-3严°=3.°,纵坐标为一(-3)=-(-3)=-3

即4Z^IOIO>>1010)\

Z^IOIO々1010、

故答案为：(3，-3)

【点拨】本题考查了点坐标的规律探索、正比例函数的图象，依据题意，正确归纳类推出一

般规律是解题关健.

4037

8.F

【解析】

【分析】

先结合图形确定4纥的长度规律及图形形状为梯形的规律,再根据所得规律将具体值代入

梯形面积公式即得.

【详解】

解：由题意可得:当"〃时，4("'"),£(〃，2〃)

・・.4纥=〃

^2018-^2018=2018^2019^2019=2019

•.•直线LJ_x轴,直线l2±x轴,直线l3±x轴，…，直线ln±x轴

9

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.•.当〃22时四边形An由前前向是梯形

•.•平行线间距离处处相等,所以梯形AaAnBnBnT的高为1

.$2。19=*&渡刈8+/9/9)=；(2018+2019)=等

4037

故答案为：亍.

【点拨】本题是规律题,考查了一次函数求点的坐标及平行线间距离处处相等,根据特殊情

况找出一般规律是解题关键.

9.4.

【解析】

【分析】

把点A(2,0)的横坐标分别代入正比例函数y=x和y=3x,求得B、C点的坐标,进一步求得BC

的长度,利用三角形的面积求得答案即可.

【详解】

解:把、=2分别代入y=x和k3x中，可得点B的坐标是0，2),点C的坐标是0母)，所以

8cc—=6,-2入=4/,因为点“(2，°),所以。八N=^2,所以―2―-OA=-2x4x2=4

【点拨】此题考查两条直线的交点问题，三角形的面积,利用代入的方法求得B、C两点的坐

标是解决问题的关键.

25

10.26

【解析】

【详解】

•.♦函数卜=(24一5口+(4-25)为正比例函数，

J2"5#O

...("25=0,解得：4=25,

—1=-1-=,I-1-1-=--1=-1-1--1--1-—1=1J__L

•••21x22,62x323,123x434Lk+Hk(k+\)k左+1

=ZZ

1———

=左+1

10

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1---

二26

25

=26.

A/2巨

11.（1）证明见解析；⑵①阱2（。个/；②法2（盼龙）；⑶10&;3收；150.

【解析】

【分析】

⑴过点4作于点£先证明四边形1戊应是正方形,再证明Rt2D曜RtXAECQ⑻,

从而求得结论；

（2）①过点A作"于点E,方法同⑴证明四边形ADOE是正方形,RtXAD昭Rt/XAEC,△

旦

4如是等腰直角三角形，再应用勾股定理即可得结论阶2（OC+OS;

V2

②方法同①得结论:好2{OB-OC）;

⑶①当点占在线段切上时，将绕点力顺时针旋转90°,然与四重:合，变为△/跖＞,

连接眈，证明/仍歹=90°,由勾股定理得加=13,再证明△/!酒△力铲，所以小

EF=13,游上除13-5=8,叱即向信8+12=20,而△/a'是等腰直角三角形，所以

BC

心形=10血；

②当点6在如延长线上，且点C在x轴正半轴上时，方法同①,解得：4斤15亚;

③当点8在勿延长线上，且点C在x轴负半轴上时，方法同上，解得:4比3收.

【详解】

⑴过点力作力反L%于点£

'：ADV%点/在尸了上，//法90°

/.四边形4〃座'是矩形,A序OE,

二矩形庞1是正方形，

：.AD=AE,NDAE=NBAC=90°,

:.乙DA乐/EAC,

又,：NBDA=NCEA=90°

:.RtAAD酌RtXAEC

：.AB=AC.

11

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⑵①过点A作AEX.比'于点£

方法同⑴得，四边形4磔是正方形,RtXAD监RtXAEC,AB-AC,BD-CE,

：.080斤OC+0>B庐0C+0》CE-OE+0D-20D,即OD^-(0C+0&

又勿是等腰直角三角形，

1五

，由勾股定理得:好血勿=&X5(g如=2(OC+OB),

旦

即0A=2(0C+0&,

②过点4作4瓦L%于点打

方法同⑴得，四边形是正方形，Rt/XAD附Rt2EGAB^AC,BD-CE,

：.OlhOD-OC+OE,即OB-OOO济0E=202近OA,

又•••△/如是等腰直角三角形，

旦

由勾股定理得：阱0()D,01)=20A,

12

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2022年八年级数学下《正比例函数（培优）》专项练习题

OB-OOOKOB-2O店五OA,即OB-OO^-OA,

：.OA=2(03-00.

（3）①当点6在线段如上时，

将△4绕点/顺时针旋转90°,/C与4夕重合，变为△月曲，

连接打，

BF=层12,NAC•NAB-ABF1=45°,NCBF二/ABGNABF1=90°,

所以/斯=90°,

又：除5,

:.EF=13,

,:乙FJCt90°,NFA拄NFAE=45°"拄A打AF',

JXAEP^XAEF

:.E步EF=13,B产EAEB-13-5=8,BOB我FO8+12=20,

由（D得:△力比'是等腰直角三角形，

BC

二心应二10后;

13

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2022年八年级数学下《正比例函数（培优）》专项练习题

②当点6在如延长线上,且点，在“轴正半轴上时，

方法同①，旋转到尸'B,

证出/斯,EF1=13=硒小明历■陷5+13+12=30,

所以等腰直角三角形4比1的直角边力於15后；

③当点〃在切延长线上,且点。在x轴负半轴上，

已证