2022年福建省漳州市高考数学第一次质检试卷及答案解析

2022年福建省漳州市高考数学第一次质检试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共4分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.（5分）已知集合4=&|丫=等「},B=（x\dy>2},则NU8=（）

v4-x2/

A.{x\-l<x^2}B.{小<2}C.{x\x>-1}D.{x|l^x<2}

2.（5分）已知z=|百i-l|+击，则在复平面内z对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

4

分

知

35X已(

I-5=)

/5

2324

C

A.-B.-D.-

55-55

4.（5分）我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1,2,…，9填入3X3

的方格内，使三行、三列、对角线的三个数之和都等于15,如图所示.

一般地.将连续的正整数1,2,3,…，填入〃x〃个方格中，使得每行、每列、每条

对角线上的数的和相等，这个正方形叫做〃阶幻方.记〃阶幻方的数的和即方格内的所

有数的和为S”如图三阶幻方记为£=45,那么S9=（）

洛书幻方

5.（5分）已知二项式（5力）5（aeR）的展开式的所有项的系数和为32,则（/-费严

的展开式中常数项为（）

A.45B.-45C.1D.-1

6.（5分）将曲线a=2（x>0）上所有点的横坐标不变，纵坐标缩小为原来的去得到

曲线C2,则C2上到直线x+16y+2=0距离最短的点坐标为（）

A.（8,力1B.（4,》1C.（8,分1D.（4,分1

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7.（5分）已知向量Q=（cosx,-1）,&=（cosx,-4sinx+2）,f（x）=a-b,若MxW［-，

g］,使不等式/（x）W入恒成立，则实数入的取值范围为（）

A.［一竽13，3B.［一1竽3，4-00）

C.4，+8）D.（-8,一竽］呜，+8）

8.（5分）已知以尸为焦点的抛物线C：#=2px（p>0）经过点（1,-2）,直线/：y=k

（x-1）与C交于48两点（其中点N在x轴上方），若|AF|=（3+2式）|FB|,则/

在y轴上的截距为（）

A.2B.1C.D.-1

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对得2分

（多选）9.（5分）己知函数f（x）=磊，则（）

A./（X）的定义域为R

B./（%）是偶函数

C.函数>=/（x+2022）的零点为0

D.当x>0时，/（%）的最大值为］

（多选）10.（5分）函数/（x）=AsinQx+桃）（4>0,a>>0,|切V5）的部分图象如图所

示，则（）

71

A./（x）的图象的最小正周期为5

B.f（x）的图象的对称轴方程为％=与+2/C7T（/C6Z）

C./（x）的图象的对称中心为（一q+2k,0）（k6Z）

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D.f(x)的单调递增区间为[4k—4fc+|](fcGZ)

(多选)11.(5分)如图，在四棱锥/-5CED中，己知EC=2C=4C=4,BD=\,且力C

±EC,ACLBC,BC±EC,BC1BD.取8c的中点O,过点。作O0_LOE于点。，则

()

A.ODA.OE

B.四棱锥Z-8CED的体积为40

C.BQmACQ

D.AQA.BQ

(多选)12.(5分)立德中学的“希望工程”中，甲、乙两个募捐小组在2021年国庆假期

走上街头分别进行了募捐活动.两个小组第1天都募得100元，之后甲小组继续按第1

天的方法进行募捐，则从第2天起，甲小组每一天得到的捐款都比前一天少4元；乙小

组采取了积极措施，从第1天募得的100元中拿出了90元印刷宣传材料，则从第2天起,

第〃(〃€N*,〃N2)天募得的捐款数为100(1+*)元.若甲小组前〃天募得捐款数累

计为S”元，乙小组前〃天募得捐款数累计为T”元(需扣除印刷宣传材料的费用)，则

()

2

A.Sn=-2n+102n,〃W25且〃€N*

1*

B.Tn=10071-50(1+^-),«GN

C.S5>T5

D.从第6天起.总有

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.(5分)某校体育节10名旗手的身高分别为175.0,178.0,176.0,180.0,179.0,175.0,

176.0,179.0,180.0,179.0,则中位数为.

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14.(5分)某中学开展劳动实习，学习加工制作包装盒.现将一张足够用的正方形硬纸片

加工制作成轴截面的顶角为60°,高为6的圆锥形包装盒，若在该包装盒中放入一个球

形冰淇淋(内切)，则该球形冰淇淋的表面积为.

x2y2

15.(5分)已知椭圆/+记=l(a>b>0),尸是左焦点，4为下顶点，若上顶点、右顶点

4

到直线//的距离之比为百ab,椭圆的四个顶点的连线围成的四边形的面积为30,则

椭圆的离心率为.

16.(5分)已知函数v=|f-2x-的图象与直线夕=机(roGR)有四个交点，且这四个交

点的横坐标分别为b,c,d(a<b<c<d),则。+6+c+d=；2(d-a)+(c

-b)的最大值为.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知正项等比数列｛a”｝的前“项和为S”S2=a2a4=16.

(1)求的通项公式；

(2)若勾=J-—~^―--,求数列｛加｝的前n项和T.

ln

og2an+3-log2an+4

18.设△ZBC的内角/,B,C所对的边分别为a,h,c,(a-6)2=c2-ab.

(1)求C；

(2)若6=5,ccos4=1,求△/BC的面积.

19.北京冬奥会某个项目招募志愿者需进行有关专业、礼仪及服务等方面知识的测试，测试

合格者录用为志愿者.现有备选题10道，规定每次测试都从备选题中随机抽出3道题进

行测试，至少答对2道题者视为合格，已知每位参加笔试的人员测试能否合格是相互独

立的.若甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题.求：

(1)甲、乙两人至多一人测试合格的概率；

(2)甲答对的试题数X的分布列和数学期望.

20.如图，在长方体Z8CO-/i8iCid中，E,尸分别是8C,ZC1的中点.

(1)证明：E尸〃平面CD。。；

(2)若40=[441=14B=4,求平面NEF与平面EE&所成角的余弦值.

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21.已知双曲线「：懑-y2=i(a>0)的左、右焦点分别为尸i(-c,0),尸2(c,0),点尸

(xo，yo)是「右支上一点，若/为△叫死的内心，且SA/PFI=S4/PF2+苧SA/F/2.

(1)求「的方程；

(2)点/是「在第一象限的渐近线上的一点，且ZF2JLX轴，「在点P处的切线/与直

线仍相交于点M,与直线x=|相交于点N.证明：无论点尸怎么变动，总有|怩|=

空|M尸

22.已知函数/(x)=ex-ax(aGR).

(1)若a=2,求/(x)在x=0处的切线方程：

(2)求/(x)的最值；

(3)若工€[-5，+8)时，x[/-(x)+cosx-2]>0,求a的取值范围.

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2022年福建省漳州市高考数学第一次质检试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共4分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.(5分)已知集合4=口仅=等、},B=(x\dy>2},则ZU8=()

V4-X2乙

A.{x|-l<x^2}B.{x|x<2}C.{x\x>-1}D.{x|Kx<2}

【解答】解：由4-/>0,解得-2VxV2,

故A={x\y=f05X}=(-2,2),

V4—%2

由(分X>2,解得xW-1,

故8={刈(/尸22}={4<<-1},

故NUB={x|x<2}.

故选：B.

2.(5分)已知z=|百2-1|+击，则在复平面内z对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【解答】解：,工=|V3i—1|+三p

%=j(8,+(-1)2+(1+J)(l-i)=2+»丸=|一q，

在复平面内z对应的点(万，-位于第四象限.

故选：D.

sin(2a-年)4

3.(5分)匚知2fan\~e9则sin(a—^)=()

l-2Qcosz(--)5

2324

A・-B.-5C,一亏口.-

sinCZct—L1，sm(2a--)2sin{a~)cos(a-^)

【解答】解：由-CW忌「居33—2s讥(a

)-cos(a-2)-cos(a——)$

4

引

得sin(a-^)=-|,

故选：C.

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4.（5分）我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1,2,…，9填入3X3

的方格内，使三行、三列、对角线的三个数之和都等于15,如图所示.

一般地.将连续的正整数1,2,3,…，〃2填入"X"个方格中，使得每行、每列、每条

对角线上的数的和相等，这个正方形叫做〃阶幻方.记〃阶幻方的数的和即方格内的所

有数的和为S”如图三阶幻方记为$3=45,那么S9=（）

洛书幻方

【解答】解：根据题意，幻方的每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，

zl-s/i,/21、2i1（l+n2）-n2（l+n2）n

।21

Nn=­[1+2+3++（1-1）+H]=-X-22——=__2>

故旃=（1+?）X9=36%.•.$9=9X369=3321.

故选：A.

5.（5分）己知二项式（ax+y）5（aGR）的展开式的所有项的系数和为32,则（炉-£）1。

的展开式中常数项为（）

A.45B.-45C.1D.-1

【解答】解：令二项式（ax+y）5中的x=l,y=l,

可得展开式的所有项的系数和为（。+1）5=32,解得。=1,

贝也2一套）1。即（尤2一击）10的展开式的通项公式为4]=%（X2）10-r（__^y=（-1）

rrr20-7r

C10Xv）

令20一|r=0,解得厂=8,

所以（产一意）1。的展开式中常数项为（-1）8%=45.

故选：A.

1

6.（5分）将曲线。：孙=2（x>0）上所有点的横坐标不变，纵坐标缩小为原来的5,得到

曲线。2,则。2上到直线x+16y+2=0距离最短的点坐标为（）

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Ill1

A.(8,i)B,(4,i)C.(8,D.(4,

【解答】解：将h=2化为y=|,

则将曲线Ci上所有点的横坐标不变，纵坐标缩小为原来的今

得到曲线C2：2y=|,

即C2：y=*(%>0)，

要使曲线C2上的点到直线x+16尹2=0的距离最短，

只需曲线C2上在该点处的切线和直线x+16y+2=0平行，

设曲线C2上该点为P(a,：),

因为y'=—专，且x+16y+2=0的斜率为—白，

所以一今=一石

解得。=4或-4(舍)，

即该点坐标为P(4,1).

故选:B.

7.(5分)已知向量a=(cos%,-1),&=(cos%,—4sinx+2),/(x)=Q•b,若YxE［一

f],使不等式/(x)WM亘成立，则实数人的取值范围为()

13313

A，[~~4>4]B.[-彳，+°°)

C-[|，+8)D.(-8,一号呜

4-oo)

【解答】解：由题意得，

/(%)=a-b=cos-x+4sinx-2

=-sin2x+4sinr-1

=-(sinx-2)2+3,

IT7T

•F，N，

11

/.sinYG[—

故当sinx=I•时，f(x)取得最大值*

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•.•对杂，不等式f(x)W入恒成立，

4,

故选：C.

8.(5分)已知以尸为焦点的抛物线C：p=2px(p>0)经过点(1,-2),直线/：y=k

(x-l)与C交于Z,8两点(其中点/在x轴上方)，若|4F|=(3+2迎)|FB|,则/

在y轴上的截距为()

1

A.2B.1C.*D.-1

【解答】解：由抛物线C：#=2px(p>0)经过点(1,-2),可得2P=4,解得p=2,

可得抛物线的方程为产=4x,F(1,0),准线方程为x=-l,

设4(xi,y\'),B(X2,”)，

由|力尸|=(3+2夜)|产8|>|阳,可得处>1,0<x2<l,k>0,

Xi+\=(3+2V2)(X2+1),即Xl=(3+2V2)X2+(2+2V2),①

由PT""FD可得炉X2-(2必+4)X+后=0,

U-4%

可得Xl+X2=2+《X1X2—1,②

由①②解得xi=3+2&,X2=3-2V2,4=-l.

故选：D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对得2分

(多选)9.(5分)己知函数/。)=品，则()

A./(x)的定义域为R

B./(%)是偶函数

C.函数y=/(x+2022)的零点为0

D.当x>0时，/(x)的最大值为［

【解答】解：：x2+9>0恒成立，.的定义域为R,故力正确：

/(-x)=鬲=一/(乃，函数为奇函数，故8错误；

函数y=/(x+2022)=(裳/湾9,零点为-2022,故C错误；

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当x>0时，/(x)=W^=Ww一冷=会当且仅当x=U，即x=3时等号成立，故

%+9*2房3x

。正确.

故选：AD.

(多选)10.(5分)函数/(%)=/sin(3%+中)(4〉0,3〉0,101V掾)的部分图象如图所

示，则()

A./(%)的图象的最小正周期为］

27T

B.f(x)的图象的对称轴方程为x=^+2k7r(keZ)

C./(x)的图象的对称中心为(一玄+2k，o)(fcGZ)

A9

D.f(x)的单调递增区间为［4k-w,4/c+w】(/cEZ)

【解答】解：由函数/(x)=Jsin(o)x+(p)(力>0,a)>0,|(p|<^)的部分图象可知:

152

A=3t4T=可一可=1，即7=4,故A错误；

所以3=竿=}

由五点作图法可得1x|+(p=*解得平屋，

所以/(x)=3sin(m+看),

吟+看=内r+g,Q,解得x=2%+|,蛇Z,

即/(x)的图象的对称轴方程为x=2k+多髭Z,故8错误；

令夕+^=Qr,令Z,解得x=2&-g,k&Z,

所以/(x)的图象的对称中心为(2k-最0),任Z,故C正确；

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令一5+2ZnrW*x+看W£+2ZTTT,A€Z,解得4%—14xW4%+可，A6Z,

故/（x）的单调递增区间为［4%-*44+|］（住Z）,故。正确.

故选：CD.

（多选）11.（5分）如图，在四棱锥4-8CED中，已知EC=8C=ZC=4,BD=l,且NC

1EC,AC1BC,BC1EC,BC1BD.取8c的中点O,过点。作OQ_LOE于点。，则

（）

A.ODVOE

B.四棱锥/-8CE。的体积为40

C.8。_1_平面4。0

D.AQ1BQ

【解答】解：如图建立空间直角坐标系,

则O(0,2,0),D(0,4,1),E(0,0,4),B(0,4,0),A(4,0,0),C(0,0,

第11页共23页

0),

贝I」法=(0,-4,3),OD=(0,2,1),0£=(0,-2,4),

设而=入法=(0,-4入，3入)，则0(0,4-4入，1+3入)，故0(2=(0,2-4入，1+3人)，

OQA.DE,：.OQ-DE=0,

；.0-8+16入+3+9入=0,解得入=看，即(2(0,娱|),

，BQ=(0,_g，QAQ=(-4,当，f).

VO£»O£1=0x0+2x(-2)+lx4=0,J.OD1.OE,故A正确；

因为直角梯形BCED的面积S=3+学CB=(4+l)x4=10>

ACLCE,AC1BC,CECBC=C,可得/C_L面8CE

四棱锥高h=AC=4f

所以四棱锥体积/=例5=界4*10=3故8不正确；

fT48TT16848

「CA-BQ=(4,0,0)-(0,£)=0，3•BQ=(0,詈，^)-(0,一9、)=

64,640

-25+25-0,

J.BQVCA,BQVCQ,又CAHCQ=C,二^。，平面ACQ,故C正确；

TT16R4RTT

"：AQ-B(?=(-4,苛，|)•(0,-.)=0,IAQ1.BQ,即AQVBQ,故。正

确.

故选：ACD.

(多选)12.(5分)立德中学的“希望工程”中，甲、乙两个募捐小组在2021年国庆假期

走上街头分别进行了募捐活动.两个小组第1天都募得100元，之后甲小组继续按第1

天的方法进行募捐，则从第2天起，甲小组每一天得到的捐款都比前一天少4元：乙小

组采取了积极措施，从第1天募得的100元中拿出了90元印刷宣传材料，则从第2天起,

第〃("6N*,”22)天募得的捐款数为100(1+*)元.若甲小组前〃天募得捐款数累

计为S”元，乙小组前〃天募得捐款数累计为T”元(需扣除印刷宣传材料的费用)，则

()

2

A.Sn=-2n+102n,”W25且〃€N*

第12页共23页

1

B.Tn=100n-50(l+—^-r),

C.S5>T5

D.从第6天起.总有&V7；

【解答】解：设｛板｝代表甲组第〃天所得的捐款，且小>0,

由题意可知，671—100,d—-4,Q〃=ai+(〃-1)d——4〃+104>0,解得〃V26,即〃<

25,

S”=(；——=-2n2+102n,“W25且“6N*,故工正确，

设｛m｝代表乙组第n天所得的捐款，

(10,n=1

由题意可得，b=\1,

n1100(1+舟)，n>2

则数列为的前n项和〃=加+历+…+加

=100+100(1+1)+100(1++)+…+100(1+—

=100+100(n-1)+100(/+京+…+舟•)

i1

=100〃-90+100•黄r(l一泰)

=lOOn-40-50--iy,H£N*,故B错误，

55=-2X52+102X5=460,T5=500-40-|J=460-故C正确，

令Cn=S”-Tn=-2〃2+i02"-100/7+40+黑1=器7+40+271-27?,

Vc6=||+40+12-72<0,

又,.‘Cn+i-Cn=2n-i—1)+2—2—4n=——4n<T0,cn为递减函数，

.•.Cn〈C6<0,即sn-TnVO,

故S〃VT〃，故。正确.

故选：ACD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.(5分)某校体育节10名旗手的身高分别为175.0,178.0,176.0,180.0,179.0,175.0,

176.0,179.0,180.0,179.0,则中位数为178.5.

【解答】解：某校体育节10名旗手的身高从小到大为:

第13页共23页

175.0,175.0,176.0,176.0,178.0,179.0,179.0,179.0,180.0,180.0,

178.0+179.0

.•.中位数为=178.5.

2

故答案为：178.5.

14.（5分）某中学开展劳动实习，学习加工制作包装盒.现将一张足够用的正方形硬纸片

加工制作成轴截面的顶角为60°,高为6的圆锥形包装盒，若在该包装盒中放入一个球

形冰淇淋（内切），则该球形冰淇淋的表面积为16TT

【解答】解：根据题意，画出图象,

如图所示:

所以N8ZC=60°,AO\=6,

故在RtZX/OC中，JC=4V3,01c=2百,

设内切球的球心为。，

则DO=OO\=R,

在中，NCMO=30°,

所以：2R=6-R,

解得R—2,

所以S表=4-7T-/?2=167r.

故答案为：16n.

“2y2

15.（5分）已知椭圆/'+记=l（a>b>0）,F是左焦点,N为下顶点，若上顶点、右顶点

4

到直线力尸的距离之比为百ab,椭圆的四个顶点的连线围成的四边形的面积为30,则

2

椭圆的离心率为

【解答】解：令椭圆左焦点尸（-以0）（c=Va2-b2）,

xy

而Z（0,-b）,则直线力Z7方程为：—4--=1,即bx+cy+bc=0,

第14页共23页

2bc

—2c2e2e4

又上顶点、右顶点分别为(0,b),(a,0),依题意有:就说=---="—,即:;—=~—ah,

竺把a+c1+e1+e135

a

又椭圆的四个顶点的连线围成的四边形的面积为30,即2M=30,解得必=15,

e27

则有71=解得e=y,

1+e9/

所以椭圆的离心率为e=*

故答案为：y.

16.(5分)已知函数y=«2-2工-1］的图象与直线(wGR)有四个交点，且这四个交

点的横坐标分别为a,b,c,d(a<b<c<d),则〃+6+c+d=4；2(d-a)+(c-b)

的最大值为

【解答】解：1|图像如图：

由图知0V〃?V2,

x=a,x=d是方程-2x-1=加的两根,

则a+d=2,ad=-\-m,

x=b,x=c是方程x2-2x-1=-m的两根,

贝!Jb+c=2,bc=-1+加,

：•〃+b+c+d=4.

d>a=d-Q>0,

:.d-a=J(d-a)2=J(d+a)2-4ad=2V24-m,

c>b=c-b>。,

:.c-b—J(c—b)2=J(c+b)2—4bc=2V2—m,

：.2(J-a)+(c-b)=4y/2+m4-2V2—m,

令/(加)=4V24-m4-2V2—m,0</w<2,

milzy/\J8—4m—j2+m

则,")二际许’

令〃〃?，解得阳〈卷，此时/

8-4?>2+0V(m)>0,/(/»)单调递增,

6

令8-2附>2+加，解得《Vn<2,此时/(/71)<0,f(用)单调递减,

♦；/(〃?)max=J(E)=4'\/5.

故答案为：4；4V5.

第15页共23页

2

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知正项等比数列｛总的前"项和为S”S2=1,4/24/4=16.

(1)求｛如｝的通项公式；

(2)若勾=----8,---,求数列｛%“｝的前”项和T,1.

log2an+ylog2an+4

【解答】解：(1)由已知可得，设等比数列｛析｝的公比为

因为%>0,a2a4=(%)？=16,

所以43=4或43=-4(舍去)，

又$2=.

可得，%(l+q)/解得卜1=%,

、即•q2=4(q=4

所以册=Qi•q"T=]•4rl=4n-2,

故｛斯｝的通项公式为。九=4n-2(nEN*).

n2

(2)由第(1)问可知，an=4-(ne/V*),

n2n+2n+22n+4

所以log2an+3=log24+i=log22=2几+2,log2an+4=log24=log22=

2n+4,

所以%—碗2，.+3，碗2%1+4-(2n4-2)(2n+4)-(n+l)(n+2)-^^n+1-n+2〉

所以7'“=2信-4)+(»*)+4一/)+.”+(+—+)]=26一+)=品，

n

数列｛d｝的前n项和Tn为--(neN*).

n+2

18.设△NBC的内角/,B,C所对的边分别为a,b,c,(a-b)2=c2-ab.

第16页共23页

(1)求c；

(2)若b=5,ccos4=l,求△45。的面积.

【解答】解：(1)因为(a-b)2=c2-ab,可得/十川-《2=",

幻2+12〈2_ab_1

所以cosC=2ab—2ab~2'

又Ce(0,n),

所以c=*

cb5

(2)因为6=5,ccos%=l,由正弦定理可得LF=---'所以

2n------H,1..

sirtzsin^-A}2—cosA4+-sinA

05

可得遍ccosZ+csinJ=5遮,

因为ccosA=1,

所以csirL4=4V3,

所以SA，8C=^bc3\nA=x5x4V3=10V3.

19.北京冬奥会某个项目招募志愿者需进行有关专业、礼仪及服务等方面知识的测试，测试

合格者录用为志愿者.现有备选题10道，规定每次测试都从备选题中随机抽出3道题进

行测试，至少答对2道题者视为合格，已知每位参加笔试的人员测试能否合格是相互独

立的.若甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题.求：

(1)甲、乙两人至多一人测试合格的概率；

(2)甲答对的试题数X的分布列和数学期望.

【解答】解：(1)甲测试合格的概率为6：6=

Ho3

乙测试合格的概率为哈=?，

C1015

21428

故甲，乙两人都测试合格的概率为石乂石=石，

故甲，乙两人至多一人测试合格的概率尸=1一碧=标

(2)由题可知，甲答对的试题数X所有可能取值为0,1,2,3,

P(*=。)噫=4,P(*=1"管$

P(丫=2)=譬4P(X=3)=昌=看

1010

第17页共23页

故X的分布列为:

X0123

P1311

301026

211Q

故E(X)=1XYQ+2义2+3'石=耳.

20.如图，在长方体中，E,尸分别是8C,4Ci的中点.

(1)证明：EF〃平面

(2)若40=[441=14B=4,求平面NEF与平面EE8I所成角的余弦值.

【解答】(1)证明：在长方体Z8CZ)-小81cgi中，如图,

连接/C,BD交于点、O,则。是NC,8。的中点，连接OE,OF.

又因为尸为/C的中点，

所以O尸〃CG.

因为OFC平面CDDiCi,CCiu平面CDDQ,

所以OF〃平面CAQCi.

又E是8c的中点，

第18页共23页

所以OE//CD.

因为OEC平面CDDiCi,COu平面CDD\C\,

所以0E〃平面CDDiC\.

因为OFC\OE=O,OEu平面OEF,。尸u平面OEF,

所以平面。£尸〃平面CDD\C\.

因为£7七平面OEF,EFC平面CDD\C\,

所以E尸〃平面CDDiCi.

(2)解：连接B\F,AE,以/为坐标原点，AB,AD,441所在直线分别为x,y,

z

所以40=4,4m=3,AB=3,

所以E(3,2,0),F(|,2,|),4(3,0,3),

TRRTT

所以EF=(-分0,办AE=(3,2,0),4E=(0,2,-3),

设平面/E/的法向量为£=(x,y,z),

(TT33

n-£*F=—77X1H-TTZI=0^a

TT22令y]=2，贝|JXI=-1,zi=-1,

n•AE=3x1+2yl=0,

所以几=(一L,,—1),

第19页共23页

设平面分囱的法向量为薪=。2,丫2,Z2)，

-33

m-EF=—77X7+7yz=03…

-222,令A丫2=?则X2=l,Z2=l,

m-B1E=2y2—3z2=0

所以益=(1,|，1),

设平面AEF与平面EFB\所成角为。，

l(T，］-DR/DI1

所以coso=吗==17,

1nMm|j(-l)2+(3)2+(-l)2.J12+(3)2+12

所以平面与平面EFB\所成角的余弦值为不.

21.已知双曲线「：当一y2=i(a>0)的左、右焦点分别为Q(-c,0),F2(c,0),点P

(xo,yo)是「右支上一点，若/为△尸尸1尸2的内心，且SA/PF】=SA/pF2+±~SAgFz.

(1)求「的方程;

(2)点才是「在第一象限的渐近线上的一点，且/尸2，x轴，「在点尸处的切线/与直

线上相交于点M，与直线X=|相交于点N.证明：无论点尸怎么变动，总有|gl=

【解答】(1)解：设△PP1F2的内切圆半径为广，

111

则S"PF1=2仍尸1匕S"PF2=2仍尸2匕SA/F/2=2尸1~2任，

因为S&/PF1=SVPFZ+堂SA/FIF2，

〜J1V31

所以]|PF/r=]|PF21r+-x5人尸2位，

即|Pf1|=仍尸21+■1尸1尸21,可得附11一仍&1=阴尸1尸21，

."P局1一仍尸2|V3

所以

由双曲线的定义和几何性质，得胃=¥，

2c2

又〃2=d一1,解得々2=3,

所以「的方程为了一丫2=1.

(2)证明：由题意可知，直线/的斜率存在，设直线/的方程为y-yo=z(x-xo).

第20页共23页

由5-y2-1可得y2=1="33.

由题意知则WO.

若点尸在双曲线右支的上半支上，则y二箝

所以八南—'故仁和.

2

因为x看一、。=1,所以用一3=3将八41=