初一几何勾股定理

.初一平面几何基础讲座之七勾股定理及其应用国都师大学数学科学学院周春荔2001年3月10日由中央电视台播出的“第八届华罗庚金杯少年数学邀请赛”初赛第一道试题是：“2002年将在召开国际数学家大会.如图1所示，这是大会的会标图案.它由四个相同的直角三角形拼成.已知直角边的长为2和3，求大正方形的面积.”显见，大正方形面积等于四个直角三角形与中间小（图1）正方形面积之和.每个直角三角形面积是3，四个直角三角形面积是12，中间小正方形的边长为3–2=1，面积是1.所以大正方形的面积是3×4+1=13.这道试题向广大青少年流传了2002年将在召开国际数学家大会的信息，并利用这道赛题向大家介绍了大会会标的图案.此中还蕴涵着勾股定理及其拥有中华特点的“弦图”证明.（一）勾股定理及其逆定理勾股定理揭露了直角三角形三边之间的胸怀关系.其容是：如图2，△ABC中，C90o,CBa,ACb,ABc,则有a2b2c2.勾股定理的证明记录于欧几里得（公元前三世纪）的（图2）《几何本来》第一卷命题47：“直角三角形斜边上的正方形面积等于两直角边上..正方形面积之和.”外国称勾股定理为毕达哥拉斯定理.它是欧几里得几何的重要定理之一，有的数学家形象地称勾股定理是欧氏几何的“拱心石”.勾股定理及其证明的涵十分丰富.要深入研究、频频领会，对学习会大有好处.《几何本来》中对勾股定理的证明，采纳的是面积割补与等积变形.如图，连接BJ，FC.过C作CDFE于D，交AB于K.3则CD//AF//BE，易证AJBACF.又S1S，S1SACF2AKDFAJB2ACIJ所以SACIJSAKDF.同法可证SBCHGSBKDE故SABEFSAKDFSBKDESACIJSBCHG.大家知道，中华民族是善于数学的民族，（图3）我国也是最早发现勾股定理的国家之一．我国古代三国时期的数学家爽，就是利用“弦图”来证明勾股定理的.图4就是中国古算书中的“弦图”.“案弦图又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实亦成弦实.”其意思是：设直角三角形的勾为a，股为b，弦为c，ab为两

（图2）个红色直角三角形的面积，2ab为四个红色直角三角形的面积.中黄实的面积为(ab)2，大正方形的面积为c2.（图4）所以c2=2ab+(ab)2=2ab+a2-2ab+b2=a2+b2.从而奇妙地证了然勾股定理...勾股定理的证法很多,此中文艺中兴时期的达·芬奇的证法也是很有特点的.如图,在直角三角形ABC的三边上分别向外作正方形ABDE，AGFC，BCMN.求证：SWAGFCSWBCMNSWABDE.证明：连接FM,作直角三角形DEP与角三角形ABC全等.（AC=DP，BC=EPDPEACBo90.)连接NGPC.,则NG是六边形AGFMNB的对称轴,所以SAGNB1SAGFMNB.2又六边形ACBDPE（图5）是中心对称图形,所以SACPE1SACBDPE.2因为以A为旋转中心,将四边形AGNB顺时针旋转90o与四边形ACPE重合所以四边形AGNB的面积=四边形ACPE的面积.所以六边形AGFMNB的面积=六边形ACBDPE的面积.即SAGFCSBCMNSRtABCSRtFMCSABDESRtABCSRtDEP注意到SRtFMCSRtABCSRtDEP,从上式两端消去两对面积相等的直角三角形获得SAGFCSBCMNSABDE.所以得证AC2BC2AB2.勾股定理的逆定理也是成立的，特别实用.定理假如三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么前两边的夹角必定是直角.已知：△ABC中，BC2AC2AB2.求证：BCA90o...证明：如图6，作一个直角三角形ABC，

（图6）使BCA90o，BCBC,ACAC.依据勾股定理，就有BC2AC2AB2.与已知等式BC2AC2AB2比较可知，有ABAB.所以ABCABC.所以有BCABCA90.o（二）勾股定理的初步应用例1.智能机器猫从平面上的O点出发.按以下规律行走：由O向东走12cm到A1，由A1向北走24cm到A2，由A2向西走36cm到A，由A向南走48cm到A，由A向东（图9）3344走60cm到A5，问：智能机器猫到达的A6点与O点的距离是多少厘米？（第九届华杯赛集体决赛口试题9）（图7）解：依规律第六次由A5向北走72cm到A6.OP=12-36+60=36，A6P=24–48+72=48，由勾股定理得OA62OP2PA62362482=122×32+122×42=122（32+42）=122·52=602.所以OA=60（）即A点与O点的距离是60厘米.6cm.6例2.华罗庚爷爷说：数学是我国人民所善于的学科.请小朋友求解《九章算术》中的一个古代问题：“今有木长二丈，围之三尺，生其下，..缠木七周，上与木齐.问长几何？”白话译文：如图8，有圆柱形木棍直立地面，高20尺，（图8）圆柱底面周长3尺.藤生于圆柱底部A点，等距环绕圆柱七周恰好长到圆柱上底面的B点.则藤的长度是尺.解：假想将的根处A剪断，顶处B不动，将解开环绕拉直，A点变成地面上的C点.如图9所示.则长为RtBAC的斜边BC.由AB=20，AC=21，由勾股定理得：

（图9）BC2202212400441=841=3026013022301(301)2292.所以=29（尺）.BC答：长29尺.例3：假如梯形的两条对角线相互垂直.求证：对角线的平方和等于两底和的平方.证明如图10，已知AD//BC，AC与BD订交于O,BOC90o.过D作AC的平行线交BC延长线于E.则ADEC为平行四边形，CE=AD，DE=AC，BDEBOC90.o在RtBDE中，由勾股定理得（图10）DE2BD2BE2，即AC2BD22ADBC.例4.在ABC中，C90o，O为三角形一点，若OAB,OBC,OAC的面积相等，求证：OA2OB25OC2.证明：如图，作OMAC于M，ONBC于N11...由勾股定理得OA2OM2MA2,OB2ON2NB2所以OA2OB2OM2ON2MA2MB2（图11）

由OAB,OBC,OAC的面积相等，知SOACSOBC1SABC，推知ON1AC,33又OMNC是长方形，ON=CM，OM=CN.因此MAACCM2ON，同理推得NB=OM.2于是OA2OB2OM2ON2MA2MB2=OM2ON2(2ON)2(2OM)25(OM2ON2)5OC2.例5．P为矩形ABCD一点，已知PA=5，PB=10，PC=14.求PD=？解：如图12，由勾股定理得PA2x12y12，PB2x12y22；PC2x22y22，PD2x22y12.相加得PA2PC2PB2PD2.所以PD2PA2PC2PB2（图12）

=25+196-100=121.所以PD=11.例6.长方形的纸片ABCD，AD，AB=3，将它折叠压平，使C点与A=4点重合.求折痕的长度.（第7届华杯赛初一组第一试决赛试题4）解：设折痕是EF，如图13所示，EF必过长方形ABCD的两条对角线的交点O，且与AC垂直.连接AE，CF，则AECF是个菱形.由勾股定理，可得（图13）长方形ABCD的每条对角线的长度=32425...设BE=x,则AEEC4x,在直角三角形ABE中应用勾股定理，得32x2(4x)2,解得x7.所以AEEC4725.8125758875易知，三角形FEC的面积等于，所以菱形的面积为283=AECF.168所以15EF75,所以EF153.75.284答：折痕EF的长度=3.75.例7.一段笔挺的铁路线双侧有C，D两厂，C厂到铁路线距离CA=2km，D厂到铁路线距离DB=3km.又AB=12km.现要在铁路上设一站台P，使得C，D两厂到P站的距离之和为最小.问C，D两厂到P站的距离之和的最小值是多少？解：如图14，CA=2，DB=3，AB=12.

（图14）设P为AB上任一点，连接PC，PD，设CD交AB于M，依据三角形不等式，PCPDCD，所以当P与M重合时PC+PD获得最小值为CD.P站应设在CD与AB的交点M处.过D作CA的垂线交CA的延长线于E，则CE=2+3=5，EB=AB=12.在RtVECD中，依据勾股定理，CDCE2ED25212213（km）答：C，D两厂到P站的距离之和的最小值是13km.例8.P为正方形ABCD一点,PA=PB=10,而且P点到CD边距离也等于10.求正方形ABCD的面积.解：设CD中点为M，则PMCD.所以PM=10.延长MP交AB于N，则AN=NB.MNAB.（图15）设正方形边长为2x，则AN=BN=x，PN=2x–10...在RtVAPN中，由勾股定理得22210x(2x10)化简得5x240x0即5x(x8)0因为x0,解得x=8.所以正方形的边长为16，

（图16）面积为256.例9.正方形纸片ABCD中,E为BC中点,折叠正方形,使点A与点E重合,压平后,得折痕MN,如右图.设梯形ADMN的面积为S1,梯形BCMN的面积为S2.求S1的值.S2（图17）解：如图，设AB=2，则BEAN=NE=x.=1.在RtVNBE中，由勾股定理列得方程x2(2x)212，解得x5.4所以AN=NE=x5.BN=253.444作MPP由MPNABE知PN=BE=1.AB于.DMAPAN51PN1.441573242644410.S12,S2244S1634S210.54例10.如图，某风景区的沿湖公路AB千米，=3BC=4千米，CD=12千米，AD=13千米，此中

（图18）ABBC图中暗影是草地，其他部分是水面.那么乘游艇由点C出发，行进速度为每小时..117千米，到达对岸AD最少要用小时.13答：0.4小时.解：连接AC，有勾股定理简单求得

（图19）AC千米又因为222所以三角形=5.5+1213,oACD是直角三角形，ACD90.要乘游艇由点C出发，行进速度为每小时117千米，到13（图20）达对岸AD所用时间最少，游艇行进路线一定最短，即为点C到AD的距离，也就是直角三角形ACD中斜边AD上的高线CH，这个高线CHACCD51260千米.AD1313所以游艇行进最少时间为60117601320.4小时.1313131505（三）勾股定理的综合应用在图形的变换中运用勾股定理，使得几何证题开朗而生动、简洁且优美.例11．凸五边形ABCDE中，∠BAE+AED=270o，∠BCD=90o，AB=3，BC=12，CD，DE，AE．则五边形ABCDE的面=5=4=8积等于．解：作ABPEPDBPPE，连接，则=8，=3．∵∠BAE∠AED，∴∠PED=270o．（图21）+=270o180o=90o在直角△PED中，依据勾股定理求得PD．连接BD，在直角△BCD中，根=5据勾股定理求得BD=13．因为BP+PD=8+5=13=BD，所以点P在BD上，此时AE//BD，ABDE是个梯形，其高等于点E到BD的距离342.4，5所以S=S+S(813)2.4512=25.2+30=55.2.ABCDEABDE△BCD22..例12.P为等边ABC一点，已知PA=3，PB=4，PC=5，求APB的度数，简述你的原由.证明：将ABP绕点B顺时针旋转60o，到BCQ的地点.则ABPBCQ,APBBQC,QC=3.连接PQ则PBQ是正三角形，BQP60o,.（图22）PQ=4.在PQC中，QC=3，PQ=4，PC=5，所以oPQC90.所以APBBQCBQPPQC60o90o150.oo例13.如图23，POQ30.A为OQ上一点，B为OP上一点，且OA=5，OB=12，在OB上取点A1，在AQ上取点A2.设l=AA1+A1A2+A2B.求l的最小值.

（图23）分析：要求l=AA1+A1A2+A2B的最小值，想法将AA1，A1A2，A2B变位后与一条固定的线段对比较，利用“两点之间直线段最短”的原理来求解.再由30o角为90o的1，可以假想沿OP，OQ分别使POQ3向角的外侧对折，造成一个90o的特别角，为问题的解答创建条件.解：以OP所在直线为对称轴，作POQ的轴对称图形POQ0;以所在直线为对称轴，作OQ（图24）QOP的轴对称图形QOP0.这时，A点关于OP的对称点为OQABOQOP上的B点.OAOB000000o由对称性知A0A1AA1,B0A2BA2.所以A0OB090...l=AA+AA+AB=AA+AA+ABA0B0.1122011220所以l的最小值为A0B0的长.问题归纳为：“在A0OB0中，OA0=5，OB0=12，A0OB090o，求A0B0.”依照勾股定理得A0B02OA02OB0252122169，所以A0B016913.所以，l的最小值为A0B0的长为13.例14.如图，直角三角形CEF接于正方形ABCD，E为AD边中点，且EF与EC垂直．假如AB＝，那么CF的长度是．1（第二届两岸四地少年精英数学邀请赛笔试1试题）解：设BFx，则AF1x，于是由勾股定理，（图25）1222122x2221，可得：CFx,EF12,CE12利用CEF为直角三角形，可由勾股定理CF2CE2EF2列出方程：1x21x1212222解得x3，所以CF21x225，于是=5．4164例15.如图，设ABCD是正方形，P是CD边的中点，点Q在BC边上，且APQ°，AQ与BP=90订交于点T，則BT的值为多少？TP答案：6：5解：令AB=1，则DP=CP1.2设CQ=x，BQ=1-x

（图26）因为三角形ADP、CQP、ABQ、APQ都是直角三角形，则..1212AP2AD2DP21,PQ2CQ2CP2x2,22AQ2AB2BQ21(1x)2.在RtAPQ中，由AQ2AP2PQ2,得221(1x)211x21,解得x=1.224所以，三角形ADP的面积为1；三角形CQP的面积为1；416三角形ABQ的面积为3；三角形APQ的面积为13115；8841616依据三角形面积公式，則BT的值为6：5.TP例16．以以下图，在以AB为直径的半圆上取一点C，分别以AC和BC为直径在ABC外作半圆AEC和BFC.当C点在什么地点时，图中两个弯月型（暗影部分）AEC和BFC的面积和最大.

（图27）解：弯月型AEC的面积+弯月型BFC的面积＝半圆AEC的面积半圆BFC的面积ABC的面积半圆ABC的面积＝1222AC1BC+ABC的面积1AB222222=AC2BC2AB2ABC的面积8在ACB中，由勾股定理得AC2BC2AB2,即AC2BC2AB20.所以，弯月型AEC的面积+弯月型BFC的面积=ABC的面积.因为ABC的底AB固定，所以当高CD最大时，ABC的面积最大.所以，当C点在经过圆心，且与直径AB垂直的直线与半圆AB的交点处时，两弯月型的面积最大..例17.自△ABC一点P，分别向BC，CA，AB边引垂线，垂足挨次为D，E，F。以BD，CD，CE，AE，AF，BF为直径分别向形外作半圆。以以下图这六个半圆面积分别记为S1，S2，S3，S4，S5，S6。证明：S1S3S5S2S4S6.本题观察勾股定理，圆面积等基础知识以及代数基本运算，恒等证明的能力。证明：连接AP，BP，CP。

（图28）则AF2BD2CE2(AP2PF2)(BP2PD2)(CP2PE2)BF2CD2AE2(BP2PF2)(CP2PD2)(AP2PE2)所以，AF2BD2CE2=BF2CD2AE2两边同乘4得：2AF2BD2CE2（图29）2222222CD2AE2BF+，也就是S1S3S5S2S4S6.2+22222例18.设M为△ABC任一点，AB,MEBC,MFCA,又BD=BE，CE=CFMD（如图）.求证：AD=AF.证明：连接AM，BM，CM，如图挨次对各直角三角形，用勾股定理，得：AD2DD12AD12(BD2BD12)(AM2MD12)AM2BE2(BD12MD12)AM2BE2BM2..AM2BE2(ME12BE12)(AM2ME12)(BE2BE12)AM2ME12EE12.（图30）同理AF2FF12AF12(CF2CF12)(AM2MF12)AM2CE2(CF12MF12)AM2CE2CM2AM2CE2(ME12CE12)(AM2ME12)(CE2CE12)AM2ME12EE12.所以AD2AF2ADAF.这道题构思奇妙，曾作为1979年中国科技大学考少年班的复试题，当时却没有一个学生能完好地解出.例19.在长方形ABCD中，E为AB上一点.已知AB=14，CE=13，DE=15.CFDE于F.连接AF，BF.则△ABF的面积等于.答：36.96.解：先求BE.设BEx,则AE14x.（图31）在直角△ADE与直角△BCE中应用勾股定理，得DE2AE2AD2BC2CE2BE2即得方程152(14x)2132x2,化简得28x=140,所以x=5.所以AE=9.再应用勾股定理，求得ADBC12.从而求得矩形ABCD的面积=12×14=168，所以SCDE84.设DFy,则EF15y.由CD2DF2CF2CE2EF2，得方程：..142x2132(15x)2，化简得30=252,所以x8.4.即DF8.4.x所以，SCDF848.48.447.04.15285又因为，SCDFSABF1SXABCD84，2所以SABF84SCDF8447.0436.96.答：△ABF的面积等于36.96.例20.锐角△ABC中，已知AB=4，AC=5，BC=6.AD，BE，CF分别是边BC，CA，AB上的高，D，E，F为垂足.求SS

DEF?ABC解：设BD=x，CE=y，AF=z.则CD6x,AE5y,BF4z.依据勾股定理列得关系式：42x252(6x)262y242(5y)252z262(4z)2（图32）解得：x9,y9,z5；所以6x15,5y1,4z27.428428SBDF27S48SCDE59S2SAEF45S8

ABD279S3246ACD915S1046ABE51S3225

ABC81SABCSBDF81；256SABC256ABC9SABCSBDF9；16SABC16ABC1SABCSBDF1.64SABC64所以SDEF1819127.SABC2561664256注:在△ABC中，AHBC于H则AB2AC2BH2CH2在解题中是非.常重要的数目关系...例21.（射影定理）直角三角形ABC中，CD是斜边AB上的高.（1）CD2ADBD；（2）AC2ADAB；（3）BC2BDAB.（图33）证明:(1)由勾股定理,CD2BC2BD2,CD2AC2AD2.相加得2CD2BC2AC2BD2AD2AB2(BD2AD2)(ADBD)2(BD2AD2)2ADBD所以CD2ADBD.(2)AC2AD2CD2AD2ADDBAD(ADDB)ADAB.(3)BC2BD2CD2BD2ADDBBD(ADDB)BDAB.这样,可以将勾股定理,平方乘法公式,有机地联合起来,利用勾股定理简单地证了然射影定理,这对几何学习很有好处.初一平面几何基础讲座之七勾股定理闲聊（纲要）国都师大学数学科学学院周春荔..2001年3月10日由中央电视台播出的“第八届华罗庚金杯少年数学邀请赛”初赛第一道试题是：“2002年将在召开国际数学家大会.如图1所示，这是大会的会标图案.它由四个相同的直角三角形拼成.已知直角边的长为2和3，求大正方形的面积.”显见，大正方形面积等于四个直角三角形与中间小（图1）正方形面积之和.每个直角三角形面积是3，四个直角三角形面积是12，中间小正方形的边长为3–2=1，面积是1.所以大正方形的面积是3×4+1=13.这道试题向广大青少年流传了2002年将在召开国际数学家大会的信息，并利用这道赛题向大家介绍了大会会标的图案.此中还蕴涵着勾股定理及其拥有中华特点的“弦图”证明.（一）勾股定理及其逆定理勾股定理揭露了直角三角形三边之间的胸怀关系.其容是：如图2，ABC中，C90o,CBa,ACb,ABc,则有a2b2c2.勾股定理的证明记录于欧几里得（公元前三世纪）的（图2）《几何本来》第一卷命题47：“直角三角形斜边上的正方形面积等于两直角边上正方形面积之和.”外国称勾股定理为毕达哥拉斯定理.它是欧几里得几何的重要定理之一，有的数学家形象地称勾股定理是欧氏几何的“拱心石”.勾股定理及其证明的涵十..分丰富.要深入研究、频频领会，对学习会大有好处.《几何本来》中对勾股定理的证明，采纳的是面积割补与等积变形.如图，连接BJ，FC.过C作CDFE于D，交AB于K.3则CD//AF//BE，易证AJBACF.又SACF1SAKDF，SAJB1SACIJ22所以SACIJSAKDF.同法可证SBCHGSBKDE故SABEFSAKDFSBKDESACIJSBCHG.大家知道，中华民族是善于数学的民族，（图3）我国也是最早发现勾股定理的国家之一．我国古代三国时期的数学家爽，就是利用“弦图”来证明勾股定理的.图4就是中国古算书中的“弦图”.“案弦图又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实亦成弦实.”其意思是：设直角三角形的勾为a，股为b，弦为c，ab为两

（图2）个红色直角三角形的面积，2ab为四个红色直角三角形的面积.中黄实的面积为(ab)2，大正方形的面积为c2.（图4）所以c2=2ab+(ab)2=2ab+a2-2ab+b2=a2+b2.从而奇妙地证了然勾股定理.勾股定理的证法很多,此中文艺中兴时期的达·芬奇的证法也是很有特点的.如图,在直角三角形ABC的三边上分别向外作正方形ABDE，AGFC，BCMN...求证：SAGFCSBCMNSABDE.证明：连接FM,作直角三角形DEP与角三角形形ABC全等.（AC=DP，BC=EPDPEACBo90.)连接NGPC.,则NG是六边形AGFMNB的对称轴,所以SAGNB1SAGFMNB.2又六边形ACBDPE是中心对称图形,所以SACPE1SACBDPE.（图5）2因为以A为旋转中心,将四边形AGNB顺时针旋转90o与四边形ACPE重合所以四边形AGNB的面积=四边形ACPE的面积.所以六边形AGFMNB的面积=六边形ACBDPE的面积.即SAGFCSBCMNSRtABCSRtFMCSABDESRtABCSRtDEP注意到SRtFMCSRtABCSRtDEP,从上式两端消去两对面积相等的直角三角形获得SAGFCSBCMNSABDE.所以得证AC2BC2AB2.勾股定理的逆定理也是成立的，特别实用.定理假如三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么前两边的夹角必定是直角.已知：ABC中，BC2AC2AB2.求证：BCA90o.证明：如图6，作一个直角三角形ABC，

（图6）使BCA90o，BCBC,ACAC.依据勾股定理，就有BC2AC2AB2.与已知等式BC2AC2AB2比较可知，有ABAB.所以ABCABC...所以有BCABCA90.o（二）勾股定理的初步应用例1.智能机器猫从平面上的O点出发.按以下规律行走：由O向东走12cm到A1，由A1向北走24cm到A2，由A2向西走36cm到A3，由A3向南走到A4，由A4向东（图9）48cm走60cm到A5，问：智能机器猫到达的A6点与O点的距离是多少厘米？（第九届华杯赛集体决赛口试题9）例2.华罗庚爷爷说：数学是我国人民所善于的学科.请小朋友求解《九章算术》中的一个古代问题：“今有木长二丈，围之三尺，生其下，缠木七周，上与木齐.问长几何？”白话译文：如图8，有圆柱形木棍直立地面，高20尺，圆柱底面周长3尺.藤生于圆柱底部A点，等距环绕圆柱七周恰好长到圆柱上底面的B点.则藤的长度是尺.例3：假如梯形的两条对角线相互垂直.求证：对角线的平方和等于两底和的平方.例4.在ABC中，C90o，O为三角形一点，若OAB,OBC,OAC的面积相等，求证：OA2OB25OC2...例5．P为矩形ABCD一点，已知PA=5，PB=10，PC=14.求PD=？例6.长方形的纸片ABCD，AD=4，AB=3，将它折叠压平，使C点与A点重合.求折痕的长度.例7.一段笔挺的铁路线双侧有C，D两厂，C厂到铁路线距离CA=2km，D厂到铁路线距离DB=3km.又AB=12km.现要在铁路上设一站台P，使得C，D两厂到P站的距离之和为最小.问C，D两厂到P站的距离之和的最小值是多少？例8.P为