2021-2022学年福建省福州市鼓楼区九年级（上）月考数学试卷（12月份）（附答案详解）

2021-2022学年福建省福州市鼓楼区延安中学九年级(上)

月考数学试卷(12月份)

1.下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是

2.

下列事件中，是必然事件的是()

A.掷一枚均匀的六面体骰子，骰子停止后朝上的点数是6

B.打开电视机，任意选择一个频道，正在播新闻

C.在地球上，抛出去的篮球会下落

D.随机地从0,1,2,9这十个数中选取两个数，和为20

4.把抛物线y=(x-1)2-1向左平移4个单位，向上平移3个单位，得到的抛物线是

()

A.y=(x+3)2-4B.y=(%-5)2+2

C.y=(x+3)2+2D.y=(x—5)2—4

5.下表是求代数式a/—以的值的情况，根据表格中的数据可知，关于x的一元二次

方程aM-bx-2=0的根是()

X•••-2-10123・・・

ax2—bx•••620026・・・

A.%=1B.X]—0,%2=1

C.x=2D.x1=­1,x2=2

6.如图，四边形ABC。内接于O。，如果它的一个外角

^DCE=64",那么NBOO等于（）

A.32°

B.64°

C.128°

D.148°

7.为测量操场上悬挂国旗的旗杆的高度，设计的测量方案如图所示:标杆高度CD=3,

标杆与旗杆的水平距高BD-15m,人的眼睛与地面的高度EF—1.6m,人与标杆

C£»的水平距离DF=2m,E、C、A三点共线，则旗杆AB的高度为（）

A.13.5米B.12.5米C.11.9米D.10.5米

8.一次函数y=ax+b与反比例函数y=（的图象如图,则二次函数

y=ax2+bx4-c的大致图象是（）

A"

D.

0

9.如图，正三角形ABC的边长为3,将△4BC绕它的

外心。逆时针旋转60。得到则它们重叠部

分的面积是（）

A.2V3

B.M

4

c.|V3

D.V3

10.如图，△ABC的顶点C在x轴上，B在y轴上，点A在反比例函数y=（（k>0）的

图象上，AC边上的中线80与x轴相交于点E,若乙OEB=KDCE,△8CE的面积

为4,则女的值为（）

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A.10D.4

11.点”(4,-3)关于原点对称的点N的坐标是一

12.已知乙4是锐角，且tam4=2,那么cosA=

13.如图所示是一个圆锥在某平面上的正投影，则该圆锥的

侧面积是,

14.如图，O、E分别是AABC的边4&4。上的点，且。9〃8。，

BE、C7)相交于点0,iS&D0E：S^DoB=1：3,则当SAADE=2

时，四边形OBCE的面积是.

15.已知正方形ABC。边长为2,E、尸分别是直线BC、CZ)上的动点,

且满足BE=CF,连接AE、BF,交点为P点,则PD的最小值为

16.抛物线y=a/+以+c经过(一1,%)，(3,y2)'(m,y3),其中2am+b=0,现有以

7n

下结论：①若％=先，则=1；②若根=2,则有%>y2；③若a>0,对于任

意实数x都有y?y3；④若y3Ny2>y「则"的取值范围是1<沆<4.其中正确

的是.(写出所有正确结论的序号)

17.①计算：6tan30°+(3.14-7r)0-V12.

②解方程：x(x-4)=3.

18.如图，将AABC绕点A逆时针旋转得到AaDE,点C和点E是对应点，若“4E=90°,

AB=1,求BO的长.

D

19.如图，反比例函数y=5的图象与一次函数y=x+b的图象交于点4(1,4)、点

B(-4,n).

(1)求一次函数和反比例函数的解析式;

(2)求AOAB的面积；

(3)直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围.

20.“共和国勋章”获得者钟南山院士说：按照疫苗保护率达到70%计算，中国的新冠

疫苗覆盖率需要达到近80%,才有可能形成群体免疫，本着自愿的原则，18至60

周岁符合身体条件的中国公民均可免费接种新冠疫苗.居民甲、乙准备接种疫苗，

其居住地及工作单位附近有两个大型医院和两个社区卫生服务中心均可免费接种

疫苗，提供疫苗种类如下表：若居民甲、乙均在A、B、C、O中随机独立选取一个

接种点接种疫苗，且选择每个接种点的机会均等(提示：用A、B、C、。表示选取

结果)

接种地点疫苗种类

A新冠病毒灭活疫苗

医院

B重组新冠病毒疫苗(CHO细胞)

C新冠病毒灭活疫苗

社区卫生服务中心

D重组新冠病毒疫苗(CHO细胞)

(1)求居民甲接种的是新冠病毒灭活疫苗的概率；

(2)请用列表或画树状图的方法求居民甲、乙接种的是相同种类疫苗的概率.

21.如图，在平面直角坐标系中，4(2,1),8(5,2),C(3,4)是菱形ABOC的三个顶点.

(1)在图中画出菱形ABOC并写出菱形的顶点D的坐标，并求sin乙4BC的值；

(2)以原点O为位似中心，将菱形ABOC放大为原来的2倍，在第一象限内画出放

大后的图形，并写出点。的对应点。的坐标.

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22.如图，在锐角ACMB中，点M,N分别在边OB,0A上，连接MN,0G14B于点

G,0HJ.MN于点”，Z.N0H=Z.G0B.

(1)求证：AOHNSAOGB；

(2)若0M=3,0A=7,求翳的值.

23.甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：

甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出，

如果每辆汽车的月租费每增加50元，那么将少租出1辆汽车.另外，公司为每辆

租出的汽车支付月维护费200元.

乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次

性支付月维护费共计1850元.

说明：①汽车数量为整数：②月利润=月租车费-月维护费；③两公司月利润差=月

利润较高公司的利润-月利润较低公司的利润.

在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：

(1)当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是元：

(2)当每个公司租出的汽车为辆时，两公司的月利润相等；

(3)求两公司月利润差的最大值.

24.如图所示，AB是。。的直径，点C、。是。。上不同的两点，直线8。交线段OC

于点E、交过点C的直线C尸于点F,若OC=3CE,且9(E尸2一c尸2)=。。2

(1)求证：直线CF是0。的切线；

(2)连接OD、A。、AC.DC,若乙COD=2/.BOC.

①求证：△力

②过点E作EG〃/IB,交线段AC于点G,点M为线段AC的中点，若4。=4,求

线段用G的长度.

25.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=+

(1)求抛物线顶点。的坐标：(用含b的代数式表示)

(2)抛物线与x轴只有一个公共点，经过点(0,2)的直线与抛物线交于点A,B,与x

轴交于点K.

①判断AAOB的形状，并说明理由：

②已知E(2,0),F(6,0),设△力0B的外心为当点K在线段EF上时，求点M的

纵坐标，〃的取值范围.

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答案和解析

1.【答案】B

【解析】

【分析】

此题主要考查了中心对称与轴对称的概念：轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠

后可重合，中心对称是要寻找对称中心，旋转180。后与原图重合.

直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解.

【解答】

解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；

3、既是中心对称图形又是轴对称图形，故此选项符合题意；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意.

故选B.

2.【答案】B

【解析】解：从左边看，底层是两个正方形，上层左边是一个正方形，

故选：B.

根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案.

本题考查简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图.

3.【答案】C

【解析】解：4掷一枚均匀的六面体骰子，骰子停止后朝上的点数是6是随机事件；

8.打开电视机，任意选择一个频道，正在播新闻是随机事件；

C.在地球上，抛出去的篮球会下落是必然事件；

。.随机地从0,1,2,9这十个数中选取两个数，和为20是不可能事件，

故选：C.

根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可解答.

本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下，一

定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机

事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件.

4.【答案】C

【解析】解：把抛物线y=(x-l)2-1向左平移4个单位，向上平移3个单位，得到的

抛物线是：y=(x-1+4)2-1+3,即y=(x+3>+2.

故选：C.

根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可.

本题考查了二次函数的图象与几何变换，正确理解平移法则是关键.

5.【答案】D

【解析】解：ax2-bx-2=0,

ax2—bx=2,

由表知当x=-1和x=2时，aM—族=2,

2

•••ax—bx=2的解为——1,x2=2,

故选：D.

由表知当x=—1和x=2时，a/-bx=2,从而得出答案.

本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接

开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解

题的关键.

6.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查的是圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的外角等于它的内

对角是解题的关键.

根据圆内接四边形的性质得到=乙DCE=64。，根据圆周角定理得到答案.

【解答】

解：••・四边形ABCQ内接于。0,

LA=乙DCE=64°,

•••乙BOD=2乙4=128°,

故选C.

7.【答案】A

【解析】解：••・CDJ.FB,AB1FB,

CD//AB,

CGEs&AHE,

.CG_EG

••=,

AHEH

CD-EFFD

即nn：-----=------,

AHFD+BD

.3-3.6_2

"AH-2+15'

.•.AH=11.9,

・・•AB=AHHB=AH+EF=11.9+1.6=13.5(m).

故选：4

利用三角形相似中的比例关系，首先由题目和图形可看出，求AB的长度分成了2个部

分,A"和"8部分，其中"B=EF=1.6m,乘I］下的问题就是求A”的长度，利用△

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AHE,得出*=詈，把相关条件代入即可求得4,=11.9,于是得到结论.

AHEH

本题考查了相似三角形的应用，主要用到的解题思想是把梯形问题转化成三角形问题,

利用三角形相似比列方程来求未知线段的长度.

8.【答案】A

【解析】解：丫一次函数丫=ax+b图象过第一、二、四象限，yf

•••a<0,b>0,,

・，・二次函数y=ax2+b%+c开口向下，二次函数y=ax2+b%+c对称轴在y轴右侧；

•・•反比例函数y=2的图象在第二、四象限，

:.c<0,

••・二次函数y=ax2+b%+c的图象与y轴交点在x轴下方.

满足上述条件的函数图象只有选项A

故选：A.

根据一次函数与反比例函数图象找出〃、。、c的正负，再根据抛物线的对称轴为直线式=

-找出二次函数对称轴在y轴右侧，比对四个选项的函数图象即可得出结论.

本题考查了一次函数的图象、反比例函数的图象以及二次函数的图象，解题的关键是根

据一次函数与反比例函数的图象找出〃、氏c的正负.本题属于基础题，难度不大，熟

悉函数图象与系数的关系是解题的关键.

9.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查了三角形的外心、等边三角形的性质以及旋转的性质，理解连接。和正六边形

的各个顶点，所得的三角形都为全等的等边三角形是关键.

根据重合部分是正六边形，连接。和正六边形的各个顶点，所得的三角形都是全等的等

边三角形，据此即可求解.

【解答】

解：作4Ml.BC于M,如图:

重合部分是正六边形，连接。和正六边形的各个顶点,

所得的三角形都是全等的等边三角形.

是等边三角形，AM1BC,

13

:,AB=BC=3,BM=CM=-BC=^BAM=30°,

22

AM=CBM=手，

ABC的面积=-BCx?4M=-x3x—,

2224

B'

重叠部分的面积=9△4BC的面积=:x苧=竽;

9942

故选C.

10.【答案】B

【解析】解：设4(n,m),C(t,0),

。为4c的中点，

。点坐标为

过点。作OF_Lx轴于点F,

vZ.OEB=/JDCE,乙DEC=乙DCE,

:.DE=DC,

二点尸是EC的中点,

••・E(n,0),

设直线ED的解析式为y=ax+b,

把E5,0),。(等,》代入得：

na+b=0

n+t,.m,

—a+b=7

解得a=旦，b=-—,

t-nt-n

.・・直线CD的解析式为y=三x-署，

・•.E点坐标为(0,一户)，

t-n

,*eS〉BCE~2•°E,BC=

1mn/'、

J.—•—•(t-71)=44,

2t-nvJ

・•・mn=8,

・•・k=mn=8.

故选：B.

设A(n,m),C(t,0),即可得到E点坐标为(加0),。点坐标为(等()，由4OEB=乙DCE,

NDEC=ZDCfWADCE是等腰三角形，利用三线合一的性质可得点E的坐标；再利用

待定系数法求出的解析式，则得B点坐标为(0,-署)，然后利用三角形的面积公式

可得到nm=8,即得到%的值.

本题考查了反比例函数的综合题的解法：先设某些点的坐标，再利用几何性质表示其他

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点的坐标或求其他图象的解析式，然后再利用几何性质建立等量关系求未知字母的值.

11.【答案】（—4,3）

【解析】解：由M（4,-3）关于原点对称的点N的坐标是（一4,3）,

故答案为：（—4,3）.

根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案.

本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵

坐标互为相反数是解题关键.

12.【答案】?

【解析】解：设所在的直角三角形为△ABC,ZC=90",“、NB、/C所得的边为a,

b,c,

vtanA—2,即2=2,

设b=k,则a=2k,

・•・c=Va24-62=

bVs

cos/lA=-=——，

c5

故答案为：y.

根据锐角三角函数的定义和勾股定理进行计算即可.

本题考查锐角三角函数，勾股定理，掌握锐角三角函数和勾股定理是正确解答的关键.

13.【答案】2旧兀

【解析】解：BC=4,AD=3,AD1BC,AB=AC,

•••CD=-BC=2,

2

在RtA4CD中，AC=\/AD2+CD2=V32+22=V13,

二圆锥的侧面积S=Trrl=nx2713=2辰兀，

故答案为：2小兀.

根据等腰三角形的性质易得圆锥的底面半径，利用勾股定理易得圆锥的母线长，那么圆

锥的侧面积=底面周长x母线长+2.

本题考查了平行投影，正确运用勾股定理、圆锥侧面积求解是解题的关键.

14.【答案】16

【解析】解：SADOE：SADOB=1：3,

OE1

――,

OB3

vDE“BC,

・•・△ODEs^OCB,

DEEO1

••BC-OB一3

vDE//BC,

・•・△ADE^LABC,

,SAME_(DE)2_d)2_1

SFOE=2,

S^ABC=18，

・•・四边形DBCE的面积=S〉ABC-S〉ADE=18-2=16,

故答案为：16.

由题意可得出第=由相似三角形的性质可得出答案.

OB3

本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.

15.【答案】V5-1

【解析】解：在正方形ABCQ中，AB=BC,乙ABC=「BCD,

在A/IBE和ABCF中，

ZB=BC

Z.ABE=乙BCF,

BE=CF

：.^ABE^^BCF{SAS},

・•・Z.BAE=乙CBF,

•・•乙CBF+乙ABF=90°,

•♦・54£+乙489=90°,

・・・乙4PB=90°,

・••点P在以A8为直径的圆上，

由图形可知：当0、P、。在同一直线上时，DP有最小值，如图所示：

•••正方形ABC。，BC=2,

AO=1=0P,

Rt^O/W中，0D=V22+I2=V5,

.-.PD=0D-0P=>/5-l,

故答案为：V5—1.

先证明AABE四△BCF,即可得到44PB=90。，所以点P在以AB为直径的圆上，由图

形可知：当0、P、。在同一直线上时，DP有最小值，然后根据勾股定理即可解决问题.

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本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解决本题的关键

是得至以ABE94BCF.

16.【答案】①③

【解析】解：2am+£>=0,

•••y=ax2—2amx+c,

••.抛物线的对称轴为直线x=m,

①当外=丫2时，（一1/1），（3,乃）关于对称轴x=m对称,

3-1.

=1,

•••m=2—

故①符合题意；

②当m=2时，（一L%）到对称轴的距离为3,（3/2）到对称轴的距离为1，

当a>0时，yx>y2>

当a<0时，<y2,

故②不符合题意；

③a>0,函数有最小值、3，

对于任意实数x都有丫2%：

故③符合题意；

N%>月，

Aa<0,

|m4-1|>|m-3|,

-m>1,

故④不符合题意；

故答案为：①③.

由题意可知抛物线的对称轴为直线％=m，①当y1二y2时，（-1,%），（3,%）关于对称轴

%=机对称，可求巾=1；②当Q>0时，力>力，当Q<0时，、1<%；③a>0，函

数有最小值丫3；④-3|,可得m>1.

本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，二次函数图象上点

的坐标特点是解题的关键.

17.【答案】解：①6tan30°+（3.14—九）°一值

V3厂

=6x—+1-2V3

=2>/3+l-2V3

=1;

②-4）=3,

%2—4%=3,

%2-4x4-4=7,

(x-2)2=7,

x-2=+V7,

x-2=V7或x-2=-V7,

=2+A/7,x2=2—V7.

【解析】(1)先化简各式，然后再进行计算即可解答；

(2)先将原方程整理成一般形式，再利用配方法进行计算即可解答.

本题考查了实数的运算，零指数基，特殊角的三角函数值，解一元二次方程-配方法，

准确熟练地进行计算是解题的关键.

18.【答案】解：••,将△4BC绕点A逆时针旋转的到△4DE,点C和点E是对应点，

AB=AD=1,乙BAD=/.CAE=90°,

BD=yjAB2+AD2=V2.

BD的长为VI

【解析】由旋转的性质得：AB=AD=1,/.BAD=/.CAE=90。，再根据勾股定理即可

求出BD.

本题考查了旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线

段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等.也考查了勾股定理，掌握旋转的性质

是解决问题的关键.

19.【答案】解：(1)把A点(1,4)分别代入反比例函数y=一次函数丫=%+上

得k=1x4,l+b=4,

解得Z=4,b=3f

所以反比例函数的解析式是y=3一次函数解析式是y=x+3；

(2)如图，设直线y=x+3与)，轴的交点为C,

当x=-4时，y=—1,

B(-4,-1),

当x=0时，y=3,

C(0,3),

SAAOB=SAAOC+SABOC=-x3xl+-x3x4

(3)vfi(-4,-l),4(1,4),

••.根据图象可知：当x>l或—4<x<0时，一次函数值大于反比例函数值.

【解析】(1)把4的坐标分别代入反比例函数解析式和一次函数解析式求出鼠6即可;

(2)求出直线AB与y轴的交点C的坐标，分别求出AACO和ABOC的面积，然后相加即

可；

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(3)根据A、8的坐标结合图象即可得出答案.

本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数的解析式，三

角形的面积，一次函数的图象等知识点，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目，

用了数形结合思想.

20.【答案】解：(1)居民甲接种的是新冠病毒灭活疫苗的概率为3=a

(2)画树状图如图:

开始

甲ABCD

-<T\/Zl\/ZN

乙ABCDABCDABCDABCD

共有16种等可能的结果，居民甲、乙接种的是相同种类疫苗的结果有8利।

则居民甲、乙接种的是相同种类疫苗的概率为搭=；.

162

【解析】(1)直接由概率公式求解即可；

(2)画树状图，共有16种等可能的结果，居民甲、乙接种的是相同种类疫苗的结果有8

种，再由概率公式求解即可.

本题考查了树状图法求概率，正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率=

所求情况数与总情况数之比.

21.【答案】解：(1)画对菱形，点。坐标为(6,5),

如图，AB=AC=V10,BC=2V2；

过点A作4PJ.8C于点P,则BP=夜，AP=

2V2,

.,“厂AP2V2275

sinz.i4BC=—="7==—；

ABV105

(2)如图所示，£>'(12,10).

【解析】(1)根据4(2,1),8(5,2),C(3,4)得出48=AC=同，=2应，再利用三角

函数正弦值NABC的对边比斜边即可求出;

(2)得出对应点的坐标都扩大为原来的2倍，画出即可.

此题主要考查了锐角三角函数的定义以及位似图形的画法以及菱形的性质等知识，灵活

的画出位似图形是解决问题的关键.

22.【答案】(1)证明：•••OGJ.AB,OH1MN,

：.乙OHN=乙OGB=90°,

•••Z.NOH=Z.GOB,

・•・△OHNs20GB；

(2)解：由(1)知：AOHNS^OGB,

・•・Z,ONH=乙B,

•・•Z.AOB=乙MON,

・•・△OMNs〉OAB,

.MN_OM

"~AB~~0Af

•・•OM=3,OA=7,

MN3

・•・一=

AB7

【解析】(1)由两个角对应相等的两个三角形相似，直接可得△OHNs^OGB；

(2)证明△0MNSA(M8得翳=翳，即可得出答案.

本题考查了相似三角形的判定与性质，证明△OHNSROGB是解题的关键.

23.【答案】4800037

【解析】解：(1)[(50-10)x50+3000]x10-200x10=48000元,

当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是48000元，

故答案为：48000；

(2)设每个公司租出的汽车为x辆，

由题意可得：[(50-x)x50+3000]x-200x=3500%-1850,

解得：x=37或x=—1(舍)，

・・.当每个公司租出的汽车为37辆时，两公司的月利润相等，

故答案为：37；

(3)设两公司的月利润分别为y尹，y乙，月利润差为〉

则y用=[(50-%)x50+3000]%-200x,

y乙=3500%—1850,

当甲公司的利润大于乙公司时，0<x<37,

y=y用―y4=[(50—x)X50+3000]x—200x-(3500%—1850)

=-50x2+1800x+1850,

当x=-塔轰=18时，利润差最大，且为18050元；

当乙公司的利润大于甲公司时，37<xS50,

y=-y甲=3500%—1850—[(50—%)x504-3000]%4-200%

=50x2-1800%-1850,

••・对称轴为直线％=-£翳=18，50>0,

•••当37<xS50时，y随x的增大而增大，

.•.当x=50时，利润差最大，且为33150元，

综上：两公司月利润差的最大值为33150元.

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(1)用甲公司未租出的汽车数量算出每辆车的租金，再乘以10,减去维护费用可得甲公

司的月利润；

(2)设每个公司租出的汽车为x辆，根据月利润相等得到方程，解之即可得到结果；

(3)设两公司的月利润分别为y尹，y乙，月利润差为》由题意可得y/和y乙的表达式，

再分甲公司的利润大于乙公司和甲公司的利润小于乙公司两种情况，列出y关于x的表

达式，根据二次函数的性质，结合x的范围求出最值，再比较即可.

本题考查了二次函数和一元二次方程的实际应用，解题时要读懂题意，列出二次函数关

系式是解题关键.

24.【答案】⑴证明:

■：9(EF2-CF2)=OC2,OC=3CE,

9(EF2-CF2)=9EC2,

EF2=EC2+CF2,

乙ECF=90°,

•••OC1CF,

•••直线CF是。。的切线.

(2)①证明：

vZ-COD=24DAC,Z.COD=2(BOC,

Z.DAC=乙EOB,

•・,Z.DCA=乙EBO,

•••△ACDSAOBE.

②解：♦；OB=OC,OC=3EC,

・•・OB：OE=3：2,

ACDs^OBE,

AC―AD，

OBOE

.AC_OB_3

,•AD~OE~2

-AD=4,

: