2021-2022学年贵州省毕节市高二（上）期末数学试卷（理科）（附答案详解）

2021-2022学年贵州省毕节市高二(±)期末数学试卷(理

科)

1.命题i(Bx6/?,%6>2%+11”的否定是()

A.3%e/?,%6<2%+11B.Vxe/?,%6>2%+11

C.VxgR,%6<2%+11D.Vx£R,x6<2x+11

2.已知集合4=卜|一3三-2乂+1<5},8={工似=111(>+1)+3，则408=()

A.(-1,2)B.(-1,2]C.(-l,0)U(0,2)D.(-l,0)U(0,2]

3.变量x,y之间有如下对应数据：

X34567

y13111087

已知变量y与x呈线性相关关系，且回归方程为y=-1.5%+a,则a的值是()

A.2.3B.2.5C.17.1D.17.3

4.在空间中，“直线A8与CD没有公共点”是“直线A3与(7。异面”的()

A.必要不充分条件B.充要条件

C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件

5.设尸为椭圆C：卷+?=1上一点，&、尸2分别为左、右焦点，且|PFJ=3|PFz|,

则仍尸2|=()

A.-B.-C.-D.-

2222

6.将函数/(久)=5也(4%-》+85(4》一》的图象向左平移看个单位长度后，得到函数

g(x)的图象，则g(x)=()

A.—72sin(4x-B.V2sin(4x4-

C.V2sin(4x+》D.sin(4x+争

7.刘老师在课堂中与学生探究某个圆时，有四位同学分别给出了一个结论.

甲：该圆经过点(2,2)；

乙：该圆的半径为遥；

丙：该圆的圆心为(1,0)；

T：该圆经过点(7,0).

如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是()

A.甲B.乙C.丙D.T

8.某汽车制造厂分别从A,B两类轮胎中各随机抽取了6个进行测试，下面列出了每

一个轮胎行驶的最远里程(单位：103km).

4类轮胎：94,96,99,99,105,107.

B类轮胎：95,95,98,99,104,109.

根据以上数据，下列说法正确的是（）

A.A类轮胎行驶的最远里程的众数小于8类轮胎行驶的最远里程的众数

B.A类轮胎行驶的最远里程的极差等于8类轮胎行驶的最远里程的极差

C.A类轮胎行驶的最远里程的平均数大于B类轮胎行驶的最远里程的平均数

D.A类轮胎的性能更加稳定

9.若正整数N除以正整数机后的余数为〃，则记为

N=n（modm）,如10三2（mod4）.如图所示的程序

框图的算法源于我国古代闻名中外的“中国剩余定

理”.执行该程序框图，则输出的i等于（）

A.7

B.10

C.13

D.16

10.定义在R上的偶函数f（x）在（-8,0］上单调递增，且f（log2*=0,则满足

4）20的x的取值范围是（）

A.(-8,0)U[2,6]B.(-oo,0]U[2,6]

C.(—8,0)U[4,6]D.(-o0,0]U[4,6]

11.已知4(1,0,。)，5(0,1,0),C(0,0,l).D(1,1,2),则点。到平面A8C的距离为()

CV5

A.V3B.V2D

・2-T

12.双曲线型自然通风塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，如图所示,

它的最小半径为4g米，上口半径为竽米,下口半径为竽米，高为24米，则该

双曲线的离心率为（）

A.2

13.抛物线y2=100x的焦点坐标为.

14.在区间［1,4］上随机取1个数，则取到的数小于2的概率为.

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15.若A是直线8C外一点，。为线段BC的中点，四+m=3荏，厉=x荏+y正,

则久+y-,

16.如图，在四棱锥P-4BCD中，△PAD是边长为4的等

边三角形，四边形ABCD是等腰梯形，AD//BC,

/.ABC=60°,AB=AD,若四棱锥P-ABCD的体积

为24,则四棱锥P-ABCD外接球的表面积是.

17.设p：函数/'(x)=lg(a/-x+弓)的定义域为R；q：

不等式x+：>a对任意的xG(0,+9)恒成立.

(1)如果p是真命题，求实数a的取值范围;

(2)如果“pvq”为真命题，“p/\q"为假命题，求实数〃的取值范围.

18.已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cos2Z—gsinA+2=0.

⑴求A；

(2)若b+c=6V5,求△ABC外接圆面积的最小值.

19.某中学共有3000名学生，其中高一年级有1200名学生.为了解学生的睡眠情况,

现用分层抽样的方法，在三个年级中抽取了200名学生，依据每名学生的睡眠时间

(单位：小时)，绘制出了如图所示的频率分布直方图.

(1)求样本中高一年级学生的人数及图中〃的值；

(2)估计样本数据的中位数(保留两位小数)；

(3)估计全校睡眠时间不低于7个小时的学生人数.

20.在数列｛a.｝中，%=2,且0n+i-2"+】=即一2"+1.

(1)证明:数列｛即—n+l｝是等比数列：

(2)若bn=log4(an-n+1).求数列｛7一一｝的前〃项和Sn.

21.如图，在正三棱柱4BC-41B1G中，AB=AAt=2,D,E.F分别为4当，AC,CC1

的中点.

(1)证明：BF1DE；

(2)求平面8EF与平面OE尸所成锐二面角的余弦值.

22.已知Fi，6分别是椭圆C：捻+卷=l(a>b>0)的左、右焦点，点M是椭圆C上

的一点，且"^「2=],△&MF2的面积为1.

(1)求椭圆C的短轴长；

(2)过原点的直线/与椭圆C交于A,8两点，点P是椭圆C上的一点，若AP4B为

等边三角形，求。的取值范围.

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答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：命题为特称命题，则命题的否定为V"6R,%6<2x+11,

故选：D.

根据含有量词的命题的否定即可得到结论.

本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础.

2.【答案】D

【解析】解：・；A={x|-2<xW2},B={x}x>-1且%丰0},

•••AHB=(-l,0)U(0,2].

故选：D.

可求出集合A,B,然后进行交集的运算即可.

本题考查了集合的描述法和区间的定义，对数函数和反比例函数的定义域，交集及其运

算，考查了计算能力，属于基础题.

3.【答案】D

【解析】解：由题意可得，i=|x(3+4+5+6+7)=5,y=ix(13+ll+10+8+

7、49

7)=W

・••变量y与x呈线性相关关系,且回归方程为y=-1.5x+a,

y=-1.5x5+a,解得a=17.3.

故选：D.

根据已知条件，求出x,y的平均数，再结合线性回归方程的性质，即可求解.

本题主要考查线性回归方程的性质，属于基础题.

4.【答案】A

【解析】解：根据题意，在空间中，直线48与没有公共点，直线4B和C。平行或

异面，

反之，若直线与C£>异面，则直线与CO没有公共点，

故“直线AB与8没有公共点”是“直线AB与CD异面”的必要不充分条件，

故选：A.

根据题意，由空间之间的位置关系分析“直线48与C。没有公共点”和“直线AB与

CO异面”关系，结合充分必要的定义分析可得答案.

本题考查异面直线的定义，涉及充分必要条件的定义，属于基础题.

5.【答案】B

【解析】解：由题意椭圆C：，+9=1，所以a=5，

可得|P&|+\PF2\=10,

又因为|Pa|=3|PFz|,

所以|P&|=|,

故选：B.

根据椭圆的定义结合条件，即可计算结果.

本题考查了椭圆的定义，属于基础题.

6.【答案】A

【解析】解：将函数f(x)=sin(4x-3)+cos(4%-^)=V2sin(4x一g+》=&sin4x的

图象向左平移g个单位长度后，

6

得到函数g(x)=V2sin(4x+争=V2sin(^—4%)=—V2sin(4x-g)的图象，

故选：A.

由题意，利用诱导公式、两角和差的三角公式，函数y=AsinQx+伊)的图象变换规律，

得出结论.

本题主要考查诱导公式、两角和差的三角公式的应用，函数y=4sin(3x+s)的图象变

换规律，属于中档题.

7.【答案】D

【解析】解：由题意若乙：该圆的半径为遥，丙：该圆的圆心为(1,0)正确，

可得圆的方程为Q-1产+y2=5,

甲：该圆经过点(2,2)正好成立，

丁：该圆经过点(7,0)不正确，

故选:D.

由假设乙丙正确，求出圆的方程，再验证甲丁即可.

本题圆的方程和点与圆的位置关系，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题.

8.【答案】D

【解析】解：对A：4类轮胎行驶的最远里程的众数为99,3类轮胎行驶的最远里程的

众数为95,选项4错误；

对bA类轮胎行驶的最远里程的极差为13,B类轮胎行驶的最远里程的极差为14,选

项8错误.

对C：A类轮胎行驶的最远里程的平均数为-6T-5I+5+7+I。。=I。。,B类轮胎行驶的

最远里程的平均数为-5-5VT+4+9+I。。=If)。,选项C错误.

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对。：A类轮胎行驶的最远里程的方差为

(94-100)2+(96-100)2+(99-100)2X2+(105-100)2+(107-100)264

6—T；

B类轮胎行驶的最远里程的方差为;X[(95-100)2X2+(98-100)2+(99-100)2+

(104-100)2+(109-100)2]=7>故A类轮胎的性能更加稳定，选项。正确.

故选：D.

根据众数、极差、平均数和方差的定义以及计算公式即可求解.

本题主要考查数据的均值、方差，属于基础题.

9.【答案】C

【解析】解：由题意可得，第一步：n=2,i=4,余数不为1,

第二步：n=6,i=7,余数不为1,

第三步：凡=13,i=10,余数为1,执行第二个判断框，余数不为2,

第四部：n=23,1=13,执行第一个判断框，余数为1,执行第二个判断框，余数为

2,输出i的值为13.

故选：C.

根据“中国剩余定理”，进而依次执行循环体，即可求解.

本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的

结论，是基础题.

10.【答案】B

【解析】解：定义在R上的偶函数/(x)在(-8,0]上单调递增，

可得/(X)在[0,+8)上单调递减，

又/■(1限6=/(-2)=/(2)=0,

则当一2S久W2时，/(x)>0；当xW—2或x>2H寸，/(%)<0,

"(X-旬之。等价为-4)>0或-4)<0,

'为｛-2<%-4<2或4-44一2感一4》2‘

解得2<x<6或x<0,

故选:B.

由偶函数的定义和性质，求得/(x)20和f(x)S0的解集，对x讨论，解不等式可得所

求解集.

本题考查函数的奇偶性的定义和性质，考查分类讨论思想和转化思想、运算能力，属于

中档题.

11.【答案】A

【解析】解：在空间直角坐标系o-xyz中，

4(100),8(0,1,0),C(0,0,l),

AD=(04,2),AB=(-14,0),而=

设平面A3C的法向量道=(%,y,z),

则产型=-x+y=0,取z=i,可得元=(W),

。到平面ABC的距离为d=曙=^=V3.

|n|V3

故选：A.

求出平面ABC的法向量，再由向量法求解。到平面ABC的距离.

本题考查点到平面的距离的求法,考查空间向量的应用，考查运算求解能力，是基础题.

12.【答案】A

【解析】解：以的中点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，

则|。*=|04|=4V3,

设双曲线的方程为马一［=19>0,6>0),则a=48,

可设G,in),8式2：3,——24)(0<m<24),

zW39.

(f32.--=1

又由名，&在双曲线上，所以｛2需“解得巾=8,b=12,

(U^)2_(m-24产

1

[48b2

即g=6，所以该双曲线的离心率为J1+捺=2.

故选：A.

以的中点O为坐标原点，建立平面直角坐标系，设双曲线的方程为1，设

a2b2

Cl(等㈤，Bl(等即一24)，代入双曲线的方程，求得b=12,得到"遮，进而求

得双曲线的离心率.

本题主要考查双曲线离心率的求解，双曲线的实际应用等知识，属于中等题.

13.【答案】(25,0)

【解析】解:抛物线y2=100%的焦点坐标为(25,0).

故答案为：(25,0).

直接利用抛物线方程求解焦点坐标即可.

本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题.

14.【答案】［

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【解析】解：设0="区间［1,4］上随机取1个数”，对应集合为卜|1SXS4},区间长

度为3,

A="取到的数小于2”，对应集合为{x|l<x<2］,区间长度为1,

故P(&=瑞，

故答案为：

根据已知条件，结合几何概型的概率公式，即可求解.

本题主要考查几何概型的概率公式，属于基础题.

15.【答案】一］

【解析】解：由已知，可得荏+前=2而，又血+而=3前，

^\DE=AE-AD=^(AB+AC)-^(AB+AC)=-^AB-^AC,

所以％=y=_；,所以x+y=_"

63

故答案为：-

由平面向量基本定理，结合平面向量的线性运算求解即可.

本题考查了平面向量基本定理，重点考查了平面向量的线性运算，属基础题.

16.【答案】等

【解析】解：在四棱锥P-4BCD中，四边形4BCZ)是等腰梯形，AD//BC,乙ABC=60°,

所以：BC=8,

由于4B=AD,

所以等腰梯形的高为2g,

由于四棱锥P-ABCC的体积为24,

所以1x|x(4+8)x2V3x/r=24,解得％=2V3,

由于△P4O是边长为4的等边三角形，三角形的高为2旧，故平面P/W，平面A8C。；

设等腰梯形的内点〃到A、B、C、。的距离相等；

即设点”到AO的距离为d,则到BC的距离为2百-九，

利用勾股定理：22+/I2=44+(2V3-/i)2,解得h=2百，

所以点〃所在的位置为AB的中点，

如图所示：

所以外接球的半径为R=J(竽)2+42=噜

rriq,2739.6247r2087r

所以Sc成=4A-7T•(三一)2=—=­.

故答案为：等.

首先利用等腰梯形的底角和腰长的关系求出等腰梯形的底边长，进一步利用棱锥的体积

公式求出三角形H4D1底面A3CD,进一步确定底面A8CO的中心点H的位置，最后利

用勾股定理求出外接球的半径，进一步求出球的表面积.

本题考查的知识要点：棱锥和球的关系，球的表面积公式，棱锥的体积公式，主要考查

学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题.

17.【答案】解：(1)若「为真，即a/-%+S>0对VxeR恒成立，

36

fa>0

则壮=(一1)2-4a•2<(T解得a>3,

I36

即实数4的取值范围为(3,+8).

(2)若q为真，即a<%+;对任意的％G(0,+8)恒成立，

v%>0,x4-->2lx--=2,当且仅当％=工即％=1时，等号成立，

xyjxx

••・aV2,

・・・“pvq”为真命题，“p/\q"为假命题，.・・p,夕一真一假，

①当P真<7假时，｛煞会••.a>3,

②当p假q真时，｛：.；，••・a<2,

综上所述，实数a的取值范围为(-8,2)11(3,+8).

【解析】(1)若尸为真，即。/一乂+9>。对"％6/?恒成立，再结合二次函数的性质求

36

解.

(2)先利用基本不等式求出若q为真命题时a的取值范围，再由题意可知一真一假，

分两种情况分别求出a的取值范围，最后取并集即可.

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本题主要考查了复合命题的真假判断，考查了二次函数的性质，以及函数恒成立问题，

属于基础题.

18.【答案】解：(1)vcos24-V3sin/4+2=0,

・•・-2sin2?l-V3sin>l+3=0,

解得sin4=日或sin/=-b(舍去).

又△48。为锐角三角形，

7T

AA=­•.

3

(2)va2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-be=(b+c)2—3be>=27,

当且仅当b=c时，等号成立，

:.a>3A/3.

△4BC外接圆的半径R=丁三=学23,

故4ABC外接圆面积的最小值为97r.

【解析】(1)由cos2A-Wsin4+2=0,利用倍角公式可得siiVl,结合AABC为锐角三

角形，即可得出4

(2)利用余弦定理结合基本不等式即可得出〃的取值范围，利用正弦定理即可得出△ABC

外接圆的半径R，进而得出4ABC外接圆面积的最小值.

本题考查了倍角公式、正弦定理与余弦定理、基本不等式，考查了推理能力与计算能力，

属于中档题.

19.【答案】解：(1)样本中高一年级学生的人数为就x1200=80,

由(0.74+a+0.34+0.12+0.10+0.04)x0.5=1,

解得a=0.66；

(2)设中位数为x,7cx<7.5,

则0.10x0.5+0.34x0.5+0.66x(%-7)=0.5,

解得xx7.42,

故样本数据的中位数约为7.42；

⑶由图可知，样本数据落在［7,9］的频率为(0.74+0.66+0.12+0.04)X0.5=0.78,

故全校睡眠时间不低于7个小时的学生人数约为3000X0.78=2340.

【解析】本题考查了分层抽样及频率分布直方图的应用，属于中档题.

(1)由分层抽样的定义求样本中高一年级学生的人数，由频率分布直方图的面积和为1

得到a的值；

(2)设中位数为x,从而可得0.10x0.5+0.34x0.5+0.66x(x—7)=0.5,解之即可；

(3)先求样本数据落在［7,9］的频率，即可估计全校睡眠时间不低于7个小时的学生人数.

20.【答案】(1)证明：依题意，由时+1-2九+1=。九一2"+1,

可得(Qn+i—2.1)一(即一2")二1,

又丁01=2,・,・%—2=0,

•,数列是首项为公差为的等差数列，

・｛an-0,1

・•♦Q--2n=71—1,

九+n

••・0n—1=2,

.an+「(n+l)+l_9

an-n+l

数列｛an-n+1｝是首项为2,公比为2的等比数列.

n

(2)解：由(1)知，an-n+l=2,

则

8n=log4(an-n+1)=p

1411

:.------=--------=4(---------)

bnbn+1n(n+1)nn+1

、

・c•・S=4x(1-1-.1-1------1-1.-…H,---1------1)=--4-n--.

nnv223nn+rn+1

n+1nn

【解析】(1)根据题意由即+i-2=an-2+l,可得(an+i-2"+i)-5-2)=1,

即可得到数列｛斯-29是首项为0,公差为1的等差数列,进一步推导可得数列｛册-n+

1｝是首项为2,公比为2的等比数列，从而证明结论成立；

(2)先根据第(1)题的结果计算出“的表达式，进一步计算出数列｛丁七｝的通项公式，然

为"n+1

后运用裂项相消法计算出前〃项和5.

本题主要考查等比数列的判别，以及运用裂项相消法求前〃项和问题.考查了整体思想，

转化与化归思想，对数的运算，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题.

21.【答案】证明：(1)取41cl的中点G,连接EG,

以E为坐标原点，分别以记，~EB,方为x轴，)，轴，z轴

的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，

•••在正三棱柱4BC-41B1G中，AB=AA1=2,D,E,尸分

别为4/1，AC,CCi的中点，

贝炽0,0,0),8(0,75,0),“1,0,1),D(-消,2),

二前=(1,—6,1),屁=&一今一2),

.-.'BF-DE=-+--2=0,

22

・••BF1DE.

解:(2)由⑴可知E(0,0,0),B(0,遮,0),尸(1,0,1),D(一段,2),

=(1.-V3.1).=(0,-V3.0),FD=(-|,y,2),前=(1,0,1),

设平面8EF的法向量为元=(%,y,z),平面。砂的法向量为布=(a,b,c),

x-V3y+z=0令”

・•.五=(1,0,-1),

-V3y=0

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又岸a+3+2。=。，令a=l得b=—>_1、

3,n2=(1,—,—1),

+C=0c=一1

・••平面曲与平面四所成锐二面角的余弦值为W＜席布＞I=1=前=

V186

31

【解析】（1）取4cl的中点G,连接EG,以E为坐标原点，分别以正，EB,方为x轴,

y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，根据已知条件求出相应的点的坐标，进而

求出前，屁的坐标，由乔•屁=0即可证得BFJ.DE.

（2）由点的坐标求出前，BE,ED,前的坐标，进而求出平面