线性代数第二章矩阵及其运算

线性代数第二章矩阵及其运算第一页，共二十二页，2022年，8月28日一、引例第二页，共二十二页，2022年，8月28日定义7

设Ａ是n

阶方阵，若存在n

阶方阵Ｂ，使得AB＝BA＝E

（３）则称矩阵A可逆，且称B是A的逆矩阵，记作B＝A－１．如果不存在满足（３）的矩阵B，则称矩阵A是不可逆的．二、逆矩阵的概念第三页，共二十二页，2022年，8月28日现在的问题是，矩阵A满足什么条件时可逆？可逆方阵的逆阵是否唯一，如何求逆阵？可逆矩阵有什么性质？这是本节要讨论的问题．第四页，共二十二页，2022年，8月28日

三、矩阵可逆的充要条件定理1

如果n

阶方阵Ａ可逆，则它的逆阵是唯一的．定理２

n

阶方阵Ａ可逆的充要条件是|Ａ|0.如果Ａ可逆，则其中Ａ＊为方阵Ａ的伴随矩阵.第五页，共二十二页，2022年，8月28日由推论

若AB＝E（或

BA＝E），则

B＝

A－１.可得下述推论：第六页，共二十二页，2022年，8月28日若n

阶方阵A的行列式不为零，即|A|

0，则称A为非奇异方阵，否则称A为奇异方阵.说明，方阵A可逆与方阵Ａ非奇异是等价的概念.定理２不仅给出了方阵可逆的充要条件，而且给出了求方阵逆阵的一种方法，称这种方法为伴随矩阵法.第七页，共二十二页，2022年，8月28日练习：A,B均为n（n≥3）阶方阵，且AB=0，则A与B（）

A)均为零矩阵 B)至少有一个零矩阵

C)至少有一个奇异阵 D)均为奇异阵解答：可以等式两边同取行列式AB=0|AB|=0|A||B|=0，故选C第八页，共二十二页，2022年，8月28日练习：A,B,C为同阶方阵，A可逆，则下列命题正确的是() A)若AB=0，则B=0 B)若BA=BC,则A=C C)若AB=CB,则A=C D)若BC=0,则B=0或C=0解答：可以等式两边同乘A-1AB=0A-1AB=A-10EB=0，故选A第九页，共二十二页，2022年，8月28日练习：设n阶方阵A满足A2+2A-4E=0，则必有() A)A=E B)A=-3E

C)A-E可逆 D)A+3E不可逆解答：因为A与E是可交换的，依题意可得：A2+2A-4E=0

A2+2A-3E=E(A-E)(A+3E)=E，根据逆矩阵的定义，(A-E)与(A+3E)互逆。故选C第十页，共二十二页，2022年，8月28日

四、可逆矩阵的性质(2)设A,B,Ai,(i=1,2,…,m),为n

阶可逆方阵，k

为非零常数，则A-1,kA,AB,A1A2…Am,AT

也都是可逆矩阵，且(1)(A-1)-1=A;(3)(AB)-1=B-1A-1,(A1A2…Am)-1=Am-1…A2-1A1-1;第十一页，共二十二页，2022年，8月28日

（4）

(AT)-1=(A-1)T;（5）

（6）

(Am)-1=(A-1)m,m

为正整数.第十二页，共二十二页，2022年，8月28日练习：设A为n阶可逆矩阵，下列等式成立的是() A)(2A)T=2AT

B)(2A)-1=2A-1

C)AAT=ATA D)|2A|=2|A|解答：B)项=A-1/2，C)项不满足交换律，D)项=2n|A|故选A第十三页，共二十二页，2022年，8月28日

例10

求二阶矩阵的逆矩阵.

五、举例第十四页，共二十二页，2022年，8月28日练习：设则A*=

,A-1=

。解答：第十五页，共二十二页，2022年，8月28日

例11

用伴随矩阵法求下列矩阵的逆阵单击这里开始第十六页，共二十二页，2022年，8月28日例12

解下列矩阵方程AXB=C

其中例13

设求An.第十七页，共二十二页，2022年，8月28日

六、矩阵多项式设(x)=a0+a1x+…+amxm

为x

的m

次多项式，A

为n

阶矩阵，记(A)=a0E+a1A+…+amAm

，(A)称为矩阵A

的m

次多项式.1.定义第十八页，共二十二页，2022年，8月28日从而A

的几个多项式可以像数x

的多项式一样相乘或分解因式.（P37）例如(E+A)(2E–A)=2E+A–A2,(E–A)3=E–3A+3A2–A3.因为矩阵Ak、Al和E

都是可交换的，所以矩阵A

的两个多项式(A)和f(A)总是可交换的，即总有(A)f(A)=f(A)(A)，2.性质第十九页，共二十二页，2022年，8月28日3.计算方法（i）如果A=PP-1，则Ak=Pk

P–1，从而(A)=a0E+a1A+…+amAm

=Pa0EP-1+Pa1P-1+…+PammP–1=P()P-1.（ii）如果

=diag(1,2,…,n)为对角矩阵,则，k=diag(1k

,2k

,…,nk)，从而第二十页，共二十二页，