3.1.1+椭圆及其标准方程+课件高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.1.1椭圆及其标准方程

第三章

圆锥曲线

探究新知

我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线(截面与圆锥侧面的交线)是一个圆.如果改变圆锥的轴与截平面所成的角，那么会得到怎样的曲线呢?

如图，用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线和双曲线.我们通常把椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线.圆椭圆抛物线双曲线圆锥曲线

本章我们继续采用坐标法，在探究圆锥曲线几何特征的基础上，建立它们的方程，通过方程研究它们的性质，并解决与圆锥曲线有关的几何问题和实际问题，进一步感受数形结合的思想方法，体会坐标法的魅力与威力.(1)取一条细绳，绳长2a(2)把它的两端固定在板上的两个定点F1、F2，(3)用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的图形1.在椭圆形成的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动的？

固定的2.在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？

绳子长度没变，说明M到F1和F2的距离之和是一个定值3.在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？

根据三角形两边之和大于第三边可知，绳子长度大于两定点的距离数学实验

把平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆.

两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点.

两焦点间的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距.

焦距的一半称为半焦距.椭圆的定义：F1F2M••MF1F2椭圆线段F1F2不存在MF1F2问题2:当点M到F1、F2的距离之和不大|F1F2|时，点M的轨迹是什么？

问题1：根据椭圆的形状，如何建立直角坐标系？建立平面直角坐标系通常遵循的原则：对称、“简洁”OxyOxyOxyMF1F2方案一F1F2方案二OxyMOxy椭圆方程的推导探究1

椭圆的标准方程

设M(x，y)是椭圆上任一点，

椭圆的焦距为2c(c>0)，

M与F1，

F2的距离的和等于常数2a(a>0).

如图，建立平面直角坐标系,则F1F2M••(x,y)xyO由定义知：化简整理得由椭圆定义知：为了使方程形式更简单：我们把方程①叫做椭圆的标准方程.①建系设点列式代入化简思考：观察图,你能从中找出表示a，b，c的线段吗？椭圆的标准方程：F1F2M••xyO(x,y)

如图，

若椭圆的焦点在x轴上，

则椭圆的标准方程为其中焦点坐标为F1(－c，0)，F2(c，0)，

c2＝a2-b2F1F2P••xyOcab探究：如图示,如果焦点F1,F2在y轴上,且F1,F2的坐标分别为(0,－c),(0,c),a,b的意义同上,那么椭圆的方程是什么?F1F2M••xyOF1F2M••xyO(x,y)(焦点在x轴上)(焦点在y轴上)定义焦点位置图形方程特点共同点不同点椭圆的标准方程:F1F2M••xyOF1F2M••xyO焦点在x轴上焦点在y轴上从椭圆的标准方程如何判断椭圆焦点在哪个轴上?(0,±2)4AABD【及时训练】例1解1:(定义法)先定位再定量解2:(待定系数法)例1先定位再定量14(4)经过点yOF1F2xAB(1)由题意

故△AF1B的周长为：

(2)如果AB不垂直于x轴，△AF1B的周长不会有变化.仍然成立.解：••∴△AF1B的周长为：

设点M的坐标为(x,

y)，点P的坐标为(x0,

y0)，则点D的坐标为(x0,0).

由点M是线段PD的中点，得

例2如图，在圆

上任意一点P,过点P作x轴的垂线段PD,D为垂足.当点P在圆上运动时,线段PD中点M的轨迹方程是什么？为什么？xyPMO•D•解：(相关点代入法)【练习】课本115页第9题例3xyBMOA•解:设点M(x,y)，由A(-5,0),

B(5,0)，可得

yOF1F2Px解：由已知可得，

yOF1F2Px解得证明：椭圆的焦点三角形