抢渡长江的数学模型

抢渡长江的数学模型摘要：本文给出了在一定的条件下，游泳者应该怎样选择游泳方向和线路，才能以最快的速度、最短的时间到达目的地，并就问题1——4通过数学模型和物理模型，借助计算机C语言编写程序，用计算机去搜索、模拟给出了具体的最正确方向、线路、速度大小等。在问题1中得出：①她的速度为v=1.542m/s,方向与岸边夹角为117.414°;②他的方向与岸边夹角为121.853°，成绩为910。544s。在问题2中，我们得出：①垂直岸边的方向游泳不可能到达终点；②离对岸终点的横向距离越大，对游泳速度的要求越低。在问题3中：用了两种不同的模型得出了几乎相同的结果，即当游泳者在第一、二、三段中，方向分别与岸边的夹角大致为126°、118°、126°时，将以最小的时间大致为904s到达终点，且游泳者线路为一对称折线。在问题4中，用了问题3中的一种方法，得到了，当游泳者在第一、二、三段中方向与岸边夹角分别为126°、118°、126°时，游泳时间最短，且大致为892s关键词：数学模型；最短时间；最正确角度；水流速度；最正确路线；模型优化问题的提出D题抢渡长江“渡江〞是武汉城市的一张名片。1934年9月9日，武汉警备旅官兵与体育界人士联手，在武汉第一次举办横渡长江游泳竞赛活动，起点为武昌汉阳门码头，终点设在汉口三北码头，全程约5000米。有2001年，“武汉抢渡长江挑战赛〞重现江城。2002年，正式命为“武汉国际抢渡长江挑战赛〞，于每年的5月1日进行。由于水情、水性的不可预测性，这种竞赛更富有挑战性和欣赏性。1160m1000m长江水流方向终点:汉阳南岸咀起点:武昌汉阳门2002年5月1日，抢渡的起点设在武昌汉阳门码头，终点设在汉阳南岸咀，江面宽约116011601000长江水流方向终点:汉阳南岸咀起点:武昌汉阳门假设在竞渡区域两岸为平行直线,它们之间的垂直距离为1160米,从武昌汉阳门的正对岸到汉阳南岸咀的距离为1000请你们通过数学建模来分析上述情况,并答复以下问题:1.假定在竞渡过程中游泳者的速度大小和方向不变，且竞渡区域每点的流速均为1.89米/秒。试说明2002年第一名是沿着怎样的路线前进的，求她游泳速度的大小和方向。如何根据游泳者自己的速度选择游泳方向，试为一个速度能保持在1.5米在〔1〕的假设下，如果游泳者始终以和岸边垂直的方向游,他(她)们能否到达终点？根据你们的数学模型说明为什么1934年和2002年能游到终点的人数的百分比有如此大的差异；给出能够成功到达终点的选手的条件。假设流速沿离岸边距离的分布为(设从武昌汉阳门垂直向上为y轴正向)：游泳者的速度大小〔1.5米/假设流速沿离岸边距离为连续分布,例如或你们认为适宜的连续分布，如何处理这个问题。用普通人能懂的语言，给有意参加竞渡的游泳爱好者写一份竞渡策略的短文。你们的模型还可能有什么其他的应用？二、问题得分析模型的建立主要是解决如下两个问题，才能使竞赛者以最优成绩到达终点：1、要到达终点必须具备一定的条件：合理的角度具体解法见下文模型的求解；2、要以最优的成绩到达终点，不仅要求有合理的角度，还要考虑自身的游泳速度与水的流速相结合，水流大小的随时改变，将直接影响游泳者的游泳前进速度大小和方向，及至最终成绩。这些因素的具体影响过程，在假设的前提下，我们采用计算机编程的方法来实现，采取物理中运动的力学原理进行分析，与几何数学的思想方法相结合，同时用穷举的方法来搜索最优结果。三、模型的假设游泳者身体均健康，能游泳；游泳者在游泳中体力的消耗不会影响游泳者的成绩；游泳者在游泳中的方向是不变的；气候比照赛不会影响；水质、水温、水流、水浪比照赛不受影响；风速对游泳者的成绩无影响；比赛照常进行；比赛中不发生意外事情导致比赛终止；一位队员不受其他队员的影响，彼此相互独立；10、裁判员公平裁判；11、比赛者不受江面情况的影响，比方船只等；12、运发动参加比赛符合参赛资格；四、文中用到的符号的说明-------------竞赛者游泳的速率；--------------起点和终点的连线距离；α------------水流方向和s的夹角；θ------------竞赛者游泳的方向和s的夹角；-------------竞赛者游泳速度和水流速度的合速度；--------------竞赛者的成绩；-------------第i段所用的时间；-------------第i段离起点河岸的垂直纵坐标距离；-------------第i段离起点河岸的水平横坐标距离；--------------第一段内竞赛者游泳的方向与河岸的夹角；--------------第二段内竞赛者游泳的方向与河岸的夹角；--------------第三段内竞赛者游泳的方向与河岸的夹角；-----------水速与游泳者水平方向速度的合速度；五、模型的建立及求解为了使竞赛者的成绩最优，我们首先考虑的是竞赛者的游泳速度、水流速度、游泳方向之间的模型，我们采用数学中的余弦定理、正弦定理、物理学中的速度分解原理等公式建立函数关系，根据模型C语言编制程序，采用搜索穷举的方法，一一罗列，然后比拟其满足条件的值的最优解。除此之外，我们还考虑到对全赛程进行“分段考虑、综合计算〞的思想，这样即满足在相同水流速度下的赛程段，多个水流速度下到达相对对岸的要求，又可以得出竞赛者的全程的最优成绩。问题一：在假定的条件下，①求解2002年第一名是沿着怎样的路线前进的，求她游泳速度的大小和方向。②如何根据游泳者自己的速度选择游泳方向，试为一个速度能保持在1.5米/①:由条件得，如图：〔“α+θ〞为游泳者方向与河岸的夹角〕因此，她游泳的速度大小是1.542m/s，方向为117.414°②:在水速度不变的情况下，由余弦公式得，游泳者的速度和方向始终满足如下公式：因此，不同的速度会产生不同的方向。列如一个人的游泳速度为1.5m/s时，可以按照上面公式得出结果如下：可以得出，一个速度能保持在1.5米/秒的人选择游泳方向121.854°，他的成绩为910.544s问题二：在问题一的假设下，如果游泳者始终以和岸边垂直的方向s游,他(她)们能否到达终点？根据你们的数学模型说明为什么1934年和2002年能游到终点的人数的百分比有如此大的差异；给出能够成功到达终点的选手的条件。竞赛者游泳速度的竖直方向的分力为由物理运动和力学的关系，合力方向所用的时间与相应合力的分力所用的时间相等，水平方向时间为，垂直方向速度为，据中国体育网游泳的世界记录的最快速度为2.39m/s,而且还是短距离的最快速度(见参考文献),虽然得到的速度比世界记录小,但由于游泳者在运动过程中体能消耗、水速等原因，应该很难保持这个速度，所以在实际运动中很难实现。根据以上的运动和力学关系，我们建立了一个模型，这个模型能判断游泳者能否到达终点的条件，模型如下：〔其中，“〞代表从武昌汉阳门到汉阳南岸的直线距离，“〞代表游泳者的方向与河岸的夹角〕上式说明在θ的一定范围内，v的下限取值与s成反比，也就是说s越大，v就越小，反之，v越大。因此，对于s值为5000M时的v的大小明显比s值为1531.535M时的小，竞赛者的游泳速度的下限也就越小，因此能到达终点的可能就越大，到达终点的人数的百分比也相对较大。例如：当s=1531.535m时，v的极小值是v=1.4351m/s,游泳者方向与河岸的夹角为139.236°；当s=5000m时，v的极小值是v=0.4385m/s,游泳者方向与河岸的夹角为139.236°问题三、假设流速沿离岸边距离的分布如提出问题中的分段函数时，游泳者的速度大小〔1.5米/以下我们将从不同的角度，采用两种思路，建立两个模型，得出相同结果。方法一、首先，我们根据不同的水流速度，以所需游过的时间t为参数，建立各水域游泳线路纵横坐标x、y的方程；然后在各段取最大的y值：200，〔960-200〕，〔1000-960〕，得出相应得sin()、sin()、sin()的值，再由方程建立t关于横坐标x的函数。把三段所需时间t相加，在上述条件下，求最小t值，同时得出相应得,,,,,的值，我们认为以此角度，，选择路线将得到最短游泳时间，具体如下：由条件，在时，有：游泳者的实际水平游速为：得第一段游泳轨迹方程为：……①同理得第二段游泳轨迹方程为：……②第三段游泳轨迹方程为：……③在①、②、③式子中分别令得：再分别把上述式子代入①、②、③式子中，得：通过C语言编程计算得〔见附录〕：当，，时，最小为904.024287s相应的，，方法二、运用物理学中的运动学和力学关系，我们将竞赛者的速度分为水平速度和垂直速度，对两个方向进行各自的运算，列出各自的函数关系，1、我们先考虑能到达对岸所需的时间〔并不是一定是目的地〕，然后，我们根据垂直方向得到如下方程：……①……………②………………③那么到达对岸的总时间为：………………④2、再根据水平方向建立上述方程的约束条件，即三段水平方向距离之和等于1000m，即：…………⑤然后把①②③式分别代入④，得：=++…⑥这样，我们就得出全程的总时间T是关于、和的比拟复杂的函数关系式⑥，然后用约束条件⑤对总时间函数关系④进行约束，用穷举的方法找出符合约束条件的最小时间，由于计算比拟复杂，因此，我们借助计算机C语言来编写程序〔见附录〕，搜索查找这个最小值，得：。同时根据以下各角度数据求得的竞赛者游泳路线〔如图〕，三段路线与河岸的夹角分别为，每一段线路竞赛者游泳的方向与河岸的夹角分别为，(其中，分别为第一、二、三段线路的方向与河岸的夹角)通过两种不同的方法，得出的结果几乎完全吻合，只是计算机运行时的精度的不同和不同的机器的编译系统产生的微小差异。竞赛者的游泳路线示意图由上述计算结果得出，当游泳者的速度不变，河流的不同区域以河流中心线与竞赛起始点连线的交点为对称时，竞赛者的游泳路线选择对称的，即第一段和第三段的游泳角度和实际路线是完全一样的，只有此时，游泳者的到达终点的时间最短。问题四：假设水流速沿离岸边距离为连续分布时，如何处理这个问题。对于水流速大小，我们仍采用问题中提出的沿离岸边距离为连续分布的分段函数。它根本符合实际情况下水流的变化情况，两岸水流速度小，河中心最大。由于第一段和第三段水流完全是相同的，河段的宽度也是完全相同的。为了使问题简单化，假设游泳者在同一个水域段内，游泳方向保持不变，仿照问题三的方法一，来选择最正确游泳线路。由前面假设可知，有(其中)令得代入上式，得所以同理可得：总时间如下：通过C语言编程计算得〔见附录〕：当，，时，相应的，，竞赛者路线示意图问题五：用普通人能懂的语言，给有意参加竞渡的游泳爱好者写一份竞渡策略的短文。游泳的竞技策略亲爱的游泳爱好者：你们好！当你们准备参加竞渡时，第一点，也是相当重要的一点，就是你的身体健康状况；其次，是游泳的技巧和方法。为了取得最正确成绩，首先要判断水流的速度、方向。在活水中游泳方向不要与水流方向垂直，而要稍微逆水流方向，比方你的速度假设1.5m/s，水速为2m/s左右时，游泳方向与水流方向大致在120°左右，假设水流速度大，为了借助水流作用，角度可以稍微小一点，以便使你的游泳实际速度加快。一般来讲，江河水中间水流速度快，两岸水流速度慢，你的游泳路线根据上述原那么应选择两边方向变化一样且对称的大致为“S〞型线路，将会使得您的速度最快。问题六：你们的模型还可能有什么其他的应用？我们所建立的模型不仅用于人的游泳，还可以用于帆船、赛艇、潜艇等水上运动，用于航空航天事业，用于飞行物的准确定位、导航，流体力学等方面的应用。六、模型的改良和优化上述模型，都是建立在游泳者游泳速度始终不变的根底上得出的结论，但在实际比赛中是完全做不到的。体力的消耗对游泳者的速度保持影响很大，因此，应把体力的消耗对速度的影响考虑进去，另外，模型中严格要求游泳者的方向保持不变，这也是过于理想化的，很难做到，特别是在问题四中，为了使得最短的时间到达目的地，游泳者一定要随着水流速度的变化随时调整游泳方向，因此，在模型中，应加上游泳者方向变化的因素。但上述这些因素，将会导致模型十分复杂，难以计算，模型的可操作性差。七、参考说明[1]姜启源，数学模型，北京：高等教育出版社，1993.8[2]王沫然，MATLAB6.0与科学计算，北京：电子工业出版社，2001.9[3]满晓宇罗捷，占用MATLAB必做练习50题，北京：北京大学出版社，2001.11[4]张韵华奚梅成陈长松，数值计算方法和算法，北京：科学出版社，2000.1[5]蔡常丰，数学模型建模分析，北京：科学出版社，1995.12[6]齐欢，数学模型方法，武汉：华中理工大学出版社，1996.6[7]盛祥耀眼潘鹊屏，高等数学，北京：高等教育出版社，2001.5[8]中国体育网,游泳世界记录,:///items/swimming/,2003.9.22附录问题三的附录程序如下〔采用的是计算机C语言编写〕方法一、#include<stdio.h>#include<math.h>#defineR3.1415926/180#defineSINE133.333/sin(a*R)+506.6667/sin(b*R)+133.333/sin(c*R)main(){doublea=0.1,b=0.1,c=0.1;doublet1,t2,min=1000;printf("start:");printf("\nwainting......\n");for(a=126.3;a<=126.3;a=a+0.1) for(b=115;b<121;b=b+0.1) for(c=123;c<130;c=c+0.1) {t1=133.333*1.47/sin(a*R)+506.6667*2.11/sin(b*R)+133.333*1.47/sin(c*R); t2=1.5*(133.333/tan(a*R)+506.6667/tan(b*R)+133.333/tan(c*R)); if(t1+t2<=1000.0009&&t1+t2>=999.0009) {if(SINE<min) min=SINE; printf("a=%f,b=%f,c=%f,min=%f\n",a,b,c,min);} }printf("end.\n");}方法二、#include<stdio.h>#include<math.h>#defineR3.1415926/180#defineSINE133.333/sin(a*R)+506.6667/sin(b*R)+133.333/sin(c*R)main(){doublea=0.1,b=0.1,c=0.1;doublet1,t2,min=1000;printf("start:");printf("\nwainting......\n");for(a=126.3;a<=126.3;a=a+0.1) for(b=115;b<121;b=b+