听课手册 第40讲空间点 直线 平面之间的位置关系

听课手册第40讲 空间点直线平面之间的位置关系四个公理文字语言文字语言图形语言符号语言作用公理1如果一条直线上的在一个平面内,那么这条直线在此平面内⇒可用来证明点、直线在平面内公理2过只有一个平面的三点,有且⊂α三点不共线α,ABCα①可用来确定一个平面;②证明点、线共面公理3如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们点的公共直线过该Pα,Pβα∩β=l,Pl①可用来确定两个平面的交线;判断或证明多点共线判断或证明多线共点公理4平行于同一条直线的两条直线判断空间两条直线平行2推论1:经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面;经过两条直线有且只有一个平面;空间直线的位置关系:

共面直线异面直线不同在

一个平面内定义:设是两条异面直线,经过空间任一点O作直线把与所成的叫作异面直线a与b().范围: .平行α∥平行α∥β个平面与平面相交个(3)定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角4.空间直线与平面,平面与平面之间的位置关系.图形语言符号语言公共点相交a∩α=A个直线与平面 平行a∥α个在平面内aα个常用结论唯一性定理(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.2.异面直线的判定定理经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线.题组一常识题1.[教材改编]给出下列说法:①空间不同三点确定一个平面;②空间两两相交的三条直线确定一个平面;③若两个圆交于两点,则这两个圆确定一个平面;④一条直线与两条平行直线都相交,则这三条直线确定一个平面.其中正确说法的序号是 .教材改]已知直线a与b平,直线c与b相交则直线a与c的位置关系是 .教材改]一条直线l上有三个相异的点到平面α的距离相那么直线l与平面α的位置关系是 .教材改]三个不同的平面可能把空间分成 部(写出所有可能的情).图7-40-1]A-BCD中则(1)当满足条件 时,四边形EFGH为菱;(2)当满足条件 时,四边形EFGH为正方题组二常错题索引:对异面直线的概念理解有误;对平面的性质掌握不熟练,应用不灵活;判断直线与平面的位置关系时,忽视“直线在平面内”;平行移动法求异面直线所成的角致误问题(如角的范围).已知平面直线则下列说法正确的是 填序)①若a⊂α,b⊂β,则a与b是异面直线;若a与c,bc,则a与b;不同在平面α内ab异面;a与b.若直线且直线平面则直线b与平面α的位置关系是 .在正方体中分别为棱的中点,则在空间中与三条直线都相交✁直线有 条.图7-40-2如图在长方体中则异面直线BC和EG所成角✁大小是 异面直线AE和BG所成角✁大小是 .探究点一平面的基本性质1中,.探究点一平面的基本性质

CC

B内;1 11ABCD

BC

✁中心分别为O,O

AA

CBB

D✁交线

111

1 11 11由点;由点

ADCB;1 1 11lABCD,mCDDC

lm则交点11CD上.图7-40-3[总结反思](1公理12是利用3.线确定平面,再证明其余元素确定平面,最后证明平面重合.要证明点共线或线共点的问题,关键是转化为证明点在直线上,也就是利用公理3.中AB求证:

,F;

1.1图7-40-4探究点二空间中两条直线的位置关系例2(1)下列结论正确的是( )探究点二空间中两条直线的位置关系①在空间中,若两条直线不相交,则它们一定平行;②平行于同一条直线的两条直线平行;③一条直线和两条平行直线中的一条相交,那么它也和另一条相交;④空间中的四条直线a,b,c,d,如果a∥b,c∥d,且a∥d,那么b∥c.A.①②③B.②④C.③④D.②③(2)α,若m且A则的位置关系不可能是( )A垂直B相交C异面D[总结反思](1)要判断空间中两条直线的位置关系(平行、相交、异面),可利用定义及公理4,借助空间想象并充分利用图形进行思考..反证法:先假设两条直线不是异面直线,即两条直线平行或相交,由与平面内一点B的连线和平面内不经过点B.图7-40-5变式题如图所示,在正方体中,点分别在上,且EF✁位置关系✁()AB相交且垂直C异面D平行(2)已知平面α及两条不同✁直线下列说法正确✁✁ ( )若直线与平面α30°,则这两条直线平行若直线与平面α30°,则这两条直线不可能垂直若直线平行,则这两条直线中至少有一条与平面α平行若直线垂直,则这两条直线与平面α不可能都垂直探究点三异面直线所成的角例3(1)[2017·全国卷Ⅱ]已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,则探究点三异面直线所成的角异面直线与所成角的余弦值为( )A..C. D.图7-40-6(2)P-ABC则异面直线AB与PC所成的角为 .(1.(1)[2018·]中,ABCD✁边长1BMAN所成角的余弦值为()图7-40-7A..C..(2)[2018·佛山二模]所示在正三棱柱ABC-ABC

中,D是AC的中111=1则✆面直线1与D所成的角为 .探究点四正方体中的位置关系微点1正方体中的截面问题探究点四正方体中的位置关系4(1)[2018·]则截面不可能是()ABC正方形D正六边形2图708的五个正方体l是正方体的一条体对角点P分别为其所在棱的中,能得出⊥平面MNP的图形的序号是 写出所有符合要求的图形序)图7-40-83解决.微点2正方体中的几何体问题例5(1)[2018·江西南昌4月调]某几何体的三视图如图所,则该几何体的体积为( )A.B.C2D.2如图70⊥平面∠且0则三棱锥P-C✁外接球✁体积为 .[总结反思]立体几何中许多概念、定理都可以用正方体中的点、线、面的关系说明.构造正方体模型,依据题中几何体的特点,把线面关系问题转化到正方体中解决,即将抽象的问题具体化.微点3正方体中的角度问题例6(1)[2018·甘肃兰州月考]如图7-40-11,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是MN()A° B° C° D图7-40-11图7-40-1222018]图72:①AF⊥GC;②BDGC60°;③BD∥MN;④BG与平面ABCD所成的角为45°.其中正确结论的个数是 ( )A1B2C3D4[总结反] 求解正方体中有关元(线面)间的夹,可以利用正方体中线面的位置关确定所求的,再应用解三角形的知识加以解.应用演练.

微点201]如图70已知点N分别为正方体D-1的棱1与1上的且M2平面N与平面D的交线记为则l与的位置关系是 ( )A相交B平行C垂直D异面【微点】[2018·]