信号与系统考研考点讲义

第一 绪论 （第二 连续时间系统的时域分 （第三 傅里叶变 （第四 拉普拉斯变换、连续时间系统的Ｓ域分析 （第五章 傅里叶变换应用于通信系统－滤波、调制与抽样!!!!!!!!!!!!!!!! 第六 信号的空间矢量分 （第七 离散信号与系统时域分析 （第八 Ｚ变换和离散时间系统的Ｚ域分析 （第九章 离散傅里叶变换及其他离散正交变换!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （１５１）第十一 反馈系统 （第十二 系统的状态变量分析 （第一 ~、信号的概念和分１．信随时间变化的物理量，消息的具体表现形式。２．描述和分类（１）描述：波形图和函数表达（２）分类：确定和随机周期和非周期连续和离散（注意区别模拟和数字）一维和多维要点：判定离散时间信号是否为数字信号例１ 判断下列图示信号的类型（ａ）连续（模拟）；（ｂ）连续（量化）；（ｃ）离散（数字）；（ｄ）离散；（ｅ）离散（数字）；（ｆ）离散（数字二、典型非奇异信１．指数信ｆ（ｔ）＝Ｋｅａｔ，τ＝ａ１３．复指数信ｆ（ｔ）＝Ｋｅｓｔ＝ｅｃｏｓ（ｔ＋ｊＫｅｓｉｎ（）４．抽样信号Ｓａ（ｔ）＝ｔ５．钟形信－（ｔ）ｆ（ｔ）＝Ｅｅ要点：熟记典型信号的表达式、波形特三、信号的运关于自变量：位移、反折、尺关于信号的幅值：加、乘（在相同时刻）、微分、积分位移：时间轴上左右平移ｆ（

移→ｆ（ｔ）＝ｆ（ｔ＋ｔ０反折：时间轴上关于纵轴镜ｆ（

反→ｆ（ｔ）＝ｆ（－尺度：时间轴上的压缩和扩ｆ（

尺→ｆ（ｔ）＝ｆ（相ｆ１（ｔ）、ｆ２（ｔ）相乘ｆ１（ｔ）、ｆ２（ｔ）微分

相→ｆ（ｔ）＝ｆ１（ｔ）＋ｆ２（相→ｆ（ｔ）＝ｆ１（ｔ）×ｆ２（ ｄｆ（→积∫积 ∫ｆ（

ｆ（ｔ）掌握用上述运算进行信号波形变换的方（图见视频例 已知ｆ（ｔ），求ｆ（－４－２四、典型奇异信号及其特斜变信号、单位阶跃、单位冲击、冲击偶信号要点：四类奇异信号的函数定义和波形重点：掌握单位冲击信号的筛选性，用于一般信号的单位冲击分解１．斜变信号（１）单位斜 ｔ＜ ｔ＜ （２）截平的斜ｆ（ｔ）

ｆ（ ｔ＜ （３）三角形脉ｆ（ｔ）

ｆ（ ｔ ｔ＞３ 你考２．单位阶跃信让考研更轻松 （１）单位阶 ｔ＜ ｔ＜ ｔ＞（２）矩形脉ＲＴ（ｔ）＝ｕ（ｔ）－ｕ（ｔ－（３）符号函 ｔ＞ ｔ＞– ｔ＜用来描述符号函数：ｓｇｎ（ｔ）＝２ｕ（ｔ）－１描述信号的接入特性：ｆ（ｔ）＝ｆ１（ｔ）ｕ（ｔ）３．单位冲激信号（６种来源）（１）矩形脉δｔ）＝ｌｉｍ１［ｕ（ｔ＋τ）－ｕ（ｔ－τ）→０ （２）三角脉δｔ）＝ｌｉｍ１１（１－ｔ）［ｕ（ｔ＋τ－ｕ（ｔ－τ）］τ （３）双边指数脉τδｔ）＝ｌｉｍ１ｅ－ττ（４）钟形脉（ｔ）＝ｌｉｍτ０

－πｔ）ｅτｅ４ （５）采样信 （ｔ）＝ｌｉｍｋＳａ（ｋ（６）狄拉克函

郑你考研的超级 让考研更轻松∫!∫（ｔ）ｄｔ＝δｔ）＝０（当ｔ≠４．冲击偶信号及其演 δ′ｔ）＝ｔｔ）＝ｄｔ２ｕ（（图见视频５．单位冲激信号的性（１）抽样 δ（ｔ）ｆ（ｔ）ｄｔ δ（ｔ）ｆ（０）ｄｔ＝ｆ（

（ｔ）ｄｔ＝ｆ（ δ（ｔ－ｔ０）ｆ（ｔ）ｄｔ

δ（ｔ－ｔ０）ｆ（ｔ０）ｄｔ＝ｆ（ｔ０（２）偶对称δｔ）＝δ－（３）尺度变δａｔ）＝ａ

δ６．冲激偶信号的性（１）抽样∫!∫δ′ｔ）ｆ（ｔ）ｄｔ＝－ｆ′（（２）乘ｆ（ｔ）δ′ｔ）＝ｆ（０）δ′ｔ）－ｆ′（０）（（３）积∫!∫δ′ｔ）ｄｔ＝（４）尺δ′ａｔ）＝ａ

·１δｔ）里《信号与系统》考点精（５）卷５ｆ（ｔ）δ′（ｔ）＝ｄｆ（ｔ）＝

你考研的超级 让考研更轻松例 求列下表达式的（（

∫ｆ（ｔ０－ｔ）δｔ）∫∫!∫ｅ－［（ｔ）－（ｔ－ｔ）］０解：根据单位冲激信号的筛选性可得 ｆ（ｔ０－ｔ）δｔ）ｄｔ＝ ｆ（ｔ０－ｔ）δ－ｔ）ｄ（－ ∫∫∫∫＝ ｆ（ｔ０＋τ）？δτｄτ!

ｆ（ｔ０＋τδτ !＝∫ｆ（ｔ）？δｔ－ｔ０）ｄｔ＝ｆ（ｔ０! ｅ－［δｔ）－δｔ－ｔ０）］ｄｔ

ｅ－ｔδｔ）ｄｔ－

ｅ－δｔ－ｔ）ｄｔ＝１－ｅ０五、信号的分直流分量与交流分量、奇分量与偶分量、脉冲分量、阶跃分量、正交分量重点：掌握信号的单位冲击分解Ｔ１．交流分量与直流分量ｆ（ｔ）→ｆＤ＋ｆ（ｔ）Ｔｆ（ｔ）ｆ（ｔ）２Ｔ–Ｔ２ＴＴ＝１∫２［ｆ＋ｆ（ｔ）］２Ｔ–Ｔ–２ ∫ Ｄ ［ｆ２＋２ｆｆ（ｔ）＋ｆ２（ｔ）］２ ＝ｆ２＋

Ｔ∫∫ｆ２（ｔ）２信号的功率＝直流功率＋交流功直流功率＝Ｄ交流功

ＴＡ∫Ｔｆ２（ｔ）ＴＡ∫ＴＴ–２．奇分量和偶分ｆ（ｔ）→ｆ（ｔ）＋ｆ（ｔ）＝１［ｆ（ｔ）＋ｆ（－ｔ）］＋１［ｆ（ｔ）－ｆ（－ｔ）］ ３．正交分用相互正交的正交函数集各个分量的线性组合来表示某些信６里《信号与系统》考点精函数，即周期信号的郑你考研的超级 让考研更轻松４．脉冲分∫!∫ ｆ（ｔ）＝ｌｉｍｆ１（ｔ）

ｆ（τδｔ－τ六、系统模型及其分重点：掌握系统的分１．系统模型的表示方法：数学方程和框

连续时间系统的描述：微分方程离散时间系统的描述：差分方框图表示系统的基本运算单元：加乘积 例４ 求解下列ＲＬＣ串联电路并画出系统框图解：根据ＫＶＬ可得：ｉ（ｔ）＝Ｃｄｕｃ（ｕ（ｔ）＋Ｌｄｉ（ｔ）＋Ｒｉ（ｔ）＝ｅ（ ｄ２ｉ（整理可得该系统的微分方程为：ＬＣ ＋ＲＣ

ｄｉ（ｔ）

＋ｉ（ｔ）＝

ｄｅ（ｔ）对上式积分：ｉ（ｔ）＝１ｅτｄτ－Ｒｉτｄ－１ｉ（τ ７２．系统的分１）连续时间系统、离散时间系统 输入输出信号类型２）即时系统、动态系统 有无储能元件３）集总参数、分布参数 状态变量手否考虑空间位置因素４）线性系统、非线性系统 是否满足线性特性５）时不变系统、时变系 是否具有时不变特６）因果系统、非因果系统 响应与激励施加的先后关系７）稳定系统、非稳定系统 系统响应的收敛性８）可逆系统、不可逆系 响应与激励是否具一一对应的关重点研究：稳定的线性时不变系统因果系Ｎ阶连续ＬＴＩ系

描Ｎ阶离散ＬＴＩ系

描七、系统模型及其分重点：线性时不变系统的判定１．线性时不变系统的特点：１）线性性质：叠加性、均匀性（齐次性２）时不变性：响应与激励施加的时刻无关３）微分特性：本质即线性２．线性性质的判定分解性、零状态线性、零输入线性３．时不变特性的判定：激励信号平移，判定响例５ 试判定下述系统的线性特性、时变特性ｒ（ｔ）＝ｘ（０－）ｓｉｎｔ＋ｔｅ（ｔ）解：（１）满足分解性，易知：ｒｚｉ（ｔ）＝ｘ（０－） ｒｚｓ（ｔ）＝ｔｅ（（２）ｘ（０－）＝ｘ１（０－）时ｒｚｉ１（ｔ）＝ｘ１（０－）ｓｉｎｔ，ｘ（０－）＝ｘ２（０－）时，ｒｚｉ２（ｔ）＝ｘ２（０－）ｓｉｎｔ８里《信号与系统》考点精当ｘ（０－）＝ａｘ１（０－）＋ｂｘ２（０－ｒｚｉ（ｔ）＝［ａｘ１（０－）＋ｂｘ２（０－）］

郑你考研的超级 让考研更轻松＝ａｘ１（０－）ｓｉｎｔ＋ｂｘ２（０－）＝ａｒｚｉ１（ｔ）＋ｂｒｚｉ２（（３）ｅ（ｔ）＝ｅ１（ｔ）时，ｒｚｓ１（ｔ）＝ｔｅ１（ｔ）ｅ（ｔ）＝ｅ２（ｔ）时，ｒｚｓ２（ｔ）＝ｔｅ（ｔ）当ｅ（ｔ）＝ａｅ１（ｔ）＋ｂｅ２（ｔ）时ｒｚｓ（ｔ）＝ｔ［ａｅ１（ｔ）＋ｂｅ２（ｔ）］＝ａｔｅ１（ｔ）＋ｂｔｅ２（ｔ）＝ａｒｚｓ１（ｔ）＋ｂｒｚｓ２（ｔ）满足零输入线性，综合（１）～（３），该系统为线性系统关于时变特性的判断：当ｅ（ｔ）→ｅ（ｔ－ｔ）时系统响应ｙ（ｔ）＝ｘ（０）ｓｉｎｔ＋ｔｅ（ｔ－ｔ０）而ｒ（ｔ－ｔ０）＝ｘ（）ｓｉｎ（ｔ－ｔ０）＋（ｔ－ｔ０）ｅ（ｔ－ｔ０）≠ｙ（ｔ）因此，该系统为时变系八、系统分析的方１．系统研究的内系统分析：给定系统在特定激励下的响系统综合：满足响应与激励之间关系的系统设计及实现２．ＬＴＩ系统分析的方法１）数学描述：输入 输出描述法，适用于单变量系统状态变量描述法，适用于多变量系统２）模型求解：时域求解法（经典法、卷积法、数值解法）变换域求解法（ＬＴ、ＦＴ、ＺＴ）时域卷积频域卷

→→９第二 连续时间系统的时域分ＬＴＩ系统分析的方法数学描述：输入 输出描述法，适用于单变量系统状态变量描述法，适用于多变量系统模型求解：时域求解法（经典法、卷积法、数值解法）变换域求解法（ＬＴ、ＦＴ、ＺＴ）时域卷积

→经典法：解微分方程，齐次通解＋非齐次特解自由响应＋强迫响应注意初始值０＋、０－的区别与求卷积法：求卷积运算，零状态响应，物理概念明确~、微分方程的建立与求１．微分方程的建根据系统的物理模型、元件的约束特性、系统结构的约束特性：ＫＶＬ、ＫＣＬ、欧姆定理、达朗贝尔原理。对于机械系统的处理：机电类比法。例 列出下述两个系统的微分方对于第一个系统，选取ｖ（ｔ）为变量，可得元件的电流关系 ｉＲ（ｔ）＝Ｒｖ（ ｉＬ（ｔ）

Ｒ

ｖ（τ ｉＣ（ｔ）＝

根据ＫＣＬ：ｉＲ（ｔ）＋ｉＬ（ｔ）＋ｉＣ（ｔ）＝ｉＳ（ｔ） 整理得：

ｖ（ｔ）２ ２

ｄｖ（ｔ）＋１ｖ（ｔ）＝ｄｉ（Ｓ 对于第二个系统，选取ｖ（ｔ）为变量，根据胡克定律ｔ∫Ｆｋ（ｔ）＝ｋ·ｘ（ｔ）＝ｔ∫

ｖ（τ摩擦力：Ｆｆ（ｔ）＝ｆ·ｖ（ ｆ：摩擦系里《信号与系统》考点精惯性力：

郑（ｔ）＝ｍ·ｄｖ（ 让考研更轻松力学平衡的达郎贝尔原理：Ｆｋ（ｔ）＋Ｆｆ（ｔ）＋Ｆｍ（ｔ）＝ＦＳ（ｔ） 整理得：ｍ ｖ（ｔ）＋ｆ ｖ（ｔ）＋ｋｖ（ｔ）＝ 分析形式：机械量２．微分方程的求

→电气量（机电类比法线性时不变系统（ＬＴＩ）以常系数线性微分方程描述：设系统激励为ｅ（ｔ），响应为ｒ（ｔ），则系统可描述为 Ｃ０ｄｔｎｒ（ｔ）＋Ｃ１ｄｔｎ－１ｒ（ｔ）＋…＋Ｃｎ－１ｄｔｒ（ｔ）＋Ｃｎｒ（ｍ ｍ＝

ｄｔｍｅ（ｔ）＋

ｄｔｍ－１ｅ（ｔ）＋…＋

ｅ（ｔ）＋Ｅｅ（ｔ）根据经典法：全响应 ＝齐次通解＋非其次特解 Ｃ０ｄｔｎｒ（ｔ）＋Ｃ１ｄｔｎ－１ｒ（ｔ）＋…＋Ｃｎ－１ｄｔｒ（ｔ）＋Ｃｎｒ（ｔ）＝齐次解形如ｅ的线性组合，设ｒ（ｔ）＝ｅ则 ＣＡαｎｅαｔ＋ＣＡαｎ－１ｅαｔ＋…＋Ｃαｅ＋Ｃｅα＝０得特征方程：Ｃαｎ＋Ｃαｎ－１＋…＋Ｃα＋ 若α满足上式，则ｅα满足原方ｋｎ１）无重根ｒ（ｔ）＝ｎ

Ａ２）

ｉ有ｋ重根

ｋ∑Ａｔｋｉ）·ｅ

ｎ－ｋ ｈ（ｔ）＝ ｉ ｉ特解ｒｐ（ｔ）形式取决于激励信号选定形式，待定系数法齐次解只与系统本身的结构和参数有关，而与激励信号无关，反映系统本身特征，又称为固有相应或自由响应。而特解的形式由激励决定，称为强迫响应。激励ｅ（响应特解ｒｐ（常Ｅ常数 ｐＢ１ｔ＋Ｂ２ ＋…＋Ｂｐｔ＋ＢｐｅＢｃｏＢ１ｃｏω＋Ｂ２ωωｔｐｅαｔ ｐ （Ｂ１ｔ＋Ｂ２ ＋…＋Ｂｐｔ＋Ｂｐ＋１）ｅ ｐ ＋（Ｄ１ｔ＋Ｄ２ ＋…＋Ｄｐｔ＋Ｄｐ＋１）ｅｔｐｅαｔｉｒ（ｔ）＝ｒ（ｔ）＋ｒ（ｔ） Ａｅ－＋ｒ（∑ ｉ１∑为使方程有唯一解，需根据初始状态求解待定系数：设求解区为"＜＋! 初始状态为：ｒ（０）ｒ、（０）ｒ（ｎ－１）（ ｒ（０＋）＝Ａ１＋Ａ２＋…Ａｎ＋ｒｐ（０＋、ｒ、（、则：…

＋）＝

１α１＋Ａ２α２＋…Ａｎαｎ＋ｒｐ（０ （（ ）＝Ａαｎ－１＋Ａαｎ－１＋…Ａ＋ｒｎ－１（ （ １ ２ 以矩阵形式表示为ｒ（０＋）–ｒｐ（０＋ ｒ、（０）–ｒ、（０

］＝ ］ （

（０＋）－

（０ 例２ 给定微分方程：ｄｔ２ｒ（ｔ）＋５ｄｔｒ（ｔ）＋６ｒ（ｔ）＝ｅ（ｔ）求：（１）ｅ（ｔ）＝２ｅ－ｔ，ｔ０，ｒ（０）＝２，ｒ′（０）＝－１（２）ｅ（ｔ）＝ｅ－２ｔ，ｔ０，ｒ（０）＝１，ｒ′（０）＝０时系统的全响应。解：原系统的特征方程为：２＋５＋６＝０求得特征根：１＝－２ ２＝－３齐次通解为：ｒ（ｔ）＝Ｃｅ－２ｔ＋Ｃ 根据激励形式可知ｐ（１）ｅ（ｔ）＝２ｅ－ｔ时，特解为：ｒ（ｔ）＝ｐ将特解带入原方程得Ａｅ－ｔ＋５（－Ａｅ－ｔ）＋６Ａｅ－ｔ＝２Ａｅ－ｔ解得：Ａ＝１ｐ可得特解为：ｒ（ｔ）＝ｐ 系统全响应：ｒ（ｔ）＝ｒ（ｔ）＋ｒ（ｔ）＝Ｃｅ－２ｔ＋Ｃｅ－３ｔ＋ｅ－ｔ现根据初始状态求待定系 ｒ（０）＝Ｃ１＋Ｃ２＋１＝ ｒ′（０）＝－２Ｃ１－３Ｃ２－１＝－解得：Ｃ１＝３、Ｃ２＝－里《信号与系统》考点精郑故全响应为：ｒ（ｔ）＝３ｅ－２ｔ－２ｅ－３ｔ＋ｅ－ｔ你考研的超级 让考研更轻松（２）ｅ（ｔ）＝ｅ－２ｔ时，其指数次与特征跟之一相同其特解形式为：ｒ（ｔ）＝（Ａｔ＋Ａ） １带入微分方程：Ａｅ－２ｔ＝ｅ－２ｔ解得：Ａ１＝１１系统全响应 ｒ（ｔ）＝ｒ（ｔ）＋ｒ（ｔ）＝Ｃｅ－２ｔ＋Ｃｅ－３ｔ＋（ｔｅ－２ｔ ＝（Ｃ＋Ａ）ｅ－２ｔ＋Ｃｅ－３ｔ＋ｔｅ－２ｔ代入初始条件 ｒ（０）＝（Ｃ１＋Ａ０）＋Ｃ２＝ｒ′（０）＝－２（Ｃ１＋Ａ０）－３Ｃ２＋１＝０解得：Ｃ１＋Ａ０＝２ Ｃ２＝－１故全响应为：ｒ（ｔ）＝２ｅ－２ｔ－ｅ－３ｔ＋利用初始条件无法求出Ｃ１和因此分解不出自由响应和强迫响应二、起始点的跳变———从０－到０＋状态的转１．关于０－状态和０＋状状态为零输入时的初始状态，即初始值由系统的初始储能所产生０＋状态为加入激励信号后的初始状态，即初始值不但有初始储能，还受激励信号的影响系统０系统０系统激励信０＋状齐次通非齐次特

→全响应０－到０＋跃

→右边包含δｔ）及其各阶导２．０＋状态的确 冲激函数匹配冲激函数匹配法：利用ｔ＝０时刻方程两边的δｔ）及各阶导数应该平衡的原理来求解（０＋）的方法。原因在于微分方程右边还有δｔ）及其各阶导数，造成（０＋）和（０－）时刻的值不相等。在经典法求全响应的积分常数时，用的是０＋状态初始值。在求系统零输入响应时，用的是０－状态初始值。在求系统零状态响应时，用的是０＋状态初始值，这时的零状态是指０－状态为零。已知系统为： ａｙ（ｔ）＋ａｙ′（ｔ）＋…＋ａｙ（ｎ）（ｔ）＝ｂ＋ｂδｔ）＋ｂδ′ｔ）＋…＋ｂδｍ１（ｔ）Ｑ若 ｍｙ（ｎ－）（ｔ）＝ｍｙ（ｎ－ｍ（ｔ）＝… ＝ｙ（ｔ）＝０若ｍ＞ｎ则可设： ｙ（ｎ）（ｔ）＝Ｃδｍ－（ｔ）＋…＋Ｃδ（ｔ） ｙ（ｎ－１）（ｔ）＝Ｃ（ｍ２（ｔ）＋…＋Ｃ（ｔ）＋ ｙ（ｔ）＝Ｃδｍ－ｎ－１）（ｔ）＋…＋ 将ｙ（ｔ）及其各阶导数带入原方程，求出Ｃｍ对ｙ（ｔ）及各阶导数求（０－，０＋）的积分例３ 电路如图示，ｔ＜０时Ｓ处于位置１且已达到稳态，ｔ＝０时，Ｓ由１转向２。建立ｉ（ｔ）的微分方程并求解其在ｔ ０＋时的变化。解：１）列写电路方根据ＫＶＬ：Ｒ１ｉ（ｔ）＋ｖＣ（ｔ）＝ｅ（ｔ）Ｌｄｉ（ｔ）＋ｉ（ｔ）Ｒ ＝ｖ（ｔ）ｄｔ 根据ＫＣＬ：Ｃｄｖ（ｔ）＋ｉ（ ＝ｉ（ｄｔ 先消去ｖ（ｔ）得１ｄｉ（ｔ）＝－１ｉ（ｔ）＋１ｉ（ｔ）＋１ Ｒ１Ｃ ＲＣＬ Ｒ１ｄｔ１ｄｉ（ｔ）＝－Ｒ１ｉ（ｔ）－Ｒ２ｉ（ｔ）＋１ｅ（ｔ）ｄｔＬ ＬＬ 再消去ｉ（ｔ）得ｄｉ（ｔ）＝－Ｒ１ｉ（ｔ）－Ｒ２ｉ（ｔ）＋１ｅ（ｄｔ

Ｌ

１１ｄｔ２ｉ（ｔ）＋（ＲＣ＋Ｌ）ｄｔｉ（ｔ）＋（ＬＣ＋１ｄ２ Ｒ２ｄ １１

）ｉ（１Ｒ１＝Ｒ

２ｅ（ｔ）＋ＲＬｄｔｅ（ｔ）

ｅ（ｔ）Ｒ１ＬＣ你考让考研更轻松带入参数得你考让考研更轻松 ｄｔ２ｉ（ｔ）＋７ｄｔｉ（ｔ）＋１０ｉ（ｔ）

ｄｔ２ｅ（ｔ）＋

２）求系统全响应齐次解：特征方程为：２＋７＋１０＝０特征根：１＝－ ２＝－ 可得：ｉ（ｔ）＝Ａｅ－２ｔ＋Ａｅ－５ｔ（ 由题设知：ｔ ０＋时，ｅ（ｔ）＝４Ｖ为常数，故特解形式为：ｉｐ（ｔ）＝Ｂ带入系统方程解得：Ｂ＝５因此： ０＋时ｉ（ｔ）＝ｉ（ｔ）＋ｉ（ｔ）＝Ａｅ－２ｔ＋Ａｅ－５ｔ＋ ３）确定换路后的ｉ（０）和ｄｉ（０ ） 换路前：ｉ（０）＝ｉ（ ＝）

–）＝

Ｒ１＋ ｖ（

＝６ –）＝ｉＬ·Ｒ２＝５× 换路后，根据换路定理ｉ（０）＝１［ｅ（０）－ｖ（０）］＝１［ｅ（０）－ｖ（０）］＝１［４－６］＝ ＋Ｒ ＋Ｒ１

Ｒ１Ｒ

ｄｉ（

）＝１［ｄｅ（

）－ｄｖ（０）

Ｒ１

ｄｔ ＝１ｄｅ（０）－１［ｉ（０）－ｉ（０）］Ｒ１ ＝１ｄｅ（０）－１［ｉ（０）－ｉ（０）］Ｒ１ ＝１［０－１（１４－４）］＝－２ 里《信号与系统》考点精４）求ｉ（ｔ）在ｔ ０＋时的全响应：根据ｉ（ｔ）的全响应表达式可得：ｉ（

＋）＝

＋Ａ２＋

＝５

＋）＝－２Ａ１－５Ａ２＝－系统全响应为ｉ（ｔ）＝（４ｅ－２ｔ－２ｅ－５ｔ＋８） （ｔ 例 利用冲激函数匹配法求例四中的全响 前面已推得系统的微分方程为 ｄｔ２ｉ（ｔ）＋７ｄｔｉ（ｔ）＋１０ｉ（ｔ）

ｄｔ２ｅ（ｔ）＋

考虑到激励信号在ｔ＝０时刻由２Ｖ跃变到４Ｖ，代入上式即得ｔ＝０时的微分方程如下： ｄｔ２ｉ（ｔ）＋７ｄｔｉ（ｔ）＋１０ｉ（ｔ）＝２δｔ）＋２δｔ）＋８ｕ换路前：ｉ（０）＝４ ｄｉ（０）＝ ／ 观察微分方程两侧可知：ｄｔ２ｉ（ｔ）项中包含δｔ）因此可设：（０

＜ｔ＜０＋

ｄｔ２ｉ（ｔ）＝ａδ′ｔ）＋δｔ）＋ｃΔｄｉ（ｔ）＝ａδｔ）＋ｂΔｕｔ）ｄｉ（ｔ）＝ａΔｕ代入前式［δ′ｔ）＋δｔ）＋ｃΔｕｔ）］＋７［ａδｔ）＋ｂΔｕｔ）］＋１０ａΔｕｔ）＝２δ′ｔ）＋δｔ）＋８Δｕｔ）比较系数：ａ＝

ｉ（０＋）－ｉ（０－）＝ａ＝ｂ＋７ａ＝ ｃ＋７ｂ＋１０ａ＝→ｉ（＋）→ｉ（＋）＝ｉ（–）＋２＝（５

ｄｉ（ ｄｔ２ｉ（ｄｔ２ｉ（０＋）－ｄｔ２ｉ（０－）＝ｃ＝＋２）＝５

）－ｄｉ（０

–）＝ｂ＝－ｄｉ（

）＝

ｉ（０–）－２＝－２Ａ／ 三、零输入响应和零状态响

郑你考研的超级 让考研更轻松例 已知图示的ＲＣ电路，电容两端有起始电压ｖＣ（０－）试求时的电容ｔ＞０两端电压ｖＣ（ｔ）解：可求得系统方程为ｄｖ（ｔ）＋１ｖ（ｔ）＝１ｅ（ｔ）ｄｔ ＲＣ ｔ ｔ Ｃ ｖ（ｔ）＋Ｃ

ｖＣ（ｔ）］·ｅＲＣ＝

ｅ（ｔ） ｔ［ｅＲＣ·ｖＣ（ｔ）］

１ｅＲＣ ｅ（ １ｔ ｔ τ １ｔ

［ｅＲＣ·ｖＣ（τ］ｄτ∫０∫１

ｅＲＣ ｅ（τｄτ∫ｔ∫ｅＲＣ·ｖＣ（ｔ）－ｖＣ（０－）

ｅＲＣ ｅ（τｄτ０ｔ－１（ｔ－–ｔ １ｖＣ（ｔ）＝ｅＲＣ·ｖＣ（０－）ＲＣ

ｅ ｅ（τｔｅ–·ｖ（）零输入响应ｒｚｉ（∫ｅ∫ｅＲＣ

–１（ｔ）ｅ（τｄτ零状态响应ｒｚｓ（零输入响应满足 Ｃ０ｄｔｎｒｚｉ（ｔ）＋Ｃ１ｄｔｎ－１ｒｚｉ（ｔ）＋…＋Ｃｎ－１ｄｔｒｚｉ（ｔ）＋Ｃｎｒｚｉ（ｔ）＝ｎ齐次解的一部分：ｒｚｉ（ｔ）＝ｋ零状态响应满足

ｅ Ｃ０ｄｔｎｒｚｓ（ｔ）＋Ｃ１ｄｔｎ－１ｒｚｓ（ｔ）＋…＋Ｃｎ－１ｄｔｒｚｓ（ｔ）＋Ｃｎｒｚｓ（ｍ ｍ＝

ｄｔｍｅ（ｔ）＋

ｄｔｍ－１ｅ（ｔ）＋…＋

ｅ（ｔ）＋Ｅｅ（ｔ）初始状态：ｒ（ｋ）（０–）＝０ （ｋ＝０，１，２，…ｎ－１）其解： ｒｚｓ里《信号与系统》考点精ｎ（ｔ）＝ｋ

ｔ）ｎｋ系统全响应：ｒ（ｔ）＝∑Ａｅα＋Ｂ（ｔ）＝∑ｋ

ｅα＋∑

ｅα＋Ｂ（ｋ ｋ ｋ例 将图中ｔ＜０电路看做起始状态，分别求ｔ＞０时的零输入响应和零状态响应解：转换初始储前已求得：ｉ（０

）＝４Ａ ｄｔ２ｉ（ｔ）＋７ｄｔｉ（ｔ）＋１０ｉ（ｔ）

ｄｔ２ｅ（ｔ）＋

（图见视频１）零输入响 系统方 ｉｉ（ｔ）＋ ｉｚｉ（ｔ）＋１０ｉｉ（ｔ）＝ 初始状 →ｉｚｉ（０＋ｄｉ（０）ｄｔｚｉ （图见视频初始值等效电路ＫＣＬ、ｉ（０）＝－ｖＣ（０＋

＝－ｖＣ（０－

＝－６Ｒ Ｒ１

ｉ（０）＝ｉ（０）－ｉ（０）＝ｉ（０）－ｉ（０）＝Ｃｄ［－Ｒ·ｉ（０）］ｖ（０ ｄｉ（０）＝－１［ｉ（ｄｔ

Ｒ１Ｃ

＋）－ｉＬ（０＋）］＝ Ａ／ ｄｔ２ｉｉ（ｔ）＋７ｄｔｉｚｉ（ｔ）＋１０ｉｉ（ｔ）＝零输入响

→ｚｉ（→

＋）＝－６ ｄｔｉｚｉ（０＋）＝２Ａ／→ｉ（ｔ）＝（－４ｅ－２ｔ＋２ｅ－５ｔ （ｔ＞ ２）零状态响（图见视频 ｄｔｄｔ２ｉｚｓ（ｔ）＋７ｄｔｉｚｓ（ｔ）＋１０ｉｚｓ（ｔ）＝ｄｔ２ｅ（ｔ）＋６ｄｔｅ（ｔ）＋４ｅ（ｔ）已求得其全响应为：里《信号与系统》考点精ｉｚｓ（ｔ）＝Ｃ

ｅ－２ｔ＋

ｅ－５ｔ＋５

郑 让考研更轻松 将ｅ（ｔ）＝４ｕ（ｔ）代入方程右端得自由项根据冲激函数匹配法确定待定系数

ｄｔ２ｅ（ｔ）＋

ｅ（ｔ）＋４ｅ（ｔ）＝４δｔ）＋２４δｔ）＋１６ｄｔ２ｉｚｓ（ｔ）＝ａδ′ｔ）＋δｔ）＋ｃΔｕ设：ｄｔ

（ｔ）＝ａδｔ）＋Δｕ （０－＜ｔ＜０＋ｉ（ｔ）＝ａｕ代入微分方程，比较系数后整理可得ｄｄｄｄｄｔ ｄｔｉｚｓ（０＋）＝４＋ｉｚｓ（０－）＝ ｄｔｚｓ

）＝－４＋ｄｉ（ ｄｔ –）＝－ ｉｚｓ（ｔ）＝

ｅ－２ｔ＋

ｅ－５ｔ＋５

（ｔ＞０）８→

＝－４１系统零状态响应ｉ（ｔ）＝（８ｅ－２ｔ－４ｅ－５ｔ＋８） （ｔ＞ ｉ（ｔ）＝４ｅ－２ｔ－２ｅ－５ｔ 自由响应暂态响

强迫响应稳态响＝（－４ｅ－２ｔ＋２ｅ－５ｔ）＋（８ｅ－２ｔ－４ｅ－５ｔ＋８）令输入响四、冲激响应和阶跃响

零状态响阶跃响应：单位阶跃信号作用下的零状态响应冲激响应：单位冲激信号作用下的零状态响（图见视频对于ＬＴＩ系统，单位冲激响应满足Ｃ０ｈ（ｎ）（ｔ）＋Ｃ１ｈ（ｎ－１）（ｔ）＋…＋Ｃｎ－１ｈ′（ｔ）＋Ｃｎｈ（＝Ｅ０δｍ（ｔ）＋Ｅ１δｍ１（ｔ）＋…＋Ｅｍ－１δｔ）＋Ｅｍ（ Ｃｈ（ｎ）（ｔ）＋Ｃｈ（ｎ－１）（ｔ）＋…＋ ｈ′（ｔ）＋Ｃｈ（ ｎｋｎ＞ｍ时：ｈ（ｔ）＝（∑Ｃｅｋ）ｕ（ｋｋｎ"时：采用冲激匹配法确定系数例３ 求例２中电流ｉ（ｔ）的冲激响应ｈ（ｔ）和单位阶跃响应ｇ（ｔ）。解：１）单位冲激响应已求得系统方程 ｄｔ２ｉ（ｔ）＋７ｄｔｉ（ｔ）＋１０ｉ（ｔ）

ｄｔ２ｅ（ｔ）＋

故其单位冲激响应满足ｈ″（ｔ）＋７ｈ′（ｔ）＋１０ｈ（ｔ）＝δ″ｔ）＋６′ｔ）＋４ｔ）其解为： ｈ（ｔ）＝Ｃｅ－２ｔ＋Ｃｅ－５ｔ （ｔ 观察方程右侧，可 ｄｔ２ｈ（ｔ）＝δ″ｔ）＋ｂ′ｔ）＋δｔ）＋ｄΔｕｄｈ（ｔ）＝δ′ｔ）＋δｔ）＋ｃΔｕｔ）ｄｈ（ｔ）＝δｔ）＋ｂΔ代入方程解得：ａ＝１，ｂ＝－１，ｃ＝１故：ｈ（０）＝ｂ＋ｈ（０）＝－１ｈ′（０＋）＝ｃ＋ｈ′（０－）＝

（０－＜ｔ＜０＋代入ｈ（ｔ）中解得：

＝－３

Ｃ＝ 由于ｎｍ故ｈ（ｔ）中含有δｔ）项因此：ｈ（ｔ）＝（ｔ）＋（－４ｅ－２ｔ＋１ｅ－５ｔ）ｕ（ｔ） ２）单位阶跃响ｇ″（ｔ）＋７ｇ′（ｔ）＋１０ｇ（ｔ）＝δ′ｔ）＋６ｔ）＋４ｕ（ｔ）ｇ′（０－）＝ｇ（０－）＝０ 全响应为：ｇ（ｔ）＝Ｃｅ－２ｔ＋Ｃｅ－５ｔ＋ （ 根据特解形式得：１０Ｂ＝４里《信号与系统》考点精特解：ｇ（ｔ）＝ 根据冲激函数匹配法设ｄｔ２ｇ（ｔ）＝ａδ′ｔ）＋δｔ）＋ｃΔｕ

郑你考研的超级 让考研更轻松ｄｈ（ｔ）＝ａδｔ）＋ｂΔｕｔ）ｄｇ（ｔ）＝ａｕ代入方程解得：ａ＝１，ｂ＝－１，ｃ＝１故

（０

＜ｔ＜０＋ｇ（０＋）＝ａ＋ｇ（０－）＝→ｇ′（０＋）＝ｂ＋ｇ′（０－）＝－

Ｃ１＝２／Ｃ２＝－１／全响应：ｇ（ｔ）＝（２ｅ－２ｔ－１ｅ－５ｔ＋２）ｕ（ 五、卷原理：将信号进行冲击分解，根据系统ｈ（ｔ）求任意激励信号的零状态响ｆ１（

!!ｆ２ｆ２∫

ｆ１（τｆ２（ｔ－τｄ＝ｆ２（ｔ）ｆ１（!!∫则系统的零状态响应为：ｒ（ｔ）＝ｅ（ｔ）ｈ（ｔ）∫

ｅ１（τｈ（ｔ－τ计算１）转换自变量２）反折５）积例１计算图示信号的卷（图见视频１）－!＜ｔ"－０．５ 你考研的超级 让考研更轻松！ ｅ（ｔ）ｈ（ｔ）＝２）－０．５"１且ｔ－２－０．５ ２ｅ（ｔ）ｈ（ｔ）２∫

１－０．

（ｔ－τｄτ

４＋

＋３） １且ｔ－２"－０．５时，１ｔ"２ ２ｅ（ｔ）ｈ（ｔ）２∫

１－０．

（ｔ－τｄτ

４＋４）－２

"－２"１且 １时，

ｔ２∫１∫ｅ（ｔ）ｈ（ｔ）＝１ｔ

τ

ｔ＋２ ２５）ｔ－２ １且ｔ 综上可得ｅ（ｔ）ｈ（ｔ）如下图所示：六、卷积的性熟练掌握卷积各种性质的数学证明１．卷积代数１）交换２）分配律３）结合ｆ１（ｔ）ｆ２（ｔ）＝ｆ２（ｔ）ｆ１（ｆ１（ｔ）［ｆ２（ｔ）＋ｆ３（ｔ）］＝ｆ１（ｔ）ｆ２（ｔ）＋ｆ１（ｔ）ｆ３（ｆ２ｆ（图见视频２）卷积的微分与积分特ｆ２ｄ［ｆ（ｔ）ｆ（ｔ）］＝ｆ（ｔ） ｄｆ（ｔ）＝ｆ（ｔ） ｄｆ（ｔ）ｄｔ１ ｄｔ２ ｄｔ１ｆ２［ｆ１（∫∫ ∫∫

λ ｄ＝ｆ１（

ｆ２（λｄ＝ｆ２（ｔ）

ｔ∫ｆ１（λ∫设：ｓ（ｔ）＝ｆ（ｔ）ｆ２（（ｔ：）ｓ（ｉ）（ｔ）＝ｆ（ｊ）（ｔ）ｆ（

郑你考研的超级 让考研更轻松 ∫３）与冲激函数或!阶跃函数的卷 ∫ｆ（ｔ）δ（ｔ）＝ｆ（τδｔ－τ!!∫ｆ（ｔ）δ（ｔ）∫

ｆ（τδｔ－τ!!∫筛选 ∫

ｆ（τδτ－ｔ）ｄτ＝ｆ（信号与单位冲激信号的卷积为本!!∫ｆ（ｔ）δ（ｔ－ｔ０）∫

ｆ（τδｔ－ｔ０－τｄ＝ｆ（ｔ－ｔ０结论：与δｔ－ｔ）卷积的结果是延迟个时间单位。利用卷积的微分、积分特性可得：ｆ（ｔ）δ′（ｔ）＝ｆ′（ｔｆ（ｔ）ｕ（ｔ）

ｆ（τ）—般形式ｆ（ｔ）δ（ｋ）（ｔ）＝ｆ（ｋ）（０ｆ（ｔ）δ（ｋ）（ｔ－ｔ）＝ｆ（ｋ）（ｔ－ｔ０例 利用卷积特性重新计算计算例１中的卷解：根据微分、积分特性∫ ∫ｒ（ｔ）＝ｅ（ｔ）ｈ（ｔ）＝ｅ（

ｈ（τ ｔ ｔｔｔ ｈ（τｄ ∫ｔ＝∫ｔ

１τｕ（τ－ｕ（τ－２）］ｄτ１τｕ（ｔ）－（ １τｄτｕ（ｔ－—! －＝１ｔ２［ｕ（ｔ）－ｕ（ｔ－２）］＋ｕ（ｔ－２）＝ｈ（－１）（ｔ）ｄｅ（ｔ）＝δｔ＋１）－δｔ－１）

里《信号与系统》考点精∫ ∫ｒ（ｔ）＝ｅ（ｔ）ｈ（ｔ）＝ｅ（

ｈ（τ ＝（ｔ）［ｕ（ｔ＝（ｔ）［ｕ（ｔ）－ｕ（ｔ

３ ）］＋ｕ（ｔ）—（）］＋ｕ（ｔ）—（ｔ－１）２［ｕ（ｔ－１）－ｕ（ｔ－３）］＋ｕ（ｔ－可得七、微分方程的算子解基本算子：ｐ＝

１

（…）∫ ∫系统的微分方程可用算子法描述为 （Ｃｐｎ＋Ｃｐｎ－１＋…＋Ｃ ｐ＋Ｃ）ｒ（ｔ）＝（Ｅｐｍ＋Ｅｐｍ－１＋…＋Ｅ １）算子公因子不能对２）算子乘除顺序不能颠倒先“乘”后“除”不抵消ｐ１ｘ≠１ 先“除”后“乘”可抵２．算立法简历微分方ｖ（ｔ）＝Ｌｄｉ（ｔ）＝Ｌｉ（ 等效电 ｄｔ ｖＣ（ｔ）

Ｃ

ｉＣ（τｄ

·ｉＣ（ 等效电例 利用算子法建立系统方程解：用算子符号表示电路元里《信号与系统》考点精（图见视频 郑 Ｃｐ（Ｒ＋１） Ｃｐ（Ｒ＋１）ｉ（ｔ）－１ｉ（ｔ）＝ｅ（–１ｉ（ｔ）＋１（Ｌｐ＋Ｒ ＋１）ｉ（ｔ）＝０ ＣｐＬ应用克莱姆法则解得 （１ｐ＋ ｉ（ｔ） Ｒ１ Ｒ１ １ｐ＋（Ｒ２＋１）＋（ １ Ｒ１

ＬＣ＋Ｒ允许先积分后微分，同乘ｐ得（１ｐ２＋Ｒ２ｐ １ｉ（ｔ）

Ｒ１ Ｒ１

·ｅ（１ｐ２＋（Ｒ２＋１）ｐ＋（ １ Ｒ１

ＬＣ＋Ｒ代入参数整理后得 ｄｔ２ｉ（ｔ）＋７ｄｔｉ（ｔ）＋１０ｉ（ｔ）

ｄｔ２ｅ（ｔ）＋

八、小１．ＬＴＩ连续系统的响应全响应＝齐次解（自由响应）＋特解（强迫响应）２．关于０－和０＋初始值当系统已经用微分方程表示时，如果包含有（ｔ）及其各阶导数，说明相应的０－状态到０＋状态发生了跳变。冲激函数匹配法。３．零输入响应和零状态响应ｙ（ｔ）＝ｙｈ（ｔ）＋ｙｐ（ｔ）自由响应＋强迫响应；暂态响应＋稳态响应；零输入响应＋零状态响应４．冲激响应和阶跃响应５．卷积积分定义，计算的５个过程６．卷积积分的性质交换律、分配率、结合律利用性质求卷积第三 变~、引通过本章的学习掌握以下内容１．周期信号和非周期信号频谱分析的方法傅立叶级数和傅立叶变换２．周期信号和非周期信号频谱的特点与区别３．理解非周期信号频谱密度函数的概念４．信号时域特性与频域特性之间的关系５．采样定理要点：典型信号的傅立叶变换，利用傅立叶变换的性质求信号的正、反变换，信号的频谱分析。二、周期信号的傅立叶级数分１．三角函数形式的傅里叶级（１）狄利克雷条在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应该是有限个；在一周期内，极大值和极小值的数目应该是有限个；在一周期内，信号是绝对可积的周期信号可以由一系列不同角频率的三角函数的线性组合来近（２）描ｆ（ｔ）＝ａ０＋ａ１ｃｏｓ（ω１ｔ）＋ｂ１ｓｉｎ（ω１ｔ）＋ａ２ｃｏｓ（２ω１ｔ）＋ｂ２ｓｉｎ（２ω１ｔ）＋…＋ａｎｃｏｓ（ｎω１ｔ）＋ｂｎｓｉｎ（ｎω１ｔ）＋!＝ａ０＋∑［ａｎｃｏｓ（ｎω１ｔ）＋ｂｎｓｉｎ（ｎω１ｔ）ｎ０ａ＝１０２

ｔ０∫ｔ０∫０

ｆ（ｔ） 直流分量幅

郑你考研的超级 让考研更轻松ａｎ

Ｔ１

ｆ（ｔ）ｃｏｓ（ｎω１ｔ） 余弦分量幅ｂｎ

２∫ｔＴ１

ｆ（ｔ）ｓｉｎ（ｎω１ｔ） 正弦分量幅合并、整理可得!ｆ（ｔ）＝ｃ０＋∑ｏ１＋ｎ其系数如下ａ＝ｃ，

＝ａ２＋ｂ２，φ＝－

ｂｎ

槡 ａｎｎ ｎ

—槡ｎｎａ２＋槡ｎｎ

， ｎ

ｎｎ槡ａ２＋ ｎｎａ＝ｃｓ，ｂ＝－ｃ 直流分量、基波、二次谐波、三次谐波……２．复指数形式的傅里叶级数欧拉公式ｎｎ

＝１（ｅｊω＋ｅ－ｊｎ）＝１（ｅｎ＋ｅ－ｎ ｏｒｅ±＝ｃｏｓｎω±ｎ 代入三角函数形式的傅立叶级数可得!ｆ（ｔ）＝ｃ０＋∑ｃｏｓ（ｎω０ｔ＋φｎｎ∑!∑＝

ｎ［ｅｊ（ｎω０＋φ＋ｅ－ｊ（ｎω０＋φｎ１! !＝ｃ＋∑ｎｅωｅφ＋∑ｎｅ－ｎ０ｅ－φ ｎ１!

ｎ１—!＝ｃ＋∑ｎｅｊωｅφ＋∑－ｎｅ－ｊω０ｅ－ｊ ｎ１ ｎ－１＝

－１ ｎｅｊωｅ ｎｅｊωｅ ｎ１ ｎ－整理后可得复指数形式的傅立叶级数里《信号与系统》考点精ｆ（ｔ）＝

Ｆ（ｎω）ｅｊｎω１ｔａ＝

Ｆ!!ｎｎ－!!ｎ

ｎ比较上述两种形式的傅立叶级数，可得到二者系数之间的关系：Ｆ０＝ａ０＝ｃ０ Ｆｅφｎ＝１（ａ＋ｊｂ）＝１ｃｅφｎ １

－

２ Ｆ－ｎ＝２（ａｎ＋ｊｂｎ）＝２ｃｎ ＝１ ２ｎ

Ｆ－ φｎ＝－ ａ Ｆ＋ ＝２Ｒｅ［Ｆ］＝ － ｊ（Ｆｎ–Ｆ－ｎ）＝２ｍＦｎ］＝ 三角函数形式：ｃｎ～ωφｎ～ω 复指数的形式：Ｆｎ～ωφｎ～ 双边频二者之间关系：Ｆ（ｎω ＝１ｃ（ｎ≠０），Ｆ＝ｃ＝ ２ 幅值谱偶对称：Ｆ（ｎω１ Ｆ（－ｎω１ 相位谱奇对称：（ｎω）＝－φ－ｎω３．周期信号的频谱及其特 幅值、相角与角频率之间的关系分别称为幅值谱、相位谱，统称频率特性或频谱。Ｆ（ｎω）＝ Ｆ（ｎω）ｅφ 幅频特性：Ｆ（ｎω ＝

ｎｎ槡ａ２＋ｂ ｎｎ２相频特性：

＝ａｒｃｔａｎ（－ｂｎａｎ离散性、谐波性、收敛性引入负频率，无物理意例 试做出信号：ｆ（ｔ）＝１＋ｓｉｎｔ＋２ｃｏｓωｔ＋ｃｏｓ（２ωｔ＋π）的两种形式的频谱 解：整理原式得：ｆ（ｔ）＝１ ５ｃｏｓ（ωｔ－０．５π＋ｃｏｓ（２ωｔ＋π ｃ０＝ ｃ１＝槡５＝２． ｃ２＝φ０＝ φ１＝－０． φ２＝０．你考让考研更轻松利用欧拉公示化你考让考研更轻松

郑君里《信号与系统》考点精ｆ（ｔ）＝１＋（１．１２ｅ－ｊ０．１５πｅω１＋１．１２ｅｊ０．１５πｅ－ω１）＋（０．５ｅｊ０．２５πｅ２ω＋０．５ｅ－ｊ０．２５πｅ－２ωｔ２１＝∑Ｆ（ｎω）１ｎ４．函数的对称性与傅立叶系数的关当波形满足某种对称关系时，傅里叶级数中的某些特定项将不会出现，利用这种性质可以对谐波成分迅速作出判断，以简化傅立叶系数的计算。常用的有：周期对称：奇函数、偶函ｆ（ｔ）＝－ｆ（－ｔ） ｆ（ｔ）＝ｆ（－ｔ）半周期对称：奇谐函数、偶谐函数ｆ（ｔ）＝－ｆ（ｔ±Ｔ ｆ（ｔ）＝ｆ（ｔ±Ｔ１ （１）奇函数ａｎ＝０∫２ ∫２Ｔｎｂ ｆ（ｔ）ｓｉｎ（ｎω１ｔ）Ｔｎ０Ｆｎ＝－Ｆ－

＝－１ φ＝－ 不含余弦项，只含有正弦项，傅立叶系数为虚数（２）偶函ａ＝

∫２∫ｆ（ｔ）ｃｏｓ（ｎωｔ）Ｔ Ｔ０ｂｎ＝Ｆｎ＝Ｆ－

＝１ａ２

＝１ｃ２φｎ＝不含正弦项，只含有余弦项和直流项，傅立叶系数为实函数∫ｎ为奇数时∫ａ＝

２ｆ（ｔ）ｃｏｓ（ｎωｔ）Ｔ Ｔ０ｂ＝

∫２∫ｆ（ｔ）ｓｉｎ（ｎω１ｔ）０∫ｎ为偶数时∫ａ＝

２ｆ（ｔ）ｃｏｓ（ｎωｔ）Ｔ Ｔ０ｂ＝

∫Ｔ∫２ｆ（ｔ）ｓｉｎ（ｎωｔ）Ｔ Ｔ０５．傅里叶有限级数与最小方均误差，吉布斯现!ｆ（ｔ）＝ａ０＋∑［ａｎｃｏｓ（ｎω１ｔ）＋ｂｎｓｉｎ（ｎω１ｔ）ｎＮＳＮ＝ａ０＋∑ａｎｃｏｓ（ｎω１ｔ）＋ｂｎｓｉｎ（ｎω１ｔ）ｎε（ｔ）＝ｆ（ｔ）－ 误差

∫Ｎｔ０∫ＮＥＮ＝

（ｔ）Ｔ１

ε２（ｔ） ＝ε２（ｔ）＝ｆ２（ｔ）－［ａ２＋ ２

∑（ａ２＋ ｎ

２）有限项近所产生的方均误差由上式可知：ｌｉｍＳＮ＝ｆ（ｔ）对于对称方波的近分析发现（１）Ｎ越大，越接近方（２）快变信号，高频分量，主要影响跳变沿（３）慢变信号，低频分量，主要影响顶部（４）任一分量的幅度或相位发生相对变化时，波形将会失真相数越多，合成波形中出现的峰起越靠近原函数的不连续点，其值约为总跳变量的９％。称为“吉布斯现象”。里《信号与系统》考点精三、典型周期信号的傅立叶级１．周期矩形脉冲信其在一个周期内的表达式为ｆ（ｔ）＝［ｕ（ｔ＋π）－ｕ（ｔ－π） 偶函数，ｂｎ＝０只有ａａｎ项

郑你考研的超级 让考研更轻松Ｆ（ｎω）＝

∫２ｆ（ｔ）ｅ－ｊｎω１ｔＴ Ｔ τ＝１

Ｅｅ－ｊｎω１ｔｄｔ＝τａｎωτ–２ τ–２

１求得ｆ（ｔ）

Ｅτ

Ｅτ１∑∑

）ｃｏｓ（１ｔ ｎ ｆ（ｔ）

Ｅ!∑∑

ｎ１τ

１Ｔ１ｎ Ｆ（ｎω）为实数Ｆｎ＞０，相位０，Ｆｎ＜０，相位±当

→!时，ω１→０，Ｅτ为无限小Ｔ１ｆ（ｔ）由周期信号非周期信信号能量的主要部分称为带宽，记为 ＝２π或Ｂ＝ 余余弦谐波分ｆ（ｔ）＝２Ｅ［ｃｏｓ（１ｔ－１ｃｏｓ（３１ｔ＋１ｃｏｓ（５１ｔ－… 谐波幅值以１／ｎ收由矩形脉冲信号的频谱特性印证了周期信号频谱的特点：离散性、谐波性、收敛性。２．周期锯齿脉冲ｆ（ｔ）

!Ｅ∑（－Ｅ

ｎ＋１

ｓｉｎ（１ｔπｎ 只包含正弦分量，谐波幅值以１／ｎ收敛３．周期三角脉冲! !

２ｆ（ｔ）

＋２

ｓｉｎ

）ｃｏｓ（１ｔ πｎ 包含直流分量、基波以及奇次谐波分量，谐波幅值以１／ｎ２收敛。４．周期半波余弦信号ｆ（ｔ）＝Ｅ－２Ｅ ｃｏｓ（ｎｃｏｓ（ｎ１） πｎ１（ｎ２－ 包含直流分量、基波以及各次谐波分量，谐波幅值以１／ｎ２收敛。四、傅立叶变１．由傅立叶级数到傅立叶变Ｔ１→ ｌｉｍｆＴ（ｔ）＝ｆ（Ｆ（ｎω）＝ 郑 Ｔ频谱间隔：

２ｆ（ｔ）ｅ－ｊｎω１ｔｄｔ ２

你考研的超级 让考研更轻松离散

１→连续谱谱系数Ｆｎ＝Ｆ（ｎω）无意义，但仍有相当对大小关系。谱系数两侧同时乘以周＝ＴＦ（ｎω）＝Ｆ（ｎω１ Ｆ（ｎω１ 单位频带上的频＝ １／ Ｔ!时，ｆ＝

→０，Ｆ（ｎω）→Ｔ Ｔ１谱线间隔：Δｎω）＝ω１→ωｎω）→∫２∫Ｆ（ω＝ｌｉｍＴ１Ｆ（ｎω１）＝

ｆ（ｔ）ｅ－ｊｎω１ｔｄｔ

!∫ｆ（ｔ）ｅ－ｊｎωｔ 频谱密度函∫–１ Ｔ –称上式为信号的傅立叶变换Ｆ（ω＝｜Ｆ（ω｜ｅφω）Ｆ（ω～ω幅值φω～ω相位谱２．傅立叶反变换Ｆ（ω

∫ｆ（ｔ）ｅ－ｊωｔ∫!ｆＴ（ｔ）＝!

∫［ ｆ（ｔ）∫［Ｔ

—ωｔｄｔ］

１２ｎ－ –２!ｆ（ｔ）＝

ＴＴω１［∫２

—ｎ１

１ ｎ－

–２

ｄｔ］∫!ｆ（ｔ） １∫!

ｆ（ｔ）ｅ－ｊωｔｄｔ）ｅｊωｔｆ（ｔ）

—!２π∫１∫Ｆ（ｊω

ｊωｔ 记：Ｆ（ω

∫ｆ（ｔ）ｅ－ｊωｔｄｔ＝Ｆ［ｆ（ｔ）∫ｆ（ｔ）＝

∫Ｆ（ωｅｊωｔｄω＝Ｆ－１［Ｆ（ω∫里《信号与系统》考点精分别称为傅立叶变换和傅立叶反变换３．傅立叶变换的物理意义ｆ（ｔ）＝

∫Ｆ（ωｅｊωｔ∫!＝ ｊφ!

!!

Ｆ（ω

ｅＦ（Ｆ（ｓｉｎ［ω＋φ（ω］＝１

Ｆ（ωｃｏｓ［ω＋（ω］π＝ｆ（ｔ）

∫!Ｆ（ ∫!Ｆ（

ωｃｏｓωｔ＋（ωωｃｏｓωｔ＋（ω求 幅 余弦信无穷多个振幅为（π

Ｆ（）ｄω余弦信号之ｆ（ｔ）

１

Ｆ（ω

ｄω＝

Ｆ（

! !求 幅 复指数信无穷多个振幅为（

Ｆ（）ｄω复指数信号之４．傅立叶变换存在的条信号绝对可

!∫ｆ（ｔ）ｄｔ＜∫所有能量信号均满足此条件充分非必要条件。借助奇异函数的概念，许多不满足此条件的信号都存在傅立叶变换五、典型非周期信号的傅立叶变１．单边指数信ｆ（ｔ）

ｅ－αｔｔ＞０α＞０ｔ＜

Ｆ（ω＝Ｆ［ｆ（ｔ）］＝Ｆ（）

ｅ－ｔｕ（ｔ）ｅ－ωｄｔ ｅ－（α＋ｔｄｔ α＋ω＝０，Ｆ（ ＝αω→±!Ｆ（ω→（ω＝－ａｒｃｔａｎαω→０，（）＝ω→＋!φω）→－ ω→－!（ω）→ ｆ（ｔ）＝ｅ－ａ｜ｔ｜（－!＜ｔ＜＋ ａ＞!Ｆ（ω＝!

ｆ（ｔ）ｅ－ｊωｔｄｔ

∫ｅ－（ａ＋ω）ｔ! !＝Ｆ（） ＝ａ－Ｆ（） ２ａ２＋（）＝３．矩形脉冲信

ａ＋ Ｆ（

ａ２＋ｆ（ｔ）＝Ｅ［ｕ（ｔ＋τ）－ｕ（ｔ－τ） Ｆ（ω

∫ Ｅｅ－ｊωｔｄｔ＝ａ∫τ

–２Ｆ（ ＝

Ｓａ（＜ω＜２（２ｎ＋１）π（（） （２（２ｎ＋１）πτ

ω＜４（ｎ＋１）ττ４．钟形脉冲信号（高斯信号τ２ｆ（ｔ）＝２

－（ｔ）

（－!＜ｔ＜＋Ｆ（ω＝槡

－（ωτ５．符号函ｆ（ｔ）＝ｓｇｎ（ｔ）

–１，ｔ＜ｆ（ｔ）＝ｓｇｎ（ｔ）ｅ－α１求（），求极限得到Ｆ（１∫∫ ∫∫Ｆ１（ω

–ｅｅ－ｊｄｔ

ｅ－ｔｅ－ｊ０ －α－

α＋

＝－２ω２＋Ｆ（）＝ｌｉｍＦ（）＝ｌｉｍ－２ ＝→０ →０α＋ ｓｇｎ（ｔ）

＝－ｊ２ω

２ｅｊ２ω２２ Ｆ（） ＝（ （ω） ω）Ｆ（ω是偶函数槡–２ω槡–２ω０（ω是奇函６．升余弦脉冲信ｆ（ｔ）＝Ｅ［１＋ｃｏｓ（πｔ］０"ｔ ∫!∫Ｆ（ω ｆ（ｔ）ｅ－＝∫τＥ［１＋ｃｏｓ（ｔ］ｅ－—τ ＝Ｅ∫τｅ－ｔｄｔ＋Ｅ

ｊ－ｔｄｔ＋Ｅ∫τｅ－πｔ－２－

４－

ｅτ

４－τ＝τＳａτ＋ＥτＳａ（ω－π）τ＋Ｅτａ（ω＋π） （图见视频六、冲激函数和阶跃函数的傅立叶变１．冲击函数的傅立叶变Ｆ（ω

!∫（ｔ）ｅ－ωｔ∫２．冲激偶函数的傅立叶变∫!∫ｆ（ｔ）δ′ｔ）ｄｔ＝－ｆ′（!ｔＦ［δｔ）］＝∫ｔ）ｅ－ｄｔ＝－［ｅ－ｊ］ｔ３．阶跃函数的傅立叶变

＝－（－ｊω＝ｕ（ｔ）＝２１πδ（

＋１ｓｇｎ（ｔ）１ｓｇｎ（ ｕ（ｔ）πδ（ω＋对称性、线性（叠加性）、奇偶虚实性、尺度变换特性、时移特性、频移特性、微分特性、积分特性重点掌握在基本的傅里叶变换对基础上利用上述八个性质对一般信号进行付傅立叶变换的方法，了解傅里叶变换在通讯系统领域中的应用。 ｕ（ｔ）

＋δｕ（ｔ）ｅ α＋０ｅω０２πδ（ω－ω０— π–ω２ 槡ａ１．对称若：ｆ（ｔ）Ｆ（ω，则：Ｆ（ｔ）２πｆ（－ω特殊的：ｆ（ｔ）为偶函数时，Ｆ（ｔ）２πｆ（）利用已知变换对方便的求出信号的傅里叶变换（图见视频２．线性（叠加性和齐次性）若：ｆ（ｔ）（ωｆ（ｔ）（）ω傅里叶正、反变换公式为求积分（求和）复杂信号分解后求和。３．奇偶虚实性Ｆ（ω

∫ｆ（ｔ）ｅ－∫∫∫ ∫∫ ｆ（ｔ）ｃｓｔｄ－

ｆ（ｔ）其中

＝Ｒ（）＋ｊＸ（）＝Ｆ（）

Ｆ（

ｅ－ｊＲ（ω

∫ｆ（ｔ）ｃｏｔｄ＝Ｒ（－∫!

为ω的偶函∫Ｘ（）＝－

ｆ（ｔ）ｉωｔｄ＝－Ｘ（－ω为ω的奇函 Ｆ（

＝槡（ω＋（

为ω的偶函为ω的奇函φω＝ａｒｃｔａｎＸ（Ｒ（

＝－φ－ 结论ｆ（－ｔ）Ｆ（－ｆ（ｔ）Ｆ－

郑你考研的超级 让考研更轻松ｆ（ｔ）为实函数时，ｆ（－ｔ）Ｆ（－ω＝Ｆ（）４．尺度变换若：ｆ（ｔ）（则：ｆ（ａｔ）

Ｆ（ω），ａ≠０意义时域压缩时域扩展时域对折

→→→信号的等效脉冲宽度与其等效带宽成反比（图见视频）５．时移特性０若ｆ（ｔ）Ｆ（ω，则ｆ（ｔ－ｔ）Ｆ（ωｅ－ｊ０００设Ｆ（ω Ｆ（ωｅφω，则ｆ（ｔ－ｔ Ｆ（ω·ｅｊ［φ（ω－００不影响幅度频谱，只影响相位频谱６．频移特性０若ｆ（ｔ）Ｆ（ω则ｆ（ｔ）ｅ±Ｆ（ωω）通信中调制与解调频分复。００时域ｆ（ｔ）乘以ｅω，频谱右移００时域ｆ（ｔ）乘以ｅ－ωｔ，频谱左移０７．微分特ｄ（ｎ）ｆ（若：ｆ（ｄ（ｎ）ｆ（（则ｄ（ｎ）Ｆ（

ｊωｎＦ（ 时域微–ω ｊｔ）ｎｆ（ 频域微应用：ｕ（ ８．积∫分特若：ｆ（ｔ）（

＋δ δ δ Ｆ（ｔ里《信号与系统》考点精Ｆ（则 ｆ（τ

＋Ｆ０）δ例 求图示信号的频解：已知矩形信号的频谱为采样信号，即ｆ（ｔ）Ｆ（ω＝ａτ） （图见视频而三脉冲矩形信号可表示为ｆ（ｔ）＝ｆ０（ｔ）＋ｆ０（ｔ＋Ｔ）＋ｆ０（ｔ－根据傅里叶变换的线性特性和时移特性Ｆ（ω＝Ｆ（ω（１＋ｅｊωＴ＋ｅ－ｊωＴ）＝τＳａ（τ［１＋２ｃｏｓ（ωＴ （图见视频与矩形信号相比脉冲数目增多时，幅频特性包络线不变，带宽不变。例２ 试求双Ｓａ信号的频谱。解：由例１和傅里叶变换的对称性知：采样信号ｆ（ｔ）＝ωｃＳａ（ωｔ）的频谱为矩形。如图： Ｆ［ｆ０（ｔ）］

０（ω＜ωｃ根据傅里叶变换的时移特性知Ｆ［ｆ０（ｔ－２τ］ｅ－２ω（ωｅ－２ω（ω＜ωｃｃ根据傅里叶变换的线性特性得双Ｓａ信号的频谱ｃＦ（ω＝Ｆ［ｆ０（ｔ）］－Ｆ［ｆ０（ｔ－２τ］

１－ｅ－２（ω＜ω其幅频特性为２ｓｉｎ（ωτ（ω＜ωｃ

０（ω＜ωｃＦ（

０（ω＜ωｃ里《信号与系统》考点精由于实际中常取τ＝π故２ｓｉｎ（ω（ω＜ωｃＦ（ ０（ω＜ω因此，双Ｓａ信号及其频谱如下

郑你考研的超级 让考研更轻松与单Ｓａ信号相比，没有直流分量，便于传输例３ 设矩形脉冲信号Ｇ（ｔ）的高度为Ｅ，宽度为τ，试求矩形调幅信号ｆ（ｔ）＝Ｇ（ｔ）ｃｏｓ（ω０ｔ），的频谱。解：Ｇ（ω＝ＥＳａ（τ） ｆ（ｔ）＝１Ｇ（ｔ）（ｅω＋ｅ－０ｔ） 根据傅里叶变换的频移特性得原信号的频谱为（图见视频Ｆ（ω

１Ｇ（ω－ω）

１Ｇ（ω＋ω）

（ω－ω）Ｓａ［ ］

Ｅａ

（ω＋ω） ２例 ｆ（ｔ）

Ｅ（１

）（ｔ＜τ２，求三角脉冲信号的频解：取原信号的一（图见视频２Ｅ（－

ｔ＞τ２及二阶导数得＜ｔ＜ｄｆ（

＝ｄ２ｆ（

Ｅ（０＜ｔ τｔ＞２ ＝τ［δｔ＋２）＋δｔ－２）－２ｔ）］二者的时域波形如下图：２Ｅｊ ２Ｅ－ｊω ｅ２

２＝（ｊωＦ（ω＝－ωＦ（整理可得

２Ｅｊ ２Ｅ－ｊωＦ（ω＝–ω２

ｅ２τ

ｅ２ ２Ｅ［ｅｊω

—ｊωω２

２－２＋２ ｊ －ｊτ – ωτ ［ｅω４－ｅω４ ωτ

τω２（２ｊｓｉｎ４＝

（

２（

４２４

Ｅ（

２２（图见视频例 求图示信号的傅里叶变解：（图见视频根据傅里叶变换的积分特性

２Ｓａ（ω）ｅ－ｊ２Ｆ２（ω＝［πδω

１］

）ｅ－ｊ２＝πδω）（ Ｓａ（ω）

－ｊ２Ｆ（ω＝Ｆ［１］＋Ｆ（ω＝３πδω ９．卷积特１）时域卷积定若：ｆ（ｔ）Ｆ１（ω，ｆ（ｔ）（ω）则：（ｔ）ｆ（ｔ）Ｆ１（ω·Ｆ２（ Ｆ［ｆ１（ｔ）ｆ２（ｔ）］

∫ｆ１（τ）∫

ｆ（ｔ－τ）ｅ－ｄｔ］２［∫ｆ（τ）ｆ（ｔ－τｄτ !－ｊω ∫!∫ ｆ（τＦ（ωｅ－ｔ 里《信号与系统》考点精２）频域卷积定

＝Ｆ１（ωＦ２（

郑你考研的超级 让考研更轻松若：ｆ１（ｔ）（ω，ｆ２（ｔ）（则：ｆ（ｔ）·ｆ（ １Ｆ（ωＦ（ ２ 卷积定理揭示了时域运算与频域运算的对应关系：时域乘积对应频域卷积，时域卷积对应频域乘积。系统的变换域分析法的基础例 求下述余弦脉冲信号的频谱ｆ（ｔ）

Ｅｃｏｓ（ｔ（ｔ"τＥｃｏｓ（ｔ（ｔ"τ２解：（图见视频将余弦信号用窗函数截取，即可得余弦脉冲信号：ｆ（ｔ）＝Ｇ（ｔ）ｃｏｓ（τＦ（ω＝Ｆ［Ｇ（ｔ）·ｃｏｓ（ｔτ＝１·［ＥＳａτ］［δω＋π）＋δω－π）］ ＝ＥτＳａ（ω＋π）τ］＋ＥτＳａ（ω－π）τ］ 考点：掌握各种基本信号的傅里叶变换对，灵活运用傅里叶变换的各种特性对一般信号进行频谱分析。八、周期信号的傅立叶变满足狄利克雷条件的周期信ｆｐ（ｔ）→傅里叶级数Ｆ（ｎω）离散谱满足绝对可积条件的非周期信号ｆ（ｔ）→傅里叶变换Ｆ（）连续谱!—般的周期信