2021-2022学年江苏省扬州市高邮市高二上学期阶段测试一数学试题（解析版）

2021-2022学年江苏省扬州市高邮市第一中学高二上学期阶

段测试一数学试题

一、单选题

1.已知直线丫=仆与直线y=2x+3平行，则。的值为（）.

A.-2B.yC.1D.2

【答案】D

【分析】直接根据斜率相等，即可求得.

【详解】因为直线1="与直线y=2x+3平行，

所以斜率相等，即。的值为2.

故选：D

2.已知圆。：/+尸=1与圆a：（x-3y+（y+4）2=16,则圆。।与圆。2的位置关系为

（）

A.外切B.内切C.相交D.外离

【答案】A

【分析】根据圆和圆的位置关系，求得圆心距和半径之间的关系，即可得解.

【详解】圆。1的圆心为（0,0）,半径等于1,

圆。2的圆心为（3,T）,半径等于4,

所以两圆圆心距为7（0-3）2+（0+4）2=5，

恰好等于它们的半径之和，所以两个圆外切.

故选：A.

3.已知椭圆的长轴长为10,焦距为8,则该椭圆的短轴长等于（）

A.3B.6C.8D.12

【答案】B

【分析】根据椭圆中为仇c的关系即可求解.

【详解】椭圆的长轴长为10,焦距为8,

所以2a=10,2c=8,可得a=5,c=4,

所以〃=/一。2=25-16=9,可得6=3,

所以该椭圆的短轴长3=6,

故选：B.

4.已知圆C:d+y2-4x=0与直线/切于点尸（1,6）,则直线/的方程为（）

A.x-by+2=0B.x-Gy+4=0

C.x+6y-4=0D.x+\/3y-2=Q

【答案】A

【分析】由圆心和切点求得切线的斜率后可得切线方程.

【详解】圆C:f+y2—4x=0可化为（x-2『+y2=4,

所以点尸与圆心连线所在直线的斜率为纥8=

2-1

则所求直线的斜率为由，

3

由点斜式方程，可得y-G=*（x-l）,

整理得x-6y+2=0.

故选：A.

5.双曲线/-工=1的渐近线方程为（)

4

A.y=±-xB.y=±—xC.y=±2xD.y=±4%

24

【答案】C

【分析】根据给定双曲线方程直接求出其渐近线方程即可.

2

【详解】双曲线V-二=1的渐近线方程为：y=±2x.

4

故选：C

6.直线/：3x+y-6=0被圆。"2+/-2丫-4=0截得的弦长为（）

A.V5B.V?C.VioD.26

【答案】C

【分析】利用弦长与半径、弦心距的几何关系，求弦长即可.

【详解】f+），2-2y-4=0可化为丁+（了-1）2=5,则圆心坐标为（0,1）,半径「=石.

点（0,1）到直线/的距离d=咒0+1-6|=理,

:.半弦长为护二筋=］（有了-悸=芈，故截得的弦长为

故选：c

7.已知抛物线C：y2=2px(p>0)上一点M(6,y)到焦点户的距离为8,则p=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】解方程6-(-§=8即得解.

【详解】因为M(6,y)到焦点尸的距离为8,

所以6-(-4)=8,得p=4.

故选：D

8.如图，已知月，入分别是椭圆的左、右焦点，现以工为圆心作一个圆恰好经过椭圆

的中心并且交椭圆于点N.若过点5的直线用耳是圆后的切线，则椭圆的离心率

为()

【分析】由切线的性质，可得MF、=&,再结合椭圆定义岫+g=2”,

即得解

【详解】因为过点E的直线圆-2的切线，MF2=C,g=2c,所以峥=辰.

c2r~

由椭圆定义可得MF[+MF2=^3c+c=2a,可得椭圆的离心率e=-=[二万=’3-1.

故选:A

二、多选题

9.(多选)下列说法中，错误的是()

A.任何一条直线都有唯一的斜率

B.直线的倾斜角越大，它的斜率就越大

C.任何一条直线都有唯一的倾斜角

D.若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等

【答案】ABD

【详解】解析A错，因为倾斜角为90。的直线没有斜率；8错，因为0。“<90。时，Q0,

90。“<180。时，k<0；C显然对；若两直线的倾斜角为90。，则它们的斜率不存在，。错.

10.已知双曲线方程为8产=32,则（）

A.实轴长为8血B.虚轴长为4

C.焦距为6D.离心率为逑

4

【答案】ABD

【分析】求出双曲线的标准方程，得至IJ"=4正，b=2,c=6,即得解.

【详解】解：双曲线方程/-8产=32化为标准方程为（一［=1,可得a=4&,b

=2,c=6,

所以双曲线的实轴长为4夜x2=80,虚轴长为2x2=4,焦距为6x2=12,离心率为

6_372

4及4'

故选：ABD

11.在平面直角坐标系xOy中，直线/与圆（x-2）2+/=2相切，则直线/的方程可以是

（）

A.x+y=0B.x+y-2=0C.x-y=0D.x+y-4=0

【答案】ACD

【分析】根据圆心到直线的距离等于半径，结合选项逐个验证.

【详解】因为圆（x-2y+V=2的圆心为（2,0）,半径为正；

圆心到直线的距离"=2智=拒，正确；

对于A,

圆心到直线的距离&=2美2=0,不正确；

对于B,

圆心到直线的距离〃=贷=及，正确；

对于C,

圆心到直线的距离d=Z*N=正，正确；

对于D,

故选：ACD.

12.对抛物线y=4/,下列描述正确的是（）

A.开口向上，准线方程为y=-上

16

B.开口向上，焦点为（0,g

C.开口向右，焦点为（1,0）

D.开口向右，准线方程为y=-1

【答案】AB

【分析】根据抛物线方程写出焦点、准线方程，并判断开口方向即可.

【详解】由题设，抛物线可化为丁=与，

开口向上，焦点为（0,上），准线方程为y=

1616

故选：AB

三、填空题

13.圆f+y2=]6上的点到直线x-y=3的距离的最大值为.

【答案】4+—

2

【分析】利用圆心到直线距离，结合圆的半径，求圆上点到直线距离的最大值.

【详解】由题设，圆心坐标为（0.0）,半径为4,

...圆心到直线x-y=3的距离为之=逑，

V22

.•.圆x?+y2=i6上的点到直线x-y=3的距离的最大值为4+延.

2

故答案为：4+—

2

14.直线4经过点（3,0）,直线4经过点（。，4）,且。〃2,d表示4和4之间的距离，则d的

取值范围是.

【答案】（0,5]

【分析】由题意可知当4,4与过（3,0）,（0,4）两点的直线垂直时，d取得最大值，从而

可得答案

【详解】当4，6与过（3,0）,（。，4）两点的直线垂直时，4皿=再不=5,

故答案为：（0,5]

15.以椭圆的对称轴为坐标轴，若该椭圆短轴的一个端点与两焦点是一个正三角形的三

个顶点，焦点在x轴上，且〃-c=百，则椭圆的标准方程是.

【答案】—+^=|

129

【分析】根据题意可得b,c,间的关系，结合a-c=g即可得到答案.

【详解】设椭圆的左、右焦点分别为6，B，椭圆短轴的一个端点为8,如图，已知

129

故答案为：—+—=1.

129

16.双曲线5-£=1（。>0*>0）的左右焦点分别为耳，尸2,离心率为*过"作直线

）,=一2元的垂线交双曲线右支于点p,若/月尸鸟=1,则《2=.

［答案］

3

【分析】结合点到直线的距离公式求出|”叫，进而求得后“，结合双曲线的定义得到

|P用，在△耳「巴中，结合余弦定理得到c,。的齐次式，进而可以求出结果.

片(c,0),耳(-c,0),所以忻M==F,所以由M=2b,因为「用=2C,所

以优M=2a,又因为N6P^=(,所以归用=居，根据双曲线的定义得

4a

\PF]=\PF\^2a=2a+

2耳

|P用RPFJ-山段2

在△6P居中,cosZFPF

}22|明忖段

2

7+2瓦2,即02=7+2、

所以、，因此廿

22GHi33

7+2石

故答案为:

3

四、解答题

17.已知AABC的三个顶点分别为A(0,4),8(-2,6),C(-8,0).

(1)求边A8所在直线的方程；

(2)求边AC上的中线所在直线的方程.

【答案】(1)x+y-4=0；(2)2x-y+10=0.

【分析】(1)直接由两点式求边48所在直线的方程；

(2)求出点。的坐标为(-4,2),再利用两点式求中线8。所在直线的方程.

【详解】(1)由两点式得边A8所在直线的方程为二==二，即x+y-4=0；

6-4-2-0

(2)由题意，得点。的坐标为(-4,2),

y-2x-(Y)

由两点式，得段£＞所在直线的方程为泊•=°)人,即2x-y+10=0.

0—2―2-(-4)

18.已知圆C的圆心在直线x-2y=0上，且与丁轴相切于点(0』).

(I)求圆C的方程；

(H)若圆C与直线/：x-y+，w=0交于A,8两点，求机的值.从下

列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：44cB=120。；条件②：

|AB|=2G.注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.

【答案】(I)(x-2『+(y—1)2=4；(II)答案见解析.

【分析】(I)设圆心C(4b),易知a=力，由圆C与＞轴相切于点(0,1),可求。涉以

及，，写出圆C的方程即可.

(H)所给的两个条件，均可得C到直线/的距离4=1,结合点线距离公式即可求〃，的

值.

【详解】(I)设圆心坐标为C(a,b),半径为L

由圆C的圆心在直线x-2y=0上，知：a=2h.

又：圆C与y轴相切于点(0,1),

'.b=\,a-2,则r=|a-0|=2.

...圆C的圆心坐标为(2,1),则圆C的方程为(x-2)2+(y-l)2=4.

(II)如果选择条件①：48=120。，而图=|磔=2,

圆心C到直线/的距离d=l,则"=匕口=1,解得机=a_1或

5/1+1

如果选择条件②：|明=26,而|备用力=2,

圆心C到直线/的距离d=l,则《=与上口=1,解得机=正_1或_后_I.

VI+1

19.根据下列条件写出抛物线的标准方程：

(1)经过点(-3,-5)；

(2)焦点在x轴的负半轴上，且焦点到准线的距离是6.

75a

【答案】(1)y2=--或(2)y2=-12x.

【分析】(1)根据点(-3,-5)在第三象限，所以可设抛物线的标准方程为

丁=一2*(〃>()),X2=-2^(/?>0),将点代入即可求出；

(2)根据。的几何意义结合焦点位置即可解出.

【详解】(1)当抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0)时，将点(-3,-5)代入，得°=弓，

6

25

即所求抛物线的标准方程为丁=-jx;

当抛物线的标准方程为d=-20，(p>O)时，将点(-3,-5)代入，得0=三，即所求抛物

Q

线的标准方程为

75Q

综上，抛物线的标准方程为>2=-?X或丁=-0'.

(2)由焦点到准线的距离为6,知p=6.

又焦点在x轴的负半轴上，二抛物线的标准方程为V=-12x.

20.已知双曲线C的中心为直角坐标系xQy的原点，它的右焦点为(2,0),虚轴长为2.

(1)求双曲线C渐近线方程；

(2)若直线/-=区+四与C的右支有两个不同的交点，求k的取值范围.

【答案】(1)y=士亭x；(2)壮(-1,-¥).

【分析】(1)由题设可得c=2力=1,写出双曲线方程，即可得渐近线方程；

(2)设交点4(%,凶),8(%,必)，联立方程整理并根据一元二次方程解的性质列不等式

组求％的范围.

【详解】(1)由题设，c=2,b=\,则双曲线方程为《-9=[,

3

对应渐近线方程为：y=±且x.

3

(2)设直线/与双曲线C右支的两交点为A,B且人不乂卜巩仁%)，

y=kx+>/2

联立方程，r,消丫:(1_3后2*_6岳”9=0.

——y2=\

3

l-3k?KO

△=108(1-r)>0

解得：-1<A<-迫

由题意得：,占+招

普A。3

...当A,B为直线/与C右支的两个交点时.

\/

21.有一种大型商品，A、8两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商

品后运回的费用是：每单位距离，A地的运费是8地运费的2倍，已知A、B两地相距6

千米，顾客购物的唯一标准是总费用较低.建立适当的平面直角坐标系

，1---•-------1---1'】_

BOAx

(1)求A、8两地的售货区域的分界线的方程；

(2)画出分界线的方程表示的曲线的示意图，并指出在方程的曲线上、曲线内、曲线

外的居民如何选择购货地.

【答案】(1)(X-5)2+/=16；(2)答案见解析.

【解析】(1)以线段A8的中点。为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标

系xO)，，设每单位距离8的运费为。元，设售货区域内一点为P(x,y),设在两地的购货

费用相同，利用已知条件求出点尸的轨迹方程，即为所求；

(2)分别化简2aJ(x-3)2+寸>a^x+S)2+y2、2a^x-3)2+y2<a^x+3)2+y2结合

(1)中的方程可得出结论.

【详解】(1)以线段A8的中点。为坐标原点，A8所在直线为x轴建立如下图所示的

平面直角坐标系X。)，，则点4(3,0)、5(-3,0),

设每单位距离B的运费为a元，设售货区域内一点为尸(x,y),

若在两地的购货费用相同，则24加-3)2+丫2=如+3)2+丫2,

化简可得(x-5>+y2=]6,

故在A、8两地的售货区域的分界线的方程为(x-5『+/=16；

(2)由(1)可知，A、B两地的售货区域的分界线是以点(5,0)为圆心，以4为半径的

圆，

所以，在圆(x-5>+y2=i6上的居民从A、5两地购货的总费用相同.

由2aJ(x-3)°++，可得(x-5)~+y?>16,

所以，在圆(X-5)2+V=16外的居民从8地购货便宜；

由2aJ(x_3)2+.2<aj(x+3y+y?，可得(x-5)~+y?<16,

所以，在圆(X-5)2+V=16内的居民从A地购货便宜.

【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：

(1)直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；

(2)定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义

写出方程；

(3)相关点法：用动点。的坐标x、y表示相关点尸的坐标毛、％,然后代入点P的

坐标(%，%)所满足的曲线方程，整理化简可得出动点。的轨迹方程；

(4)参数法：当动点坐标X、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找X、y与某一

参数r得到方程，即为动点的轨迹方程；

(5)交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交

点的轨迹方程.

22

22.已知椭圆C：[+与=1（。＞匕＞0）的长轴长为4,离心率e是方程2x2-5x+2=0的

a~b~

一根.

（1）求椭圆C的方程；

（2）已知。是坐标原点，斜