2021-2022学年辽宁省丹东市中考冲刺卷数学试题含解析及点睛

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角〃条形码粘贴处〃o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3,非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1.如图，在正方形ABCD中，点E,F分别在BC,CD上，AE=AF,AC与EF相交于点G,下列结论：①AC垂

直平分EF；②BE+DF=EF；③当NDAF=15。时，AAEF为等边三角形；④当NEAF=60。时，SAABE=-SACEF,其

2

中正确的是()

A.①③B.②④C.①③④D.②③④

2.某城2()14年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，到2016年底增加到363公顷，设绿化面积平均每年的增长

率为x,由题意所列方程正确的是().

A.300(1+%)=363B.300(1+x>=363C.300(1+2x)=363D.300(1-x)2=363

3.如图，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中y与n之间的关系是()

A.y=2n+lB.y=2n+nC.y=2n+,+nD.y=2n+n+l

4.如图①是半径为2的半圆，点C是弧AB的中点，现将半圆如图②方式翻折，使得点C与圆心O重合，则图中阴

影部分的面积是()

r-2万

D-273-y

5.在平面直角坐标系中，将抛物线-丫=/+2%+3绕着它与）'轴的交点旋转180。，所得抛物线的解析式是（).

A.y=—(x+1)2+2B.y=-U-l)2+4

C.y—(x—1)~+2D.y=-(x+l)2+4

6.如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是AC上的点，若NBOC=40。，则ND的度数为（）

A.100°B.110°C.120°D.130°

7.老师在微信群发了这样一个图：以线段AB为边作正五边形ABCDE和正三角形ABG,连接AC、DG,交点为F,

下列四位同学的说法不正确的是（）

乙AC±AG

C

5TDG是AB的垂直平分线

甲三角形DCF是等腰三角形

\------丙AC^DE平行

HA

A.甲B.乙C.丙D.T

8.如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于O,且AO=BD=4,AD=3,则△BOC的周长为（）

DC

AB

A.9B.10C.12D.14

9.下表是某校合唱团成员的年龄分布.

年龄/岁13141516

频数515X10-x

对于不同的X,下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（）

A.众数、中位数B.平均数、中位数C.平均数、方差D.中位数、方差

10.下列条件中丕能判定三角形全等的是（）

A.两角和其中一角的对边对应相等B.三条边对应相等

C.两边和它们的夹角对应相等D.三个角对应相等

11.为迎接中考体育加试，小刚和小亮分别统计了自己最近10次跳绳比赛，下列统计量中能用来比较两人成绩稳定程

度的是（）

A.平均数B.中位数C.众数D.方差

12.一元二次方程x2-3x+l=0的根的情况（）

A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根

C.没有实数根D.以上答案都不对

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.二次函数y=ax?+bx+c（a、b、c是常数，且a/））的图象如图所示，则a+b+2c0（填或"v"）.

v

14.抛物线y=-x2+bx+c的部分图象如图所示，若y>0,则x的取值范围是

15.在直径为『0二的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示如果油面宽二二=8二，那么油的最大深度是

16.一个正方形A03C各顶点的坐标分别为4（0,3）,O（0,0）,B（3,0）,C（3,3）.若以原点为位似中心，将

这个正方形的边长缩小为原来的L,则新正方形的中心的坐标为.

2

x-a>3

17.若关于％的不等式组，0"无解，则。的取值范围是________.

l-2x>x-2

18.化简："=:

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.(6分)如图，在四边形ABCD中，AD〃BC,ZB=90°,BC=6,AD=3,AB=6,点E,F同时从B点出发，沿

射线BC向右匀速移动，已知点F的移动速度是点E移动速度的2倍，以EF为一边在CB的上方作等边△EFG,设

E点移动距离为x(0<x<6).

(1)ZDCB=度，当点G在四边形ABCD的边上时，x=；

(2)在点E,F的移动过程中，点G始终在BD或BD的延长线上运动，求点G在线段BD的中点时x的值；

(3)当2<x<6时，求AEFG与四边形ABCD重叠部分面积y与x之间的函数关系式，当x取何值时，y有最大值？

并求出y的最大值.

jk

20.(6分)如图所示，直线y=-x+2与双曲线y=一相交于点A(2,n),与x轴交于点C.

2x

(1)求双曲线解析式；

(2)点P在x轴上，如果AACP的面积为5,求点P的坐标.

21.(6分)如图，在RtAABC中NABC=90。，AC的垂直平分线交BC于D点，交AC于E点，OC=OD.

3

(1)若sinA=二，DC=4,求AB的长；

4

(2)连接BE,若BE是ADEC的外接圆的切线，求NC的度数.

BD

22.(8分)如图，AB是。O的直径，AC=BC＞连结AC,过点C作直线1〃AB,点P是直线1上的一个动点，直

线PA与。O交于另一点D,连结CD,设直线PB与直线AC交于点E.

求NBAC的度数；当点D在AB上方，且CDJLBP时，求证：PC=AC；在点P的

运动过程中

①当点A在线段PB的中垂线上或点B在线段PA的中垂线上时，求出所有满足条件的NACD的度数;

②设OO的半径为6,点E到直线1的距离为3,连结BD,DE,直接写出ABDE的面积.

23.(8分)小林在没有量角器和圆规的情况下，利用刻度尺和一副三角板画出了一个角的平分线，他的作法是这样的:

(1)利用刻度尺在N405的两边OA,0B上分别取OM=ON；

(2)利用两个三角板，分别过点N画。ON的垂线，交点为产；

(3)画射线0P.

则射线0尸为NA08的平分线.请写出小林的画法的依据.

24.(10分)如图，在梯形ABCD中，相＞〃8。，48=。。=5,")=1,3。=9,点2为边8。上一动点，作尸”_1。。,

垂足H在边。。上，以点P为圆心，P”为半径画圆，交射线必于点E.

(1)当圆尸过点A时，求圆P的半径；

(2)分别联结E”和E4,当AABEsACEH时,以点B为圆心，r为半径的圆3与圆P相交，试求圆3的半径r的

取值范围；

(3)将劣弧E“沿直线E”翻折交BC于点户,试通过计算说明线段E”和比的比值为定值，并求出次定值.

25.（10分）如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转，得到矩形ABO,点C的对应点C恰好落在CB的延长线

上，边AB交边CD，于点E.

（1）求证:BC=BCf；

（2）若AB=2,BC=1,求AE的长.

26.（12分）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作之一，其中记载的“荡杯问题”很有趣.《孙子算经》记载“今有妇

人河上荡杯.津吏问曰：，杯何以多？，妇人曰：，家有客.，津吏曰：，客几何？，妇人曰：，二人共饭，三人共羹，四人共

肉，凡用杯六十五.，不知客几何？”译文：“2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用65个碗，问有

多少客人？”

27.（12分）佳佳向探究一元三次方程x3+2x2-x-2=0的解的情况，根据以往的学习经验，他想到了方程与函数的关

系，一次函数丫=1«+1）（k#））的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b（导0）的解，二次函数y=ax?+bx+c

（a/））的图象与x轴交点的横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c=0（a#0）的解，如：二次函数y=x?-2x-3的图象与

x轴的交点为（-1,0）和（3,0）,交点的横坐标-1和3即为x2-2x-3=0的解.

根据以上方程与函数的关系，如果我们直到函数y=x3+2x2-x-2的图象与x轴交点的横坐标，即可知方程x3+2x2-x

-2=0的解.

佳佳为了解函数y=x3+2x2-x-2的图象，通过描点法画出函数的图象.

_532

X・・・-3

-2-2-2-2012・・・

122

21591535

y•・・-8一0m-2012・・・

T8-8TT

（1）直接写出m的值，并画出函数图象；

（2）根据表格和图象可知，方程的解有个，分别为

（3）借助函数的图象，直接写出不等式x3+2x2>x+2的解集.

V

八*

12一

1

1_

10

9_

8_

7_

6一

5一

4.

3一

2」

1一

~

^1

3■X1

-21二rx

2

3一

4二

5

6L

7L

8L

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1、C

【解析】

①通过条件可以得出△ABEgZ\ADF,从而得出NBAE=NDAF,BE=DF,由正方形的性质就可以得出EC=FC,就可

以得出AC垂直平分EF,

②设BC=a,CE=y,由勾股定理就可以得出EF与x、y的关系，表示出BE与EF,即可判断BE+DF与EF关系不确

定；

③当NDAF=15。时，可计算出NEAF=60。，即可判断△EAF为等边三角形，

④当NEAF=60。时，设EC=x,BE=y,由勾股定理就可以得出x与y的关系，表示出BE与EF,利用三角形的面积公

式分别表示出SACEF和SAABE,再通过比较大小就可以得出结论.

【详解】

①四边形ABCD是正方形，

/.AB=AD,ZB=ZD=90°.

在RtAABE和RtAADF中，

AE^AF

AB=AD

/.RtAABE^RtAADF（HL）,

/.BE=DF

VBC=CD,

.•.BC-BE=CD-DF,即CE=CF,

VAE=AF,

•••AC垂直平分EF.（故①正确）.

②设BC=a,CE=y,

/.BE+DF=2（a-y）

EF=0y,

...BE+DF与EF关系不确定，只有当y=（2-血）a时成立，（故②错误）.

③当NDAF=15。时，

VRtAABE^RtAADF,

.•.ZDAF=ZBAE=15°,

.•.ZEAF=90°-2xl5°=60o,

又；AE=AF

...△AEF为等边三角形.（故③正确）.

④当NEAF=60。时，设EC=x,BE=y,由勾股定理就可以得出：

（x+y）2+y2=（V2x）2

/.x2=2y（x+y）

2

*.'SACEF=^-X,SAABE=；y（x+y）,

SAABE=_SACEF.（故④正确）.

2

综上所述，正确的有①③④，

故选C.

【点睛】

本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，三

角形的面积公式的运用，解答本题时运用勾股定理的性质解题时关键.

2、B

【解析】

先用含有x的式子表示2015年的绿化面积，进而用含有x的式子表示2016年的绿化面积，根据等式关系列方程即可.

【详解】

由题意得，绿化面积平均每年的增长率为x,则2015年的绿化面积为300(1+x),2016年的绿化面积为300(1+x)

(1+x),经过两年的增长，绿化面积由300公顷变为363公顷.可列出方程：300(1+x)2=363.故选B.

【点睛】

本题主要考查一元二次方程的应用，找准其中的等式关系式解答此题的关键.

3、B

【解析】

••,观察可知：左边三角形的数字规律为：1,2.........n,

右边三角形的数字规律为：2,二二，

下边三角形的数字规律为：1+2,2+=，…，二+二二，

,最后一个三角形中y与〃之间的关系式是y=2n+n.

故选B.

【点睛】

考点：规律型：数字的变化类.

4、D

【解析】

连接OC交MN于点P,连接OM、ON,根据折叠的性质得到OP=，OM,得到NPOM=60。，根据勾股定理求出MN,

2

结合图形计算即可.

【详解】

解：连接OC交MN于点P,连接OM、ON,

AO"

图②

由题意知，OCJLMN,且OP=PC=L

在RtAMOP中，VOM=2,OP=1,

QpJ___________

AcosZPOM=——=AC=Jo"-OF2二6,

OM2

ZPOM=60°,MN=2MP=273»

:.ZAOB=2ZAOC=120°,

则图中阴影部分的面积=$半国-2S弓形MCN

I,2,/1207x221

=­X7tx22-2x(----------------x2j3xl)

23602

=26--rt,

3

故选D.

【点睛】

本题考查了轴对称的性质的运用、勾股定理的运用、三角函数值的运用、扇形的面积公式的运用、三角形的面积公式

的运用，解答时运用轴对称的性质求解是关键.

5、B

【解析】

把抛物线y=x?+2x+3整理成顶点式形式并求出顶点坐标，再求出与y轴的交点坐标，然后求出所得抛物线的顶点，再

利用顶点式形式写出解析式即可.

【详解】

2

解：Vy=X+2x+3=(x+1)2+2,

.••原抛物线的顶点坐标为(-1,2),

令x=0,则y=3,

.•.抛物线与y轴的交点坐标为(0,3),

•••抛物线绕与y轴的交点旋转180。，

二所得抛物线的顶点坐标为(1,4),

二所得抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3[或y=-(x-1)2+4].

故选：B.

【点睛】

本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数解析式的变化可以使求解更简便.

6、B

【解析】

根据同弧所对的圆周角是圆心角度数的一半即可解题.

【详解】

■:ZBOC=40°,ZAOB=180°,

/.ZBOC+ZAOB=220°,

AZD=110°（同弧所对的圆周角是圆心角度数的一半），

故选B.

【点睛】

本题考查了圆周角和圆心角的关系，属于简单题，熟悉概念是解题关键.

7、B

【解析】

利用对称性可知直线DG是正五边形ABCDE和正三角形ABG的对称轴，再利用正五边形、等边三角形的性质一一

判断即可；

【详解】

V五边形ABCDE是正五边形，AABG是等边三角形，

二直线DG是正五边形45C0E和正三角形ABG的对称轴，

.•.OG垂直平分线段A3,

VZBCD=ZBAE=ZEDC=MS°,：.ZBCA=ZBAC=36°,

ZDCA=72°,/.ZCD£+ZDCA=180°,：.DE//AC,

:.ZCDF=ZEDF=ZCFD=72°,

.•.△CDF是等腰三角形.

故丁、甲、丙正确.

故选B.

【点睛】

本题考查正多边形的性质、等边三角形的性质、轴对称图形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,

属于中考常考题型.

8、A

【解析】

利用平行四边形的性质即可解决问题.

【详解】

■:四边形ABCD是平行四边形，

：.AD=BC=3,OD=OB=-BD=2,OA=OC=4,

2

：.AOBC的周长=3+2+4=9,

故选：A.

【点睛】

题考查了平行四边形的性质和三角形周长的计算，平行四边形的性质有：平行四边形对边平行且相等；平行四边形对

角相等，邻角互补；平行四边形对角线互相平分.

9、A

【解析】

由频数分布表可知后两组的频数和为10,即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第15、16个

数据的平均数，可得答案.

【详解】

由题中表格可知，年龄为15岁与年龄为16岁的频数和为x+10-x=10,则总人数为3+15+10=3(),故该组数据

14+14

的众数为14岁，中位数为------=14(岁)，所以对于不同的x,关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数,

2

故选A.

【点睛】

本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数及方

差的定义和计算方法是解题的关键.

10、D

【解析】

解:A、符合AAS,能判定三角形全等；

B、符合SSS,能判定三角形全等；；

C、符合SAS,能判定三角形全等；

D、满足AAA,没有相对应的判定方法，不能由此判定三角形全等；

故选D.

11、D

【解析】

根据方差反映数据的波动情况即可解答.

【详解】

由于方差反映数据的波动情况，所以比较两人成绩稳定程度的数据是方差.

故选D.

【点睛】

本题主要考查了统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差.反映数据集中程度的统计量有平均数、中

位数、众数、方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用.

12、B

【解析】

首先确定a=Lb=-3,c=L然后求出△=b?-4ac的值，进而作出判断.

【详解】

Va=Lb=-3,c=L

（-3）2-4xlxl=5>0,

•••-■元二次方程x2-3x+l=0两个不相等的实数根；

故选B.

【点睛】

此题考查了根的判别式,一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（l）A>0访程有两个不相等的实数根；（2）4=0=

方程有两个相等的实数；（3）△<00方程没有实数根.

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13、<

【解析】

由抛物线开口向下，则a<0,抛物线与y轴交于y轴负半轴，则cVO,对称轴在y轴左侧，则b<0,因此可判断a+b+2c

与0的大小

【详解】

•••抛物线开口向下

.".a<0

•••抛物线与y轴交于y轴负半轴，

.\c<0

•.•对称轴在y轴左侧

:.--<0

2a

.".b<0

•*.a+b+2c<0

故答案为<.

【点睛】

本题考查了二次函数图象与系数的关系，正确利用图象得出正确信息是解题关键.

14、-3<x<l

【解析】

试题分析：根据抛物线的对称轴为x=-1,一个交点为（1,0）,可推出另一交点为（-3,0）,结合图象求出y>0时，

X的范围.

解：根据抛物线的图象可知：

抛物线的对称轴为X=-1,已知一个交点为（1,0）,

根据对称性，则另一交点为（-3,0）,

所以y>0时，X的取值范围是-3VxVl.

故答案为-3VxVI.

考点：二次函数的图象.

15、2m

【解析】

本题是已知圆的直径，弦长求油的最大深度其实就是弧AB的中点到弦AB的距离，可以转化为求弦心距的问题，利

用垂径定理来解决.

【详解】

解：过点O作OMJ_AB交AB与M,交弧AB于点E.连接OA.

在RtAOAM中：OA=5m,AM=2AB=4m.

根据勾股定理可得OM=3m,则油的最大深度ME为5-3=2m.

【点睛】

圆中的有关半径，弦长，弦心距之间的计算一般是通过垂径定理转化为解直角三角形的问题.

【解析】

分点A、B、C的对应点在第一象限和第三象限两种情况，根据位似变换和正方形的性质解答可得.

【详解】

如图，

①当点A、B、C的对应点在第一象限时，

3333

由位似比为1：2知点A，（0,二）、B，（一，0）、C（二，

2222

33

...该正方形的中心点的P的坐标为（一，一）；

44

②当点A、B、C的对应点在第三象限时，

3333

由位似比为1：2知点A”（0,•一）、B”（-一,0）、C"

2222

33

...此时新正方形的中心点Q的坐标为（―,■-）,

44

故答案为（；3，=3）或（43,43）.

4444

【点睛】

本题主要考查位似变换，解题的关键是熟练掌握位似变换的性质和正方形的性质.

17、a>-2

【解析】

首先解每个不等式，然后根据不等式无解，即两个不等式的解集没有公共解即可求得.

【详解】

x-a>3①

1—2,x>X—2（2）

解①得：x>a+3,

解②得：x<l.

根据题意得：a+3>l,

解得：a>-2,

故答案是：a"2.

【点睛】

本题考查了一元一次不等式组的解，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组的步骤..

18、2

【解析】

根据算术平方根的定义，求数a的算术平方根，也就是求一个正数x,使得x2=a,则x就是a的算术平方根，特别地,

规定0的算术平方根是0.

【详解】

V22=4,"=2.

【点睛】

本题考查求算术平方根，熟记定义是关键.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

IOg

19、(1)30；2；(2)x=l；(3)当*==时，y最大=土;

77

【解析】

(1)如图1中，作DH_LBC于H,则四边形ABHD是矩形.AD=BH=3,BC=6,CH=BC-BH=3,当等边三角形△EGF

的高=百，时，点G在AD上，此时x=2；

(2)根据勾股定理求出8。的长度，根据三角函数，求出NADB=30。，根据中点的定义得出

BG=、BD=Lx2小瓜根据等边三角形的性质得到8/，即可求出x的值；

22

(3)图2,图3三种情形解决问题.①当2<xv3时，如图2中，点E、F在线段BC上，AEFG与四边形ABCD

重叠部分为四边形EFNM；②当3<x<6时，如图3中，点E在线段BC上，点F在射线BC上，重叠部分是△ECP；

【详解】

(1)作DHLBC于H,则四边形ABHD是矩形.

图1

VAD=BH=3,BC=6,

/.CH=BC-BH=3,

在R3DHC中，CH=3,DH=AB=5

:.tanZDCB=—=—

CH3

当等边三角形AEGF的高等于6时，点G在AD上，此时x=2,NDCB=30。,

故答案为30,2,

(2)如图

VAD/7BC

:*ZA=1800-ZABC=180°-90°=90°

在RtAABD中，BD=\lAB2+BD2=,+(国=2瓜

AB731

sinZADB

BD~2y/3~2

二ZADB=30°

•：G是BD的中点

ABG=LBD=LX26=6,

22

VAD/7BC

:.ZADB=ZDBC=30°

VAGEF是等边三角形,

:.NGFE=60°

:.NBGF=90°

在RtABGF中，BF=--------——

cosNGBFcos30

2x=2即x=l；

（3）分两种情况：

当2VxV3,如图2

图2

点E、点F在线段BC上AGEF与四边形ABCD重叠部分为四边形EFNM

,:ZFNC=ZGFE-ZDCB=60°-30°=30°

，NFNC=NDCB

；.FN=FC=6-2x

GN=x-(6-2x)=3x-6

VZFNC=ZGNM=30°,ZG=60°

:.NGMN=90。

io/o\on

在RtAGNM中，MG=-GN=-x-3W=MGtan60°=-x-3xg=^x—36,

2212)2

.•"SES.GMN-2义2X2[2X3)[：gx—3可

一拽4唯公也=_述卜_雪+%a

8228I7J1

3号时,)"*哼

当把xV6时，如图3,

;

BECF

图3

点E在线段BC上，点F在线段BC的延长线上,AGEF与四边形ABCD重叠部分为△ECP

VZPCE=30°,ZPEC=60°

/.ZEPC=90°

在RtAEPC中EC=6-x,EP=-EC=3-­x,

22'

6

3-1xj-tan60=373-

PC=EP-tanZPEC=~TX,

16}

/.y=­x3-1%j36一—X“巫x+巫,

22J822

3>/3

对称轴为x——1=6,

2x遭

8

当xV6时，y随x的增大而减小

•••当x=3时,y戢大=晅

8

综上所述：当％=更时，%大=地.

77

【点睛】

属于四边形的综合题，考查动点问题，等边三角形的性质，三角函数，二次函数的最值等，综合性比较强，难度较大.

69(22、

20、(1)y=-；(2)(一一，0)或一丁,0

x3\3J

【解析】

(D把A点坐标代入直线解析式可求得〃的值，则可求得A点坐标，再把A点坐标代入双曲线解析式可求得4的值,

可求得双曲线解析式；

(2)设P(x,0),则可表示出PC的长，进一步表示出A4CP的面积，可得到关于x的方程，解方程可求得尸点的

坐标.

【详解】

解：(1)把A(2,n)代入直线解析式得：”=3,

：.A(2,3),

把A坐标代入尸"，得«=6,

x

则双曲线解析式为尸9.

X

(2)对于直线产;x+2,

令y=0,得到x=-4,即C(40).

设P(x,0),可得PC=\x+4\.

•••△4CP面积为5,

1

:.-|x+4卜3=5,即|x+4|=2,

解得：2或x=人22

3

则尸坐标为卜g，。

21、(1)£1；(2)30°

2

【解析】

(1)由于DE垂直平分AC,那么AE=EC,ZDEC=90°,而NABC=NDEC=90。，ZC=ZC,易证，

3

AABC^ADEC,ZA=ZCDE,于是sinNCDE=sinA=—,AB：AC=DE：DC,而DC=4,易求EC,

4

利用勾股定理可求DE,易知AC=6,利用相似三角形中的比例线段可求AB；

(2)连接OE,由于NDEC=90。，那么NEDC+NC=90。，又BE是切线，那么NBEO=90。，于是

ZEOB+ZEBC=90°,而BE是直角三角形斜边上的中线，那么BE=CE,于是NEBC=NC,从而有

ZEOB=ZEDC,XOE=OD,易证△DEO是等边三角形，那么NEDC=60。，从而可求NC.

【详解】

解：(1)：AC的垂直平分线交BC于D点，交AC于E点，

AZDEC=90°,AE=EC,

VZABC=90°,ZC=ZC,

/.ZA=ZCDE,△ABC^ADEC,

.•.sinNCDE=sinA、，AB：AC=DE：DC,

4

VDC=4,

.\ED=3,

•••DE=ylDC2-EC2=4，

.,.AC=6,

AAB：6=币：4,

(2)连接OE,

VZDEC=90°,

.,.ZEDC+ZC=90°,

：BE是。。的切线,

:.ZBEO=90°,

:.ZEOB+ZEBC=90°,

TE是AC的中点，ZABC=90°,

.,.BE=EC,

，NEBC=NC,

，NEOB=NEDC,

XVOE=OD,

/.△DOE是等边三角形,

:.ZEDC=60°,

:.ZC=30°.

【点睛】

考查了切线的性质、线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质.解题

的关键是连接OE,构造直角三角形.

[08

22、(1)45°；(2)见解析；(3)①NACD=15°；ZACD=105°；ZACD=60°；ZACD=120°；②36或——.

17

【解析】

(1)易得△ABC是等腰直角三角形，从而NA4C=NCB4=45。；

(2)分当8在玄的中垂线上，且尸在右时；8在R1的中垂线上，且尸在左；A在尸3的中垂线上，且尸在右时；

4在尸3的中垂线上，且尸在左时四中情况求解；

(3)①先说明四边形是正方形，再利用ADOHs/iDFE求出EF的长，然后利用割补法求面积；

②根据△EPC^AEBA可求PC=4,根据△PDC^APCA可求PD«PA=PC2=16,再根据SA.产SAABC得至U些=,

PD2

利用勾股定理求出!?,然后利用三角形面积公式求解.

【详解】

(1)解：(1)连接BC,

TAB是直径，

:.ZACB=90°.

.,.△ABC是等腰直角三角形，

,ZBAC=ZCBA=45°；

(2)解：AC=5C，

:.ZCDB=ZCDP=45°,CB=CA,

:.CD平■分ZBDP

又•：CD上BP,

：.BE=EP,

即CO是PB的中垂线，

：.CP=CB=CA,

(3)①(I)如图2,当B在R4的中垂线上，且尸在右时，NAC£>=15。；

(II)如图3,当B在丛的中垂线上，且P在左，NAC£>=105。；

(III)如图4,4在尸8的中垂线上，且尸在右时NACD=60。；

(IV)如图5,A在尸8的中垂线上，且P在左时NACD=120。

..,„OHOD6

②(IT)如图6,——=—=一，

EFDF9

.•.0/7=2.

…"ABDE-QJBDH十。REH

=-BHOD+-BHOF

22

=—x8x6+—x8x3=36.

22

(ID如图7,•.•△EPC〜AEBA,

•_P_C___E__K___3

,AB-EM-9'

.\PC=4.

^PBC~&PC4,

:.PDPA=PC2=16.

\-ABOC=-PDPA,

22

BD9

•♦--------二-9

PD2

)__

BP=-x3V10=2V10.

3

设BD=9k,PD=2k,

•••81左2+4左2=40,

.八色，

17

172

S—x9kx12k—,

"RPrt217

._723108

,,ABED11Xn1-7'

【点睛】

本题是圆的综合题，熟练掌握30。角所对的直角边等于斜边的一半，平行线的性质，垂直平分线的性质，相似三角形

的判定与性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，勾股定理，同底等高的三角形的面积相等是解答本题的关键.

23、斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等；全等三角形的对应角相等；两点确定一条直线

【解析】

利用“HL”判断RtAOPM^RtAOPN,从而得到NPOM=NPON.

【详解】

有画法得NOMP=NONP=90°,则可判定RtA0PMgRtAOPN,

所以NPOM=NPON,

即射线OP为NAOB的平分线.

故答案为斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等；全等三角形的对应角相等；两点确定一条直线.

【点睛】

本题考查了作图-基本作图，解题关键在于熟练掌握基本作图作一条线段等于已知线段.

559EH245

24、(1)x=l(2)-<r<一

28EF3

【解析】

3

(1)作AMJ_BC、连接AP,由等腰梯形性质知BM=4、AM=1,据此知tanB=tanC=一,从而可设PH=lk,则CH=4k、

4

PC=5k,再表示出PA的长，根据PA=PH建立关于k的方程，解之可得；

ARCE

(2)由PH=PE=lk、CH=4k、PC=5k及BC=9知BE=9-8k,由AABEs2\CEH得一=——，据此求得k的值，从而

BECH

得出圆P的半径，再根据两圆间的位置关系求解可得；

⑴在圆P上取点F关于EH的对称点G,连接EG,作PQ±EG>HN±BC,先证AEPQ^APHN得EQ=PN,由PH=lk、

3416129

HC=4k>PC=5k知sinC=—、cosC=-,据此得出NC=—k、HN=—k及PN=PC-NC=—k,继而表示出EF、EH

^5555^5

的长，从而出答案.

【详解】

(1)作AMJ_BC于点M,连接AP,如图1,

图1

•.•梯形ABCD中，AD//BC,且AB=DC=5、AD=1、BC=9,

.\BM=4、AM=1,

tanB=tanC=—,

4

VPH±DC,

，设PH=lk,贝！］CH=4k、PC=5k,

VBC=9,

PM=BC-BM-PC=5-5k,

:.AP2=AM2+PM2=9+(5-5k)2,

VPA=PH,

/.9+(5-5k)2=9k2,

17

解得：1<=1或1€=?，

8

17RS

当k=—时，CP=5k=—>9,舍去

88