2021-2022学年陕西省渭南市韩城市高一（下）期末数学试卷（附答案详解）

2021-2022学年陕西省渭南市韩城市象山中学培优部高一

(下)期末数学试卷

1.设集合4=卜|-1<%<4},8={刈％£3},贝1」3/?8)114=()

A.{x|3<%<4]B.{%|3<%<4]

C.{%|—1<x<3}D.{x\x>—1}

2.已知定义在R上的奇函数/'(X),对任意实数x,恒有/(x+3)=-f(x),且当“e(0,|]

时，/(X)=X2-6X+8,则/(0)+f(l)+/(2)+…+f(2020)=()

A.6B.3C.0D.-3

3.在AABC中，设|前/一।四『=2询・而，则动点加的轨迹必通过)

A.垂心B.内心C.外心D.重心

4.数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出猜想：4=22n+

l(nGN*)是质数.直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出尸5=641x

6700417不是质数，现设a.=log2Gl-1)-l(neN*),若任意nGN*,使不等式

3+二上+…+一二<42—44+4恒成立，则实数％的取值范围是()

ala2。2a3anan+l

A.(—oo,1](J[3,4-oo)B.(—8,+8)

C.[3,4-oo)D.(—8,1)

2,人满足高+*=根时,

5.已知y=log2(x-2%+17)的值域为[m,+8),当正数a

则7Q+4b的最小值为()

A.-4B.5C.4D.9

6.已知△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若。=与1=7,UBC的

面积为萼，则AaBC的周长为()

4

A.8B.12C.15D.7+V94

7.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：捻+5=

l(a>b>0)的左、右焦点分别为Fi，F2,P为椭圆

上一点(在X轴上方)，连结P&并延长交椭圆于另一

点Q，且PF】=3&Q,若PF?垂直于x轴，则椭圆C

的离心率为()

A.iCD

3-TT

8.已知。为坐标原点,直线/：y=kx+(2-2k)上存在一点P,使得|0P|=&,则

k的取值范围为()

A.[V3-2,V3+2]B.(-OO,2-V3]U[2+V3,+OO)

C.[2—V3,2+V3]D.(—oo,V3—2]U[V3+2,+oo)

9.已知数列｛tin｝满足的=1,a2n=«2n-l+a2n+i=a2n+3n(MeN*),则数

列｛斯｝的前2017项的和为()

A.31003B.32°i6_2017C.31008-2017D.31009-2018

10.已知双曲线捻一3=l(a>0,b>0)的左、右焦点分别为Fi，尸2，M为双曲线右支

上的一点，若用在以尸/2|为直径的圆上，且乙”&尸166，知，则该双曲线离心率

的取值范围为()

A.(1,V2]B.[V2,+oo)C.(1,V3+1)D.[V2.V3+1]

11.已知直线，i：ax+(a+3)y—1=0与，2：(a+3)x—y+2=0垂直，则。=.

12.已知点A,B分别是椭圆1+t=l长轴的左、右端点，点P在椭圆上，直线4尸

3620

的斜率为当，设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|,椭圆

上的点到点M的距离d的最小值为.

13.己知直线/与圆O：x2+y2=4交于4(%1，%),8(小/2)两点，且|4B|=2,则出+

丫1+4|+|%2++4|的最大值为.

14.若数列｛a九｝的前n项和=n24-2n+1,则册=.

15,已知不等式/-Sax+b>0的解集为｛%|%>4或％<1｝.

(1)求实数小的值；

(2)若0<x<l,/(乃=£+匕，求/(x)的最小值.

16.已知圆C的方程为：x2+y2—2x—4y+m=0.

(团)求〃?的取值范围；

(团)设直线x-y-l=0与圆C交于A,B两点，是否存在实数处使得以AB为直

径的圆过原点，若存在，求出实数〃?的值：若不存在，请说明理由.

17.已知数列｛即｝是首项为1,公差为2的等差数列，数列｛%｝满足瓦=2,必+也+生+

的a2a3

…+铝=皿+6.

0ndn+i

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)求数列｛b｝的前〃项和治.

18.已知函数f(x)=2sinxcosx—2-73cos2x+V3,xGR.

(回)求/(x)的最小正周期；

(团)若关于x的不等式7nf(x)+3m>/(x)在R上恒成立，求实数m的取值范围.

(注：可能用到的结论：9(乃=一高在[-1,1]上是增函数)

19.已知椭圆C：^+，=l(a>b>0)的焦距为2圆圆。：尢2+丫2=真经过点

M(0,V2).

(1)求椭圆C与圆。的方程；

第2页，共13页

(2)若直线/：y=kx+?n与椭圆C交于点A,B,其中m?=2(fc2+1),问：瓦？•

是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由.

20.已知椭圆0,+3=l(a>b>0)的离心率为争其短轴长与双曲线?-?=1的

实半轴长相等.

(团)求椭圆C的方程；

(团)若直线AB与曲线。：/+y2=b2相切，与椭圆C交于A,8两点，求|4B|的

取值范围.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：集合4={x|-1<%<4],B=(x\x<3},

CRB={x|x>3})

则(CRB)fM={x[3<x<4}.

故选：B.

先求出CRB,由此能求出(CRB)DA

本题考查集合的运算，考查交集、补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能

力，是基础题.

2.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查函数的奇偶性与周期性的应用，涉及函数值的计算，属于中档题.

根据题意，分析可得“X+6)=-/(x+3)=/(x),即函数是周期为6的周期函数，

结合函数的解析式与奇偶性求出〃0)、/⑴、/(2)、/(3)、/(4)、/⑸的值，即可得/'((J)+

/(I)+/(2)+f(3)+/(4)+f(5)的值，结合周期性分析可得答案.

【解答】

解:根据题意，对任意实数x,恒有f(x+3)=—/(x),则有f(x+6)=-/(%+3)=/(x),

即函数f(x)是周期为6的周期函数，

又由f(x)为定义在R上的奇函数，则/(0)=0,则/'(3)=-/(0)=0,

又由当xe(0,|]时，/(%)=X2-6X+8,贝疗(1)=3,/(2)=/(-I+3)=—/(一1)=

f⑴=3,

-4)=/(1+3)=-/(1)=-3,

〃5)=/(2+3)=—/(2)=-3,

则有f(0)+/(I)+/(2)+/(3)+/(4)+/(5)=0,

f(0)+/(I)+f(2)+…+/(2020)=[/(0)+/(I)+/(2)+•••+/⑸]x336+/(0)+

/(1)+/(2)+/(3)+/(4)=/(2)=3；

故选：B.

3.【答案】C

【解析】解：如图所示：/

设线段BC的中点为。，则荏+前=2而.//\

■.■AC2-AB2=2AM-BC,(AC+AB)-(AC-AB)=7™[/\

2祠灰，(\c

第4页，共13页

：.JC-(AB+AC-2AM)=0,

•■BC-MD=0,MD1BC且平分BC.

因此动点M的轨迹必通过△ABC的外心.

故选：C.

利用向量的运算法则、数量积与垂直的关系、三角形的外心定义即可得出.

熟练掌握向量的运算法则、数量积与垂直的关系、三角形的外心定义是解题的关键.

4.【答案】A

【解析】解：由&=22"+l(neN*),

则％=10g2(&-1)-1=2n-1,

则上二=一及一=上—上，

n+1

anan+i(2"-l)(2-l)2n2"+1

则丘+言+…+念=(»》+6-*)+_+《一肃)=1_就<1，

又不等式二一+—+…+上一<A2-4A+4恒成立，

ala2Q2a3anan+l

则;I?-4；1+421,

解得441或423,

即实数4的取值范围(一8,1]U[3,+8),

故选：A.

先由数列求和求出上+工上+…+上一的和，再解不等式即可得解.

出。2a2a3anan+i

本题考查了数列的求和，重点考查了不等式恒成立问题，属中档题.

5.【答案】4

【解析】【解答】

22

解：丫y=log2(x-2x+17)=log2Kx-l)+16]的值域为[m,+8),

•••m=4,

•_^_^_,

6a+2b+a+2b=4

•••7a+4b=-[(6a+2b)+(a+2b)](—+—)=-[5++>-x(5+

41AJk/JV6a+2ba+2/4La+2b6a+2bJ4'

4)=-,

74

当且仅当处空=%上2时取等号，

a+2b6a+2b

7a+46的最小值为*

4

故选4

【解析】

利用y=log2(%2—2x+17)的值域为[m,+8),求出〃?，再变形，利用1的代换，即可求

出7a+4b的最小值.

本题考查函数的值域，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中

档题.

6.【答案】C

【解析】解：由题意可得，SA4BC=；MsinC=fab=¥，

244

所以ab=15,

由余弦定理可得，cos至=一三=必匕竺=妇心，

322ab30

整理可得，a+b=8,

故周长a+b+c=15.

故选：C.

由已知结合三角形的面积公式可求然后结合余弦定理可求a+6,进而可求周长.

本题主要考查了余弦定理及三角形的面积公式的简单应用，属于基础试题.

7.【答案】C

【解析】解：设椭圆C：捻+\=l(a>b>0)的左、右焦点分别为a(-c,0),F2(C,0),

设P(?n,7i),n>0,由PF2垂直于x轴可得m=c,

由彦=fo2(i一£)=%,可得几=g

设Q(s,t),由PF】=3F]Q,可得—c—c=3(s+c),——=3t,

解得s=-fC,t=一[

33a

将Q(-1c,一，弋入椭圆方程可得gt+卷=1,

HP25c2+a2—c2=9a2,即有a?=3c?,

则e=工=g

a3

故选：C.

求得椭圆的左右焦点，设P(m,n),由题意可得m=c,代入椭圆方程求得力再由向量

共线的坐标表示可得。的坐标，代入椭圆方程，化简整理，由椭圆的离心率公式可得所

求值.

本题考查椭圆的方程和性质，注意运用向量共线定理，考查化简运算能力，属于基础题.

8.【答案】C

【解析】解：点。(0,0)到直线/：、=/^+(2-2卜)的距离为6/=果喏料=黑

由题意得坐标原点到直线，距离d<\0P\,\0P\=V2,

所以餐驾W夜,解得2-6WkW2+6，

vfc2+l

故k的取值范围为[2-V3,2+V3],

故选：C.

第6页，共13页

根据已知条件，结合点到直线的距离公式，即可求解.

本题主要考查点到直线的距离公式，考查计算能力，属于基础题.

9.【答案】D

aan

【解析】解：由=1,a2n=a2n-l+2n+l=2n+3(nGN*),得

nnn

«2n+i=a2n+3=a2n_!+(-l)+3,

«2n-l=a2n-3+(-l)n-1+3nT,

n-2n-2

a2n-3=«2n-5+(-l)+3.

a=a2

53+(—1)2+3t

a3=al+(—l)1+31,

累加得：a2n-i+a2n-3+…+&5+a3=a2n-3+a2n-5+…+&3+%

2n-2n-1

+(-1)1+(-1)+­--+(-l)+(-l)+31+32+...+3n-2+3n-l；

-lx[l-(-I)71-1]3x(1-3nT)

"a2n-l=al21]_3

113313

=1-2+2X(_1)n_1+2X3n_1-2=2X(_1)n_1+2X3n_1-L

3,1,

a2n=a?"-】+(-l)n=^x3n-1-2X~L

a

则$2017=(«1+«3+5+―+d2017)+(«2++'"+«2016)

=i[(-l)0+31-1+(-1)1+32—1+…+(—1)1。。8+310°9_1]

+1[31-(-1)°-1+32-(-1)1-1+-+31008-(-1)1007-1]

=3+3?+33+­••+31008+-x31009-2016--

22

=310°9_2018.

故选：D.

nn

把a2n=a2n-i+(一1尸代入a2n+i=a2n+3,得到a2n+i=a2n+3=a2n-1+

(-l)n+3n,依次取"为ri-1,n-2,1,累加后求得a2n-「进一步得到a2n，则

分组可求数列｛即｝的前2017项的和.

本题考查了数列递推式，考查了累加法求数列的通项公式，考查计算能力，是中档题.

10.【答案】D

【解析】解：由题意可得，F.MLF2M,

设4"尸2&=仇则|M&|=2csin8,|“尸2|2ccos0,

根据双曲线的定义|MFil-IMF2I=2a,

所以2csin。—2ccos0=2a,

以;i,。呜争，

sin0-cos0V2sin(0")

所以或币，

所以(e[V2,V3+1],

故选：D.

由题意可得，设4M尸2乎=。，则IMF/=2csin0,\MF2\=2ccos。，则|M&|-附引=2a，

进而可得£,即可得出答案.

a

本题考查双曲线的离心率，解题中需要理清思路，属于中档题.

11.【答案】一3或1

【解析】解：直线匕：ax+(a+3)y-1=0与(a+3)x-y+2=0垂直，

a(a+3)+(a+3)x(-1)=0,

解得a——3或a-1.

故答案为：—3或1.

利用直线与直线垂直性质，得到关于。的方程，再求出a的值.

本题考查直线与直线垂直的性质，考查运算求解能力，是基础题.

12.【答案】V15

【解析】解：由椭圆方程1+1=1,得4(一6,0),5(6,0),

3620

又直线AP的斜率为手，.•・直线AP的方程是x-V3y+6=0.

设点M的坐标是(m,0),

则M到直线AP的距离是如券，

于是_=|7n-6|,

又一6WmW6,解得m=2,.•.点M(2,0).

设椭圆上的点(x,y)到点M的距离为d,

有d2=(%—2)2+y2=x2—4x+4+20—^x2=^(x—^)2+15,

由于-6Wx<6,.,.当％=机寸，cJ2取最小值15,则d取最小值VTK

故答案为：V15.

由椭圆方程求得A,B的坐标，得到直线AP的方程，设出M的坐标，再由已知列式求

得M的坐标，设椭圆上的点(x,y)到点M的距离为d,利用两点间的距离公式列式，再

由配方法求最值.

本题考查椭圆的几何性质，考查点到直线距离公式的应用，训练了利用配方法求最值，

是中档题.

13.【答案】8+2巡

第8页，共13页

【解析】解：％+鲁+4!+艺+浮4］的几何意义为点A,8到直线X+y+4=0的距离之和，

根据梯形中位线知其最大值是AB的中点M到直线x+y+4=0的距离的2倍，

由题可知，AOAB为等边三角形，则|0M|=J22-(|)2=V3,

4B中点M的轨迹是以原点0为圆心，厉为半径的圆，

故点M到直线x+y+4=0的最大距离为后为+V3=2V2+V3,

民簧包+反铲的最大值为2(2企+V3),

•••|X1+yi+4|+\x2+y2+41的最大值为2(2a+V3)xV2=84-2V6.

故答案为：8+2V6.

反铲!+因嘴出的几何意义为点A,8到直线x+y+4=0的距离之和，根据梯形中

V2V2

位线知其最大值是A8的中点M到直线x+y+4=0的距离的2倍,求出点M的轨迹即

可求得该最大值.

本题考查直线与圆的位置关系，求距离和的最值问题，属中档题.

14.【答案］

L2n+l,n>2

【解析】解：当九=1时，代入可得的=Si=4,

当n22时，an=Sn-S71T

=n2+2n+1—［(n—l)24-2(n—1)4-1］

=2n+1,经验证当n=l时，上式不符合，

故0n=伊::“

I2n+In>2

故答案为：

由公式及述［1化简可得结果.

岛-Sn_xn>2

本题考查由数列的前八项和求通项公式，注意分类的思想，属基础题.

15.【答案】解：(1)由题意可得解得

二实数a,6的值分别为1,4；

(2)由(1)知f(x)=[+±，

14

0<%<1,0V1一久V1,；•—>0,---->0,

X1-X

1414

•••/(X)=-+7—：=(-++(1一切

人JL«zVJL人

1-x

5+—+—>5+2*=9

X1-xX1-x

当且仅当?=言即“5时，等号成立•

・•・/(X)的最小值为9.

【解析】本题考查基本不等式，涉及一元二次不等式的解集，属基础题.

(1)由韦达定理可得｛:1;二『，解方程组可得；

(2)由(1)知f(x)=；+士G+士)[%+(1-乃]=5+号+言，由基本不等式可得.

16.【答案】解：(图)圆C的方程为/+y2-2x-4y+m=0,

由。2+—4F=4+16—4m=20—4m>0,得m<5,

・,・根的取值范围是(一8,5)；

(团)假设存在实数加，使得以AB为直径的圆过原点，则041。氏

设/01/1),8(%2斤2)，则％1%2+%丫2=0，

联立『2J21今°AI八，得2--8%+5+m=0,

—2%—4y4-m=0

・•・△=64-8(m+5)=24—8m>0,即m<3,又由(1)知m<5,

故?n<3,xr+x2=4,xrx2=等^

•••y，2=01-1)(X2-1)=X/2-Qi+%2)+1=等-4+1=等，

•••Xxx2+yxy2=等+等=m+2=0,

/.m=-2<3,

故存在实数机使得以AB为直径的圆过原点，m=-2.

【解析】(回)由。2+E2-4F=4+16-4m=20-4m>0,即可求得曲线C表示圆的

加的范围;

(团)假设存在实数〃?使得以A8为直径的圆过原点，贝IJ041OB,设4(四,yi),B(x2,y2),

则与小+为'2=0,联立直线方程与圆的方程，得到关于x的一元二次方程，利用根与

系数的关系结合X1%2+V1V2=0,即可求得实数m的值.

本题考查圆的方程，考查直线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题.

17.【答案】解：(1)因2+丝+亘+…+”=电里■+6,

aia2a3anan+l

则当九22时，因为区+也+生+…+如=且+6,

aia2a3an-ian

两式相减得：空=%±1一"，即曳11=2x"，而当n=l时，5="+6,得”=一4,

anan+ianan+lanaia2a2

篙42吟,因此，当nN2时，数列瓷｝是公比为2的等比数列，则,=｛纵；

又｛即｝是首项为1，公差为2的等差数列，B|Jan=2n-l,

，n

于是得当=[i(^n21)x2,n>2,

所以数列｛%｝的通项公式为%=1)x2n>n>2.

(2)当n=1时，Si=2,

当n22时，Sn=2—3x22—5x23--------(2n-1)X2n,

34n+1

2Sn=4-3x2-5x2--------(2n-1)x2,

第10页，共13页

两式相减得一Sn=-2-3x22-2x(23+…+2n)+(2n-1)x2n+1

2x23(1-2n-2)

-14-------------------------+(2n-1)x2n+1

=2+(2n-3)x2n+1,

n+1

则有Sn=-2-(2n-3)x2,而51=2满足上式，

n+1

所以数列｛%｝的前n项和Sn=-2-(2n-3)x2(neN*>

【解析】(1)根据给定条件求出数列｛即｝的通项公式，在几>2时，写出数列｛邑｝前n-1项

an

和的等式，两个等式相减可得｛组｝的性质，再分析计算作答.

an

(2)在nN2时，利用错位相减法求出又，再验证5i=2是否满足即可作答.

本题主要考查由递推关系求通项公式的方法，错位相减求和的方法等知识，属于中等题.

18.【答案】解：(图)/(%)=2sinxcosx—2V5cos2%+b=sin2x—Bcos2%=

2sin(2x—》

所以函数的周期为T=y=7T,即f(%)的最小正周期为加

(B)my'(x)+3m>/(x),即2msin(2%—^)4-3m>2sin(2x—g),

令亡=sin(2x—g),则1,1],

・•・2t+3e[1,5],

根据题意得27nt+3m>2t在恒成立，

即有m2急=1一急在[_U]恒成立，

1—最大值为1-j

Zt+355

m>l，即实数机的取值范围为[|,+8).

【解析】(圈)利用正余弦的倍角公式以及辅助角公式化简函数的解析式，再根据三角函

数的最小正周期公式即可求解；(目)令1=sin(2x-；)，则te[-1,1],二2t+36[1,5],

根据题意得2mt+3m>2t在[-1,1]恒成立，即有m>~~=1—在[―L1]恒成立，

求出1一悬的最大值，由此即可求解.

本题考查了三角函数的图像性质，涉及到恒成立的问题，考查了学生的运算能力，属于

中档题.

19.【答案】解：(1)设椭圆C的半焦距为c,

根据题意得c=V3

a2-b2=c2

2

又•・,％2+y2=，经过点M(0,V2),

2

02+(e)2=?

解得a?=6,b2=3,

•••椭圆C的方程为1+：=1，圆。的方程为/+y2=2；

63

(2)设A。1,yj,B(x2,y2),

联立/与椭圆方程，

y=kx+m

0y2，化简整理得(l+2k2)/+4kmx+2nI2-6=O,

{7+T=1

则4=(4fcm)2-4(1+2fc2)(2m2-6)>0,

4/cm

+x2=-2H+1'

27n2-6

Xi%22k2+i

,**OA=(%i,yi),OB=(%2»yz)»

xx

・•・OA-OB=xrx2+%及=i2+(kxi+m)(fcx2+

22

=(1+/C)%I%2++x2)4-m

2m2—6—4km

=(l+/c2).—7^z———+km•———-+m2

2k2+12k2+1

(1+fc2)(2m2-6)-4k2m2+m2(2k2+1)

2k2+1

_3m26126_3(2k2+2)-612-6

=0,

2k2+l2k2+1

综上所述，亚•人为定值，且该定值为0.

【解析】(1)根据已知建立a，b,C的等量关系式，解得与即可得方程；

(2)设出A,B点坐标，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理求祝・而即可确定其为定

值0.

本题考查了圆与椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，属于中档题.

£_