2021届高考理科数学模拟冲刺卷（新课标全国III卷）【含答案】

2021届高考理科数学培优卷（新课标全国III卷）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.已知N={x[0<x<2},8={x|x（l-x）»0},则108=（）

A.0B.(-8,1]C.[1,2)D.(O,l]

1+z

2.已知复数z=l-i,z为z的共规复数，则z()

3+i1+il-3il+3i

A.2B.2C.2D.2

3.如图是甲、乙两位同学在某5次数学测试成绩的茎叶图，则平均成绩较低的那位同学的成

绩的方差为（）

工

98879

109018

A.1B.2C.3D.4

4.某产品的总成本六万元）与产量x（台）之间的函数关系式是

y=3000+20x-0.1x2,xe（0,240）.若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时（销售收

入不小于总成本）的最低产量是（）

A.100台B.120台C.150台D.180台

5.若直线（"卜+"』与圆/+V-2x=0相切，则a的值为（）

A.1,-1B.2,-2C.1D.-1

6.已知向量1=(1,3),5=(4,加),且他-5)，万，则向量G与B夹角为()

A.-B.-C.-D.-

3642

7.在函数①y=cos12x|,@y=\cosx|,®>>=cos2x+—|,④、=tan|2x-工]中，最小正

周期为兀的所有函数为（）

A.①②③B.①③④C.②④D.①③

8.如图，网格纸上小正方形的边长均为1,粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图,则该多

面体的体积为（）

!正视图：!侧视图

M1111BI

一门

（俯视图，'

BD.4

3t

9.已知cos2a=为锐角，则sine+cosa=()

叱或半c」或3

B533唔

10,直线l过点（0,2）,被圆。:/+/一4%一6"9=0截得的弦长为2百,则直线I的方程是（）

414

A..y=—x+2B.y=--x+2C.y=2D.y=§x+2或y=2

11.已知耳乃是椭圆与双曲线的公共焦点，尸是它们的一个公共点，且忸用>炉闾，线段

2+包

咫的垂直平分线过心.若椭圆的离心率为乌，双曲线的离心率为『，则q2的最小值为

（）

A.瓜B.3C.6D小

相（；）+1

12.已知函数—为定义在区间（-1,1）上的奇函数，则加的值为（）

A.-lB.2C.3D.4

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

x+-3>0,

13.若xj满足约束条件卜x+”640,则z=上士2的取值范围为.

X

x-y20,

14.(3x的展开式中的常数项为.

15.在四棱锥P-488中，平面尸/D，底面488,菱形488的两条对角线交于点。.已

知尸4=尸。=川AD=2,则三棱锥P-/O。的外接球的体积为.

16.设有下列四个

四：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.

A：过空间中任意三点有且仅有一个平面.

心：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.

p3：若直线/u平面a,直线〃?_L平面a，则〃?

则下述命题中所有真命题的序号是.

①月八24

②口人P2

③F2Vp3

④V—'PA

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，

每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题，考生根据要求作答.

(-)必考题：共60分.

17.(12分)已知等差数列｛氏｝的前〃项和S,,=；〃(l+〃)+/,等比数列也｝的通项公式

为"=3",且其前n项和为&〃eN*.

(1)求数列｛《,｝的通项公式；

(2)若c“=(-1严4/+3,且对于任意的正整数”,q+c2+••■+c„<Jw-1-m+2恒成立，求

TT12

„,n+\

实数m的取值范围.

18.(12分)为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：

每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之

和为该顾客所获的奖励额，4个球除所标面值外完全相同.

(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个所标的面值均为10元.求

①顾客所获的奖励额为60元的概率；

②顾客所获的奖励额的分布列与均值.

(2)商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元

的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能

符合商场的预算且每位顾客所获得奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合

适的设计，并说明理由.

19.(12分)如图，在四棱锥尸-48CD中，四边形48co是边长为8的菱形，

NB4D=60。,APBD是等边三角形,cosZPOC=-.

3

(I)求证：BD1PC；

(H)求四棱锥尸的体积.

20.(12分)已知椭圆E:二+乌=15>6>0)的上、下顶点分别为4(0,1)和8(0,-1),且其

Q-b2

离心率为

2

(I)求椭圆E的标准方程.

(H)点P是直线歹=2上的一个动点，直线尸4P8分别交椭圆E于两点(4SC。四

点互不重合)，请判断直线CQ是否恒过定点,若过定点，求出定点的坐标；否则,请说明理由.

21.(12分)已知函数/(x)=ev,g(x)=x2-5%+1.

(1)求函数尸(x)=&2的单调区间.

⑵设函数G(x)=g〈x)+叭x)，讨论该函数在区间［2,4］上的零点个数.

(二)选考题：共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第

一题计分.

22」选修4-4：坐标系与参数方程］(10分)

在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为F=3cos@(夕为参数).以坐标原点为极

［y=3sme

点，X轴正半轴为极轴,建立极坐标系，直线/经过点Z(2,且与极轴所成的角为a.

(I)求曲线C的普通方程及直线/的参数方程；

(H)设直线/与曲线C交于两点，若|/回+|/同=2遍,求直线/的普通方程.

23.［选修4-5：不等式选讲］(10分)

已知函数f(x)=|2x-3|+|x-4|,g(x)=|x+2020a|-|x+2019al(aeR).

⑴解不等式/(xR5;

(H)若存在x“weR,使得/(xj=g(x2)成立,求实数a的取值范围.

答案以及解析

一、选择题

1.答案：D

解析：*/A={x|0<x<2},B={x\Mx-1)W。}={xO令-I},.tAcB={x|0<xQ}=(0,1],故选D

2.答案：C

1+z2-i(2-i)(l-i)l-3i

----=----==

解析：由题意，得彳1+i(l+i)(Ji)---2，故选c.

3.答案：B

解析：由题意，得点=；x(88+89+90+91+92)=90,，=1x(87+89+90+91+98)=91,

--1

X甲Kx，故所求公差为=-x[(88-90)2+(89-90)2+(90-90)2+(91-90)2+(92-90)2]=2.

4.答案：C

解析：设产量为x,则总售价为25x.使生产者不亏本，则必须满足总售价大于或等于总成本，

即25x>3000+20x-0.1x2,B|JO.lx2+5x-300020,化为/+50x-30000>0，解得x*150或

x4-200(舍去).故最低产量是150台.

5.答案：D

解析：圆的方程化为(x-17+y2=i,所以圆心为(1,0)泮径为1,根据条件，W：")XT=1,

J(l+a)2+1

解得a=-l.

6.答案：C

解析：•.•向量d=(1,3),6=(4,"?),且他一(5-杨2=32-5石=o,

即石。=a-b,S[110=4+3m,m=2,b=(4,2).

设向量a与b夹角为e,。€[0,兀],

则10=|GB|•cose=亚•716+4•cos，=而•2石•cos，

„V27t

cos，=——3=—,

24

故选：C.

7.答案：A

解析：=cos|2x|=cos2x,最小正周期为兀；②由图像知y=|cosx|的最小正周期为

兀；③片cos（2x+^|的最小正周期7=，=兀；@y=tan（2x-；）的最小正周期丁吟故

选A.

8.答案：B

解析：由题图中的三视图可得该多面体是三棱锥S-Z2C,其直观图如图，故其体积

112

%=-x—xlx2x2=—.故选B.

323

9.答案：D

因为cos2a=@,a为锐角，所以

解析：(sina+cosa)2=1+2sinacosa=1+sin2a,

3

sin2a=—,故sina+cosa.

33

10.答案：D

解析：圆。:/+/-以-6"9=0的圆心坐标为（2,3）,半径为2.：直线/过点（0,2）,被圆

C:x2+/-4x-6y+9=0截得的弦长为26,点（0,2）在y轴上，圆C与丁轴相切,.•.圆心

到直线I的距离为1,且直线/的斜率存在.设所求直线/的方程为＞=丘+2,即

kx-y+2=0,——L!=1，解得X=0或3所求直线方程为y=3+2或^=2.故选D.

Jk2+133

11.答案：C

解析：设椭圆长轴长为2%,双曲线实轴长为加2,不妨设点尸在第一象限，如图.由题意

可知阳用=|EP|=2c,又因为|耳上+内卜=2%,寓P|一|玛尸|=四,所以

22

2e2_2«1c_4a,a2+c4（2c+a2）a,+c

+

设尸|+2。=2%,闺P|_2c=24所以g+2-c2a2~2ca2~2ca2

8c%+4a；+c2r2%।c2^.+_^>2=2也=上

Ze/C24,又因为c2a2yc2a2,当且仅当c2%

2e

----.r—2

即c=2/时等号成立，所以q2的最小值为6.故选c

2.。，所以

解析：因为/（X）为奇函数，定义域为（-1,1）,所以〃0）=0,所以

加+1=0,所以加=一1.经检验，当机=一1时，/（一%）=一/'（不），即当初=-1时，/（X）为奇

函数成立.

二、填空题

13.答案：-,3

l_3J

解析：根据约束条件画出可行域，如图阴影部分所示.z=g表示阴影部分内的点

X

M（x,y）与点力（0,-2）连线的斜率,结合图象可知z=kDMe［勺如的/,由可得

8（3,0）,所以矶=者=|・

由x+2y-3=0,可得以上=3,故ze2,3

[x-y=O0-1|_3

解析：的展开式的通项&产（-1广25，（3"7,则（3才-1）（：-1）的展开式中的常

数项为3x（-1）4x2ixC；-（-Ipx2。xC；=31.

243岳

15.答案：64

解析：取4）的中点E,连接OE,PE.在菱形/BCD中，ACVBD,即40，。。，所以

△N。。的外接圆的圆心即为点E因为=P。E为的中点，所以尸£，.又因为平

面「401底面N88,平面HOD底面Z8C£）=/O,PEu平面P4D,所以P£_L平面

/8CZ）,贝II三棱锥P-/。。的外接球的球心G在PE上.设EG=x,外接球的半径为R由

PA=PD=3AD=2,得PE=-s/32—I2=2-72,所以R=2>/2—x=\lx2+12,解得x=—.所

8

以R=2&-3^=+区,所以三棱锥P-40。的外接球的体积为

88

3318J64

16.答案：①③④

解析：解法一对于“，由题意设直线4c4=4,4c/3=8,4c4=C,则由《C/2=4,

知秋,2共面，设此平面为a,则由Be4,4ua,知Bea,由。€/，《ua,知

Cea,所以"ua,所以4皿？4共面于々,所以Pi是真命题.对于小，当加暗C三点

不共线时，过“帅。三点有且仅有一个平面；当加贴。三点共线时，过加喈0的平面

有无数个，所以也是假命题，一必是真命题.对于P0若空间两条直线不相交，则这两条

直线可能平行，也可能异面，所以必是假命题，是真命题.对于％,若直线/<=平面

a,直线加‘平面£,则机,/,所以°，是真命题，r%是假命题.故P1Ap4为真命题,

四八。2为假命题，W2VpJ为真命题，P3V「四为真命题综上可知，真命题的序号是

①③④.

解法二对于“，由题意设直线4c'=",4c/3=8,4c4=C,则加防C三点不共

线，所以此三点确定一个平面a,则/ea,Bwa,Cwa,所以直线

BCua，C4ua,即4uc,人ua,4ua,所以“是真命题,以下同解法一.

三、解答题

17.答案：⑴在S“=；〃(1+〃)+/中，

令〃=1得，%=S]=1+f,

令〃=2得，S2=«1+a2=3+t9即2=2,

令〃=3得，S3=%+4+%=6+f,即。3=3,

因为数列｛%｝是等差数列，所以2a2=《+%，解得£=0,

所以q=1,〃”=〃(〃EN*).

⑵由题意知，I1

Tn+\=b\+b2+・•♦+4+&]=37；+3,

所以V㈠严震二㈠严11

=(7严一十——

Jn。+1

当n为偶数时,

当〃为奇数时,

(11W11W11)(1

BT2)也Tj[T3r4J[TnTn+J

1112/25

(晨।33"+2—3_333_3%，

所以<Jtn-l—ni+，即("?-1)—yjni—\—2<0,BP(所〃?-1+1)(所m—1—2)<0,

所以04yJm-1<2,即1V〃?<5,

所以实数m的取值范围为[1,5).

18.答案：(1)设顾客所获的奖励额为X

P(X=60)=浮；

①依题意，得,即

2

顾客所获的奖励额为60元的概率为5.

②依题意，得随机变量X的所有可能取值为20,60.

产(X=60)=；,P(X=20)=||=；

即随机变量X的分布列为

所以顾客所获的奖励额的均值为

£（X）=20x；+60x；=40

（2）根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元.

所以先寻找均值为60元的可能方案.

对于由标有面值为10元和50元组成的情况，

如果选择0°/°/°,5°）的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以均值不可能为60元;

如果选择（5°，5°，50，10）的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以均值也不可能为60

元，因此可能的方案是记为方案1.

对于由标有面值为20元和40元组成的情况，同理可排除(2°，2°，20,40)和(40,40,40,20)的

方案，所以可能的方案是(2°，2°，40,40),记为方案2.

对于方案1，即方案设顾客所获的奖励额为则随机变量X的分布列为

2060100

j_2J_

P

636

121

E(X])=20x-+60x—+100x—=60

636

)=(20-60/x1+(60-60)2x2+(100-60)2xL”竺

6363

对于方案2,即方案(2°，20,40,40),设顾客所获的奖励额为4，则随机变量占的分布列

为

*2406080

]_2

p

636

121

F(y)=40x-+60x-+80x-=60

2636

222

D(X2)=(40-60)x,+(60-60)X-+(80-60)X-=—

6363

因为两种方案所获的奖励额都符合要求，但方案2所获的奖励额的方差比方案1的小，即

方案2使每位顾客所获的奖励额相对均衡，所以应该选择方案2.

19.答案：(1)因为四边形/8CZ)是菱形，所以8OJ_/C,且4C和5。互相平分.

又因为尸8=PZ),。为8。的中点，所以8OJ.PO.

又因为尸。c/C=。，所以8Q_L平面P4c.

因为PCu平面尸/C,所以8。1PC.

(2)过点P作尸交点为E.

因为8Z)J.平面PZC,所以又因为OCc8O=。，所以尸E_L平面/BCD.

因为N8/O=60。，所以和△P8O都是边长为8的等边三角形.

所以OP=4百，又因为cosZPO£=，,所以sinNPOE=4^,所以=

333

因为Sc」x/CxBO=，x8x8g=326,

22

砺Nr/1。厂c1„H86_2560

所以=§'尸£^5口抽8=§x32A/3x-y=--—.

20.答案：(1)由题意得6=1,且"i=—，解得0=2.

a2

所以椭圆E的标准方程为

(2)设点P的坐标为。,2).

则直线产/的方程为y=?+1,直线尸3的方程为)=亍-1.

联立直线PN与椭圆E的方程可得「=7+1'消去y得jl+g]x2+§x=0,

x2+4y2-4=0,I])1

解得x=0或x=-Y—.则点C的坐标为8f*-4、

*+4*+4'*+4,

同理可得点D的坐标为［凡，篝

36-Z2t2-4

『+36『+4_288-2J_2a2+，券？—)_12-产

所以直线CQ的斜率为攵e=

24/+8/一32/+384/-32f(?+12)16/

t2+36/+4

所以直线。的方程为y=5二《8/“-412-r21

x+~~~-

『+4/+4⑹2

所以直线8恒过一定点1),；).

丫2_c,1

21.答案：(1)由题意，得由(x)=x+

e

(2%5界(?5%+]尸x2-7x4-6(工—6)(工-1)

:.F\x)=

e-eex

4F,(X)>0,W-1<X<6；令F(x)v0,得xvl或>>6.

.•.函数尸(对=等的单调递减区间为(_00』)和(6,+8),

f(x)

单调递增区间为(1,6).

(2)由题意，得g，(x)=2x-5.

令G(x)=g<x)+af(x)=0,得2x-5+ae'=0.

5-2x

a=-----.

ev

设h(x)=W，则h\x)=-2e'Y［2x)e'=2x^7

eee

77

令A'(x)>0,得x>—；令/(x)<0,得x<一.

22

6(x)在卜8；)上单调递减，在(g,+00)上单调递增.

.,/(g)为最小值.

而力(2)=也〃(3=-3,做4)=-5，；•〃⑵>〃(4).

作出函数力(X)在［2,4］上的大致图像，如图.

.•.当一口<aWe时,G(x)=g\x)+af(x)有一个零点;

ee

23

当—=<〃W