高数前几章习题及答案

PAGEword文档可自由复制编辑函数与数列的极限一、单项选择题1．下面函数与为同一函数的是（）解：，且定义域，∴选D2．已知是的反函数，则的反函数是（） 解:令反解出：互换，位置得反函数，选A3．设在有定义，则下列函数为奇函数的是（）解：的定义域且∴选C4．下列函数在内无界的是（）解:排除法：A有界，B有界，C故选D5．数列有界是存在的（）A必要条件B充分条件C充分必要条件D无关条件解：收敛时，数列有界（即），反之不成立，（如有界，但不收敛，选A6．当时，与为等价无穷小，则=（）AB1C2D-2解：，选C二、填空题（每小题4分，共24分）7．设，则的定义域为解：∵∴定义域为8．设则解：（1）令（2）9．函数的反函数是解：（1），反解出：（2）互换位置，得反函数10．解：原式11．若则解：左式=故12．=解：当时，～∴原式==三、计算题（每小题8分，共64分）13．求函数的定义域解：∴函数的定义域为14．设求解：故15．设，的反函数，求解:（1）求∴反解出：互换位置得(2)16．判别的奇偶性。解法（1）：的定义域，关于原点对称为奇函数解法（2）：故为奇函数17．已知为偶函数，为奇函数，且，求及解：已知即有得故得故18．设，求的值。解：故19．求解：（1）拆项，（2）原式=20．设求解：原式=四、综合题（每小题10分，共20分）21．设=，求=并讨论的奇偶性与有界性。解：（1）求（2）讨论的奇偶性为奇函数（3）讨论的有界性有界22．从一块半径为R的圆铁片上挖去一个扇形，把留下的中心角为的扇形做成一个漏斗（如图），试将漏斗的容积V表示成中心角的函数。解：（1）列出函数关系式，设漏斗高为，底半径为，依题意：漏斗容积V=故（2）函数的定义域故五、证明题（每小题9分，共18分）23．设为定义在的任意函数，证明可表示为一个偶函数与一个奇函数之和。证：(1)(2)令为偶函数(3)令为奇函数（4）综上所述：偶函数+奇函数24设满足函数方程2+=，证明为奇函数。证：（1）令函数与自变量的记号无关（2）消去，求出（3）的定义域又为奇函数＊选做题1已知，求解:且∴由夹逼定理知，原式2若对于任意的，函数满足：，证明为奇函数。解(1)求：令(2)令为奇函数函数的极限与洛必达法则的强化练习题答案一、单项选择题（每小题4分，共24分）1．下列极限正确的（）A．B．不存在C．D．解：选C注：2．下列极限正确的是（）A．B．C．D．解：选A注：3．若，，则下列正确的是（）A．B．C．D．解：选D4．若，则（）A．3B．C．2D．解：选B5．设且存在，则=（）A．-1B．0C．1D．2解：选C6．当时，是比高阶无穷小，则（）A．B．C．为任意实数D．解：故选A二、填空题（每小题4分，共24分）7．解：原式8．解：原式9．解：原式10．已知存在，则=解：11．解：又故原式=112．若且,则正整数=解：故三、计算题（每小题8分，共64分）13．求解：原式=原式14．求解：原式15．求解：令，当时，原式16．求解：原式注:原式17．求解：原式18．设且存在，求的值。解：19．解：原式20．求解：原式四、证明题（共18分）21．当时且,证明证：证毕22．当时，证明以下四个差函数的等价无穷小。（1）（2）（3）（4）证：当时，当时，当时，当时，五、综合题（每小题10分，共20分）23．求解：原式24．已知，求常数的值。解：（1）∵原极限存在且（2）答选做题求解：原式令原式函数的连续性与导数、微分的概念的强化练习题答案一、单项选择题（每小题4分，共24分）1．若为是连续函数，且，则()A．-1B．0C．1D．不存在解：原式，选B2．要使在点处连续，应给补充定义的数值是()A．B．C．D．解：选A3．若，则下列正确的是（）A．B．C．D．解：选B4．设且在处可导，,则是的()A．可去间断点B．跳跃间断点C．无穷间断点D．连续点解：，故是的第一类可去间断点。选A5．在处()A．极限不存在B．极限存在但不连续C．连续但不可导D．可导但不连续解：，且在连续，又不存在，在不可导选C6．设在可导，则为（）A．B．C．D．解：（1）在连续，故（2），代入得，选C二、填空题（每小题4分，共24分）7．设为连续奇函数，则=解：（1）为奇函数，（2）又在连续故8．若为可导的偶函数，则解：（1）为偶函数，(2)可导，故即9．设是曲线的一条切线，则解：（1）（2）故10．若满足：，且则=解：11．设在连续，且=4，则解：原式=12．的间断点个数为解：令为间断点，故有三个间断点三、计算题（每小题8分，共64分）13．已知在上连续，求的值解：在连续且故14．讨论在连续性解：（1）在处，且在处连续（2）在处，在不连续15．设有连续的导函数，且若在连续，求常数A。解：且，答16．设在可导，求的值。解：（1）在连续，故有（2）在可导，答17．设在可导，求与解：（1）在连续，且，故有（2）在可导答：18．讨论在是否可导，其中在连续。解：（1）（2）答：当时，在连续，当时，在不连续19．求的间断点，并指出间断点类型解：（1）间断点：（2）在处：是的第一类间断点。（3）在处：为的第二类无穷间断点。20．设指出的间断点，并判断间断点的类型。解：（1）为间断点，可能是间断点。（2）在处：是的第二类无穷间断点（3）在处：是的第一类跳跃间断点四、综合题（每小题10分，共20分）21．求的间断点，并判别间断点的类型。解：（1）间断点：（2）在处：是的第一类可去间断点（3）在处：是的第一类可去间断点（4）在处：是的第二类无穷间断点22．已知，在可导，求之值解：（1）在连续，故（2）在可导故有（3）在连续，即（4）在可导：故有由（3）（4）解得答：五、证明题（每小题9分，共18分）23．证明在区间内至少有两个实根。证：（1）在连续，且由零点定理知，=0在上至少有一个实根。（2）在连续,且由零点定理知，=0在上至少有一个实根（3）综上所述，=0在上至少有两个实根24．设，证明（1）当时在连续，当时，在可导解：（1）当时，在连续(2)当时，在可导总之，当时，在连续当时，在可导选做题设对于任意的，函数满足且证明证：（1）令，，即(2)证毕导数与微分的计算方法的强化练习题答案一、单项选择题（每小题4分，共24分）1．设则()A．1B．3C．-1D．-3解：（1）(2)选C2．设,则（）A．B．C．D．解：令选B注：本题用导数定义计算更方便！3．设，则=()A．B．C．D．解：选A4．设由方程所确定，则曲线在点（0，1）的切线斜率=()A．2B．-2C．D．-解：选B5．设为可导偶函数，且，则（）A．0B．1C．-1D．2解：（1）（2）得（3）选A6．设在有连续导数，且,则()A．1B．-1C．2D．-2解：(2)原式选B二、填空题（每小题4分，共24分）7．若，则解：（1）(2)8．设，则=解：(1)（2）9．直线与轴平行，且与曲线相切，则切点坐标是解：故有切点坐标10．由方程确定，则解：当时，得，11．设，则解：12．设，则=解：三、计算题（每小题8分，共64分）13．设，求。解：(1)（3）14．设，求及。解：(1)15．方程确定，求解：(1)=0（2）当时，（3），16．设，求解：（1）(2)17．设，确定，求。解：（1）(2)18．设，求解：（1）变形，（2）19．设由方程所确定，其中F可导，且，求解：（1）（2）当时，（3）20．已知，求解：（1）四、证明题（本题8分）21．证明抛物线任一点处的切线所截两坐标轴的截距之和等于。证：（1）求切线方程：设切点坐标为，故有切线方程：（2）求截距：令，解得令，解得（3）证明两截距之和为（即）+证毕五、综合题（每小题10分，共30分）22．若曲线与在点相切，求常数。解：（1）求两曲线的斜率在上，在上，2）求之值：依题意，两曲线在点相切，又点在曲线上23．设单调，且二阶可导，求及解：（1）（2）==24．设，求解：（1）选做题1．设可导，且，求解：（1）(2)∵（3）2．设有任意阶导数，且，求解：∵∴3．设可导且，证明解：（1）当时（2）当时：（3）综上所述：微分中值定理与导数的应用的强化练习题答案一、单项选择题（每小题4分，共24分）1、已知，则有（B）A一个实根B两个实根C三个实根D无实根解：（1）在满足罗尔定理条件故有（）综上所述，少有两个实根，至多有两个根，故选Ｂ2．下列函数在所给区间满足罗尔定理条件的是（D）ABCD解：，满足罗尔定理条件．故选D3．设曲线，则其拐点坐标为（C）A0B（0，1）C（0，0）D1解：．令．得．．当时，．故（0，0）为曲线的拐点C4．若内必有（C）ABCD解：凹弧如示意图，故有5．设在取得极值。则为．．．（Ｂ）ABCD解：⑴①⑵②①—②得①得答案选Ｂ6．下列命题中正确的是（B）A为极值点，则必有B若在点处可导，且为的极值点，则必有C若在（）有极大值也有极小值则极大值必大于极小值。D若则点必有的极值点。解：可导函数的极值点一定是驻点，故有=0选B二、填空题（每小题4分，共24分）7．设可导，且的极小值。则解：原式=8．的单调增加区间为解：（1）定义域（2）当0<x<e时。故的单调增区间为（0，e）9．的极小值是解：（1）（2）令，驻点．是不可导点x1+__+单调增单调减极小单调增（3）极小值10．的最大值为1解：（1）是的不可导点。（2）（3）最大值为11．曲线的水平渐进线为＿＿解：∴直线是曲线的一条水平渐进线12．函数在[1，2]满足拉格朗日中值定理条件的解：（1）—=（2）三、计算题（每小题8分，共64分）13.已知在区间满足拉格朗日中值定理条件，求解：， 14．求函数的单调区间与极值。解：（１）驻点，的不可导点（2）x-10+-+极大极小（3）极大值，极小值，在单调减在单调增15求由方程所确定的极值。解：（1）求驻点：令→驻点（2）判别极值点当时代入上式2+0+0+0+=为极大值点，（3）极大值16．求在区间[，4]上的最大值，最小值。解：（1）令，为不可导点（2）∵（3）比较上述函数的大小最小值为，最大值为017．求曲线的凹凸区间与拐点。解：（1）定义域（--∞，+∞）（2）令得；不存在的点为（3）列表（-∞，00（0，-1）1（1，+∞）+—+凹拐点凸拐点凹答：拐点（0，）及（1，）；，为凹区间，（0，1）为凸区间。18．求曲线的水平渐近线与垂直渐近线。解：（1）是曲线的一条水平渐近线。（2）是曲线的另一条水平渐近线（3）∵为曲线的一条垂直渐近线19．判别函数在的单调性。解：（1）（２）令且（3）在单调减。20．设确定单调的区间。解：（1）故有为驻点（2）当时，时，（3）除外，．在单调增加。四、综合题（每小题10分，共２０分）21已知函数的图形上有一拐点（2，4），在拐点处曲线的切线斜率为，而且该函数满足，求此函数解（1）已知；（2）求常数，（3）求：，由（4）求函数y:答：所求函数y=22利用导数描绘的图形解：（1）定义域，非奇非偶函数（2）求驻点和的点，令，驻点，令，得（3）列表x1(1,2)2+____+y极大拐点极大值，拐点（4）渐近线与函数变化趋势是曲线的一条水平渐进线，（5）描点作图当时五、证明题（每小题9分，共18分）23设存在且单调增加，证明当时单调增加证明：1）令当时，单调增加故有单调增加24设证明，证明：1）构造辅助函数：（2）且由罗尔定理知选做题证明方程：恰有一实根，其中常数，且证明：（1）令且(4)综上所述：有且仅有一个实根利用导数证明不等式及导数应用题的强化练习题答案1．当时,证明成立.证：(1)变形:,这是对数函数的增量形式令(2)在应用拉格朗日中值定理:(3)故有证毕！2．证明:成立证：(1)构造辅助函数,令(2)在应用拉格朗日定理:(3)对于的情形,同理可证.证毕3．证明:当时,有成立.证：(1)构造辅助函数：∴令(2)在应用拉格朗日中值定理,(3)是单调增函数，故有,证毕4．当时,证明成立.证：(1)令(2)在单调减少(3)在单调减少,且故当时,证毕5．当时,证明成立.证：(1)变形,令(2)令且从而在单调减少(3)∵且=0即有成立6．当时,证明成立.证：(1)变形，令(2)(一阶导数符号不易判定,借助)=且单调增加(3)在单调增,且,故有证毕7．当时,证明:成立.解：(1)令(2)令,驻点(3)，为极小值点.由单峰原理,是最小值点最小值故有,即证毕8．设,证明成立.证：(1)令(2)驻点(3)(4)比较上述函数值的大小:故有,即证毕9．证明:当时,有.证：(1)令(2),在单调增加(3)由,得从而有证毕二、证明方程根的个数10．证明:当时,方程仅有一个实根.证：(1)令单调增,故最多有一个实根(2)是一元五次方程至少有一个实根(3)综上所述:有且只有一个实根.证毕11．证明方程只有一个正根.证(1)单调增故最多有一实根(2)在连续且∴由零点定理知:至少有一个正根.（3）综上所述:有且仅有一个正根12．证明方程:有且仅有两个实根.解：(1)令在连续且∴由零点定理知:在至少有一个实根同理:=0在至少有一实根总之,=0在至少有两个实根(2)=0是一元二次方程,最多有两个实根．(３)综上所述：=0有且仅有两个实根13．设常数证明方程,在内有且仅有两个正根.证：(1)令(x>0)(2);令驻点<0,为极大值点.由单峰原理:是最大值点最大值且,故与轴有且仅有两个交点(如示意图)即在有且只有两个实根.三、应用题（每小题10分，共50分）14．已知曲线.（1）求曲线在横坐标为的点处的切线方程.（2）求曲线的切线被两坐标轴所截线段的最短长度.解：(1)求切线方程:切点切线方程:即(2)令令(3)令(4)最小值15．在半径为R的半径内作一个圆柱体,求最大体积时的底半径与高.解：(1)画出示意图(2)依题意,设所求圆柱体体积为V(3)求驻点,令,,驻点（4）求最值点:,为最大值点答:当,时,所得圆柱体体积最大16．某客轮每小时消耗燃料的费用速度的立方正比,若该客轮从甲城到已城沿江逆流而上,设水流速度为每小时公里,求客轮最经济的速度?解：(1)列出函数关系式:设从甲城沿江到乙城的路程为.消耗总费用为.依题意:,其中是甲城到乙城所需要的时间(2)求驻点:令,驻点(3)求最值:由实际问题的意义知道:最小值存在,且驻点唯一,当时,客轮消耗燃料总费用最省.17．欲做一个容积是3000的无盖圆柱形的蓄水池,已知池底单位面积造价为池壁单位面积的3倍,问蓄水池的尺寸怎样设计,才能使总造价最低?解：(1)列出函数关系式:设池底半径为,池高为,池壁单位面积造价为元,总造价为,依题意:(2)求驻点:令,驻点(3)求最值:,当时,总造价最省.(4)当时,答:当时,总造价最低.18．从一块半径为R的圆铁片上挖去一个扇形,把留下的中心角为取多大时,做成的漏斗的容积最大?解：(1)列出函数关系式:设漏斗体积为V依题意:,,(2)求驻点令=0.,驻点又(3)求最值由实际问题意义知道:漏斗最大容积存在,且驻点唯一,当时,漏斗的容积最大.不定积分的概念与换元积分法的强化练习题答案一、单项选择题(每小题4分,共24分)1．设是在上的一个原函数,且为奇函数,则是()A．偶函数B．奇函数C．非奇非偶函数D．不能确定解:可导奇函数的导函数必为偶函数.必为偶函数.选A2．已知的一个原函数为,的一个原函数为,则的一个原函数为()A．B．C．D．解:(1),(2)选B3．设为连续导函数,则下列命题正确的是()A．B．C．D．解:选A4．设且,则=()A．B．C．D．解：(1)(2)且得,选A5．设是的一个原函数,则()A．B．C．D．解：(1)原式=(2)(3)原式=选D6．设,则=()A．B．C．D．解：(1)(2)(3)原式=选C二、填空题7．若是的一个原函数,则=解：(1)(2)8．设的一个原函数为,则解：故9．若,则=解：原式=10．解：原式=或11．若,则解：原式=12．若,则解：三、计算题13．解:原式=14．解:原式==15．解:原式=16．解:原式=17．解:原式=18．